Técnicas de contagem 1 Introdução. 2 Sequências

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1 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa 1 Itrodução Muitos roblemas em Probabilidades e Estatística cosistem em estimar a icerteza associada a um eveto ou acotecimeto, o que imlica frequetemete determiar o úmero de elemetos associados a esse eveto. ssim, éoortuoitroduzirumcojutodemétodosqueosermitemfazê-lo raidamete e sem eumerar exaustivamete todos os elemetos. Um bom ricíio ara resolver um roblema difícil, é dividi-lo em roblemas mais simles. Este ricíio também é usado os rocessos de cotagem, em que se decomõe um roblema comlexo, uma sequêcia de roblemas elemetares e ideedetes. O úmero de resultados do roblema origial, será o roduto do úmero de resultados dos roblemas elemetares. tete-se o seguite exemlo. Exemlo 1.1. Um dado tetraédrico tem quatro lados umerados (de 1 a 4) eoresultadodoseulaçametoéoúmerodafacequeassetara mesa. osidere o jogo que cosiste em laçar sucessivamete uma moeda e um dado tetraédrico. moeda determia se o jogador recebe (saída de face) ou aga (saída de coroa) à baca e o dado estabelece a imortâcia emeuros. Qual é o cardial do esaço amostral associado a este jogo? 1 2 Recebe (F) 4 1 Paga () 2 4 1/12 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Olaçametodamoedatem2resultadoseododadotetraédricotem 4. Etão, o laçameto sequecial da moeda e do dado origia 2 ˆ 4 8 resultados diferetes. O diagrama em árvore mostra todos os resultados ossíveis do jogo. Teorema 1.1 (Pricíio fudametal de cotagem). Se um eveto ode ocorrer de 1 maeiras distitas e se, ideedete deste, um segudo eveto ode ocorrer de 2 maeiras distitas, etão os dois evetos seguidos odem ocorrer de 1 ˆ 2 maeiras distitas. Para r evetos, tem-se 1 ˆ 2 ˆ ˆ r. Oroblemadecotagemaresetadoevolveumúmeroreduzido de elemetos, o que de certa forma facilita a cotagem. Quado o úmero de elemetos é elevado, a cotagem elo rocesso descrito é raticamete imossível e, estes casos, recorre-se à aálise combiatória. ssim, a aálise combiatória ode ser etedida como um cojuto de rocessos alterativos esimlificadosdecotagem. Partimos semre de um cojuto com um úmero fiito de elemetos (úmeros, essoas, objectos, letras, etc). om os elemetos dessecojuto formam-se sequêcias ou subcojutos. O rocesso de cálculo doúmero de sequêcias que é ossível formar vai deeder de dois factores: a ordem dos seus elemetos e a sua reetição, que ode ou ão existir. Na formação de subcojutos ão iteressa a ordem e a reetição dos elemetos ode existir ou ão. Em rimeiro lugar, vamos cosiderar os casos em que a cotagem iteressa a ordem (arrajos e ermutações, com e sem reetição) e, em segudo, os casos em que ão iteressa a ordem (combiações, com e sem reetição). tes do estudo de qualquer uma destas formas de cotar vamos areder osigificadodefactorialdeumúmeroatural. efiição 1.1. Sedo P N, dá-seoomedefactorialde ou -factorial e rereseta-se simbolicamete or!, ao roduto dos úmeros aturais que são meores ou iguais a, istoé: ovecioa-se que: 0! 1. 2 Sequêcias! ˆ 1qˆ 2qˆ ˆ2 ˆ 1. efiição 2.1. esigamos or sequêcias de elemetos os gruos de elemetos de um cojuto aos quais se ode atribuir uma ordem equediferem coforme essa ordem varia. 2/12

