MATEMÁTICA QUESTÃO 1. Resolução. Resolução Primeira solução:

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2 (9) O ELITE RESOLVE IME 007 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO 3 0 Cosidere as matrizes A= e B =, e seja P uma matriz 3 0 iversível tal que B = P - AP. Sedo um úmero atural, alule o determiate da matriz A. Primeira solução: 3 Como A= 3, det(a)= 3 =. Temos que det(a ) = (det(a)) Assim, det(a ) = Seguda solução: B = P -.A.P det B = (det P - ).(det A). (det P) Sabedo que det P - = /(det P), temos: det A = det B Como B é uma matriz diagoal: 0 B = 0, portato det A = det B = QUESTÃO Cosidere uma seqüêia de triâgulos retâgulos uja lei de formação é dada por a k+ = ak 3 b k+ = bk 5 ode a k e b k, para k, são os omprimetos dos atetos do k-ésimo triâgulo retâgulo. Se a = 30 m e b = m, determie o valor da soma das áreas de todos os triâgulos quado k. Seja A k a área do k-ésimo triâgulo retâgulo. Tal área é dada por: ak b A k k =. Para eotrarmos a relação de reorrêia a seqüêia das áreas, fazemos: ak b a k k bk ak bk 8 A + + k+ = = = = Ak 5 5 A Assim, k + 8 =, para todo k iteiro positivo, ou seja, a razão etre Ak 5 dois termos oseutivos quaisquer é ostate, o que arateriza a seqüêia ( A, A, A 3,...) omo uma progressão geométria de razão 8 a q = e primeiro termo b 30 A = = = 630m. Sedo 5 q <, podemos alular o limite da soma dos k primeiros termos quado k +. a 630 S = limsk = 350m 8 k + q = = 5 QUESTÃO 3 Cosidere o sistema de equações dado por 3log α+ log β= log9α log3 β= 0 ode α e β são úmeros reais positivos. Determie o valor de P = αβ. 3log3α+ log9 β= 0 3log3α+ log3β= 0 (I) log9α log3 β= 0 log 3α log 3β= 0 (II) Subtraido (II) de (I), temos: 5 5 log3α + log3β= 0 log3α+ log3β= 0 log3αβ= 0 αβ = QUESTÃO Sejam C e C* dois írulos tagetes exteriores de raios r e r* e etros O e O*, respetivamete, e seja t uma reta tagete omum a C e C* os potos ão oiidetes A e A*. Cosidere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmeto AA* em toro do eixo OO*, e seja S a sua orrespodete área lateral. Determie S em fução de r e r*. r r* O r* P A r + r* E.R. M x* B Q O* B* suuuur O poto M pertee ao eixo radial (E. R.) e à tagete AA *, portato MA = MA* = MQ. Da figura, temos: AA * = PO * = (r + r*) (r r*) = rr * AA* = rr * MQ = rr * Pelo teorema de Pappus-Guldi, temos S = π MQ. AA * S = π. rr *. rr * = π rr * QUESTÃO 5 Resolva a equação π π log ( se x+ os x ) (+ se x) =, x, π π Nosso problema, o uiverso,, possui as seguites odições de existêia: i) sex + os x >0 ii) sex + os x iii) + sex>0 Supodo que tais odições são válidas, podemos etão reesrever ossa equação, utilizado para isso as propriedades dos logaritmos: log sex+ os x(+ sex) = (sex + os x) = + sex Expadido o quadrado do lado esquerdo, temos: (sex + os x) = se x + os x +.sex.os x = + sex E isso os mostra que idepedetemete de qual é o valor de x (perteete ao uiverso), a equação a equação (sex + osx) = + sex sempre tem solução. A*

