GABARITO COMENTÁRIO. Prova de Matemática (SIMULADO ITA/2007) QUESTÕES OBJETIVAS

Transcrição

1 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 o Esio Médio Prova de Mateática (SIMULADO ITA/007) GABARITO COMENTÁRIO QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÃO 0 LETRA D Coo e y são iteiros, só podeos ter ( ) é u quadrado perfeito, igual a 0, ou 4, o eso ocorredo co ( y ) Vaos aalisar cada caso: Se ( ) = 0, etão =, o que os dá = ± (duas possibilidades) Se ( ) =, etão deve ser ou, de odo que = ± ou = ± (quatro possibilidades) Se ( ) = 4, etão deve ser 0 ou 4, de odo que = 0 ou = ± 4 (três possibilidades) Se o prieiro quadrado perfeito for igual a 0, o segudo pode ser igual a 0, ou 4 Isto os dá u total de ( + + 4) = 8 soluções Se o prieiro quadrado perfeito for igual a, o segudo pode ser igual a 0 ou Isto os dá u total de 4 ( + ) = 4 soluções Se o prieiro quadrado perfeito for igual a 4, o segudo só pode ser igual a 0 Isto os dá u total de = 6 soluções Logo, o total de soluções é = 48 QUESTÃO 0 LETRA E I Verdadeiro (A B) C = (A B) C c = A (B C c ) = A (B C) II Falso Podeos fazer u diagraa ou eibir u cotra-eeplo Toado cojutos A, B e C tais que A B C, obteos (A B) C =, equato que A (B C) = A = A III Verdadeiro Veja que A (B C) = A (B C c ) = A (B C c ) c = A (B c C) = (A B c ) (A C) = (A B) (A C) QUESTÃO 0 LETRA E Aalisado os gráficos das fuções e, veos que A = [; 4] Logo, A Alé disso, A Z = {, 4}, de odo que (A Z) = Fialete, coo A é u itervalo, se a, b A, etão seu poto édio a + b tabé pertece ao itervalo Logo, são verdadeiras as afirações II e III QUESTÃO 04 LETRA D Prieiraete, ostraos que f ão é ijetiva Supoha que f() = f(y) Etão, + y = + y, ou aida, y y= y Se tiveros y =, co y, obteos igualdade, o que os dá f() = f(y) E seguida ostraos que f ão é sobrejetiva Vaos ecotrar a iage de f, ou seja, todos os y R tais que + = y, para algu R Isto equivale a resolver a equação y + = 0 Mas, esta equação só te solução real se y 4 0, ou seja, se y ou y Logo, I(f) = (, ] [, + ) R

2 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) QUESTÃO 05 LETRA E I Verdadeiro Coo f é crescete, etão é ijetora, e coo f o g é sobre, f é sobre Logo, f é bijetora e, portato, iversível Sua iversa tabé será estritaete crescete II Verdadeiro Dado y R, coo f tabé é ua fução bijetora, eiste z R tal que f (z) = y Tabé eiste R tal que f(g()) = z Daí, segue que g() = f (z) = y Logo, g é sobrejetora Alé disso, coo g é estritaete decrescete, segue que g é iversível e sua iversa é estritaete decrescete III Verdadeiro Toe < y Etão, g() > g(y) e f(g()) > f(g(y) Logo, f o g é estritaete decrescete e, portato, ijetora Coo tabé é sobrejetora, cocluíos que é bijetora e sua iversa é tabé estritaete decrescete QUESTÃO 06 LETRA D Veja que f(0) = 0 Siplicado e racioalizado a fução, obteos: + + f() = = ( ) + + = + = ( + ) + ( ) Agora, trocado por, obteos f( ) = f(), de odo que f é ípar Vaos aalisar o caso > 0 Neste caso, podeos fazer = tgθ, co θ 0, π Assi, θ se tg θ+ cos cos θ θ f() = = θ = = = tg tg se θ θ seθ θ θ se cos cos θ Coo θ π 0,, obteos π π 0,, de odo que f() (0, ), para todo > 0 Coo f(0) = 0 e f é ípar, 4 segue que I(f) = (, 0) {0} (0, ) = (, ) QUESTÃO 07 LETRA D AD BE CF Seja,,q =,, q DB EC FA a progressão geoétrica Pelo Teorea de Ceva, teos (q) =, de ode q obteos = Isso sigifica que E é o poto édio de BC Podeos fazer AD= c,db= cq,be = EC = a, CE = bq efa = b Daí, obteos: bcsea S ADF = = S ABC ( + q) bc(+ q) sea ;

