GEOMETRIA BÁSICA GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 18/11/2010
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- Maria Antonieta Bergmann Alencar
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1 GEOMETRIA BÁSICA GGM006-TURMA M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 8//200
2 Defiição : PRISMA Cosidere dois plaos paralelos α e β e um segmeto de reta PQ, cuja reta suporte r itercepta o plao α. Seja P = ABCD...MN o polígoo covexo (região poligoal covexa) cotido em α. Chama-se prisma à reuião de todos os segmetos cogruetes e paralelos a PQ, com uma extremidade os potos do polígoo e situados um mesmo sub-espaço dos determiados por α.
3 Ou aida, prisma covexo limitado ou prisma covexo defiido ou prisma covexo é a reuião da parte do prisma covexo ilimitado, compreedida etre os plaos de duas secções paralelas e distitas.
4 Elemetos do prisma : - 2 bases cogruetes, -
5 Elemetos do prisma : - 2 bases cogruetes, - faces laterais (paralelogramo) -
6 Elemetos do prisma : - 2 bases cogruetes, - faces laterais (paralelogramo) - (+2) faces,
7 Elemetos do prisma : - 2 bases cogruetes, - faces laterais (paralelogramo) - (+2) faces, - arestas laterais,
8 Elemetos do prisma : - 2 bases cogruetes, - faces laterais (paralelogramo) - (+2) faces, - arestas laterais, - 3 arestas, - 2 vértices. No exemplo da figura ao lado:
9 Elemetos do prisma : - 2 bases cogruetes, - faces laterais (paralelogramo) - (+2) faces, - arestas laterais, - 3 arestas, - 2 vértices. No exemplo da figura ao lado: Bases cogruetes são os hexágoos, 6 faces laterais, 8 faces, 6 arestas laterais, 8 arestas e 2vértices.
10 Altura de um prisma : PRISMA é a distâcia h etre os plaos das bases.
11 Superfícies: PRISMA - Superfície lateral é a reuião das faces laterais. - Superfície total é a reuião da superfície lateral com as bases. Área lateral Área total A l A t
12 Classificação: - Prisma reto arestas laterais são perpediculares aos plaos das bases. Suas faces laterais são retâgulos - Prisma obliquo arestas laterais são obliquas aos plaos das bases. - Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígoos regulares.
13 Natureza de um prisma: PRISMA Um prisma será triagular, quadragular, petagoal, etc,... coforma a base for um triâgulo, um quadrilátero, um petágoo, etc. Exemplo: Qual é a atureza dos seguites prismas:
14 Natureza de um prisma: PRISMA Um prisma será triagular, quadragular, petagoal, etc,... coforma a base for um triâgulo, um quadrilátero, um petágoo, etc. Exemplo: Qual é a atureza dos seguites prismas: hexagoal hexagoal petagoal
15 Exercício: Ache a atureza de um prisma, sabedo que ele possui: (faça um deseho para cada item) a) 7 faces; b) 8 faces; c) 5 arestas; d) 24 arestas;
16 Exercício: Ache a atureza de um prisma, sabedo que ele possui: (faça um deseho para cada item) a) 7 faces; +2 = 7, etão a base possui 5 arestas e portato é prisma petagoal b) 8 faces; c) 5 arestas; d) 24 arestas;
17 Exercício: Ache a atureza de um prisma, sabedo que ele possui: (faça um deseho para cada item) a) 7 faces; +2 = 7, etão a base possui 5 arestas e portato é prisma petagoal b) 8 faces; +2 = 8, etão a base possui 6 arestas e portato é prisma hexagoal c) 5 arestas; 3 = 5 petagoal d) 24 arestas; = 5, etão a base possui 5 arestas e portato é prisma
18 Exercício: Ache a atureza de um prisma, sabedo que ele possui: (faça um deseho para cada item) a) 7 faces; +2 = 7, etão a base possui 5 arestas e portato é prisma petagoal b) 8 faces; +2 = 8, etão a base possui 6 arestas e portato é prisma hexagoal c) 5 arestas; 3 = 5 petagoal d) 24 arestas; 3 = 24 octogoal. = 5, etão a base possui 5 arestas e portato é prisma = 8, etão a base possui 8 arestas e portato é prisma
19 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO
20 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO
21 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Paralelepípedo reto retâgulo ou paralelepípedo retâgulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retâgulos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO
22 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é a reuião de seis paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Sua superfície total é a reuião de quatro retâgulos com dois paralelogramos. Paralelepípedo reto retâgulo ou paralelepípedo retâgulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retâgulos; Sua superfície total é a reuião de seis retâgulos. OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO
