CAPITULO V. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E SUCESSÕES EM R n

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1 CAPITULO V NOÇÕES TOPOLÓGICAS E SUCESSÕES EM R 1. Distâcias e vizihaças Dado um esaço vectorial E sobre o coro R dos úmeros reais, chama-se orma a qualquer alicação x x de E em R + {0} que verifique as seguites roriedades: P1: x = 0 x = 0 ; P: λ. x = λ. x, com qualquer λ R ; P3: x + y x + y. A artir de uma orma defiida em E ode defiir-se uma distâcia etre dois vectores x e y fazedo d( x, y ) = x - y e a artir das roriedades da orma, obtêm-se de imediato as seguites : P4: d( x, y ) = 0 x = y ; P5: d( x, y ) = d( y, x ) (simetria); P6: d( x, y ) d( x, z ) + d( z, y ) (desigualdade triagular). Estas roriedades da distâcia etre vectores de E são formalmete as mesmas que as idicadas ara o caso da distâcia d(x, y) = x - y etre úmeros reais, quado foram estudadas as oções toológicas em R. Tal sigifica que odem defiir-se um esaço vectorial ormado oções toológicas idêticas às aresetadas ara o caso de R, sedo que a maioria das roriedades etão estudadas cotiuam válidas este caso mais geral. No que se segue vamos restrigir o osso estudo ao caso do esaço vectorial, R = { x = (x 1, x,..., x ) : x i R, i = 1,,..., } sobre R, começado or defiir este esaço a orma Euclideaa 1, x = x. = 1 1 É ossível defiir em R uma ifiidade de outras ormas, odedo rovar-se que este esaço todas as ormas são toologicamete equivaletes, o setido de ser idiferete desevolver aí o estudo da toologia tomado como base qualquer delas. 17

2 É fácil ver que a orma Euclideaa verifica efectivamete as roriedades P1, P e P3 que foram idicadas ara as ormas em geral. Com efeito, a) Para o caso de P1, tem-se, x = x = 1 b) Para caso de P, tem-se, λ. x = = 0 x 1 = x = = x = 0 x = 0. (λ. ) = λ. = 1 x x = 1 = λ. x. c) Para demostrar a verificação de P3, rova-se rimeiro a desigualdade de Cauchy. Sedo a i, b i 0, i = 1,,...,, tem-se, com qualquer x R, = 1 ( a x + b ) = ( a ). x + ( a b ). x + ( b ) 0 ; = 1 = 1 = 1 Ora, ara que o triómio do segudo grau obtido sea ão egativo ara qualquer x R deverá ser, = 4.( a b = 1 dode resulta a desigualdade de Cauchy : a = 1 b ) - 4. ( a ). ( b ) 0, = 1 =1 a =1. b. Com esta desigualdade ode agora rovar-se que a orma Euclideaa verifica P3 : x + y = (x 1 + y 1 ) + (x + y ) + + (x + y ) = = x 1 + y 1 + x + y + + x + y ( x 1 + y 1 ) + ( x + y ) + + ( x + y ) = = 1 = x + y + x. y = 1 = 1 = 1 x + y +. x. y = = 1 = 1 = 1 = 1 = x + y +. x. y = ( x + y ), e de x + y ( x + y ) resulta fialmete a desigualdade de P3. À orma Euclideaa corresode a seguite distâcia etre vectores x, y R : d( x, y ) = x - y = ( x y ) (Distâcia Euclideaa) = 1 18

3 A iterretação geométrica da distâcia Euclideaa é muito simles os casos de R e R 3. Fixado, o lao ou o esaço ordiário, um sistema de eixos coordeados, a distâcia d( x, y ) é o comrimeto do segmeto de recta cuas extremidades são os otos X e Y de coordeadas (x 1, x ) e ( y 1, y ) ou ( x 1, x, x 3 ) e ( y 1, y, y 3 ), resectivamete os casos = ou = 3. Na figura seguite rereseta-se graficamete uma situação articular corresodete ao caso = : y Y x X x 1 y 1 Pelo teorema de Pitágoras vê-se que, d( x, y ) = 1 y1 ) + ( x ) ( x y = Comrimeto do segmeto XY. Na figura seguite rereseta-se graficamete uma situação articular corresodete ao caso = 3 : y 3 x 3 Y X Z x 1 y 1 y x X Z Tem-se, reresetado or C (X Z ), C (X Z ), C(ZY ) e C (X Y ) resectivamete os comrimetos dos segmetos X Z, X Z, X Y e ZY, C (X Z ) = 1 y1 ) + ( x ) ( x y = C (X Z ), C (Z Y ) = x 3 y 3 [C (X Y )] = [C (X Z )] + [C (Z Y )] = (x 1 y 1 ) + (x y ) + (x 3 y 3 ) = 19

4 = [d( x, y )], dode resulta C (X Y ) = d( x, y ), como se queria mostrar. Voltado ao caso geral de R, ara um dado a R de raio ε > 0 o couto, defie-se como sua vizihaça V ε ( a ) = { x : x R d( x, a ) = x - a < ε}, sedo quase imediatas as seguites roriedades : P7: ε < δ V ε ( a ) V δ ( a ) P8: I V ε ( a ) = { a } ε > 0 Tem-se aida que, P9: a b ε > 0 : V ε ( a ) V ε (b ) = Demostração : Tomado ε = (1/3). a - b, se certo c ertecesse a ambas as vizihaças, ter-se-ia, a - b a - c + c - b < ε + ε = (/3). a - b, dode resultaria (1/3). a - b < 0, desigualdade obviamete imossível. Está demostrado o resultado deseado. Para termiar, refira-se que em R e R 3 as vizihaças têm iterretações geométricas iteressates. No caso de R, sedo a = (a 1, a ) a vizihaça V ε ( a ) é o iterior de um círculo de cetro o oto de coordeadas (a 1, a ) e raio ε : a V ε ( a ) a 1 No caso de R 3, sedo a = (a 1, a, a 3 ) a vizihaça V ε ( a ) é o iterior de uma esfera de cetro o oto de coordeadas (a 1, a, a 3 ) e raio ε : 130

