Questão 02. Resolução: Sejam r e s as retas suportes de AB e BC, respectivamente. Equações de r e s. Da figura 1, temos: b + = + = + + = 4 ) 2.

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1 009 IME Questão 0 Sae-se que: a [ a ] + {a}, a \, ode [a] é a parte iteira de a x + [ y ] + {z}, y + [ z ] + {x}, 6, z + [ x ] + { y} com x, y e z \ Determie o valor de x y + z Para o sistema dado, podemos fazer: x + [ y ] + {z}, () () y + [ z ] + {x},6 () z + [ x ] + { y} Adicioado as lihas, temos: x + y + z 9,8 x + y + z,9 () Agora, fazedo () + () : x + y + z + [ y ] + {x} 7,8,9 + [ y ] + {x} 7,8 [ y ] + {x},9 [ y ] e {x} 0,9 () + () : x + y + z + [ x ] + {z} 6,,9 + [ x ] + {z} 6, [ x ] + {z}, [ x ],0 e {z} 0, () + () : x + y + z + [ z ] + { y} 5,6,9 + [ z ] + { y} 5,6 [ z ] + { y} 0,7 [ z ] 0 e { y} 0,7 Logo, x [ x ] + {x},9 y [ y ] + { y},7 z [ z ] + {z} 0, x y + z,9,7 + 0, 0,5 "A matemática é o alfaeto com que Deus escreveu o mudo" Galileu Galilei

2 Um triâgulo isósceles possui seus vértices da ase sore o eixo das ascissas e o terceiro vértice, B, sore o eixo positivo das ordeadas. Sae-se que a ase mede e seu âgulo oposto B 0º. Cosidere o lugar geométrico dos potos cujo quadrado da distâcia à reta suporte da ase do triâgulo é igual ao produto das distâcias as outras duas retas que suportam os dois outros lados. Determie a(s) equação(ões) do lugar geométrico e idetifique a(s) curva(s) descrita(s). Questão 0 Sejam r e s as retas suportes de AB e BC, respectivamete βα+ 0º α 0º α+β 80º β 50º a tgα a 6 Equações de r e s r: y x tgα+ a y x+ x y+ 0 6 s: y x tgβ+ a y x+ x+ y 0 6 Da figura, temos: x y+ x+ y d y, d e d De d d d, temos: x y+ x+ y y x ( y ) ± y i) + x 7y y y x 7 y x 7 y 7 y x 7 9 Hipérole de cetro em 0, e semi-eixos iguais a 7 e. 7 ii) + + x y y x + y + y+ x + y+ Circuferêcia com cetro em 0, e raio igual a.

3 Sae-se que zz z z + z z z, sedo z, z, z e z úmeros complexos diferetes de zero. e 0 z Prove que z e z são ortogoais. Os.: úmeros complexos ortogoais são aqueles cujas represetações gráficas são perpediculares etre si e z é o úmero complexo cojugado de z. Questão 0 z + z z z 0 z z z z A distâcia do afixo de z ao de z é igual à distâcia do afixo de z ao de z, ou seja, z está sore a reta mediatriz do segmeto que ue os afixos de z e z. r é a mediatriz citada. Como z 0, podemos escrever: π π z ρ' cosθ± + iseθ± Escrevedo z e z a forma trigoométrica: z ρ cosα+ i seα ( cos se ) ( cos se) z ρ β+ i β z ρ β + i β z Lemrado que z z vem: z π π ρ' cosθ± + iseθ± ρ( cosα+ iseα) ρ[ cos( β ) + ise( β ) ] ρ θ+ θ ( cos ise ) ρ' π π ρ ρ[ cos( α β ) + ise( α β )] cos± + ise± ρ ρ' π ρ ρ e α β± + kπ, k ρ π α β± + kπ, k Logo, z e z são ortogoais. c.q.d.