3 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) acqseb SBED q = = ; S ABC ac(+ q)seb (+ q) abcsec SECF q = = ; S ABC abq(+ q)sec (+ q) Logo, SDEF q q q = = S (+ q) (+ q) (+ q) (q+ ) ABC QUESTÃO 08 LETRA C Seja M o poto édio do lado BC Coo a bissetriz itera do âgulo B é perpedicular a AM, etão o triâgulo ABM é isósceles, de odo que AB = BM = BC Se os lados de ABC ede, + e +, teos três casos: Caso : Caso : Caso : + = Neste caso, = e os lados deve ser, e, o que ão é possível ua vez que = + ; + = Neste caso, = e os lados são, e 4; + + = Neste caso, = 0 (absurdo) Logo, o períetro do triâgulo ABC é = 9 QUESTÃO 09 LETRA E Basta ver que ( + y)(y + z) = z + y( + y + z) = z + z QUESTÃO 0 LETRA B Fazedo a = + 4 e b = 5 +, a equação dada se reduz a a + b = (a+b) = a + b + ab(a + b) Daí, aida obteos ab(a + b) = 0, de ode cocluíos que a = 0 ou b = 0 ou a + b = 0 Resolvedo cada ua das equações do segudo grau: + 4 = = 0 e = 0; obteos o cojuto-solução 4,,, A difereça etre a aior e a eor dessas raízes é igual a: ( 4) =

4 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 4 QUESTÃO LETRA E Substituido a equação = tg( ) tg tg tg por = 0º, = 80º e = 40º, obteos: tg 0º tg 0º = tg( 60º ) tg 0º tg 0º tg 0º = tg 0º tg 80º tg 80º = tg( 40º ) tg 80º tg 80º tg 80º = tg 80º tg 40º tg 40º tg 40º ( ) = tg 40º tg 40º tg 40º = tg 40º Coo tg0º tg80º e tg40º são diferetes dois a dois, etão são as raízes da equação y y = y y = y y y y y+ = 0 b Portato tg0º + tg80º + tg40º = = a QUESTÃO LETRA A Seja P( ) A A A A A 0 ( ) 0 = = Teos P ( ) = A0 + A+ A + + A9 + A0 e P( ) A0 A A A A9 A0 ( ) ( ) 0 P P Etão A+ A+ A 5+ + A9 = = Observe que 0 = pode ser escrito coo QUESTÃO LETRA D Observe que: π + = + sec = tg cotg = tg cos π Assi a equação iicial, pode ser escrita coo: tg + cotg = cos + = ( ) ( ) tg tg tg 0 De ode obteos: π =, tg tg + = 0 π π =, = 4 Soa das soluções: 4 π 8 π 9 π π 7 π + + = = 4

5 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 5 QUESTÃO 4 LETRA A + = se A se B se ( A) se ( B) = 0 se A= se B= cosb e se A= se B Assi, teos: se A cosb = se A se B cosb cosa seb sea 0 sea cosb = cosb cosa= seb sea cosa se B = ( ) Coo A e B são agudos, etão A B π + = π cos A+ B = 0 A+ B= + k π QUESTÃO 5 LETRA D Trata-se de ua questão típica de lugar geoétrico Seja: A o etreo que peraece sepre o eio y, M o poto édio do segeto que peraece sepre o eio e B o outro etreo Coo M é poto édio de AB, teos 0 = Seja a edida do segeto de reta AB Novaete coo M é poto édio de AB, obteos: 0 + = y + = 4 ( ) y que é a equação de ua elipse + y = y = QUESTÃO 6 LETRA B Duas circuferêcias distitas se corta e, o áio, dois potos distitos Portato, o úero áio de potos de iterseção de 007 circuferêcias distitas é: 007 C 007, = = QUESTÃO 7 LETRA C k k k a+ b + a b = a + a b + + b 0 k Observe que ( ) ( ) k k k k k Agora fazedo a = e b=, teos: 6 6 ( + ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )

6 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 6 ( ) + ( ) = [ ] ( ) ( ) = 970 Agora, observe que 0 < <, etão 0< ( ) 6 < Etão o eor iteiro aior que ( ) 6 + é 970 QUESTÃO 8 LETRA D Para forar u triâgulo, deveos escolher três vértices ão-cosecutivos Portato teos ua aplicação direta do o lea de Kaplasky A resposta é ( ) g0, = = 5= QUESTÃO 9 LETRA A Coo deve ser resolvidas pelo eos 0 questões, será ecessário resolver questões e duas partes e 4 questões e ua das partes Isso pode ser feito de aeiras: ( 4,, ), (, 4,, ) ou (,, 4 ) Teos, etão: C 5, C5, C5,4 = 500 QUESTÃO 0 LETRA A Teos 4 y 4y , que pode ser escrita coo ( ) ( ) + + y 4 Essa desigualdade correspode a u círculo de cetro C(, ) e raio 4 Coo a reta + y = 0 coté o cetro do círculo, quado este rodar u âgulo de 6 π radiaos e toro da reta, o sólido forado será a uião de duas cuhas esféricas de raio 4 co diâetro sobre a reta + y = 0 e e sei-espaços opostos co relação ao plao y Cada cuha te superfície igual a soa das áreas de u fuso co raio igual a 4 e âgulo cetral igual a 6 π radiaos e dois 8π sei-círculos de raio 4 Logo a superfície etera total te área 4π 4 +π 4 = Na figura abaio represetaos ua das cuhas esféricas

7 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 7 QUESTÕES DISSERTATIVAS QUESTÃO Veja que f( ) = f()+ f(), de odo que f() = 0 Da seguda codição, cocluíos que f(0) = f( 5) = f() + f() + f(5) = 0 Coo f(), f() e f(5) são úeros aturais, a úica possibilidade é que f() = f() = f(5) = 0 Vaos ostrar que para todo úero prio p 7, f(p) = 0 Daí, utilizado a fatoração de u atural e úeros prios, vaos ostrar que a úica fução que satisfaz ao euciado é f 0 De fato, o algariso das uidades de p será,, 7 ou 9 E qualquer u desses casos, obteos u últiplo de p que teria e 7, a dizer: 7p, 9p, p ou p, respectivaete Daí, teos: Se p teria e, 7p teria e 7 Daí, f(7p) = 0 f(7) + f(p) = 0 f(7) = f(p) = 0; Se p teria e, 9p teria e 7 Daí, f(9p) = 0 f() + f() + f(p) = 0 f(p) = 0; Se p teria e 7, f(p) = 0; Se p teria e 9, p teria e 7 Daí, f(p) = 0 f() + f(p) = 0 f(p) = 0; Logo, f(p) = 0, para todo prio p Agora, se a a a = p,p p a a a k k f() = f(p k,p p k ) = af(p ) + a f(p ) + + a kf(p k) = 0 Portato, f() = 0, para todo N* QUESTÃO Iicialete, veja que a fução é tabé sobrejetora, ua vez que o cojuto {f(), f(),, f(007)} possui 007 eleetos e está cotido e A Isso sigifica que a iage de f é igual ao cotra-doíio A Logo, cocluíos que f é bijetora Seja f(j) j = k (costate), para cada j =,,, 007 Etão, f(j) j = ± k Soado todas essas igualdades para j =,,, 007, obteos S = f(j) j= 0 j= i j= i Por outro lado, 0 = S = ± k ± k ± k (007 vezes) Daí, a úica possibilidade é k = 0, ua vez que 007 é ípar Logo, f(j) = j, para todo j A QUESTÃO Subtraido as duas equações, ficaos co y = y, ou aida, ( y)( + y + ) = 0 Logo, teos dois casos: Prieiro caso: y = 0, ou seja, = y = Z Neste caso, obteos a = ( ), de ode cocluíos que a é o produto de dois iteiros cosecutivos Logo, a 0 Coo = 980 < 007 e = 070 > 007, a pode assuir 45 valores iteiros, já que podeos substiuir por qualquer valor 45 Segudo caso: + y + = 0 Neste caso, teos = e y = ( + ), de ode cocluíos que a = + + = ( + ) + é ua uidade a ais que o produto de dois iteiros cosecutivos Logo, a Neste caso, tabé tereos 45 valores possíveis para a satisfazedo o sistea Portato, o úero total de valores de a é 90