5 a 3 V ε ( a ) a a 1. Coceitos toológicos básicos Tal como o caso de R defiem-se em seguida os coceitos toológicos mais imortates. As defiições são dadas exactamete os mesmos termos que o caso á estudado do coro R. Assim: a) Diz-se que a R é oto iterior de um couto A R se e só se existe uma certa V ε ( a ) cotida o couto A. O couto dos otos iteriores de um couto A desiga-se or iterior do couto e rereseta-se or INT A, odedo evidetemete ser INT A = (ada obriga a que um dado couto teha otos iteriores). b) Diz-se que a R é oto froteiro de um couto A R se e só se em qualquer V ε (a ) existem otos do couto A e otos do comlemetar de A. O couto dos otos froteiros de um couto A desiga-se or froteira do couto e rereseta-se or FRONT A, odedo evidetemete ser FRONT A =. c) Diz-se que a R é oto exterior ao couto A R se e só se existe uma certa V ε (a ) cotida o comlemetar do couto A. O couto dos otos exteriores ao couto A desiga-se or exterior do couto e rereseta-se or EXT A, odedo evidetemete ser EXT A =. d) Diz-se que a R é oto de acumulação de um couto A R se e só se em qualquer V ε (a ) existe elo meos um oto de A distito de a. O couto dos otos de acumulação de A chama-se derivado de A e rereseta-se or A, odedo evidetemete ser A =. e) Chama-se aderêcia ou fecho do couto A à uião do seu iterior com a sua froteira, ou sea, Ad A = INT A FRONT A. Exceto o caso de A ser vazio, temse semre Ad A. f) Um couto A R diz-se aberto se e só se coicide com o seu iterior, ou sea, A = INT A. Dado que em qualquer caso (A aberto ou ão) semre se tem INT A A, ara rovar que A é aberto bastará rovar que A INT A. 131

6 g) Um couto A R diz-se fechado se e só se coicide com a sua aderêcia, ou sea, se e só se, A = Ad A = INT A FRONT A. A artir destes coceitos básicos odemos euciar tal como em R uma série de roriedades, sedo as demostrações formalmete as mesmas como se oderá comrovar comarado o texto que se segue com o texto corresodete relativo às oções toológicas em R do Volume I. P10 : INT A FRONT A EXT A = R Demostração: É evidete, dadas as defiições de iterior, froteira e exterior de um couto ; qualquer oto de esaço reseita uma e uma só das defiições a), b) ou c). P11 : EXT A = INT A Demostração: É também evidete, dado que um oto a EXT A se e só se existe uma V ε ( a ) cotida o comlemetar de A e tal equivale a ter-se a INT A. P1 : FRONT A = FRONT A Demostração: Basta ateder à defiição: a FRONT A se e só se em qualquer V ε ( a ) existem otos de A e otos de A, o que equivale a ser a FRONT A. P13 : Se A B, etão A B Demostração : Tomado a A, tem-se que em qualquer vizihaça de a existe elo meos um oto de A distito de a e, ortato, dado ter-se A B, também existe elo meos um oto de B distito desse mesmo a, ou sea, a B. P14 : ( A B ) = A B Demostração : Por ser A (A B) e B (A B), a roriedade P13 garate que A (A B) e B (A B) o que imlica a iclusão, A B (A B), faltado ortato rovar a iclusão cotrária ara se oder cosiderar rovada a igualdade do euciado. Provemos etão que (A B) A B. Deveremos rovar que, a (A B) a A B, mas o caso resete tora-se mais fácil rovar a imlicação equivalete, a A B a (A B). 13

7 Para tal, cosidere-se a A B, ou sea, a A e a B ; existe etão uma V ε (a ) sem otos de A ara além do rório a e existe uma outra V δ (a ) sem otos de B ara além do rório a ; tomado θ = mí {ε, δ } em V θ ( a ) ão se ecotram otos em de A em de B, ara além do rório a ; etão existe uma vizihaça de a sem otos de A B ara além do rório a, ou sea, a (A B), como se queria rovar. P15 : As vizihaças V ε ( a ) são coutos abertos Demostração : Dado b V ε ( a ), tem-se d( a,b ) < ε. Tomado, δ = ε d( a,b ) > 0, veamos que V δ (b ) V ε ( a ). Com efeito, usado as roriedades P5 e P6, x V δ (b ) d( x,b ) < δ = ε d( a,b ) d( x,b ) + d( a,b ) < ε d( x, a ) < ε x V ε ( a ). Por defiição de oto iterior coclui-se assim que b INT V ε ( a ), ou sea, V ε (a ) INT V ε (a ) o que chega ara garatir a igualdade V ε ( a ) = INT V ε ( a ). Em coclusão, V ε ( a ) é um couto aberto como se queria rovar. P16 : Sedo A um couto qualquer, INT A é um couto aberto Demostração : Basta rovar que INT A INT (INT A), ois tal chega ara garatir que INT A = INT (INT A), ou sea que INT A é um couto aberto. Para tal otemos que A B INT A INT B imlicação que é raticamete evidete e cua ustificação se deixa ao cuidado do leitor. Etão, a INT A V ε ( a ) : V ε ( a ) A V ε ( a ) : INT V ε ( a ) INT A Como o couto V ε ( a ) é aberto (ver roriedade P15) tem-se INT V ε ( a ) = V ε (a) e ortato, a INT A V ε ( a ) : V ε ( a ) INT A a INT (INT A ), ou sea, INT A INT (INT A) como se queria rovar. P17 : Ad A = A A 133