2 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa 2.1 rrajos com reetição efiição 2.2. esigamos or arrajo com reetição ou arrajo comleto uma qualquer sequêcia formada or elemetos de um dado cojuto, sedo ossível a reetição de elemetos. Se o cojuto tiver elemetos, desigaremos or 1 oúmerototaldearrajoscomreetiçãoqueéossívelformar com elemetos escolhidos de etre os dados. 1 lê-se arrajos com reetição de, a. Temos: 1. Exemlo 2.1. Pretedem-se formar alavras-chave com três letras, com ou sem setido, com as habituais 2 letras. Quatas alavras-chave distitas se odem formar? Trata-se de um exemlo clássico de arrajos com reetição ois odem existir alavras-chave com as três letras iguais. ssim temos arrajos com reetição de 2 letras, a : rrajos sem reetição efiição 2.. esigamos or arrajo sem reetição ou simlesmete arrajo uma qualquer sequêcia formada or elemetos, todos diferetes, de um dado cojuto. Se o cojuto tiver elemetos, desigaremos or oúmero total de arrajos sem reetição que é ossível formar com elemetos escolhidos de etre os dados. lê-se arrajos de, a. Éevideteque ď. Seja x 1,x 2,...,x q um dos arrajos de elemetos, todos distitos, escolhidos de etre elemetos de um dado cojuto. Existem etão maeiras de escolher x 1,quedeoisdeesteescolhido,existem 1 maeiras de escolher x 2,eassimsucessivameteatéx.Logotemos: ˆ 1qˆ 2qˆ ˆ ` 1q! q!. Exemlo 2.2. Suoham-se dez atletas. e quatas maeiras diferetes ode vir a ser feita a distribuição de três medalhas? Existem dez ossibilidades ara o 1 o lugar, ove ara o 2 o lugar e oito ara o o lugar. Formalizado a resosta temos ˆ 9 ˆ ossibilidades ou 10 10! 10 q! 720. Exemlo 2.. Suoham-se três atletas. e quatas maeiras diferetes ode vir a ser feita a distribuição das três medalhas? Existem três ossibilidades ara o 1 o lugar, duas ara o 2 o lugar e uma ara o o lugar. Formalizado a resosta temos ˆ 2 ˆ 1 ossibilidades. Este exemlo é etão um caso muito articular de arrajos, ois todos os elemetos do cojuto em causa figuram em cada um dos arrajos cosiderados, isto é, trata-se de calcular quado temos, oqueos coduz à exressão, ˆ 1qˆ ˆ2 ˆ 1. No etato esta situação embora seja um caso articular da defiição aterior, tem o cotexto do cálculo combiatório, um tratameto esecial, que motiva a róxima defiição. 2. Permutações efiição 2.4. hama-se ermutação de elemetos de um cojuto a um qualquer arrajo em que todos os elemetos desse cojuto figurem, ão havedo elemetos reetidos. esigaremos or P oúmerototaldeermutações de elemetos, ledo-se ermutações de : P ˆ 1qˆ 2qˆ ˆ2 ˆ 1!. Exemlo 2.4. Suoham-se três atletas. e quatas maeiras diferetes ode vir a ser feita a distribuição das três medalhas? P! ˆ 2 ˆ Permutações comletas efiição 2.5. hama-se ermutação comleta de elemetos de um cojuto a um qualquer arrajo em que todos os elemetos desse cojuto odem figurar, odedo haver elemetos reetidos. esigaremos or P 1 oúmero total de ermutações comletas de elemetos, ledo-se ermutações comletas de : P 1. Exemlo 2.5. osidere-se o cojuto formado elos elemetos 1, 2,, 4, 5q. Quatas sequêcias formadas or 5 elemetos se odem ter? P /12 4/12

