pertencente a um plano e um vetor n ( a, do plano [obviamente que P é ortogonal [normal] a qualquer vetor pertencente ao plano.

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1 ESTUDO DO PLNO NO ESPÇO R 3 euação de um lao [o R 3 ] ode ser escrita de várias formas, sedo ue cada uma delas tem suas vatages uato à sua escolha e alicação. São elas: Euação Geral do Plao Euação Segmetária do Plao Euação Vetorial do Plao Euações Paramétricas do Plao Nosso estudo se cocetrará a forma geral e a forma segmetária da euação de um lao. Euação Geral do Plao osideremos um oto,, ) ertecete a um lao e um vetor a,, c), sedo ue. gora, tomado um oto ualuer P,, ) do lao [oviamete ue P Desta forma, temos: ], odemos escrever o vetor P. P P,, ),, ) P,, ) gora, como, o vetor é ortogoal [ormal] a ualuer vetor ertecete ao lao. ssim sedo: P. Lemrado ue o roduto escalar é ulo ara vetores ortogoais, temos: P Sustituido os vetores em uestão, ecotramos: a,, c),, ) a ) ) c ) a a c c a c a c a c [ a c ] Oserve ue o cojuto de termos [ a c] será formado aeas or úmeros reais. Isso imlica ue odemos defiir ue: [ a c] d. ssim, a EQUÇÃO GERL de um lao é defiida como: a c d com a,, c) Nota: Podemos dier ue o vetor defie a icliação do lao ao ual ele é ortogoal e o termo ideedete d defie a osição do referido lao o sistema de coordeadas. Págia de 5

2 EXEMPLOS: ) Dado o lao de euação 3 4 5, determie: a) dois vetores ormais a esse lao. ) dois otos ertecetes ao lao. c) se os otos, 3, ) e 4,, 5) ertecem ao lao dado. NOT a): Se k com k. ) Oteha uma euação geral do lao ue assa elo oto 6,, 7) e tem 3,, 4) ormal. como um vetor NOT: s euações 3 4 e se referem ao mesmo lao. ssim, se multilicarmos uma euação geral de um lao or um úmero real k, ecotraremos uma ova euação geral do lao dita múltila escalar da euação aterior, mas ue tamém rereseta o MESMO lao. 3) Escreva uma euação geral do lao ue assa elo oto 6,, 7) e ue é aralelo ao lao de euação NOT: Oserve as euações dos PLNOS PRLELOS etre si, dadas a seguir: // : // : ssim, dois laos são aralelos etre si uado têm o mesmo vetor ormal ou uado os vetores ormais são múltilos escalares um do outro. 4) reta 5 3t r : 4 t é ortogoal ao lao ue assa ela origem do sistema cartesiao. Saedo disso, t determie a euação geral de. NOT: Quado um lao assar ela origem do sistema de coordeadas:,, ) assim, sua euação geral terá semre a forma: a c., a euação geral teremos d, e 5) Saedo ue o lao assa elo oto,, 3) e é aralelo ao lao formado elos vetores u, 3, ) v, 5, 3), determie uma euação geral do lao. e 6) Seja o lao determiado elos otos,, ),,, 3) e,, 6). Oteha uma euação geral desse lao. Nota: O eemlo acima tem duas oções de resolução! Págia de 5

3 Euação Segmetária do Plao Se um lao iterceta os eios coordeados os otos,, ),,, ) e,, r ) com r [veja r figura ao lado], etão o lao admite a sua euação a forma: r O deomiada EQUÇÃO SEGMENTÁRI do lao. EXEMPLOS: ) osidere o lao reresetado graficamete a seguir. Escreva a euação geral do lao em uestão. 6 O 3 4 ) Dada a euação geral do lao defiida or: 4 8 6, determie os otos de ecotro desse lao com os eios coordeados e escreva a sua euação a forma segmetária. Nota: O eemlo acima tem duas oções de resolução! Págia 3 de 5

4 omo vimos ateriormete, eistem aida outras duas formas de reresetarmos a euação de um lao, mas ue ão serão arofudadas em osso estudo. RESUMIDMENTE, são elas: Euação Vetorial do Plao P h u t v P hu t v P hu t v,, ),, ) h,, ) t,, ) com h, t u u u v v v Euações Paramétricas do Plao u ). h v ). t : u ). h v ). t com h, t u ). h v ). t TÓPIO EXTR: Euação Geral de um Plao otida através da alicação direta de três de seus otos Podemos ecotrar a euação de um lao através de três otos,, ),,, ) e,, ) ão colieares e ertecetes a esse lao, alicado-os o determiate de uata ordem: Eemlo: Determie a euação do lao ue assa elos otos ão colieares),,),,3, ) e,, 7). Resolução: Sustituido as coordeadas dos otos a eressão aresetada, temos: 3 7 Desevolvedo o determiate, chegaremos à euação mais simles) do lao em uestão: 3 4. NOT: este material foi desevolvido com ase o livro: WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria alítica. São Paulo: Makro ooks,. EXERÍIOS Estudo do Plao o Esaço Prolemas Proostos da ágia 4 do Livro idicado acima. Eercícios:,, 3, 4, 7, 8,, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 3ac, 33, 34a, 57 e 58. Oservação: os eercícios 7, 8 e ; escreva aeas uma euação geral. Págia 4 de 5

5 RELEMRNDO: TIPOS [FORMS] DE EQUÇÃO DE UM RET [NO PLNO R ] euação de uma reta [o lao] ode ser escrita a forma: Geral Reduida Segmetária Paramétricas Detalhado um ouco, temos: Euação Geral: a c Sedo ue a euação geral: Nota: Nem todas as retas odem ser reresetadas em todas as formas citadas ao lado. a m e c Oserve ue, se a forma geral: a c Isolarmos o termo em temos: gora, searado o deomiador: ssim temos a euação da reta a sua forma reduida: a c a c a c a c m Euação Reduida: m oeficiete agular: m tg ou m m m Nota: fução oliomial do º grau é reresetada ela euação reduida da reta. Euação Segmetária: Sedo ue: iterceto iterceto Euações Paramétricas: f t) g t) Sedo ue t é um arâmetro comum às euações. Veja um eemlo: 4t 7 t RELEMRNDO: OMO ENONTRR [LULR] EQUÇÃO DE UM RET Quado cohecemos: otos, ) e, ) : Sustitua os otos em: m ou aliue: oto P, P P ) + o coeficiete agular m : liue em: P m P ) Euação Fudametal da Reta Págia 5 de 5