23 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retâgulo cujas arestas são cogruetes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas cogruetes etre si. Sua superfície total é a reuião de seis losagos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas cogruetes etre si. Sua superfície total é a reuião de quatro quadrados com dois losagos(bases). Romboedro reto retâgulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reuião de seis quadrados. (6 losagos) (2 losagos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retâgulo
24 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retâgulo cujas arestas são cogruetes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas cogruetes etre si. Sua superfície total é a reuião de seis losagos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas cogruetes etre si. Sua superfície total é a reuião de quatro quadrados com dois losagos(bases). Romboedro reto retâgulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reuião de seis quadrados. (6 losagos) (2 losagos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retâgulo
25 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retâgulo cujas arestas são cogruetes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas cogruetes etre si. Sua superfície total é a reuião de seis losagos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas cogruetes etre si. Sua superfície total é a reuião de quatro quadrados com dois losagos(bases). Romboedro reto retâgulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reuião de seis quadrados. (6 losagos) (2 losagos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retâgulo
26 Diagoal e Área do Cubo Exercício: Dado um cubo de arestas a, calcule a diagoal d, e sua área total S.
27 Diagoal e Área do Cubo Exercício: Dado um cubo de arestas a, calcule a diagoal d, e sua área total S. Solução: Cosidere a face ABCD, quadrado de lado a, C B Por pitágoras, temos que a D a A CA d a A área do cubo de arestas a é S = a 3 2 6a 2
28 Diagoal e Área do paralelepipedo Exercício: Dado um paralelepípedo retâgulo de dimesões a, b e c, calcule a diagoal, d, do paralelepípedo e sua área total S.
29 Diagoal e Área do paralelepípedo Exercício: Dado um paralelepípedo retâgulo de dimesões a, b e c, calcule a diagoal, d, do paralelepípedo e sua área total S. d a 2 b 2 c 2 e S 2( ab ac bc) Razão etre Paralelepípedos Retâgulos Proposição: A razão etre dois paralelepípedos retâgulos de bases cogruetes é igual à razão etre as alturas. Exercício: Veja demostração o livro. Pagia 5.
30 Itrodução: PRISMA Volume de um Sólido Cosidere dois recipietes, como mostra a figura: Supoha que se utilizem litros para echer o primeiro recipiete (forma cúbica) e m litros para echer o segudo recipiete (vaso). O úmero m é a medida de quato o segudo recipiete é maior (ou meor) que o primeiro. Ou seja, o espaço ocupado pelo segudo é ocupado pelo primeiro. m vezes o espaço
31 Volume de um Sólido Itrodução: Exemplo: Uma garrafa de 5 litros de água ocupa 5/3 mais Espaço que uma garrafa de 3 litros. Volume de um sólido espaço por ele ocupado. No exemplo iicial, se adotarmos o primeiro recipiete (cubo) como uidade de volume, dizemos que o volume do segudo Recipiete (vaso verde) é. O volume do primeiro é. m
32 Volume de um Sólido Itrodução: Assim a forma empírica de determiar o volume de um recipiete é echê-lo e verificar a quatidade de líquido utilizada. Problema : Qual o volume da terra? Problema 2 : Determie a dimesão de uma caixa d água para que sua capacidade seja de 000 litros. Problema 3: Qual a quatidade de líquido ecessária para echer um determiado recipiete?
33 Volume de um Sólido Itrodução: Para isso vamos escolher como uidade de volume um cubo de lado. Dizemos que esse cubo tem volume igual a. Se a aresta do cubo medir cm, etão o volume do cubo será de 3 cm (lê se : um cetímetro cúbico). Se a aresta do cubo medir m (um metro), etão o volume do cubo será de m 3 (um metro cúbico).
34 Volume de um Sólido Itrodução: Volume de um sólido ou medida de um sólido é um úmero real positivo associado ao sólido de forma que: i) Sólidos cogruetes tem volumes iguais; ii) Se um sólido é a reuião de dois sólidos S e S 2, que ão tem potos iteriores em comum, etão o volume de S é a soma dos volumes de S e S 2.
