Assumindo que a um sistema estável e linear é aplicada uma entrada, por exemplo, então a saída que se obteria seria y ( t)

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1 . Resosta e frequêcia.. Itrodução Assuido que a u sistea estável e liear é alicada ua etrada, or exelo u ( t) Asi( t), etão a saída que se obteria seria y ( t) B si( t + Φ) (ver Ogata). Portato u sistea liear estável e ivariate o teo sujeito a ua etrada siusoidal, terá, e regie estacioário, ua saída siusoidal co a esa frequêcia da etrada. A alitude e a fase da saída serão, e geral, diferetes das da etrada. Existe ua relação etre a etrada e a saída que ode ser exressa elo ódulo e ela fase da fução de trasferêcia: Y ( s) B G( s) fução de e arâetros de G(s) U ( s) A G (s) Φ fução de e arâetros de G(s) Esta ideia ode ser geeralizada ara qualquer etrada eriódica. Ao estudo da resosta de u sistea a etradas deste tio desiga-se or resosta e frequêcia... Fução de trasferêcia e frequêcia A artir da F.T. e s k( s + z) L( s + z) GH ( s) ( s + ) L( s + ) e orque se sabe que s ± j é a localização dos ólos e s (o eixo iagiário) corresodete a u sistea oscilatório de frequêcia de oscilação, etão faz setido esar ua F.T. e frequêcia obtida ela substituição de s or j. k( j + z) L( j + z) GH ( j) ( j + ) L( j + )

2 Gaho de Bode A F.T. aterior ode ser reescrita a fora: GH ( j) Portato: k i i j j zi + L + zi z z i, e que Kb gaho de Bode j j i + L + i i k GH( j) j j Kb + L + z z j j + L +.3. Gráficos logaríticos ou de Bode Os gráficos logaríticos ou de Bode são u étodo de reresetar a resosta e frequêcia de u sistea. Para isso são feitos gráficos logaríticos do ódulo e da fase da F.T. e frequêcia e fução da frequêcia do sial de etrada. Coo vatage, se se quer calcular GH ( j) e GH ( j) a alicação de logaritos trasfora a oeração de ultilicação e adição e a divisão e subtracção..3.. Gráfico do Módulo log GH ( j) j j k Kb + L + z z log j j + L + j j log k + log Kb + L + log+ log+ + L+ log+ z j Decibel Usa-se coo uidade de reresetação do ódulo o decibel defiido coo 0 log a. Portato: j j j 0 log GH ( j) 0 log k + L + 0 log+ 0 log+ L 0 log+ z

3 .3.. Gráfico da Fase j j j GH ( j) k + Kb L L + z z ( arctg ( z ) + L+ arctg( z) ) ( arctg( ) + + arctg( ) ) L j.4. Factores básicos de GH(j) Existe ua F.T. vários tios de factores básicos. Os ais iortates são os seguites: Gaho costate, K Pólo a orige: j Zero situado a orige: j Pólo a orige de ultilicidade : ( ) j Zero situado a orige de ultilicidade : ( ) Pólo ão situado a orige: j + j Zero ão situado a orige: + z ω Pólos colexos: s + ζω s + ω j.4.. Gaho costate: K Módulo 0 log k Fase k 0º

4 .4.. Pólo situado a orige: j Módulo 0 log -0 log j Fase 90º j.4.3. Zero situado a orige: j Módulo 0 log j 0 log Fase j +90º

5 .4.4. Pólo situado a orige ultilicidade : ( ) j Módulo 0 log -0 log j ( ) Fase ( 90 )º j ( ).4.5. Zero situado a orige ultilicidade : ( j ) Módulo ( j) 0 log 0 log Fase ( j) + ( 90 )º

6 .4.6. Pólo ão situado a orige: Módulo j + 0 log j + ara ara 0 log << 0 log >> 0 log + 0 ara 0 log -3 Fase arctg j + ara << 0º ara >> 90º ara - 45º.4.7. Zero ão situado a orige: Módulo 0 log+ ara z ara z ara j z 0 log << 0 log + + z 0 >> 0 log z 0 log Fase j + arctg z z ara << 0º z ara >> 90º z ara z 45º 3 j z

7 ω.4.8. Pólos colexos: s + ζω s + ω s ω + ζω s + ω ( j) ω + ζω j + ω + jζ Módulo 0 log + jζ ara << 0 log 0 ara >> 0log -40 log ara 0 log ζ Fase ζ L arctg ara << arctg 0 0º ara >> arctg (-0) 80º ara arctg 90º

8 .5. Exelo rático de traçado de Diagraas de Bode º 30( s + 8) GH ( s) GH ( j) s( s + )( s + 4) j 30( + ) 8 j j( + )( + j ) 4

