Análise de Sistemas no Domínio do Tempo

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1 CAPÍTULO 4 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo 4. Itrodução A resposta o tepo de u sistea de cotrolo é iportate dado que é este doíio que os sisteas opera. O étodo clássico da aálise da resposta o tepo ivestiga o coportaeto do sistea a etradas padrão, coo seja o degrau, a rapa e a parábola. Table 4. - Siais de etrada padrão Tipo de sial r(t) R(s) Degrau rt) ( ), t>, t < - s Rapa rt) ( ) t, t >, t < ---- s 2 Parábola r( t )) t 2, t >, t < R( s) s 3 Coo se adite que o sistea é liear, podeos desta aeira estudar a resposta a ua etrada arbitrária, coposta por siais deste tipo, deslocados o tepo. Quado aalisaos a resposta de u sistea o tepo, as pricipais características a estudar são: a estabilidade do sistea, a sua resposta trasitória, e a resposta e regie estacioário. Sisteas de Cotrolo I 3

2 Resposta trasitória 4.2 Resposta trasitória A resposta trasitória de u sistea é regida pelo itegral geral da sua equação diferecial. Cosiderado o sistea e alha fechada da fig. 3.4, é fácil de ver, tato e teros do erro, coo da saída, a resposta trasitória de u sistea depede da sua equação característica, ( s) : Ys ( ) Gs ( ) + Gs ( )Hs ( ) Gs ( ) ( s) (4.) Es ( ) Gs ( )Hs ( ) ( s) (4.2) ( s) + Gs ( )Hs ( ) (4.3) Os zeros da equação característica são os pólos das fuções de trasferêcia (4.2) e (4.3). Se defiiros as fuções de trasferêcia para a frete e de realietação coo: Gs ( ) Ns ( ) Hs ( ) Ds ( ) Ps ( ) Qs ( ), (4.4) a equação característica fica: Ns ( ) ( s) + Ds Ps ( ) ( ) Qs ( ) Ds ( )Qs ( ) + Ns ( )Ps ( ) Ds ( )Qs ( ). (4.5) A polioial Ds ( )Qs ( ) + Ns ( )Ps ( ) chaa-se polioial característica do sistea e as suas raízes vão defiir a resposta trasitória do sistea Resposta trasitória e fução da localização dos pólos o plao s Utilizado (4.5) e (4.4) e (4.), a fução de trasferêcia etre a etrada e a saída é dada por: Ys ( ) Ns ( )Qs ( ) Ds ( )Qs ( ) + Ns ( )Ps ( ) (4.6) Para que o sistea seja causal, o grau da polioial () do uerador te que ser eor ou igual á do deoiador (). Se expadiros e fracções parciais (4.6), e cosiderado u degrau uitário à etrada, s, tereos: Ys ( ) ---- s q c + s c s s+ c q c c s c q i i + s i s (4.7) Na últia equação adite-se, por siplicidade, que ão existe pólos últiplos (co o eso valor), e que existe q pares de pólos coplexos cojugados. O síbolo x deota o coplexo cojugado de x. Sisteas de Cotrolo I 3

3 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo Os valores dos ueradores de cada fracção parcial são dados por: li s sy( s) (4.8) c li ( s + s c )Ys ( ) s Se passaros agora (4.7) para o doíio do tepo, e lebrado-os que s c i li ( s + s i )Ys ( ) s s i s σ + jw (4.9) (4.), teos: q ( + )t yt () c e σ c jw c c e σ c jw + + c + c q q c 2 c e σ ct + cos( w c t + ) + φ c ( )t q i e s it q i i e s it (4.) No caso de Y(s) possuir u pólo real e s a co ultiplicidade, a sua expasão e fracções parciais coterá teros, A sua trasforada de Laplace iversa é: ( s + ) ode: li s s! d s a t e s t ! d ( ) s ( ), (4.2) [( s+ ) Ys ( )]. (4.3) Aalisado as equações (4.) e (4.3) e a fig. 4., veos que a resposta trasitória é fução da localização dos pólos da fução de trasferêcia, ou seja das raízes da equação caracterítica. No caso de teros correspodetes a pólos reais, a resposta teporal é ua expoecial, que diiui ou aueta cosoate o pólo esteja à esquerda ou à direita do eixo iagiário. U par de pólos coplexos te ua resposta oscilatória, que decai ou aueta co o tepo cosoate a parte real do pólo se ecotra à esquerda ou à direita do eixo iagiário. A frequêcia de oscilação aueta ou diiui cosoate a parte iagiária esteja ais loge ou ais perto do eixo real. s 32 Sisteas de Cotrolo I