35 Volume de um Sólido Itrodução: Volume de um sólido ou medida de um sólido é um úmero real positivo associado ao sólido de forma que: i) Sólidos cogruetes tem volumes iguais; ii) Se um sólido é a reuião de dois sólidos S e S 2, que ão tem potos iteriores em comum, etão o volume de S é a soma dos volumes de S e S 2. Defiição: Dois sólidos são equivaletes se, e somete se, eles têm volumes iguais a mesma uidade de volume.
36 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo º) Cosidere o cubo escolhido como uidade volume e divida cada uma de suas arestas em partes iguais. 3 Obtém-se cubihos justapostos, com arestas medido (o exemplo = 3)
37 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo º) Cosidere o cubo escolhido como uidade volume e divida cada uma de suas arestas em partes iguais. 3 Obtém-se cubihos justapostos, com arestas medido (o exemplo = 3) 3 - Todos os têm o mesmo volume. O volume do cubo origial é a soma dos volumes dos 3 cubihos.
38 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo º) Cosidere o cubo escolhido como uidade volume e divida cada uma de suas arestas em partes iguais. 3 Obtém-se cubihos justapostos, com arestas medido (o exemplo = 3) 3 - Todos os têm o mesmo volume. O volume do cubo origial é a soma dos volumes dos 3 cubihos. - O volume de cada cubiho é 3
39 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo Vamos determiar o volume de um paralelepípedo retagular ABCDEFGH cujas arestas medem a, b e c. -
40 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo Vamos determiar o volume de um paralelepípedo retagular ABCDEFGH cujas arestas medem a, b e c. - Divida o cubo em cubihos de arestas com medidas - Cosidere m(ab) = a, m(ad)= b e m(ae) = c. - Seja p, q e s os úmeros de segmetos de medida que cabem em BA, AD e AE, respectivamete. p. a ( p ), q. b ( q ) e s. c ( s )
41 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo p q. s. 3 ( p ).( q ).( s ).. abc 3 (I)
42 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo p q. s. 3 ( p ).( q ).( s ).. abc 3 (I) Por outro lado, o paralelepípedo retagular cujas arestas medem está iteiramete cotido o paralelepípedo ABCDEFGH e é formado por pqs cubihos de p, aresta. Cada cubiho tem volume. q e s 3
43 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo p q. s. 3 ( p ).( q ).( s ).. abc 3 (I) Por outro lado, o paralelepípedo retagular cujas arestas medem está iteiramete cotido o paralelepípedo ABCDEFGH e é formado por pqs cubihos de p, aresta. Cada cubiho tem volume. Portato o volume de ABCDEFGH satisfaz V q e s 3 pqs 3
44 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo p q. s. 3 ( p ).( q ).( s ).. abc 3 (I) Por outro lado, o paralelepípedo retagular cujas arestas medem está iteiramete cotido o paralelepípedo ABCDEFGH e é formado por pqs cubihos de aresta. Cada cubiho tem volume. Portato o volume de ABCDEFGH satisfaz Além disso, p, q e s V ( p )( q )( s ) 3 3 V pqs 3
45 p q s Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo ( p ).( q ).( s ).. V 3 3 (II)
46 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo (II) De (I) e (II), temos que : Como, vale para qualquer positivo ). ).( ).( (. 3 3 s q p V q s p, e, c s b q a p ). ).( ).( ( s q p qs ps pq p q s s q p abc V 2 c b a bc ac ab c b a bc ac ab abc V
47 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo Para suficietemete grade temos que Portato V abc Note que ac é a área do retâgulo ABFE e b é a altura do paralelepípedo. 0 V abc
48 Volume do Paralelepípedo Retâgulo e do Cubo Para suficietemete grade temos que Portato Note que ac é a área do retâgulo ABFE e b é a altura do paralelepípedo. Cocluimos que : O volume do paralelepípedo retagular é o produto da área da base pela altura. V abc 0 V abc O volume do cubo de aresta a é 3 V a
49 Área Lateral e Área Total do prisma A área lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais. A área total de um prisma é a soma das áreas das faces laterais, com as áreas das bases (duas).
