Combinações simples e com repetição - Teoria. a combinação de m elementos tomados p a p. = (*) (a divisão por p! desconta todas as variações.

Transcrição

1 obiações siles - Defiição obiações siles e co reetição - Teoria osidereos u cojuto X co eleetos distitos. No artigo Pricíios Multilicativos e Arrajos - Teoria, aredeos a calcular o úero de arrajos de eleetos deste cojuto. Ao calcularos A, é levada e cosideração a orde dos eleetos escolhidos. Ua cobiação siles seria a escolha destes eleetos de X, ode a orde dos teros escolhidos é irrelevate. Rereseteos or a cobiação de eleetos toados a. A Podeos escrever a seguite equação: = (*) (a divisão or! descota todas as variações! ossíveis ara ua dada escolha de eleetos). A artir de (*), odeos chegar à seguite fórula: Exercícios Resolvidos! ( )!! = =.!!! ( ) Exercício Resolvido 0) Quatos gruos de essoas ode ser otados co 8 essoas? Ora, quereos escolher essoas detre 8, sedo que a orde da escolha é irrelevate. Teos, 8! 8 7 ortato 8 = = = aeiras de escolheros estes gruos. 8!! ( ) Exercício Resolvido 0) Resolva a seguite equação A =. 4 4!! A = = = = 7.! 4!4! 4 ( ) ( ) Exercício Resolvido 0) Dadas duas retas aralelas, toa-se 8 otos sobre ua delas e sobre a outra. Quatos triâgulos existe co vértices os otos cosiderados? Reare que cotar o úero de triâgulos é, a realidade, escolher otos detre todos os.

2 Alé do ais, coo ão iorta a orde dessa escolha, o úero total de triâgulos seria! = = = 8.! 0! Poré, deveos otar que estaos tabé escolhedo otos colieares, que logicaete ão costitue u triâgulo. Deveos, ois, retirar de 8 estas cotages. Tereos ortato: 8 = 8 0 = 0 triâgulos. 8 Exercício Resolvido 04) Ua eresa distribuiu u questioário co três ergutas a cada cadidato a erego. Na rieira, o cadidato deve declarar sua escolaridade, escolhedo ua das cico alterativas. Na seguda, deve escolher, co orde de referêcia, três de seis locais ode gostaria de trabalhar. Na últia, deve escolher os dois dias da seaa e que quer folgar. Quatos questioários ode o exaiador ecotrar? Reareos que o úero total de questioários é A ( ) = 4 = 00. Exercício Resolvido 0) Resolva a seguite equação = 0. ( ) ( ) ( ) = 0 = 0 = 0, = =. oo, deveos ecessariaete ter =. Exercício Resolvido 0) U salão te seis ortas. De quatos odos distitos esse salão ode estar aberto? i) cosiderado ua úica orta aberta: ii) cosiderado duas ortas abertas: iii) cosiderado três ortas abertas: 4 iv) cosiderado quatro ortas abertas: v) cosiderado cico ortas abertas: vi) cosiderado todas as ortas abertas: 0 = = 0 Logo tereos = = = aeiras deste salão estar aberto.

3 Podeos, iclusive, geeralizar este roblea. Se cosiderásseos que o salão ossui ortas, teríaos o seguite total: = =. 0 = = 0 Exercício Resolvido 07) alcular o úero de diagoais de u olígoo regular de lados. Ua diagoal de u olígoo é, a realidade, ua siles reta. Dados otos distribuídos e u lao, teos retas cujos extreos são estes otos. Descotado os lados do olígoo, teos o ( ) ( ) total = = diagoais. Exercícios Resolvido 08) (IME) E cada ua das (seis) faces de u cubo, costruiu-se ua circuferêcia, ode fora arcados otos. osiderado que 4 (quatro) otos ão ertecetes à esa face ão seja colaares, quatas retas e triâgulos, ão cotidos as faces desse cubo, são deteriados or estes otos? Teos retas, sedo que ertece às faces do cubo. Assi tereos ( ) ( ) = = retas ão ertecetes às faces do cubo. Teos triâgulos, sedo que ertece às faces do cubo. Assi tereos = ( 7 ) triâgulos ão ertecetes às faces do cubo. obiações co reetição Defiição osidereos aida u cojuto X co eleetos distitos. Escolhaos agora eleetos ão ecessariaete distitos (reare que ode ser suerior a ). Aós esta escolha, reagrueos estes eleetos seguido a esa orde de X. Ao úero de aeiras de reagruaros tais eleetos, deoiaos cobiação co reetição de eleetos toados a, cuja otação é. Toeos coo exelo X { a, b, c, d} destaqueos as seguites: re = e =. Detre todas as ossibilidades de reagruaeto, i) { aabbbc,,,,, } ii) { abbccc,,,,, } iii) { aaaaaa,,,,, }

4 Podeos utilizar ua otação u ouco difereciada agora. Rereseteos os eleetos iguais or # e a cada udaça de eleetos, odeos utilizar % coo otação ara essa trasição. Tereos etão: i) { aabbbc,,,,, } = {#,#,%,#,#,#,%,#,%} ii) { abbccc,,,,, } = {#,%,#,#,%,#,#,#,%} iii) { aaaaaa,,,,, } = {#,#,#,#,#,#,%,%,%} Reare que, ara cotar o úero total de cobiações co reetição, basta escolheros esaços + 4 disoíveis. detre os 9 ( ) Através de u argueto seelhate, odeos deostrar que re = +. (Prove essa assertiva!) Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido 0) Quatas são as soluções ositivas da equação x = 9? = Ora, rieiraete, deveos otar que * x +. Podeos escrever o 9 da seguite aeira:. Deveos agora iserir 4 siais de + a fi de obter soa igual a 9. Duas ossibilidades seria: i) = = 9. ii) = = 9. Reare que cotar o úero de soluções iteiras ositivas é, ortato, escolher, detre 8 lacuas, 4 ara iseriros o sial de +. Portato a resosta ara o roblea é = Extra: Geeralização do Exercício Resolvido 0: Provar que o úero de soluções iteiras ositivas da equação x = é. (Prove essa assertiva utilizado argueto seelhate ao da solução = acia!) Exercício Resolvido 0) Quatas são as soluções ositivas ou ulas da equação x =? =

5 Deveos otar que x +. Assi, cosidereos tal que y = x +. Assi, tereos de * y + aalisar o úero de soluções da seguite equação: ( ) y = y = +. Pelo exercício = =. + extra, odeos cocluir que o úero de soluções ositivas ou ulas ara esta equação é