4 Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Ipulse Respose Tie (sec) Resposta trasitória Aplitude Aplitude Aplitude 2j Aplitude Aplitude Aplitude Aplitude Aplitude Aplitude Aplitude Aplitude j Aplitude -2 - FIGURE 4. - Respostas trasitórias e fução da localização dos pólos Costates de tepo de u sistea e especificações da resposta A resposta trasitória de u sistea é assi ua soa de teros expoeciais do tipo. Ao istate de tepo e que o expoete é uitário, isto é st, dá-se o oe de costate de tepo, τ s. U sistea de cotrolo é oralete desehado para cuprir deteriadas especificações. Muitas dessas especificações dize respeito à resposta do sistea a u degrau e, oeadaete à sua resposta trasitória. Iporta assi defiir alguas dessas características: t r Tepo de crescieto - rise tie ( ) - é o itervalo de tepo que a resposta deora a crescer de. a.9 do seu valor e regie estacioário; Tepo de atraso - dela tie ( t d ) - é o itervalo de tepo que a resposta deora a atigir.5 do seu valor e regie estacioário; Tepo de estabelecieto - settlig tie ( t s ) - é o tepo ecessário para a resposta etrar (se sair ais) ua bada pré-defiida e toro do seu valor e regie estacioário. Noralete são cosiderados 2% ou 5%. Para respostas do tipo do gráfico à esquerda da fig. 4.2, é aida oral defiir-se: e st Sisteas de Cotrolo I 33

5 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo Tepo de pico - pea tie ( saída; Valor de pico - pea value ( t p M p ) - é o istate de tepo correspodete ao valor áxio da ) - é o valor áxio da saída; percetage de sobreelevação - percetage of overshoot (PO) - é a razão etre o valor de pico e o valor da saída e regie estacioário..4 Step Respose Step Respose M P Aplitude.8.6 Aplitude t r t d t p Tie (sec) t s t d t r Tie (sec) t s FIGURE Especificações da resposta trasitória Sisteas de 2ª orde e regies da resposta trasitória As fuções de trasferêcia de 2ª orde são as ais habitualete ecotradas, oferecedo a vatage de poderos deteriar as características da resposta trasitória a partir dos coeficietes da fução de trasferêcia. Cosidereos u sistea e alha fechada, co realietação uitária (ver fig. 3.4), cujo fução de trasferêcia para a frete é Gs ( ) A fução de trasferêcia e alha fechada é: sas ( + B) Ys ( ) Gs ( ) sas ( + B) Gs ( ) + sas ( + B) As 2 + Bs + (4.4) As raízes da polioial característica são: j 4A B 2 ± σ ± jw 2A 4A 2 d s B 2, (4.5) A parte real das raízes é σ e w d é deoiada de frequêcia atural aortecida. B represeta o aortecieto efectivo do sistea. Cosoate o valor de B, podereos ter diversos tipos de resposta: 34 Sisteas de Cotrolo I