3 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa 2.5 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa rrajos circulares esigamos or arrajo circular uma qualquer sequêcia formada or elemetos em círculo, todos diferetes, de um dado cojuto. Se o cojuto tiver elemetos, o úmero total de arrajos circulares que é ossível formar com elemetos escolhidos de etre os dados é dado or: diferete corresode um gruo de 4 arrajos, que ão deverão ser tidos em cota or corresoderem à mesma situação. É or esta razão que a rimeira fórmula surge dividida or, obtedo-se:! q!! q!!. q! e a seguda fórmula simlificada, dividido or, obtedo-se: Por outro lado, dados elemetos, o úmero de formas diferetes de os disor em círculo, tedo em cota as osições relativas que ocuam etre si, é dado or: P 1 1q!! P 1q! P 1. Exemlo 2.6. e quatas maeiras diferetes é ossível disor 5 essoas à volta de uma mesa circular que só disõe de lugares? Para mais facilmete se etederem as duas fórmulas aresetadas, cosideremos um exemlo com 4 elemetos, que retedemos setar uma mesa redoda com 4 lugares. osideremos aida as seguites figuras: 5 5! 5 q! 5! 20. ˆ 2! Exemlo 2.7. e quatas maeiras diferetes é ossível disor 5 essoas à volta de uma mesa circular? P5 1 P4 4! 4 ˆ ˆ 2 ˆ omo se ode verificar, os arrajos,, e, reresetam o mesmo caso, havedo aeas uma rotação os lugares ocuados elas diferetes essoas em volta da mesa, ou seja, matedo semre as mesmas osições relativas etre si. ssim, este caso, a cada arrajo circular Subcojutos ombiações sem reetição efiição.1. hamamos combiação a um qualquer subcojuto formado or elemetos diferetes escolhidos de etre os elemetos de um dado cojuto. Se o cojuto tem elemetos, desigamos or combiações ˆ de elemetos, a, e reresetamos simbolicamete or ou. Te mos: ˆ!.! q! 5/12 Evidetemete, e são, como habitualmete, úmeros aturais. lém disso, deve ser ď. Note que é o úmero de subcojutos com elemetos de um cojuto de cardial. Este resultado também ode ser obtido fazedo. P 6/12

4 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Exemlo.1. Oito jogadores disutam um toreio de xadrez, elo que cada um deles deve jogar com todos os outros, mas aeas uma vez. Quatos jogos haverão este toreio? Este exemlo ilustra a defiição aterior orque cada dois jogadores só se ecotra uma úica vez. ssim, este toreio terá: jogos ombiações comletas 8! 2! 8 2q! 8 ˆ 7 ˆ 6! 8 ˆ !6! 2 efiição.2. hamamos combiações comletas de elemetos tomados a ao úmero de gruos que se odem costituir com dos elemetos de um cojuto, odedo haver elemetos reetidos, sedo arbitrário o úmero de vezes que se reete cada elemeto. Temos: 1 ` 1q!! 1q!. Observe-se que é ossível determiar o valor de 1 usado a fórmula das combiações sem reetição, uma vez que 1 ` 1. Exemlo.2. Suoha-se o seguite cojuto t1, 2,, 8, 10u. Quatosgruos de três elemetos se odem formar? ` 1q!! 5 1q! 4 asos eseciais 7!!4! 7 ˆ 6 ˆ 5 ˆ 4! 210!4! 6 5. Oúmerodesequêciasdiferetesde elemetos, dos quais 1 são de um tio, 2 de um segudo tio,..., e k de um k-ésimo tio, e em que 1 ` 2 ` ` k, é: Observe-se aida que: P 1, 2,..., k q! 1! 2! k!.! 1! 