50 Área Lateral e Área Total do prisma Seja um prisma de aresta lateral medido a, e cosidere uma seção reta do prisma, cujas medidas dos lados são: l, l 2,, l Temos que a área lateral é: A l a. l a. l2 a. l ( l l2 l) a 2 p. a Ode 2p é a medida do perímetro da seção reta. 2 p A l 2p. a Lembre-se que Como ecotrar? l, l 2,, l são os lados de seção reta.
51 Etão se l PRISMA Área Lateral e Área Total do prisma, l 2,, l Assim a área total é dada por: At Al 2B At 2p. a 2B são as arestas laterais da seção reta do prisma. Ode B é a área da base. e l, l 2,, l são as medidas das arestas laterais da seção reta.
52 Área Lateral e Área Total do prisma Obs: ) No prisma reto a área lateral é igual a altura. A l 2 p. h e A 2p. h 2B. t
53 Obs: PRISMA Área Lateral e Área Total do prisma 2) No prisma regular, a aresta lateral é igual a altura e a base é um polígoo regular. A A 2B A 2p. a B Área da base B: t l t 2
54 Obs: PRISMA Área Lateral e Área Total do prisma 2) No prisma regular, a aresta lateral é igual a altura e a base é um polígoo regular. A A 2B A 2p. a B t l t 2 Área da base B: É a soma dos triâgulo de base l (medida do lado) e a altura m (medida do apótema).
55 Obs: PRISMA Área Lateral e Área Total do prisma 2) No prisma regular, a aresta lateral é igual a altura e a base é um polígoo regular. At Al 2B At 2p. m 2B Área da base B: É a soma dos triâgulo de base l (medida do lado) e a altura m (medida do apótema). l. m (. l). m B. B p. m B B p.m 2
56 Área total A t PRISMA Área Lateral e Área Total do prisma do prisma regular: A t A l 2B A t 2p. h 2p. m A t 2p ( h m) ode h é a altura do prisma regular e m é o apótema do prisma regular.
57 Volume do Prisma Pricípio de Cavalieri : Cosidere dois sólidos S e um plao α. Supoha que, para todo e S 2 plao β paralelo a α, as seções plaas S têm a mesma área. e S2
58 Volume do Prisma Pricípio de Cavalieri : Cosidere dois sólidos S e um plao α. Supoha que, para todo e S 2 plao β paralelo a α, as seções plaas S têm a mesma área. e S2
59 Volume do Prisma Pricípio de Cavalieri : Cosidere dois sólidos S e um plao α. Supoha que, para todo e S 2 plao β paralelo a α, as seções plaas S têm a mesma área. Etão V S ) V( S ). ( 2 e S2
60 Volume do Prisma O volume de um prisma é o produto da área da área da base pela medida da altura. Prova: Cosidere - um prisma S de altura h e área da base B e um paralelepípedo B retâgulo de altura h e área da base B. S 2 2 B
61 Volume do Prisma O volume de um prisma é o produto da área da área da base pela medida da altura. Prova: Cosidere - um prisma S de altura h e área da base B e um paralelepípedo B retâgulo de altura h e área da base B. S 2 2 B (Ou seja, o prisma e o paralelepípedo tem alturas cogruetes e bases equivaletes)
62 Volume do Prisma - que os dois sólidos têm as bases um mesmo plao, α e estão um dos semi-espaços determiados por α. ' - Qualquer plao β paralelo a α, seccioa S e S, e as seções ( B B ) tem áreas iguais. Por quê? B ' ' B, B2 B2, B B2 B 2 B ' ' B2 e ' 2
63 Volume do Prisma Etão pelo Pricípio de Cavalieri, o prisma e o paralelepípedo, tem volumes iguais. V( S ) V( S2) S S 2 Como V( S 2 ) B 2 h, etão V( S ) Bh V( S) 2 Bh Logo V Bh
64 Seções plaas do cubo Exercício: Determie quais são os polígoos que podem ser obtidos a seção plaa do cubo. Acesse o sítio: ou - Clique a aba Cortar para o exercícios de seções plaas do cubo - pressioe a tecla i e o botão do mouse posicioado o vetor e para modificar a icliação do plao.