6 Resposta trasitória Se B o sistea ão te aortecieto as raízes estão sobre o eixo iagiário - s 2 ± j -- ± jw, ode é deoiada frequêcia atural ão aortecida. A resposta a u degrau uitário é dada por yt) ( ) cos( w A w t) ; se B 2 A, a parte iagiária é ula e as duas raízes são reais e iguais A -- w. A resposta a u degrau uitário é dada por 2A 2A A s B 2, yt () e w t ( + w t) e é represetada o lado direito da fig B 2 A é deotado coo aortecieto crítico. A razão etre o aortecieto efectivo e o aortecieto crítico é chaada de razão de aortecieto ξ B. Note-se que, e teros 2 A de ξ e de, a eq. (4.4) pode ser dada coo: w Ys ( ) As 2 + Bs + A -- s 2 B s + s 2 2ξ s + w 2 w w s ξw s + w ; (4.6) se B > 2 A ou, equivaleteete, ξ >, as raízes são reais e diferetes - s σ s 2 σ 2. A resposta chaa-se sobreaortecida, e é dada por σ 2 yt () e σ 2 σ σ t + σ e σ 2 σ σ 2 t ; se < B < 2 A ou, equivaleteete, < ξ <, as raízes são coplexas cojugadas - ± jw ξ 2. A resposta a u degrau uitário é dada por s 2, ξw e ξw t yt () si( w d t + φ), sedo w d w ξ 2 ξ 2 e φ ata A resposta chaa-se subaortecida e é represetada o lado esquerdo da fig. ξ 2 ξ 4.2. Estes três regies de resposta, sobreaortecido, de aortecieto crítico e subaortecido, pode ser vistos a, e fução de ξ. Sisteas de Cotrolo I 35

7 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo ξ > jw jw ξ 2 ξ ξ < ξw jw ξ 2 jw FIGURE Localização dos pólos, e fução de ξ, w costate Para u regie subaortecido ( ξ < ) e costate, quado w varia, os pólos estão localizados ao logo de duas sei-rectas partido da orige. w jw ξ 2 φ ξw FIGURE Localização dos pólos, e fução de, ξ costate w Da fig. 4.4, pode-se facilete verificar que: φ ξ 2 ata ξ acos( ξ) (4.7) Nu regie subaortecido, o tepo de pico (t p ) pode ser calculado igualado a derivada da saída relativaete ao tepo a. A expressão da saída a u degrau uitário é etão: e ξw t yt () si( w d t + φ) ξ 2 (4.8) 36 Sisteas de Cotrolo I

8 Resposta trasitória Derivado e igualado a, teos d ξw e ξw t w yt () d e ξw t si( w dt d t + φ) cos( w d t + φ) ξ 2 ξ 2 (4.9) ta( w d t + φ) Esta equação é verdadeira para w d ξ ta( φ) ξw ξ (4.2) w d t, π, 2π,. (4.2) O º pico ocorre etão para t p π w d π w ξ 2 (4.22) Iserido esta expressão e (4.8), teos o valor de pico: M p + e A percetage de sobreelevação é assi dada por: ξπ ξ 2. (4.23) PO e ξπ ξ 2 (4.24) Sisteas de Cotrolo I 37

9 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo A figura seguite ilustra a resposta a u degrau de u sistea de 2ª orde, co co diferetes valores de ξ. w e ξ. ξ.3 ξ.5 Step Respose Aplitude.8.6 ξ ( 2) Tie (sec) FIGURE Resposta a u degrau de u sistea de 2ª orde, co diferetes valores de ξ w e co Cofore se pode observar, à edida que ξ diiui, o valor de pico aueta (e cosequeteete a percetage da sobreelevação), o tepo de pico, tepo de subida e tepo de crescieto diiue, e o tepo de estabelecieto aueta. O tepo de estabelecieto está iversaete relacioado co a parte real dos pólos (este caso σ ξw ξ ) e directaete co a costate de tepo τ σ, sedo para u critério de 2% aproxiadaete igual a 4τ e para u critério de 5% aproxiadaete igual a 3τ. 4.3 Resposta e regie estacioário Quado o regie trasitório acaba, etraos o regie estacioário. Nestas codições, iporta deteriar qual é o valor do erro que se obté, cosiderado aqui o erro a difereça 38 Sisteas de Cotrolo I