8 Demostração : Dado a Ad A, oderá ser a A ou a A. Se for a A, teremos a A A. Se for a A, o oto a ão ode ser iterior do couto A, logo ecessariamete a FRONT A e etão em qualquer V ε (a ) existe elo meos um oto do couto A que ão ode ser o rório a dado estarmos a cosiderar o caso a A ; etão, or defiição de oto de acumulação, a A, ou sea, também este caso se tem a A A. Em coclusão: Ad A A A. Para rovar a iclusão cotrária tome-se a A A e veamos que igualmete a Ad A. Se for a A, tem-se evidetemete a Ad A. Se for a A, ecessariamete a A, logo em qualquer V ε ( a ) existe o oto a que ertece ao comlemetar do couto A e elo meos um oto do couto A, ou sea, a FRONT A e ortato também este caso a Ad A. P18 : O couto A é fechado se e só se A A Demostração : Sedo A fechado etão, or defiição, A = Ad A = A A dode resulta A A. Por outro lado, sedo A A tem-se Ad A = A A = A, ou sea, o couto A é fechado. P19 : O derivado e a aderêcia ou fecho de um qualquer couto A são coutos fechados Demostração : Veamos rimeiro o caso do derivado. Pela roriedade P18, basta rovar que (A ) A. Dado x (A ), em qualquer V ε ( x ) existe elo meos um oto y x ertecete ao couto A. Por ser y A, or seu lado, em qualquer V δ ( y ) existe um z y ertecete ao couto A. Tomado em articular, δ = mí { ε d( y, x ) ; d( y, x ) }, resulta d( z, y ) < δ ε - d( y, x ), ou sea, d( z, x ) d( z, y ) + d( y, x ) < ε, assim se cocluido que z V ε ( x ). Se se rovar que z x, fica rovado que em V ε (x ) - qualquer - existe semre elo meos um z x ertecete ao couto A, ou sea, fica rovado que x A, assim se demostrado a iclusão (A ) A, ou sea, que A é fechado. Ora, atededo à defiição do articular δ cosiderado, resulta δ d( y, x ) d( y, z ) + d( z, x ) ; e dado que d( y, z ) = = d( z, y ) < δ, sai d( z, x ) > 0 ou sea z x. Veamos agora que também a aderêcia ou fecho de um couto A é semre um couto fechado. Dado que Ad A = A A (ver roriedade P17) e atededo à igualdade estabelecida a roriedade P14, tem-se, cosiderado a iclusão á rovada, (A ) A, [Ad A] = ( A A ) = A (A ) A A = A Ad A, o que ermite cocluir que o couto Ad A é um couto fechado. 134

9 P0 : Um couto A é fechado se e só se o seu comlemetar A for aberto. Um couto A é aberto se e só se o seu comlemetar A for fechado. Demostração : Admita-se que A é fechado e demostre-se que A é aberto. Tomado x A existe uma vizihaça desse x sem ehum oto de A : com efeito, se em qualquer vizihaça do oto x existisse elo meos um oto do couto A, tal oto ão oderia ser o rório x (orque x ertece ao comlemetar de A) e etão oderia cocluir-se que o oto x era oto de acumulação de A ; mas como o couto A é fechado or hiótese, tal oto x erteceria etão ao couto A (lembre-se que ser A fechado equivale a A A ) e ão a A como se admitiu iicialmete. Ora se existe uma vizihaça de x sem ehum oto de A, tal sigifica que essa vizihaça está cotida o comlemetar de A, ou sea, existe uma V ε ( x ) A, assim se rovado que, x A V ε ( x ) : V ε ( x ) A x INT A, sigificado esta imlicação que A INT A, ou aida, que A é um couto aberto. Admita-se agora que A é aberto e demostre-se que etão A é fechado, ou sea, demostre-se que A A. Tomado a A tem-se a A e dado que or hiótese A é aberto, existe uma vizihaça de a cotida o couto A o que imlica que esse oto a ão ode ser oto de acumulação de A. Provou-se etão que a A a A equivaledo esta imlicação a ser A A. Está demostrado o que se retedia. Para rovar que o couto A é aberto se e só se A for fechado (seguda arte da roriedade), basta otar que ela rimeira arte da roriedade o couto B = A será fechado se e só se B = A for aberto. P1 : A uião de um qualquer úmero de coutos abertos é um couto aberto. A itersecção de um qualquer úmero de coutos fechados é um couto fechado. Demostração : Seam A coutos abertos em úmero fiito ou ifiito. Para rovar que a uião dos A é aberto teremos de rovar que, U A INT ( U A ). Ora, dado um qualquer a U A tem-se que esse oto a ertece elo meos a um dos A ; como esse A a que o oto a ertece é um couto aberto, existirá uma V ε (a ) cotida em A e ortato essa mesma vizihaça estará cotida em U A, ou sea, o oto a ertecerá a INT ( U A ). Fica assim rovada a iclusão deseada, isto é, fica rovado que a uião dos abertos A é igualmete um couto aberto. 135

10 Quato à itersecção de um úmero qualquer de coutos fechados F ote-se que, I F = U F (ª lei de De Morga) e que os coutos F são abertos (comlemetares de coutos fechados). Pela rimeira arte da roriedade, á demostrada, coclui-se que o couto I F é aberto e ortato o resectivo couto comlemetar I F é fechado. P : A itersecção de um úmero fiito de coutos abertos é um couto aberto. A reuião de um úmero fiito de coutos fechados é um couto fechado. Demostração : Veamos em rimeiro lugar o caso da reuião de um úmero fiito de coutos fechados. Bastará cosiderar o caso de dois coutos, ois or idução fiita oderemos facilmete assar ao caso de mais de dois coutos (mas em úmero fiito). Sedo F e G coutos fechados, tem-se, usado as roriedades P14 e P18, (F G) = F G F G, o que rova que a uião de F e G é também um couto fechado. Veamos agora o caso da itersecção de dois coutos abertos (ara mais de dois, mas em úmero fiito, rocede-se or idução). Sedo A e B coutos abertos, tem- -se que A e B são fechados e, ortato, A B é fechado; etão o comlemetar de A B, que é recisamete A B, é aberto. Covirá esclarecer que a reuião de uma ifiidade de coutos fechados ode ão ser um couto fechado e, do mesmo modo, a itersecção de uma ifiidade de coutos abertos ode ão ser um couto aberto. É fácil ecotrar exemlos que mostram essa ossibilidade. A este roósito a roriedade seguite é elucidativa: P3 : Qualquer couto fechado é a itersecção de uma ifiidade umerável de coutos abertos. Qualquer couto aberto é a uião de uma ifiidade umerável de coutos fechados. Demostração: Veamos em rimeiro lugar o caso de um couto fechado F. Com r úmero racioal ositivo, defiam-se os coutos, I r = { x : a F tal que d( x, a ) < r }, que como veremos de seguida são todos abertos. Com efeito, dado um x I r existirá um a F tal que d( x, a ) < r. Fixado ε = r d( x, a ) > 0, rova-se que V ε ( x ) I r ; de facto, sedo y V ε ( x ), tem-se d( y, x ) < ε = r - d( x, a ), dode resulta, 136