65 Exercícios Resolva as questões do capítulo de prisma do livro texto.
66 Defiição PIRÂMIDE Cosidere o polígoo covexo, P=ABC... MN cotido em um plao α e um poto V fora de α. Para todo X pertecete a P ou ao seu iterior, trace um segmeto. VX
67 PIRÂMIDE Defiição Cosidere o polígoo covexo, P=ABC... MN cotido em um plao α e um poto V fora de α. Para todo X pertecete a P ou ao seu iterior, trace um segmeto VX. Chama-se pirâmide (ou pirâmide covexa) à reuião dos segmetos VX, (segmetos com uma extremidade em V e a outra os potos do polígoo).
68 PIRÂMIDE Elemetos de uma pirâmide - base I (polígoo covexo P=ABC... MN), - faces laterais (triâgulos), - + faces, - arestas laterais, - arestas, - + vértices. I
69 PIRÂMIDE Elemetos de uma pirâmide - base I (polígoo covexo P=ABC... MN), - faces laterais (triâgulos), - + faces, - arestas laterais, - arestas, - + vértices. Exercício: Verifique para o exemplo ao lado o qual o polígoo covexo é um petágoo: faces laterais, faces, arestas laterais, arestas e vértices. I
70 Altura da pirâmide: PIRÂMIDE é a distâcia h etre o vértice e o plao da base.
71 PIRÂMIDE Altura da pirâmide: é a distâcia h etre o vértice e o plao da base. Superfícies Superfície lateral: é a reuião das faces laterais da pirâmide. Superfície total: é a reuião da superfície lateral com a superfície da base da pirâmide. Notação : A l e A t
72 Altura da pirâmide: PIRÂMIDE é a distâcia h etre o vértice e o plao da base. Superfícies Superfície lateral: é a reuião das faces laterais da pirâmide. Superfície total: é a reuião da superfície lateral com a superfície da base da pirâmide. Notação : A l e A t Natureza de uma pirâmide: Será triagular, quadragular, petagoal, etc coforme a base do triâgulo for um triâgulo, um quadrilátero, um petágoo, etc.
73 PIRÂMIDE Pirâmide Regular: Pirâmide cuja base é um polígoo regular e a projeção ortogoal do vértice sobre o plao da base é o cetro da base. - As arestas laterais são cogruetes, - As faces laterais são triâgulos isósceles cogruetes.
74 PIRÂMIDE Pirâmide Regular: Pirâmide cuja base é um polígoo regular e a projeção ortogoal do vértice sobre o plao da base é o cetro da base. - As arestas laterais são cogruetes, - As faces laterais são triâgulos isósceles cogruetes. Apótema m de uma pirâmide é a altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral.
75 PIRÂMIDE Volume do tetraedro Proposição: Sejam e' dois plaos paralelos e P um poto ão situado etre e', sejam d e d as distâcias de P a e', respectivamete. Para todo A, seja A' PA '. Etão PA PA' d d' para todo A Observe que: PA PB PA' PB' d d'
76 PIRÂMIDE Volume do tetraedro Cosidere uma pirâmide ABCV e h é sua altura em relação à face ABC. Seja α um plao paralelo a α e que seccioa a pirâmide segudo o triâgulo A B C. Chame h a distâcia de V ao plao α. Pela proposição temos que: VA' VA VB' VB VC' VC h' h
77 PIRÂMIDE Volume do tetraedro Proposição 2: Cosidere uma pirâmide ABCV e h é sua altura em relação à face ABC. Seja α um plao paralelo a α e que seccioa a pirâmide segudo o triâgulo A B C. Chame h a distâcia de V ao plao α. Etão os triâgulos A B C e ABC são semelhates.
78 Proposição 2: PIRÂMIDE Volume do tetraedro Cosidere uma pirâmide ABCV e h é sua altura em relação à face ABC. Seja α um plao paralelo a α e que seccioa a pirâmide segudo o triâgulo A B C. Chame h a distâcia de V ao plao α. Etão os triâgulos A B C e ABC são semelhates. Pela proposição temos que: área( A'B' C') área( ABC) h' h Exercicio: Veja demostração o livro 2
79 PIRÂMIDE Volume da Pirâmide Proposição: Se dois tetraedros têm a mesma altura e mesma área da base, etão elas tem o mesmo volume.