10 Resposta e regie estacioário etre o sial de etrada e o sial de saída. Na aálise seguite vaos cosiderar u sistea co realietação uitária. Sabeos, pelo teorea do valor fial, que: e ss () t li et () li se( s) t s li sr( s) + Gs ( ) s (4.25) Vaos expriir a fução de trasferêcia e alha aberta e teros de pólos e zeros: Gs ( ) ( s + z i ) i z (4.26) O coportaeto do liite e (4.25) vai depeder do tipo de etrada e do úero de pólos e s, z. Este úero é oralete deotado coo o tipo do sistea Tipos de sistea e costates de erro e regie estacioário s z ( s p j ) j Vaos cosiderar prieiraete ua etrada e degrau. Neste caso A -- s e e ss s A sr( s) -- li li s s + Gs ( ) s + Gs ( ) A + G( ) (4.27) No caso de u sistea de tipo (isto é, se pólos a orige), p G( ) li Gs ( ) p s (4.28) é chaado de costate de erro de posição. Verifica-se assi que u sistea de tipo respode a u degrau co u erro e regie estacioário dado por: i z j z i p j e ss A p (4.29) Se o sistea for de tipo ou superior, regie estacioário é ulo. G( ) li Gs ( ). Deste odo, o erro e s Sisteas de Cotrolo I 39

11 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo Se cosideraros ua etrada e rapa, teos A Neste caso: s 2 e ss s---- A li sr( s) s 2 li s + Gs ( ) s + Gs ( ) li A sg( s) s. (4.3) No caso de o sistea ser do tipo, li sg( s) e e ss. s s No caso de o sistea ser do tipo, li sg( s) v e e ss A v, isto é, u sistea do tipo respode a ua rapa co u erro fiito. No caso de o sistea ser do tipo 2 ou superior, li sg( s) e e ss. s i z j z i p j Se cosideraros agora ua parábola de etrada, teos A s 3. Neste caso: e ss s 2A sr( s) s 3 li li s + Gs ( ) s + Gs ( ) 2A li s 2 Gs ( ) s. (4.3) No caso de o sistea ser do tipo ou, li s 2 Gs ( ) e e ss. s No caso de o sistea ser do tipo 2, li s 2 Gs ( ) a e e ss 2A a, isto é, u s sistea do tipo 2 respode a ua parábola co u erro fiito. No caso de o sistea ser do tipo 3 ou superior, li s 2 Gs ( ) e e ss. s Estes resultados pode ser suariados a seguite tabela: i z j z i p j 4 Sisteas de Cotrolo I

12 Estabilidade Table Erro e regie estacioário Etradas Degrau Rapa Parábola Costates de erro rt () A rt () At rt () At 2 Tipo de Sistea p v a F e ss -- A s A + p e ss ---- A s 2 e ss A s 3 F e ss e ss ---- A v e ss 2 F e ss e ss e ss 2A a 3 e ss e ss e ss 4.4 Estabilidade A 3ª característica associada à resposta o tepo é a estabilidade do sistea, Por estabilidade, quereos aqui sigificar que a qualquer etrada liitada e aplitude, o sistea deve respoder co ua saída liitada e aplitude. Esta é a defiição de estabilidade, o setido etrada-saída, devedo ser otado que existe outras defiições de estabilidade. Vaos cosiderar que estaos e preseça de siais e sisteas causais, isto é, que ( rt () ct () ), t <. Se cosideraros que a saída, o doíio de Laplace, a ua etrada liitada e aplitude é dada por: Cs ( ) a s a s a s a s + b s + b s + b, (4.32) expadido C(s) e fracções parcias, teos: C( s) d s q q + + d c ( s+ ) c c s p i i, (4.33) + s i s te ultiplicidade q, e que os res- ode aditios, por siplicidade, que o pólo e s tates -q pólos tê ultiplicidade. p c Aplicado a trasforada iversa de Laplace, teos: Sisteas de Cotrolo I 4