8 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 8 QUESTÃO 4 Veja que os âgulos ACB e ADB são retos, ua vez que AB é diâetro Etão, os quadriláteros ATSD e BCST são iscritíveis, de odo que DTS = DAS = SBC = STC, coo queríaos ostrar QUESTÃO 5 Iicialete, veja que as áreas dos triâgulos BDP, AEP e ABP vale, respectivaete, 7 c, 4 c e 8 c Faça = S PDC e y = S PEC Teos: i) BD 7 8 = =, DC 4+ y de ode obteos 8 7y = 8; CE y + 7 ii) = =, de ode obteos y = 7 EA y = Resolvedo o sistea,ecotraos = ey = y = Daí, SCEPD = + = 9 9

9 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 9 QUESTÃO 6 Cosidere a figura abaio, represetado a situação do problea, ode r e s, são as retas tagetes à elipse Cosidere as retas s : y = + p e r:y= + q Substituido a equação da reta s e + 4y = 4, obteos: + ( + ) = ( ) 4 p 4 4 8p 4p p+ p 4= = ( ) p+ 4p 4= 0 Coo a reta s é tagete, etão deveos ter = 0 Mas = 0 p = 4 + De aeira aáloga, substituido a equação da reta r e + 4y = 4, e fazedo = 0, obteos Na reta s : y = + p, teos y p = ( ) Na reta r:y= + q, teos y q 4 q = + y = p y y+ = 4 + ( I ) + = ( ) y+ = q 4 y + y+ = + y + y+ = + 4 ( II ) Adicioado as equações ( I ) e ( II ), obteos: ( ) ( ) y 5 ( ) Portato as coordeadas do Poto M, satisfaze a equação r = = + + y = 5 + y = 5, que represeta ua circuferêcia de raio QUESTÃO 7 cos Sabedo-se que se =, a fução f pode ser escrita coo: a b c f cos se cos ( ) + cos se cos = e se cos= a+ c f = + bse + c a cos ( ) ( ) = ( ) + + ( + ) ( ) ( )

10 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) 0 ( ) Cosidere a fução g( ) = se + cos, que pode ser escrita coo g( ) se ( ) ode seα= + e cosα= + Assi, ua fução desse tipo te iage I( g) { y R y } = + + Portato podeos afirar que a fução ( ) ( ) = + +α, a+ c f = + ( bse + c a cos), te iage coo iage a+ c b + a c a+ c+ b + a c I( f) = y R y ( ) ( ) QUESTÃO 8 k Observe que = k+ k k + k+ Assi, teos que: S ( ) k k + = k= k+ k k + k + S = ( ) ( ) k= k + k+ k k + + S = ( ) ( ) k= k + k= k+ + + S = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) + = + QUESTÃO 9 A) y 7y y = ( ) De ode teos: ( ) = = + ou seja y = 4 + ou y = Logo a equação y 7y y 0 y 7+ y+ + = 0 ( ) 7+ ± + y = y 4 y + = =, pode ser escrita a fora ( ) ( ) r:y = 4+ ou r :y = que represeta duas retas cocorretes o poto P(, 0) 4 Tagete do âgulo agudo forado etre essas retas: tgθ= = + 4 Portato ( tg cotg ) 4 5 θ+ θ =

11 C/007/MATEMATICA/ITAIME/MAT599ita(res)/ Cleo 5607 Prova de Mateática o Ao/EM (SIMULADO ITA/007) B) O quadrilátero será forado pelos potos P(, 0), M(0, ), O(0, 0) e 0 0 / De ode teos: D= = Portato a área do quadrilátero é 4 uidades N, 0 QUESTÃO 0 Assuido que cada questão te apeas duas possibilidades para a resposta: C: Resposta certa, E: Resposta errada Agora observe que a resposta de cada estudate, correspode a ua seqüêcia forada de 5 letras escolhidas etre C e E Claraete, teos 0 C 8 Mas o úero de seqüêcias co eataete k letras C s é dado por 5 k+ 6 k = k k 6 k Assi, o úero áio de seqüêcias é = 597 k 8 k= 0