11 ou sea, y I r. d( y, a ) d( y, x ) + d( x, a ) < r, Falta rovar que a itersecção dos coutos abertos I r é igual ao couto fechado F, devedo otar-se que os coutos I r são em ifiidade umerável (são tatos quatos os racioais ositivos que á sabemos serem em ifiidade umerável). Para tal otemos que: a) O couto F está cotido em qualquer I r, tal resultado imediatamete do modo como se defiem os coutos I r ; b) De a) resulta logo que, F I ; I r r Q + c) Note-se agora que, sedo x F, tem-se x F e como F é um couto aberto ( dado que F é fechado) existe uma V ε ( x ) cotida em F, ou sea, essa V ε ( x ) ão há otos do couto F ; etão, sedo r um racioal ositivo meor que ε, ehum oto a F é tal que d( x, a ) < r < ε, caso cotrário esse a seria um oto de F ertecete a V ε (x ), o que á vimos ão ser ossível; mas etão, or defiição dos coutos I r tem-se que o oto x que vimos cosiderado ão ertece aos I r com racioais r < ε ; em coclusão, o que equivale a ser I r Q + x F x I r F ; I r Q + I r, d) As iclusões demostradas em b) e em c) ermitem cocluir que I igualdade que se retedia demostrar. + r Q I r = F, O caso de um couto aberto A é agora imediato: o comlemetar de A é fechado, logo é a itersecção de uma ifiidade umerável de coutos abertos, como acabou de demostrar-se. Mas etão o couto A será a reuião de uma ifiidade umerável de comlemetares de coutos abertos (ª lei de De Morga); ou sea, o couto A será a reuião de uma ifiidade umerável de coutos fechados (dado que os comlemetares dos abertos são fechados). P4 : A codição ecessária e suficiete ara que a sea oto de acumulação de um couto A é que em qualquer vizihaça desse oto se ecotrem ifiitos otos de A Demostração : A codição é obviamete suficiete: se em cada vizihaça do oto se ecotrarem ifiitos otos do couto, ecotra-se elo meos um oto do couto e ortato, or defiição, trata-se de um oto de acumulação do couto em causa. 137

12 Veamos que a codição é igualmete ecessária. Admita-se que a é oto de acumulação do couto A. Se em certa V ε (a ) aeas se ecotrarem fiitos otos do couto, seam x 1, x,..., x k os otos de A distitos de a que se ecotram aquela vizihaça. Fixado agora, δ = Mí { d( x 1, a ) ; d( x, a ) ;... ; d( x k, a ) } > 0, vê-se de imediato que em V δ (a ) ão existem otos do couto A ara além evetualmete do rório a : com efeito, se algum y a ertecesse ao couto A e igualmete a V δ (a ), ter-se-ia d( y, a ) < δ < ε e ortato esse y erteceria igualmete a V ε (a ) ; o oto y referido seria etão um dos x ( = 1,,..., k) o que obrigaria a ser d( y, a ) δ, dado o modo como se defiiu o valor δ. Mas se em V δ (a ) ão existem otos do couto A ara além evetualmete do rório a, coclui-se que o oto a ão ode ser oto de acumulação do couto A. Chega-se assim a uma cotradição: se tomarmos um oto de acumulação de um couto A e admitirmos a existêcia de uma vizihaça desse oto ode aeas haa um úmero fiito de otos do couto, coclui-se que tal oto ão ode ser oto de acumulação desse couto. Tal sigifica que, sedo a oto de acumulação de A, etão ecessariamete em qualquer vizihaça desse oto existem ifiitos otos do couto. Corolário 1 : Os coutos fiitos ão admitem otos de acumulação Corolário : É codição ecessária de existêcia de otos de acumulação de um couto, que este sea um couto ifiito. 3. Coutos limitados Um couto A R diz-se limitado se e só se existe um úmero real k > 0 tal que x k qualquer que sea x A. Têm-se roriedades semelhates às estudadas ara os subcoutos limitados de R : P5 : Um couto A R é limitado se e só se existe um a R e um ε > 0 tal que A V ε ( a ). Demostração : A codição é ecessária. Se A R é limitado, existe um k > 0 tal que x k qualquer que sea x A. Etão, tomado ε = k e sedo 0 o vector ulo, tem-se A V ε ( 0 ). A codição é igualmete suficiete, ois de A V ε ( a ) resulta facilmete x k qualquer que sea x A, com k = ε + a : de facto, ara x A tem-se x V ε ( a ), ou sea, x - a < ε ; e claro que, x = x - a + a x - a + a < ε + a = k. 138

13 P6 : A uião de um úmero fiito de coutos limitados é um couto limitado Demostração : Seam A i, i = 1,,..., k, coutos limitados. Por defiição, ara cada couto A i existe um real k i > 0 tal que x k i qualquer que sea x A i. Passado a cosiderar A = A 1 A... A k, sea k = máx k i ; coclui-se com faci-lidade que x k qualquer que sea x A, ou sea o couto A é igualmete limitado. P7 : A itersecção de coutos limitados (em qualquer úmero) é um couto limitado. Demostração: Basta otar que o subcouto de um couto limitado é igualmete limitado e que a itersecção de coutos é semre um subcouto de qualquer um deles. P8 : O derivado e o fecho de um couto limitado são coutos limitados Demostração : Basta fazer a demostração ara o derivado, orque sedo o derivado limitado, como o fecho (ou aderêcia) é a uião do couto com o seu derivado ele é igualmete limitado (roriedade P6). Sea A limitado e veamos etão que A é igualmete limitado. Sea V ε (a ) a vizihaça que cotém A e veamos etão que A V ε ( a ), o que rovará ser A igualmete limitado. Dado um qualquer y A, tem-se que em V ε ( y ) existe elo meos um xε y que ertece a A, logo também a V ε ( a ) ; etão or ser x ε ertecete a V ε ( a ) e V ε ( y ), tem-se que d( y, a ) d( y, x ε ) + d( x ε, a ) < ε, ou sea y V ε (a ) ; em coclusão, A V ε ( a ) como se queria rovar. 4. Potos imrórios em R Pelas mesmas razões que as aotadas ara o caso de R, omeadamete maior geeralidade e simlicidade de certos teoremas o âmbito da teoria dos limites, é usual cosiderar, ara além dos elemetos de R, os chamados otos imrórios. No caso resete, chama-se oto imrório a b = (b 1, b,..., b ) quado elo meos uma das coordeadas b i for um dos símbolos + ou -. As vizihaças dos otos imrórios defiem-se como segue: V ε (b ) = { (x 1,..., x ) : x i - b i < ε, se b i R ; x i > 1/ε, se b i = + ; 139