13 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo ct () d δ ( ) t q () d δ() t c t c e s pt c! c q i i e s it (4.34) Para que a saída seja liitada os teros evolvedo δ() t ão pode aparecer. Assi, é codição ecessária para G(s) ser estável que o grau do deoiador seja pelo eos igual ao de uerador. Aalisado agora os outros teros, os pólos da fução de trasferêcia deve estar todos localizados o sei-plao esquerdo pois, caso cotrário, teríaos expoeciais crescetes co o tepo. Os pólos tabé ão pode estar localizados o eixo iagiário visto poderos sepre utilizar ua etrada liitada co esses pólos (u degrau ou u seo), que iplicaria u pólo duplo ou u par de pólos cojugados duplo, iplicado que a saída tivesse coo tero ua rapa. Assi sedo, pode-se sepre deteriar se u sistea é estável ou ão através do cálculo das raízes da sua polioial característica. Cotudo, se a orde do sistea for grade, as raízes só pode ser deteriadas co étodos uéricos. A situação agrava-se ais se algu(s) coeficiete(s) fore fução de u ou ais parâetros variáveis. U étodo expedito de deteriar se u sistea é estável ou ão é o critério de estabilidade de Routh- Hurwitz Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz Seja a polioial característica de u sistea dada por: ( s) b s + b s + b s + b (4.35) Factorizado-a, teos: ( s) b ( s p )( s p 2 ) ( s p ) (4.36) Se ultiplicaros os factores, teos: ( s) b s b ( p + p p )s + b ( p p p p + + p p )s b ( ) p p 2 p (4.37) Se aalisaros a equação aterior, verificaos que todos os coeficietes da polioial deve ter o eso sial para todos os pólos estare localizados o sei-plao esquerdo. Se isso acotecer, tabé ão pode haver ehu coeficiete ulo. Estas duas codições, que se pode verificar facilete apeas por ispecção da polioial, são apeas ecessárias para que o sistea seja estável, isto é, ão garate que o sistea seja estável. 42 Sisteas de Cotrolo I

14 Estabilidade O critério de Routh-Hurwitz perite, através da costrução de ua rede de úeros, deteriar iequivocaete se u sistea é estável ou ão. Para aplicaros este critério costruíos a seguite rede: Table Rede de Routh-Hurwitz s b b -2 b -4 b s - b - b -3 b -5 b s -2 c c 2 c 3... s -3 d d 2 d s g ode: b b 2 b b 4 b b 6 c b b 3 b c 2 b b 5 b c 3 b b 7 b (4.38) b b 3 b b 5 d c c d 2 c c c c (4.39) c c 2 c c 3 e d d e 2 d d d d (4.4) Coo veos, as prieiras duas lihas são costruídas utilizado directaete os coeficietes da polioial. Todos os outros são calculados coo se idica. Ua vez calculada a rede, o critério de Routh-Hurwitz diz que o úero de raízes co parte real positiva é igual ao úero de udaças de sial dos eleetos da ª colua da rede. Para u sistea ser estável é assi ecessário que ão seja observadas udaças de sial. Na prática pode aparecer, ao logo dos cálculos, 2 casos que erece ua ateção especial. Estes são: a) O aparecieto de u zero ua ª colua de ua liha ode existe eleetos ão ulos. Neste caso podeos aplicar 3 étodos para cotiuar o cálculo da rede: Sisteas de Cotrolo I 43