2! k! 1 ˆ 1 2 ˆ 1 2 ˆ ˆ 1 k 1 k, com 1 k 1 k. Exemlo 4.1. Quatos úmeros distitos de ove algarismos se odem escrever com três algarismos 1, quatroalgarismos2 edoisalgarismos? P, 4, 2q 9!!4!2! 9 ˆ 6 4 ˆ Oúmerodemaeirasdiferetesdedividir elemetos em k gruos, com 1 o rimeiro gruo, 2 o segudo gruo,..., e k o k-ésimo gruo, eemque 1 ` 2 ` ` k, é: P 1, 2,..., k q! 1! 2! k!. Observe-se que a ordem dos elemetos do mesmo tio ou dos que estão detro do mesmo gruo ão iteressa. Exemlo 4.2. Uma emresa resolveu cotratar dez essoas ara executarem três tarefas ão qualificadas. Uma das tarefas ecessita de quatro trabalhadores e cada uma das restates de três trabalhadores. e quatas maeiras diferetes odem ser seleccioados os trabalhadores ara as tarefas? P 4,, q 10! 4!!! 10 4 ˆ 6 ˆ Quadro e esquema resumo Objectivo Em que om reetição Sem reetição Gruos de Iteressa Permutações comletas Permutações elemetos a ordem P 1 P! Gruos de Iteressa rrajos comletos rrajos aordem 1! q! elemetos Não iteressa ombiações comletas ombiações de aordem 1 ` 1q!! 1q!!! q! 7/12 8/12

5 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Iteressa a ordem dos elemetos? Não Os elemetos odem reertir-se? Sim Não Sim 1 ` 1q!! 1q!!! q! 6 Triâgulo de Pascal Liha 0 ÝÑ 1 Liha 1 ÝÑ 1 1 Liha 2 ÝÑ Liha ÝÑ 1 1 Liha 4 ÝÑ Liha 5 ÝÑ Liha ÝÑ 6.1 Proriedades do triâgulo de Pascal No triâgulo de Pascal verifica-se que: Os úmeros dos lados oblíquos são semre iguais a 1; Os elemetos odem reertir-se? Não Sim Etram todos os elemetos a sequêcia? Não Sim 1 P!! q! ada termo de uma liha (exceto os dos extremos) é igual à soma dos que estão acima; Em cada liha os termos equidistates dos extremos são iguais. 6.2 Proriedades das combiações sem reetição OtriâgulodePascalodeserescritousadocombiações Ó Ó Ó /12 10/12

6 Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa Istituto Suerior de Egeharia de Lisboa s roriedades do triâgulo de Pascal odem ser trasortadas ara as combiações. ssim: em cada liha, o rimeiro e o último é 1: 0 1; em cada liha, os termos equidistates dos extremos são iguais: ; cada termo de uma liha (exceto os dos extremos) é igual à soma dos que estão acima: ` `1 `1 `1 ; 0 ` 1 ` 2 `...` 2. 7 iómio de Newto No desevolvimeto de a ` bq os coeficietes dos termos igualmete afastados dos extremos são iguais. Se éarhaveráumtermomédio eortatoterãodesecalcularoscoeficietesatéessetermo,iclusive; Otermodeordem ` 1 é T `1,sedo: ou T `1 a b T 1 a `1 b 1. s últimas exressões ermitem calcular qualquer termo, cohecida a sua ordem, sem que seja ecessário escrever todo o desevolvimeto. Observemos a seguite figura: a ` bq 0 ÝÑ 1 a ` bq 1 ÝÑ 1a ` 1b a ` bq 2 ÝÑ 1a 2 ` 2ab ` 1b 2 a ` bq ÝÑ 1a ` a 2 b ` ab 2 ` 1b a ` bq 4 ÝÑ 1a 4 ` 4a b ` 6a 2 b 2 ` 4ab ` 1b 4 ÝÑ Notemos que o desevolvimeto de a ` bq tem-se: Ograudooliómiododesevolvimetodea ` bq é ; Os coeficietes são os úmeros do triâgulo de Pascal. Temos a fórmula do biómio de Newto: a ` bq 0 a ` 1 a 1 b ` 2 a 2 b 2 `...` 1 ab 1 ` b ÿ a b Proriedades do iómio de Newto Observado a fórmula e atededo às roriedades das combiações estudadas oderíamos cocluir que: Odesevolvimetodea ` bq tem ` 1 termos; 11/12 12/12