14 x i < - 1/ε, se b i = - }. Por exemlo, V ε (1, + ) = { (x, y) : 1 - ε < x < 1 + ε y > 1/ε }, couto a que corresode geometricamete a figura laa que a seguir se rereseta : y V ε (1, + ) 1/ε 1 - ε ε x Com esta atribuição de vizihaças, defie-se agora sem qualquer dificuldade o coceito de oto de acumulação imrório mas, em qualquer caso, o derivado de um couto ão se icluem os evetuais otos imrórios de acumulação. A defiição é a seguite: diz-se que (b 1, b,..., b ), com elo meos um dos b i ifiito (+ ou - ) é oto imrório de acumulação de X se só se em qualquer V ε (b ) se ecotra elo meos um oto x X. 140

15 5. Sucessões em R Geeralidades Uma sucessão de vectores de R é uma alicação de N em R. O vector u 1 que corresode ao atural 1 é o rimeiro termo da sucessão ; o vector u que corresode ao atural é o segudo termo da sucessão ; em geral, o vector u que corresode ao atural é o -ésimo termo geral ou aida termo de ordem da sucessão 1. Os termos de uma sucessão disõem-se or ordem crescete dos resectivos ídices (or ordem crescete dos aturais a que corresodem) : u 1, u,..., u,.... A cada termo u = (u 1, u,..., u ), corresodem as coordeadas reais u, com = 1,,,, elo que a sucessão de termo geral u fica erfeitamete cohecida se forem cohecidas as sucessões de reais de termos gerais u. Assim, o esaço R 3, a sucessão de termo geral u = (x, y, z ) fica erfeitamete cohecida se cohecermos as exressões aalíticas dos termos gerais das três sucessões reais x, y e z : or exemlo, x =, y =, z = ( 1) (1 + 1/ ) No desevolvimeto da teoria desemeha ael sigificativo o chamado couto dos termos de uma sucessão. Trata-se do couto U = { x : N : u = x }, couto que, deededo da sucessão, ode ser fiito ou ifiito umerável tal como o caso das sucessões reais. Uma sucessão u = (u 1, u,..., u ) de vectores de R diz-se limitada se e só se for limitado o couto U dos seus termos, o que equivale a existir um real k > 0 tal que u k, ara = 1,, 3,. Facilmete se coclui que sedo u limitada são também limitadas as sucessões reais u 1, u,..., u e iversamete. Com efeito, como u i u se u for sucessão limitada também o serão as sucessões u i ; iversamete se se tiver u i k i ( i = 1,,, ) ter-se-á, u k = 1 k + k k + L + ( = 1,, 3, ) Coceito de limite. Teoremas fudametais Diz-se que lim u = u (vector de R ou oto imrório) se só se : ε > 0, ε : > ε u V ε (u ). 1 Usa-se aqui a letra ara desigar a ordem do termo geral da sucessão, ara evitar cofusões com o úmero de dimesões do esaço. Porém, semre que se estea a cosiderar uma dimesão em cocreto ara o esaço (or exemlo os casos do R ou R 3 ) retomaremos o uso habitual da letra ara desigar a ordem do termo geral da sucessão 141

16 Sedo u vector de R, a codição u V ε (u ) ode escrever-se u u < ε. Sedo, or outro lado, u = (u 1, u,, u ) oto imrório, a codição u V ε (u ) equivale à verificação couta das seguites codições, u i u i < ε, ara os u i reais, u i > 1/ε, ara os u i = +, u i < -1/ε, ara os u i = -. As sucessões com limite ertecete a R dizem-se covergetes. O cálculo do limite de uma sucessão em R ão oferece qualquer dificuldade, ois reduz--se ao cálculo dos limites das sucessões reais cuos termos gerais são as coordeadas do termo geral daquela, os termos do teorema seguite: Teorema 1 : Sedo u = (u 1, u,..., u ) uma sucessão em R tem-se, lim u = u = (u 1, u,, u ) se e só se, lim u 1 = u 1, lim u = u,..., lim u = u Demostração : Cosideram-se searadamete dois casos, cosoate (u 1, u,, u ) sea um vector de R ou um oto imrório. 1º Caso : O oto (u 1, u,, u ) R. Neste caso, a) Se lim (u 1, u,..., u ) = (u 1, u,, u ), etão qualquer que sea ε > 0, existe uma ordem ε tal que ara > ε se tem, ( u1 u1 ) + ( u u ) + + ( u u ) L < ε ; etão a artir da mesma ordem, tem-se, u 1 u 1 < ε, u u < ε,..., u u < ε, o que rova ser lim u 1 = u 1, lim u = u,..., lim u = u. b) Iversamete, se lim u 1 = u 1, lim u = u,..., lim u = u, etão qualquer que sea ε > 0, existem ordes 1 ε, ε,..., ε, a artir das quais se tem resectivame-te, u 1 u 1 < ε /, u u < ε /,..., u u < ε / ; quadrado e somado, obtém-se ara > ε = Máx { 1 ε, ε,..., ε }, 14

17 ( u1 u1 ) + ( u u ) + + ( u u ) L < ε, o que mostra ser lim (u 1, u,..., u ) = (u 1, u,, u ). º Caso : O oto (u 1, u,, u ) é um oto imrório. Neste caso, a) Se lim (u 1, u,..., u ) = (u 1, u,, u ), etão qualquer que sea ε > 0, existe uma ordem ε tal que ara > ε se tem, u i u i < ε, ara os u i reais, u i > 1/ε, ara os u i = +, u i < -1/ε, ara os u i = -. sedo ortato, lim u 1 = u 1, lim u = u,..., lim u = u. b) Iversamete, se lim u 1 = u 1, lim u = u,..., lim u = u, etão qualquer que sea ε > 0, existem ordes 1 ε, ε,..., ε, a artir das quais se tem resectivame-te, u i u i < ε, ara os u i reais, u i > 1/ε, ara os u i = +, u i < -1/ε, ara os u i = -. sedo ortato, lim (u 1, u,..., u ) = (u 1, u,, u ). Veamos três exemlos de alicação. 1) Tem-se, ) Tem-se, lim [1/, /(+1), e ] = ( 0, 1, 0 ) lim [, /(+1)] = ( +, 1/ ) (oto imrório) 3) Não existe o lim [(-1), /(+1)], orque a sucessão real (-1) ão tem limite Estudam-se seguidamete algus teoremas imortates sobre limites. 143