4 Questão 0 Dada a fução F 0, 0 ; : F IN IN (, ) (, ) (, 0 ) (, 0), com as seguites características: F m+ q F m, ode q é um úmero real diferete de zero; F + r+ F, ode r é um úmero real diferete de zero. 009 Determie o valor i 0 F i, i, i IN. i) F ( 0, 0) F, 0 r + F 0, 0 r + F, 0 r + F, 0 r + r + r + F, 0 r + F, 0 r + r + r + F k,0 k r + ii) F(, ) q F(, 0) q ( r + ) F(, ) q F(, ) q q F(, 0) q ( r + ) F(, ) q F(, ) q q F(, ) q q q F(, 0) q ( r + ) (, ) k F k k q k r +, que é a fórmula do termo geral. Logo, podemos escrever: i 0 i i Fii (, ) q i r+ + q r+ + q r q 009r + + q+ q q + r q+ q q S S 00 ( q ) 009 iii) S + q+ q q q 009 iv) S q+ q q 00 q S q + q q S q S q+ q + q q 009 q ( ) q q S ( q) 009 q q S S 009 ( ) 009 q q q q 00 ( q ) ( q ) 009 q 00 q + q 0 00 Voltado em : 009 i i ( ) 00 q r q q q F( i, i) + q (, ) F i i ( q ) ( q ) r + q 00r + q + r q q+

5 Seja G o poto de itersecção das mediaas de um triâgulo ABC com área S. Cosidere os potos A', B' e C' otidos por uma rotação de 80 dos potos A, B e C, respectivamete, em toro de G. Determie, em fução de S, a área formada pela uião das regiões delimitadas pelos triâgulos ABC e A'B'C'. Questão 05 Marcado o plao cartesiao e lemrado que G divide cada uma das mediaas a proporção de para, temos: G R A' C' CA, CB B' C' e A' B' BA ΔABC ΔA' B' C ' S S S A' B ' C ' ABC O triâgulo CPQ ' é semelhate ao triâgulo CABa ' ' ' razão de para (ote que M C' M ' C' ), logo S SC' PQ SC' A' B' 9 De modo aálogo: S S S B' RS e S ATU ' 9 9 Seja S ' a área pedida: S S S S' SABC + SC ' PQ + SB ' RS + SA' TU S S S '. 5

6 Resolva a seguite iequação, para 0 x < π: se x+ cos x+ sex + sexcosx+ cosx + sex sexcosx+ cosx se x+ cos x+ sex + sexcos x+ cos x + sex sexcos x+ cos x > se x se x cos x sex sexcos x sexcos x cos x > > sex sexcos x+ cos x se x sexcos x+ sex sexcos x+ cos x sex+ cos x sexcos x se x sexcos x sex+ cos x sexcos x cosx sex > 0 π se x+ sex ( x x) > 0 cos + se > 0 π π se x+ sex+ se π sex + > 0 π π π sex+ sex+ cosx f ( x) Questão 06 π sex + > 0 π π sex+ cos x Estudo do sial de f ( x ) : > π π 5π 7π S ; π; ; π 6

7 Questão 07 Seja um cuo de ase ABCD com aresta a. No iterior do cuo, sore a diagoal pricipal, marca-se o poto V, formado-se a pirâmide VABC. Determie os possíveis valores da altura da pirâmide VABCD, em fução de a, saedo que a soma dos quadrados das arestas laterais da pirâmide é igual a ka, sedo k um úmero primo. Os.: as arestas laterais da pirâmide são VA, VB, VC e VD. y (0, a, 0) (, aa,0) t (0, aa, ) D V (0, 0, 0) ( aaa,, ) C( a, 0, 0) x z A(0, 0, a) B( a, 0, a) t é a reta suporte de uma diagoal pricipal. Se V é poto de t, etão V( h,h,h ), em que h é a altura da pirâmide VABCD. VA + VB + VC + VD k a h + h + h a + h a + h + h a + h a + h + h + h + h + h k a 8h + h a ka 8h + h 8ha+ a ka 0 h 8a h+ a k 0 8a± 6a 8 a k 8a± a k h k 8 h a ± 6 Lemrado que k é primo e 0 < h< a, temos as seguites soluções para h. i) k ± a a h a h ou h 6 6 ii) k 5 7 h a + 6, pois a outra raiz é egativa. iii) k 7 h a + 6, pois a outra raiz é egativa. 7