15 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo. Substitui-se o por u úero positivo pequeo que se faz teder para depois de cocluída a rede; 2. Substitui-se s por /x a polioial característica, e costrua-se a rede para essa ova polioial; 3. Multiplica-se a polioial por u tero (s+), itroduzido-se assi ua ova raiz. A rede é costruída para essa ova polioial. b) O aparecieto de ua liha co todos os eleetos ulos. Isto sigifica a existêcia de raízes siétricas relativaete à orige, do tipo ( s p) e ( s + p), ou ( s jw) e ( s + jw), ou 4 raízes coplexas. Para se resolver este problea recorre-se à polioial correspodete à liha iediataete superior, que é sepre de orde par, e cuja solução os dá as raízes siétricas relativaete à orige. A liha de zeros é substituída pelos coeficietes obtidos derivado essa polioial. 4.5 Método do lugar das raízes Mecioáos ateriorete que, o caso de os coeficietes da polioial característica sere fução de u ou ais parâetros, ser uito trabalhoso deteriar aaliticaete as raízes da polioial característica do sistea e alha fechada. A rede de Routh-Hurwitz, itroduzida a secção 4.4., apeas perite deteriar se u sistea é estável ou ão. O étodo do lugar das raízes, itroduzido por Evas e 948, é u étodo gráfico que perite esboçar a trajectória dos pólos de u sistea e alha fechada, e fução do gaho de u sistea. Nesta secção vaos itroduzir este étodo, fazedo o etato otar que o lugar das raízes pode ser calculado directaete e Matlab através da fução rlocus Trajectórias das raízes da polioial característica: exeplo de u sistea de 2ª orde Vaos aditir que a fução de trasferêcia para a frete de u sistea e alha fechada co realietação uitária é dada por: Gs ( ) ss ( + 2) (4.4) A fução de trasferêcia e alha fechada é: Ys ( ) s 2 + 2s + w s ξw s + w. (4.42) As raízes da polioial característica são: s 2, ξw ± w ξ 2 ± (4.43) 44 Sisteas de Cotrolo I

16 Método do lugar das raízes Se, as duas raízes estão localizadas e s e s-2, os pólos do sistea e alha aberta. Etre < < as duas raízes vão-se jutado até que, e, teos duas raízes iguais, localizadas e s 2, Se >, as raízes tora-se coplexas cojugadas. cuja parte real é costate e igual a -. A trajectória das raízes, quado, positivo, varia, está represetado a fig Root Locus Iagiary Axis Real Axis FIGURE Lugar das raízes Para, abas as raízes estarão e. O sistea é sepre estável para qualquer valor de > Codição da aplitude e dos âgulos No caso aterior (sistea e ala fechada de 2ª orde) foi possível deteriar aaliticaete a trajectória das raízes (ou o lugar das raízes) as e sisteas de aior orde tal trataeto aalítico ão é possível. O étodo proposto por Evas perite esboçar o lugar das raízes de u sistea e alha fechada e fução das sigularidades da fução de trasferêcia e alha aberta, e de u gaho. Expriido a fução de trasferêcia e alha aberta, Gs ( )Hs ( ) a seguite fora: Sisteas de Cotrolo I 45

17 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo Gs ( )Hs ( ) ( s + z i ) i, (4.44) ode o gaho,, se desiga por sesibilidade e loop estático, Coo s é ua variável coplexa, Gs ( )Hs ( ) tabé o é. Para qualquer valor de positivo, a seguite relação deve ser satisfeita: j ( s + ) p j Gs ( )Hs ( ) e j( + 2x)π x, ±, ± 2, (4.45) Podeos separar esta equação e teros de ódulos e arguetos: Gs ( )Hs ( ) Gs ( )Hs ( ) ( + 2x)π x, ±, ± 2, (4.46) (4.47) As equações (4.46) e (4.47) são cohecidas coo codição das aplitudes e codição dos âgulos, respectivaete. Caso seja egativo, a codição das aplitudes até-se, as a codição dos âgulos uda: Gs ( )Hs ( ) ( 2x)π x, ±, ± 2, (4.48) Atededo à fora da fução de trasferêcia e alha aberta apresetada a eq. (4.44), as duas codições de âgulos expressas e (4.47) e (4.48) pode ser expressas coo: + ( s + z ) + + ( s + z ) ( s + p ) ( s + p ) ( + 2x)π > 2xπ < (4.49) De igual odo, a codição das aplitudes pode-se escrever coo: j Vaos dar u exeplo da aplicação destas regras. Toeos o exeplo, para >: i s+ s + p j z i (4.5) GH( s) ( +, 2s) s( +, 5s) ( +, s) (4.5) 46 Sisteas de Cotrolo I