18 Teorema : Sedo lim limite) u = u e v u ão ode ter-se lim u = v (uicidade do Demostração : Com v u é ossível, escolhedo ε > 0 suficietemete equeo, ter duas vizihaças V ε (u ) e V ε ( v ) sem elemetos comus (disutas). Ora, sedo lim u = u tem-se u V ε (u ) de certa ordem em diate ão odedo ortato ter-se u V ε ( v ) de certa ordem em diate, ou sea, ão ode ter-se lim Teorema 3 : Sucessão com limite ertecete a R é limitada u = v. Demostração : Se lim u = u R, tem-se de certa ordem 1 em diate u u < 1. Fazedo k = Máx {1, u 1 u, u u,, u u }, tem-se u u k ( = 1,, 3, ). Portato, u = u u + u u u + u k* = k + u, ara = 1,, 3,, o que mostra ser limitada a sucessão 1 u. Nos teoremas seguites itervém uma codição imortate verificada or certas sucessões. Uma sucessão de vectores de R verifica a codição de Cauchy se e só se, ε > 0, ε : > m > ε u - u m < ε. Prova-se com facilidade que as sucessões covergetes verificam a codição de Cauchy. Teorema 4 : Sedo lim Cauchy Demostração : Por ser lim u = u R, etão a sucessão u verifica a codição de u = u R, tem-se, ε > 0, ε : > ε u - u < ε /. Cosiderado > m > ε, temos etão, u - u m = u - u + u - m u u - u + u - u m < ε / + ε / = ε, ficado assim rovado que a sucessão verifica a codição de Cauchy. No teorema seguite vamos ver que, iversamete, se uma sucessão verifica a codição de Cauchy. etão tem como limite certo vector de R. 144

19 Teorema 5 : Se u verifica a codição de Cauchy, etão existe certo vector u R tal que lim u = u Demostração : A verificação or arte da sucessão u = (u 1, u,..., u ) da codição, ε > 0, ε : > m > ε u - u m < ε. imlica que cada uma das sucessões reais coordeadas u i ( i = 1,,, ) verifica a codição, ε > 0, ε : > m > ε u i u i m < ε, orque u i u i m u - u m, tal sigificado que essas sucessões reais verificam a codição de Cauchy, as quais ortato têm limites reais, lim u 1 = u 1, lim u = u,..., lim u = u De acordo com o teorema 1, tal garate que lim u = u = (u 1, u,, u ). Os teoremas que a seguir se demostram relacioam o coceito de limite de uma sucessão com algumas oções toológicas á estudadas. Teorema 6 : Sedo A R, a codição ecessária e suficiete ara que a ( a R, ou a imrório ) sea oto de acumulação de A é que exista exista uma sucessão u de elemetos de A, com ifiitos termos distitos de a, tal que lim = a Demostração : A codição é ecessária. Sedo a oto de acumulação de A, em qualquer V ε (a ) existe elo meos um u ε a ertecete a A. Tomado etão ε = 1/, tem-se que em V 1/ ( a ) existe um u a ertecete ao couto A. Veamos que se tem lim u = a : dado um qualquer ε > 0, tem-se ara > ε (com certa ordem ε ) que 1/ < ε e ortato, > ε u V 1/ ( a ) [ V 1/ ( a ) V ε ( a ) ] u V ε ( a ), assim se cocluido que lim u = a. A codição é suficiete. Se existe uma sucessão termos distitos de a tal que lim u u de elemetos de A com ifiitos u = a, veamos que a é oto de acumulação de A. Dada uma qualquer V ε ( a ) ela se ecotram todos os termos diate (or ser lim u de certa ordem em u = a ) e ortato, dado haver ifiitos termos da sucessão 145

20 distitos de a, ela se ecotra elo meos um elemeto de A distito de a, logo a é oto de acumulação do couto A, como se retedia rovar. Teorema 7 : Um vector a é aderete de um couto A R sucessão u de elemetos de A tal que lim u = a se e só se existe uma Demostração : Se a Ad A = A A, ou a A ou a A. No rimeiro caso, a sucessão de termo geral u = a A tem or limite o oto a ; o segudo caso, ou sea, se a A, o teorema 6 garate que existe uma sucessão u de elemetos de A que tem or limite o oto a. Iversamete, se existe uma sucessão u de elemetos de A que tem or limite o oto a, das duas uma: ou os termos da sucessão são todos iguais a a de certa ordem em diate e etão a A ; ou há ifiitos termos u distitos de a e etão elo teorema 6 tem-se a A ; em qualquer dos casos a Ad A = A A. Teorema 8 : Um couto A R é fechado se e só se, qualquer que sea a sucessão u de elemetos de A tedo como limite certo vector de R, esse limite ertece ao couto A Demostração : Se A é fechado, etão A = Ad A. Sea elemetos de A tal que a = lim a Ad A, logo ertece a A. u uma qualquer sucessão de u ( a R ) ; etão, elo teorema 7, esse a ertece Iversamete, se ara qualquer sucessão u de elemetos de A com limite em R esse limite ertece a A, etão A = Ad A (ou sea, A é fechado). Basta rovar que Ad A A, orque a iclusão cotrária é semre verdadeira. Ora dado um qualquer a Ad A, o teorema 7 garate a existêcia de uma sucessão u de elemetos de A e com limite a = lim u e ortato, or hiótese, a A. Fica assim rovada a iclusão deseada Sublimites. Teoremas fudametais Dá-se o ome de subsucessão da sucessão u 1, u,..., u,... a qualquer sucessão u, u,..., u,... em que os 1 costituem uma sucessão estritamete crescete de úmeros aturais. Claro que se lim u = u, também lim = u, orque se a artir de certa ordem ε se tem u V ε (u ), a artir dessa mesma ordem tem-se u também V ε (u ), orque > ε > ε. Note-se que esta roriedade é válida mesmo o caso mais geral em que é uma sucessão de úmeros aturais, ão ecessariamete crescete, desde que lim = + : com efeito, sedo ε a ordem a artir da qual se tem u V ε (u ) e sedo k ε a ordem a artir da qual se tem > ε, u 146