9 .6. Marge de fase e Marge de gaho Pode defiir-se a arge de gaho (MG) coo sedo a relação etre o gaho que tora o sistea criticaete estável e o gaho actual. É ua esecificação uito siles, facilete calculável, as que forece iforação téue acerca da estabilidade relativa. E teros ráticos a arge de gaho ode ser defiida coo a alteração ecessária o gaho do sistea ara que este se tore istável. Sisteas co aiores MGs ode suortar aiores alterações os arâetros do sistea ates de se torare istáveis e alha fechada. Os valores oralete adissíveis são MG>0dB. Através dos diagraas de Bode, a MG é a difereça etre a agitude da curva e 0dB o oto corresodete à frequêcia que os dá ua fase de -80º. Pode defiir-se a Marge de Fase coo sedo a difereça etre a fase GH(s) quado o seu gaho é uitário (0dB) e -80º. É ua esecificação que dá algua iforação sobre a estabilidade relativa. E teros ráticos ode defiir-se a Marge de Fase coo o desfasaeto ecessário ara que o sistea se tore istável. O seu cálculo é directo. Os valores oralete adissíveis estão coreedidos etre 5 º < Φ < 40º. Através dos diagraas de Bode, a MF é a difereça e fase etre a curva de fase e -80º o oto corresodete à frequêcia que dá u gaho de 0. Abos MF e MG ode ser facilete obtidos o MATLAB através do coado argi. Por exelo argi(50,[ ]) resulta e:

10 .7. Coesação de sisteas A escolha e o étodo de aálise e coesação são deteriados fudaetalete elo tio de esecificações a satisfazer. Os étodos baseados o diagraa de Bode erite colocar facilete o gaho a u valor adequado ara as esecificações de recisão e regie fial e tabé ajustaetos de coortaeto trasitório ela aiulação das curvas de gaho e de fase ara obter curvas de gaho e de fase ara obter MGs e MFs aceitáveis. Hoje e dia a coesação é feita sobretudo coutacioalete. Os rocessos e étodos desevolvidos as últias décadas ara a coesação a ael e láis atê aesar disso, ua grade utilidade, colocado ao utilizador do coutador u cojuto de idicações úteis. No caso de sisteas eléctricos e electróicos cohece-se ua grade variedade de filtros coesadores, co ua grade variedade de características. Os tios ais cous são os de Avaço, de Atraso e de Atraso-Avaço. O coesador de avaço itroduz fase ositiva e qualquer oto do lao s (e articular e todas as frequêcias reais) e ateuação a baixas frequêcias. O objectivo da coesação de avaço é auetar a estabilidade do sistea e a raidez da resosta trasitória, e ortato auetar a largura de bada. O coesador de atraso itroduz fase egativa e ateuação a altas frequêcias. O coesador cobiado fucioa coo o de atraso a baixas frequêcias e coo de avaço a frequêcias elevadas Dado que oralete existe u valor áxio adissível ara o erro e regie fial, é iortate verificar-se coo é alterada a costate de erro do sistea aós a itrodução do coesador. E qualquer oto do lao colexo, o zero itroduz ua cotribuição de fase ositiva, e or isso o lugar de raízes é uxado ara a esquerda o lao colexo. Se se itroduz u ólo e u zero, co o zero ais róxio da orige, a cotribuição agular do ar é aida ositiva e o lugar de raízes é do eso odo uxado ara a esquerda. Co u úero coveiete de ares ólo-zero, ode obter-se ua qualquer cotribuição de fase ositiva. De cada cobiação resulta u gaho articular. Diz-se assi e setido geérico, que a região do lao s à esquerda do lugar de raízes origial é ua zoa de coesação de avaço. Reetido o raciocíio quato à itrodução de u ólo, u ar ólo-zero (ólo ais róxio da orige), ou vários ares ólo-zero, cocluir-se-á que, e setido geérico, a região à direita do LR origial é ua zoa de coesação e atraso. E teros ráticos, odeos cosiderar o coesador coo u eleeto adicioal D(s) que se itroduz a alha do sistea, actuado sobre o sial do erro, que se caracteriza or acrescetar ólos e zeros ( ólo e zero) os casos e estudo, da seguite fora: s + z D( s), or fora que se classifica a coesação da seguite fora s + Avaço z < Coesaçã o Atraso z >