8 Questão 08 Dada uma matriz quadrada A de ordem, defiida da seguite forma: os elemetos da liha i da colua são da forma ai i+ ; os elemetos imediatamete aaixo da diagoal pricipal são uitários, isto é, a ij para i j ; todos os demais elemetos são ulos. Sedo I a matriz idetidade de ordem e de det ( M ) o determiate de uma matriz M, ecotre as raízes da equação det ( x I A) 0. De acordo com a defiição, temos que ( x I A) x x x x + Defiido: A x+, Ak x Ak + k x A A x A+ A det 0, tem a seguite otação taular:, temos que det x 0 A x A x A +. 0 x + x 0 0 x 0 + A x A + B, x + ode B é o determiate da matriz de ordem ( ) : x B ( ) A x A + + x I A A, pois: 8

9 A x A. + i Como A x ( x+ ) i 0 i A x + 0, pois: i j A x x x + x A + i 0 i j 0 j. Resolvedo ( x I A) det 0, temos: ( x I A) A ( x ) det + 0, de ode segue que x é raiz da equação com multiplicidade. Questão 09 A figura aaixo é composta de 6 quadrados meores. De quatas formas é possível preecher estes quadrados com os úmeros,, e, de modo que um úmero ão pode aparecer vezes em: uma mesma liha. uma mesma colua. cada um dos quatro quadrados demarcados pelas lihas cotíuas. Quadrado I Quadrado II Casa do quadrado IV Casa do quadrado IV Quadrado III Quadrado IV Usado a otação estaelecida acima, temos! maeiras de preecher o quadrado I. Como a casa do quadrado IV é livre, temos possiilidades de escolher seu ocupate. Motado o quadrado I e escolhido o elemeto da casa do quadrado IV, teremos, automaticamete outras quatro casas defiidas, como o exemplo: Fialmete, temos três possiilidades para preecher a última casa (casa ) do quadrado IV e com isto todas as casas ficarão determiadas. Logo: 88. 9

10 Questão 0 Seja a uma costate real positiva. Resolva a equação 0 x a. a a a x a a a x x + +, para x e a a+ a x + a a a x x a a a a a x a a a x x a a a a a a+ a x a a x x + a a a x x x + + a a a Fazedo x se a θ, com 0 π θ : + se θ + se θ seθ ( + cos θ+ cos θ ) ( seθ ) cos cos cos 8se + θ+ θ+ θ θ cos θ+ seθ 8se θ 8se θ cos θ se θ se θ cos θ seθ π cos( θ ) cosθ+ π θ Voltado a sustituição x se a θ : π x ase a x 0

11 Professores Bruo Wereck Maim Marcelo Moraes Ney Marcodes Rodrigo Beradelli Zé Carlos Colaoradores Alie Alkmi Aderso (IME) Herique Orlado (IME) Paula Esperidião Pedro Goçalves Digitação e Diagramação Érika de Rezede Nayara Val Piheiro Desehistas Isaella Lucas Lemes Mariaa Fiusa Viicius Rieiro Projeto Gráfico Viicius Rieiro Assistete Editorial Alicio Roerto Supervisão Editorial Alicio Roerto Bruo Wereck João Neto José Diogo Marcelo Moraes Rodrigo Beradelli Copyright Olimpo008 A Resolução Cometada das provas do IME poderá ser otida diretamete o OLIMPO Pré-Vestiular, ou pelo telefoe (6) As escolhas que você fez essa prova, assim como outras escolhas a vida, depedem de cohecimetos, competêcias, cohecimetos e hailidades específicos. Esteja preparado.

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