21 resulta que > k ε > ε u. u V ε (u ), assim se cocluido que lim u = Os limites das subsucessões de uma sucessão de chamam-se sublimites da sucessão origial. O teorema seguite tem grade utilidade rática a determiação dos sublimites de uma sucessão : Teorema 9 : Dada a sucessão fiito : u cosiderem-se as seguites subsucessões em úmero u, u,..., u,..., com limite 1 uβ, uβ,..., uβ,..., com limite β 1. uω, uω,..., uω,..., com limite ω 1 e admita-se que cada termo u da sucessão está uma e uma só das subsucessões cosideradas. Nessas codições, ehum λ, β,, ω ode ser sublimite de u, ou sea, a sucessão aeas admite os sublimites, β,, ω Demostração : Dado λ, β,, ω fixe-se ε > 0 suficietemete equeo de tal forma que a vizihaça V ε (λ ) ão teha otos em comum com ehuma das vizihaças V ε ( ), V ε (β ),, V ε (ω ). Todos os termos de exceto quado u muito um úmero fiito deles ertecem a V ε ( ) ; todos os termos de u β exceto quado muito um úmero fiito deles ertecem a V ε (β ) ; etc. Como as subsucessões são em úmero fiito e elas se ecotram todos os termos de u, ode cocluir-se que quado muito aeas um úmero fiito de termos u oderão ertecer a V ε (λ ), o que exclui a ossibilidade de λ ser sublimite da sucessão. Estudam-se seguidamete algus imortates teoremas evolvedo o coceito de sublimite. Teorema 10 : Qualquer sucessão com limite (vector de R ou imrório) u de vectores de R, admite uma subsucessão Demostração : Vamos usar o método de idução matemática alicado sobre o úmero de dimesões do esaço. Para = 1 o teorema é verdadeiro, ois esse caso trata-se de uma sucessão de úmeros reais ara os quais á sabemos existir semre um sublimite, fiito ou ifiito. u 147

22 Admita-se o teorema verdadeiro ara = k (hiótese de idução) e veamos que é também verdadeiro ara = k + 1. Dada a sucessão u = (u 1, u,..., u k, u k+1 : ) de vectores de R k+1 *, a sucessão u = (u 1, u,..., u k ) de vectores de R k admite uma * subsucessão com limite (hiótese de idução) ; sea u = ( u 1, u u,..., k ) a * subsucessão em causa e u = ( u1, u,..., u k ) o resectivo limite (vector de R k ou imrório). A sucessão real uk+ 1 : ode ão ter limite, mas admite or certo uma subsucessão com limite (fiito ou ifiito) ; sea uk+ 1 : β essa subsucessão e u k+1 o resectivo limite. Dado que os β são algus dos, u β = ( u * 1 β, u u β,..., k β ) é uma subsucessão de u = ( u1, u,... u ) e, ortato, *, k etão, lim u β = lim ( u lim * u β = lim * * u = u = u, u,..., ) ; ( 1 1 β u β,..., u k β, u k 1 : β, + ) = ( u, u,..., u k, u k 1),. u k 1 + existido ortato uma subsucessão de R k ou imrório). u β da sucessão origial u que tem limite (vector São corolários imediatos deste teorema, os seguites: u de vectores de R, admite uma subsuces- Corolário 1 : Qualquer sucessão limitada são u com certo limite vector de R Demostração : O teorema aterior garate a existêcia de uma subsucessão com limite, vector de R ou imrório. Mas sedo limitada a sucessão, são também limitadas as sucessões reais suas coordeadas as quais, ortato, ão admitem sublimites ifiitos. Nessas codições a sucessão de vectores u ão ode admitir qualquer sublimite imrório orque tal equivaleria a que elo meos uma das sucessões reais coordeadas tivesse limite ifiito. Corolário : Sedo A R um couto limitado e ifiito, existe elo meos um vector a R que é oto de acumulação de A (Teorema de Bolzao-Weierstrass) Demostração : Com elemetos do couto ifiito A é ossível costruir uma sucessão u de termos todos distitos; claro que se trata de uma sucessão limitada (o couto dos seus termos está cotido o couto limitado A) e admite ortato um sublimite a = lim u ertecete a R (corolário 1). O teorema 6 garate etão que a é oto de acumulação do couto A 148

23 Teorema 11 : Para que um certo b ( b R ou imrório) sea sublimite de uma suces-são u de vectores de R é ecessário e suficiete que ara qualquer V ε ( b ) e qualquer iteiro m, exista um iteiro k > m tal que u k V ε ( b ) Demostração : A codição é evidetemete ecessária. Veamos que é igualmete suficiete. Suodo a codição verificada, defia-se a subsucessão u de u ela seguite codição: 0 = 1 e é o meor iteiro maior que -1 que faz u V 1/ ( b ). Como 1/ < ε a artir de certa ordem ε, tem-se u V 1/ ( b ) V ε ( b ), a artir dessa mesma ordem, ou sea, b = lim u, logo b é sublimite de u. Teorema 1 : A codição ecessária e suficiete ara que uma sucessão de R teha limite é que ão admita dois sublimites distitos. u de vectores Demostração : Que a codição é ecessária ficou demostrado as cosiderações que imediatamete recedem o coceito de sublimite. Como se viu etão, se lim u = u, também lim u = u, qualquer que sea a subsucessão u. Veamos que a codição é também suficiete. Admita-se etão que u (vector de R ou imrório) é o úico sublimite da sucessão u. Caso a sucessão u ão tivesse u como limite, etão existiria um certo ε > 0 tal que u V ε (u ) ara ifiitos valores de, seam eles or ordem crescete 1,,...,,... ; a corresodete subsucessão u ão oderia evidetemete ter u como limite em como sublimite mas admitiria um sublimite (elo teorema 10) o qual seria assim distito de u ; este sublimite seria também um sublimite da sucessão iicial u, cotrariado-se assim a hiótese assumida de u ser o úico sublimite desta sucessão. Teorema 13 : O couto S dos sublimites vectores de R de uma sucessão couto fechado u é um Demostração : Podemos suor que S, ois o caso de S ser vazio é obviamete fechado. Para rovar que S é fechado bastará rovar que S S. Dado u S, em qualquer V ε (u ) existe elo meos um uε u ertecete a S, or defiição de oto de acumulação. Claro que esse u ε, or ertecer a S, será limite de uma certa subsucessão u de u. Fazedo δ = ε - d( u ε, u ) > 0, tem-se que todos os termos de u se ecotram em V δ ( u ε ) de certa ordem ε em diate; etão, dado um qualquer iteiro m, basta escolher 0 a verificar > m e 0 > ε ara se ter, com k = > m,