11 .8. Coesação e avaço A fução do coesador e avaço é roorcioar u avaço o âgulo de fase de odo a coesar u excessivo atraso de fase devido aos cooetes do sistea fixo. s + s + z D ( s) T ; coα < α s + α s + αt Esquea eléctrico tíico α siφ + α ω T α Algorito de obteção da fução de trasferêcia de u coesador e Avaço Obter k or fora a curir a esecificação do regie eraete ess esecificado Co o valor de k obtido, deteria-se a MF através dos Diagraas de Bode do sistea ão coesado. Obter φ MF sistea coesado - MF sistea ão coesado +M seguraça (5-) α Obter α tal que siφ + α Já co o valor de α, ver o Diagraa de Bode ode G ( jω ) 0 log α Sabedo que ω, calcular z, e T α T αt

12 .8.. Coesação e avaço Exelo rático k Pretede-se que o sistea G ( s) ossua u erro e regie eraete ara ( s + )( s + ) ua etrada e degrau que ão ultraasse os,5% da alitude do degrau. Alé disso a Marge de Fase do sistea ão deve ser iferior a 45º. Mostre a ecessidade de coesar o sistea. Diesioe u coesador e avaço, usado os Diagraas de Bode. Resolução: Obter k or fora a curir a esecificação do regie eraete ess 0, 05 + k 0,05 ess + k 0,05 { k 78 k ( ) k k G s + s li0 Para k80 obté-se co o coado argi o Matlab 30 Bode Diagras G If, P9.78 deg. (at rad/sec) 0 Phase (deg); Magitude (db) Frequecy (rad/sec) Cofira-se que a Marge de Gaho (se existisse) seria egativa, elo que se justifica a ecessidade de coesar o sistea. Obter a MF através dos Diagraas de Bode do sistea ão coesado. Cofore se obteve tabé co o coado argi o oto aterior, se cofirou que MF9,8º, ocorredo ara ω 8, 804rad/s. E todo o caso, ão disodo de u coutador, oderia ter-se costruído os diagraas de Bode: G( j) ( j + )( j + ) ( j + ) j + G ( j) 0log 40 0log j + 0log j + G ( j) arctg( ) arctg

13 Obter φ MF sistea coesado - MF sistea ão coesado +M seguraça (5-) φ 45º-9,8º+0º35,7º α Obter α tal que siφ + α α 0,46 si 35,7 0,583( + α) α α 0,630 + α,583 Já co o valor de α, ver ode G ( jω ) 0 log α Bode Diagras 30 0 Phase (deg); Magitude (db) Frequecy (rad/sec) Da aálise gráfica do Diagraa de Bode (elhor observável o Diagraa de bode traçado e ael sei-logaritico), resulta G ( jω ) 0 log 5, 8 e,3º. α Sabedo que ω, calcular z, e T α T αt z 6,3 T ,585 ω α.3 0,630 3,99 0,630 0,585 s + z s + 6,3 O coesador a itroduzir teria a FT D( s) 3,8 α s + s + 3,99

14 Coclusão Resosta a degrau do sistea e alha fechada Se coesador Ste Resose.5 Alitude Tie (sec.) Diagraa de Bode do coesador e Avaço Bode Diagras 0 Phase (deg); Magitude (db) Frequecy (rad/sec)

15 Resosta a degrau do sistea e alha fechada Co coesador Ste Resose. 0.8 Alitude Tie (sec.) Diagraa de Bode de Sistea + Coesador Bode Diagras G If, P deg. (at.4 rad/sec) 0 Phase (deg); Magitude (db) Frequecy (rad/sec)

16 Exelo do código Matlab que eritiu obter estes gráficos clear ucot[ ] decot[ 3.99] SysCotTF(uCot,deCot) bode(syscot) ause u[80] de[ 3 ] SysMATF(u,de) bode(sysma) Totalseries(SysCot,SysMA) MFfeeack(Total,) t0:0.0:4; ste(mf,t) ause % Recordado que ara o coado "argi se deve usar a FT e Malha aberta argi(total)

17 .9. Coesação e atraso A coesação e atraso alica-se essecialete e sisteas co características da resosta trasitória satisfatórias, as características da resosta estacioária ão satisfatórias. O coesador e atraso aueta o gaho e alha aberta. A fução riária do coesador e atraso é ateuar as altas-frequêcias de odo a que o sistea teha ua MF suficiete. s + s + z D ( s) T ; co β > β s + β s + βt Esquea eléctrico tíico Algorito de obteção da fução de trasferêcia de u coesador e Atraso Obter k or fora a curir a esecificação do regie eraete ess esecificado Obter a MF através dos Diagraas de Bode do sistea ão coesado. Obter φ -80º +MF sistea coesado +M seguraça (5-) Puxar os zeros do sistea ais ara a esquerda, usado sere ua década, fazedo z 0, φ T Aular os s e φ. Ou seja o coesador te que ter e φ u ódulo igual e de valor iverso ao da FT se coesador. O seja obter β através de: 0 log G( jφ) β Coo já se te o zero do coesador, resta obter o ólo através de βt