18 Método do lugar das raízes A figura seguite ostra o lugar das raízes para este exeplo: 25 Root Locus 2 Iagiary Axis s l () l 3 l 2 ψ θ 3 l θ 2 θ Real Axis FIGURE Lugar das raízes de (4.5) Prieiraete deveos expriir (4.5) a fora expressa e (4.44): GH( s) s ss ( + 2) ( s + ) Ks ( + 5) ss ( + 2) ( s + ) (4.52) O poto s pertece ao lugar de raízes porque: ψ θ θ 2 θ 3 ( + 2x)π (4.53) Esta é a codição que os diz se u poto pertece ou ão ao lugar das raízes. Caso perteça, o gaho K é dado por: K l l 2 l () l (4.54) Regras de costrução aual do lugar das raízes A obteção do lugar das raízes através da codição de âgulos é o étodo utilizado para obteção autoática do lugar das raízes. Não é o etato possível utilizá-la para cálculo aual. Existe o etato u cojuto de regras que pode ser utilizadas para esboçar aualete o lugar das raízes. Neste docueto ão se vão expor todas as regras as só as ais iportates para u esboço aual. O cojuto de regras copleto pode ser cosultado e qualquer dos livros recoedados a bibliografia da disciplia. Sisteas de Cotrolo I 47

19 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo Núero de raos O úero de raos do lugar das raízes é igual ao úero de pólos da fução de trasferêcia e alha aberta () Sietria Coo as raízes coplexas do lugar das raízes aparece aos pares cojugados, existe ua sietria do lugar das raízes relativaete ao eixo real. Por esta razão só é preciso deteriar para o sei-plao superior ou iferior Iício O lugar das raízes iicia-se os potos ode. De acordo co (4.5), esses potos são os pólos de GH(s) Térios De acordo co (4.5), os zeros da fução de trasferêcia e alha aberta. Coo pode haver eos zeros do que pólos, raos irão teriar e s Lugar das raízes sobre o eixo real U par de pólos ou zeros coplexos ão ifluecia o lugar das raízes sobre o eixo real dado que a sua cotribuição agular total é de 36º. Só as sigularidades da fução de trasferêcia e alha aberta são iportates para este caso. Nesta perspectiva aaliseos a fig. 4.7, cosiderado >. Para qualquer poto co σ >, a cotribuição agular para qualquer das 4 sigularidades é º. Coo a codição de âgulos os diz que a cotribuição total deverá ser ( + 2x)π, etão ehu poto o eixo real positivo pertece ao lugar das raízes para >. Etre 2 < σ <, só sigularidade, o pólo e s te ua cotribuição ão ula, este caso de π. Note que os âgulos são positivos se fore o setido cotrário aos poteiros do relógio (este caso a cotribuição agular é de π, as coo se trata de u pólo a sua cotribuição é egativa, de acordo co (4.49). Etre 5 < σ < 2 os dois pólos e s e s 2 tê ua cotribuição ão ula. A cotribuição total é de 2π, e portato ehu poto deste segeto de recta pertece ao lugar das raízes. Etre < σ < 5 os dois pólos e s e s 2 e o zero e s 5 tê ua cotribuição ão ula. A cotribuição total é de π π + π π, e portato os potos detro desse segeto de recta pertece ao lugar das raízes. 48 Sisteas de Cotrolo I

20 Método do lugar das raízes Fialete etre < σ <, todas as sigularidades tê ua cotribuição ão ula. Ela é de: π π + π π e por cosequêcia ão pertece ao lugar das raízes. Se cosiderásseos deduzido. < o lugar das raízes sobre o eixo real seria o copleetar ao atrás Assi esta regra pode ser foralizada do seguite odo: u poto sobre o eixo real pertece ao lugar das raízes se existir à sua direita u úero ípar de sigularidades (pólos ou zeros) para >, ou u úero par para < Assiptotas quado s Já vios a regra de térios do lugar das raízes (secção ) que quado o úero de pólos excede o úero de zeros, a difereça vai orrer e. Esta regra vai-os explicitar as assiptotas para esses raos. Toado o liite de (4.44), teos ( s + z i ) i li s j ( s + ) Utilizado agora a codição de aplitudes e de âgulos para (4.55), teos: p j li s s. (4.55) s (4.56) ( ) ( s ) ( + 2x)π > 2xπ < (4.57) Escrevedo (4.57) de outra fora teos: ϕ ( x)π > o 2xπ < (4.58) Há assi u úero de assiptotas que é igual à difereça etre o úero de pólos e de zeros, e para suficieteete grade, tagetes aos âgulos dados por (4.58). Quato ao poto e que estas assiptotas cruza o eixo real, ele é dado por: Sisteas de Cotrolo I 49