24 d( u k, u ) d( u k, u ε ) + d( u ε, u ) < δ + d( u ε,u ) = ε, ou sea, u k V ε (u ) ; tal sigifica, de acordo com o teorema 11, que o oto u é sublimite da sucessão u, ou sea, u S. Assim se rova que S S, ou sea, que o couto S é fechado. 150

25 6. Exercícios 1 - Em R e defia-se ara x = ( x 1, x,..., x ), x 1 = = 1 x x = Máx { x 1, x,..., x } a) Mostre que x 1 e x defiem ormas em R ; b) Escreva as exressões das corresodetes distâcias em R ; c) No caso =, iterrete geometricamete d 1 ( x, y ) e d ( x, y ) ; d) No caso =, iterrete geometricamete as vizihaças corresodetes às duas distâcias da alíea aterior. - Determie o iterior, a froteira, o exterior, o derivado e aderêcia ou fecho de cada um dos seguites subcoutos de R : a) A = { (x, y) : y + x 1, x 0 e y 0 } ; b) B = { (x, y) : y + x < 1 } ; c) C = { (x, y) : x = ( N ) e 0 y + x 1 } ; + 1 d) D = { (x, y) : x = y = + ( N ) } ; e) E = Q, em que Q desiga o couto dos úmeros racioais ; f) F = { (x, y) : 0 < x /π e y = se (1/x) }. 3 - Calcule os limites (rórios ou imrórios) das seguites sucessões em R 3 : 1 1 a) x = [, ( 1 + ), log( 1 + ) ] ; b) x = ( 1 +, 1, ) ; c) x = ( u, v ), em que ( u, v ) é solução do sistema: v + u + 1 = ( + 1) v u + 3 =

26 4 - Calcule os sublimites das seguites sucessões : a) u = ( 1), ( 1) ; b) [ s e ( π / ), c o s ( π / ), c o s ( π )] u = ; π c) u = ( 1). c o s ( π / ), t a g π + ( 1) Cosidere os seguites subcoutos de R : B = {(x, y) : (x, y) R x + y = 1/ } ( N ) a) Justifique que os coutos B são fechados ; e em seguida diga, ustifi- b) Justifique que (0, 0) é oto de acumulação de B = U B =1 cado, se o couto B é ou ão fechado. 6 - Determie a aderêcia do couto A = { (1/, 1/m) :, m N }. 7 - Dê exemlo de um couto B R cua froteira sea distita da froteira do resectivo iterior. 8 - Sedo A = {(x, y) : (x, y) R x + y 1/ }( N ), determie lim A, ustifique que este couto é aberto e idique a resectiva froteira. 9 - Sedo A = {(x, y) : (x, y) R y (-1 ). x + 1/ }( N ), utilize uma argumetação geométrica ara determiar o iterior, a froteira e o derivado do couto A = lim mi A Sedo A = {(x, y) : (x, y) R 1/ x - y < }( N ), a) Utilize uma argumetação geométrica ara determiar o iterior, a froteira e o derivado do couto A = lim A ; b) Diga ustificado se o couto A é ou ão aberto ; c) Diga ustificado se o couto A é ou ão fechado. 15

27 RESPOSTAS - a) INT A = {(x, y) : y + x < 1, x > 0, y > 0 }, FRONT A = {(x, y) : y + x = 1, 0 < x < 1} { (x, 0) : 0 x 1 } {(0, y) : 0 y 1}, EXT A = R - A, A = Ad A = A ; b) INT B = B, FRONT B = {(x, y) : x + y = 1 }, EXT B = R - {(x, y) : x + y 1 }, B = Ad B = {( x, y) : x + y 1 } ; c) INT C =, FRONT C = C {(1/, y) : -1/ y 1/ }, EXT C = R - [ C {(1/, y) : -1/ y 1/ }], C = Ad C = C {(1/, y) : -1/ y 1/ } ; d) INT D =, FRONT D = D { (1,1) }, EXT D = R - [ D { (1,1) }], D = { (1,1) }, Ad D = D { (1,1) } ; e) INT E =, FRONT E = R, EXT E =, E = Ad E = R ; f) INT F =, FRONT F = F {(0, y) : -1 y 1 }, EXT F = R - [F {(0, y) : -1 y 1}], F = Ad F = F {(0, y) : -1 y 1 }. 3 - a) (1/, e 1/3, 1) ; b) (0, 1, ) ; c) (/3, 0). 4 - a) ( 1, -1/) e (-1, 1/) ; b) (0, 1, 1), (0, -1, 1), (1, 0, -1) e (-1, 0, -1) ; c) (1, + ), (-1, + ) e (0, - ). 5 - b) B Não é fechado. 6 - Ad A = A {(1/, 0) : N } {(0, 1/m) : m N } {(0, 0)}. 7 - B = {( x, y) : x + y 1} {(, )}. 8 - FRONT (lim A ) = {(0, 0)}. 9 - INT A = {( x, y) : y < x } {( x, y) : y < - x }, FRONT A = {( x, y) : y = x x 0 } {( x, y) : y = - x x 0 }, A = {( x, y) : y x } {( x, y) : y - x } a) INT A = {( x, y) : 0 < x - y < }, FRONT A = {( x, y) : y = x } {( x, y) : y = x }, A = {( x, y) : 0 x - y }. b) É aberto ; c) Não é fechado. 153