80 PIRÂMIDE Volume da Pirâmide Proposição: O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela medida da altura. Prova:
81 PIRÂMIDE Volume da Pirâmide Proposição: O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela medida da altura. Prova: Seja B a área da base e h a medida de altura de uma pirâmide qualquer. Esta pirâmide é a soma de -2 tetraedros. B h V T T T V V V V h B h B h B V h B B B V ). ( 3 2 2
82 PIRÂMIDE Decomposição de um prisma triagular Proposição 3: Todo prisma triagular é a soma de três pirâmides triagulares (tetraedros) equivalete etre si( de volumes iguais). Exercício : Verifique a proposição acima. (págia 92/92) Exercício 2: Resolva as questões 27 e 468 do livro texto. Ver pagias 57 e 2 respectivamete.
83 Poliedro Covexo: POLIEDROS CONVEXOS Cosidere um úmero fiito poligoal covexa) tais que:, 4, de polígoos plaos covexos ( ou região a) dois polígoos ão estão em um mesmo plao; b) cada lado do polígoo é comum a dois e somete dois polígoos; c) o plao de cada polígoo deixa os demais um mesmo semi-espaço.(codição de covexidade) Nessas codições, ficam determiados semi-espaços, cada um dos quais tem origem o plao de um polígoo e cotem os restates. A iterseção desses semi-espaços é chamado Poliedro covexo.
84 POLIEDROS CONVEXOS Quais dos exemplos abaixo são poliedros, poliedros covexos?
85 POLIEDROS CONVEXOS Exercício: Desehe outros exemplos de poliedros covexos.
86 POLIEDROS CONVEXOS Elemetos do poliedro covexo: Faces: são os polígoos; Arestas: são os lados dos polígoos; Vértices : sãos os vértices dos polígoos; Âgulos : são os âgulos dos polígoos.
87 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Teorema de Euler Para todo poliedro covexo vale a relação: ode V A F 2 V é o úmero de vértice, A é o úmero de arestas e F o úmero de faces do poliedro covexo. Exemplo: Verifique se vale a relação de Euler para os poliedros abaixo: a) b)
88 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exemplo 2 : Vale a relação de Euler para os poliedros abaixo? a) b)
89 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exemplo 2 : Vale a relação de Euler para os poliedros abaixo? a) b) Poliedro Euleriao: poliedros para os quais vale a relação de Euler. Todo poliedro covexo é euleriao, mas em todo poliedro euleriao é covexo.
90 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos âgulos de todas as faces de um poliedro covexo é : S ( V 2) 4r ode V é o úmero de vértices e r é o âgulo reto. Exercício: Determie a atureza de um prisma sabedo que a o soma dos âgulos iteros de todas as suas faces vale 2880.
91 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos âgulos de todas as faces de um poliedro covexo é : S ( V 2) 4r ode V é o úmero de vértices e r é o âgulo reto. Exercício: Determie a atureza de um prisma sabedo que a o soma dos âgulos iteros de todas as suas faces vale Solução: o 2880 ( V o 2880 ( V 2)4.90 2)360 8 ( V 2) V 0 Logo o prisma é petagoal. o o
92 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos âgulos de todas as faces de um poliedro covexo é : S ( V 2) 4r ode V é o úmero de vértices e r é o âgulo reto. Exercício: Determie a atureza de um prisma sabedo que a o soma dos âgulos iteros de todas as suas faces vale Solução: o 2880 ( V o 2880 ( V 2)4.90 2)360 8 ( V 2) V 0 Logo o prisma é petagoal. o o Lembre que: S i S i o ( 2).80 o ( 5 2).80 Base petagoal 540 o S o o o
NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate
Proposta de teste de avaliação
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QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA. Prova 3 Matemática QUESTÕES OBJETIVAS GABARITO 2
Prova QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA UEM Comissão Cetral do Vestibular Uificado GABARITO MATEMÁTICA 0 Na figura a seguir, esboçamos
QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA. Prova 3 Matemática QUESTÕES OBJETIVAS GABARITO 3
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[Digite texto] T U R M A D O P R O F. J E J E C A E X A M E F I N A L R E C U P E R A Ç Ã O F I N A L 9 º E. F = b) [Digite texto]
![[Digite texto] T U R M A D O P R O F. J E J E C A E X A M E F I N A L R E C U P E R A Ç Ã O F I N A L 9 º E. F = b) [Digite texto]](/thumbs/65/53750583.jpg "[Digite texto] T U R M A D O P R O F. J E J E C A E X A M E F I N A L R E C U P E R A Ç Ã O F I N A L 9 º E. F = b) [Digite texto]")
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