21 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo σ j ( p j ) i ( z i ) (4.59) Potos de saída ou etrada o eixo real Já vios que o lugar das raízes se iicia os pólos e teria os zeros da fução de trasferêcia e alha aberta, ou e. Se tiveros ua situação e que existe 2 pólos ou zeros cosecutivos o eixo real, isto iplica que a trajectória do lugar das raízes te que sair ou chegar ao eixo real, respectivaete. Esta situação é retractada e a) e b) da fig σ σ σ a) b) c) d) σ FIGURE Potos de saída e chegada ao eixo real Cofore se pode ver a figura estas situações reflecte-se e potos de íios ou áxios do gaho. Para se deteriare estes potos, podeos expriir (4.45) da seguite fora: j ( s+ ) Os áxios ou íios pode ser deteriados através da solução da equação (4.6): p j Ws ( ) i ( s+ ) z i (4.6) d Ws ( ) ds (4.6) Deve ser salietado que a solução desta últia equação dá-os as soluções para > e para < siultaeaete, be coo os potos de saída coo de chegada ao eixo real. Copete 5 Sisteas de Cotrolo I

22 Método do lugar das raízes ao utilizador, de acordo co o resultado da regra de lugar de raízes sobre o eixo real, idetificar as várias soluções. Os troços do lugar de raízes sobre o eixo real e sepre coicide co u úico rao, cofore é ilustrado e c) e d) da fig O últio caso pode ser facilete cofirado pois, para o poto de saída, as 3 prieiras derivadas (o caso geral as r-, sedo r o úero de raos) de W(s) são ulas para esse poto Itersecção do lugar das raízes co o eixo iagiário Caso o sistea possa ser istável para ua gaa de valores de, esta situação acotece quado u rao sobre o eixo real cruza o eixo iagiário, ou quado u par de raos cruza o eixo iagiário. A ª situação é idetificada através do lugar das raízes sobre o eixo real, equato a 2ª é idetificada através do aparecieto de ua liha de zeros a rede de Routh Hurwitz (ver secção 4.4.). Cofore idicado essa secção, os potos de cruzaeto pode ser obtidos pela solução da equação auxiliar Coservação da soa do lugar das raízes Partido de Gs ( )Hs ( ) a equação característica te a fora: Se substituiros (4.62) e (4.63), ficaos co: + Gs ( )Hs ( ) ( s + z i ) i j ( s + ) i j p j ( s + ) r i ( s + ) p j, (4.62), (4.63) ( s+ p ) j + ( s+ z i ) ( s + r ) j i (4.64) Se agora expadiros cada u dos teros (ver (4.37)), ficaos co: s s p j + j + s s z i + s s r + i (4.65) Sisteas de Cotrolo I 5

23 Aálise de Sisteas o Doíio do Tepo Se agora + 2, isto é, se a fução de trasferêcia e alha aberta tiver pelo eos ais dois pólos que zeros, coo o 2º tero do lado esquerdo de (4.65) só vai ter ifluêcia para os coeficietes relacioados co os últios teros, podeos escrever para o tero de orde -: j p j r (4.66) Esta últia equação, cohecida pela regra de Grat, diz-os que, o caso de soa dos pólos e alha aberta é igual à soa dos pólos e alha fechada. + 2, a 52 Sisteas de Cotrolo I