3 (9) O ELITE RESOLVE IME 007 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS Aalisado agora as odições de existêia, temos: i) sex + osx > 0 sex > osx π Portato, o itervalo do uiverso, temos x ;0 ii) sex + os x sex + os x π π π os sex + se os x se x + Assim, o itervalo do uiverso, temos: π π x + x 0 π π 3π x x + iii) sex + > 0 sex > Assim, o itervalo do uiverso, temos: π π x x Dessa forma, os valores que satisfazem a equação são todos aqueles do uiverso, om exeção daqueles que desrespeitam as odições de existêia (i), (ii) e (iii). π π Assim temos S =, 0 0, U QUESTÃO 6 O quadrilátero BRAS, de oordeadas A(,0), B(,0), R(x,y ) e S(x,y ) é ostruído tal que RAS ˆ RBS ˆ o = = 90. Sabedo que o poto R pertee à reta t de equação y = x +, determie a equação algébria do lugar geométrio desrito pelo poto S ao se desloar R sobre t. Como o poto R pertee à reta y=x+, temos que ele pode ser parametrizado omo (a; a+) Através da ilustração, perebemos que as retas AR e AS, assim omo as retas BS e BR, são perpediulares, de modo que o produto de seus oefiietes agulares é igual a -. Lembrado que o oefiiete y agular de uma reta é dado por m =, temos: x m AR.mAS = = m BS.mBR ( ) a+ 0 0 y y 0 a+ 0. =. a x x a ( ) ( ) a+ y y a+. =. a x x+ a+ Temos que a ordeada do poto R, (a+) 0 (de outra maeira, ão poderíamos formar o quadrilátero) Assim, podemos aelar esse termo em ambos os membros. Por uma razão semelhate temos que y 0. Assim: (a + ).(x + ) = (a ).(x ) ax + a + x + = ax x a + 3x = 3a 3 x = a a= x Substituido em m AR.mAS =, temos: a+ y x y =. =. xy = (x )( x ) xy= x x+ x+ a x x x Portato, temos que o lugar geométrio é dado pela equação: x +x+xy-=0 OBS.: Lembrado que a equação geral de uma ôia é dada por Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, e que o sial de = B.A.C defie qual é a ossa ôia, temos: = (/ )..0 > 0 Logo, o lugar geométrio do poto S é uma hipérbole. QUESTÃO 7 Sejam x e x as raízes da equação x + (m 5)x+ m = 0. Sabedo que x e x são úmeros iteiros, determie o ojuto de valores possíveis para m. ª SOLUÇÃO: Para que a equação x + (m 5) x + m = 0 teha soluções iteiras, = (m 5) m 0 m 3m m 9 ou m 5. Sabedo que x e x são iteiros, vamos determiar m: x + (m 5) x + m = 0 x + mx 5x +m = 0 m(x+) = 5x x 5x x 6x x x 6x m = m = m = x. x + x + x + Da equação origial, sedo x e x as raizes da equação, temos x x =m m é iteiro. Logo x+ é divisor de 6 x+ { ±, ±, ±, ± 8, ± 6}. Assim, temos: x+= x = 0 m = 0 x+= x = m = 3 x+= x = m = 7 x+= x = 3 m = 7 x+= x = 3 m = 9 x+= x = 5 m = 5 x+= 8 x = 7 m = 7 x+= 8 x = 9 m = 7 x+= 6 x =5 m = 0 x+= 6 x = 7 m = 3 Como ada m satisfaz as odições m 9 ou m 5, temos que m { 0,7,9,5,7,3 } ª SOLUÇÃO: Sedo x e x as raízes da equação, temos, de Girard: x+ x = 5 m x + x + x x = 5 xx = m Assim, temos: x (x +)+x +=5+ (x +)(x +)=6 Portato, (x +) e (x +) são fatores de 6, pois x e x são iteiros. Como os divisores de 6 são ±, ±, ±, ±8, ±6, supodo sem perda de geeralidade que x x e sabedo que m = x.x, temos a seguite tabela que reúe todos os valores possíveis para m, a partir dos fatores (x +) e (x +): x + x + x x m Assim, m { 0, 7, 9, 5, 7, 3}

4 (9) O ELITE RESOLVE IME 007 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS QUESTÃO 8 Cosidere o ojuto formado por m bolas pretas e bolas braas. Determie o úmero de seqüêias simétrias que podem ser formadas utilizado-se todas as m + bolas. Observação: uma seqüêia é dita simétria quado possui a mesma ordem de ores ao ser perorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. Para garatir simetria, preisamos ter exatamete o mesmo úmero de bolas pretas à esquerda e à direita do etro, o mesmo sedo válido para as bolas braas. Vamos dividir em dois asos: i) m + = par e ii) m + = ímpar. Em (i), omo m + é par, temos possibilidades: a) m e ímpares: ão podemos formar seqüêia, pois o úmero de bolas à esquerda e à direita do etro ão pode ser igual, logo, resposta zero; b) m e pares: omo ão temos termo etral, temos m bolas pretas e bolas braas do mesmo lado; assim, podemos formar as seqüêias permutado tais bolas; portato, temos m +! possibilidades; m!! Em (ii), omo m + = ímpar, Temos que eessariamete, ou m ou é ímpar e podemos ostruir a seguite seqüêia: b b... b m + b m + + b m b m + 3 bola etral da sequeia Para que a seqüêia seja simétria, temos que b m+ =b ; b m+- =b ;...; b m+ = b m+ + 3 e assim suessivamete. A bola etral deve ser eessariamete aquela da or uja quatidade é ímpar. Assim, para formar as seqüêias simétrias, basta esolhermos as bolas de a m +, que pode ser realizada de: m+! ) maeiras, se m é ímpar m!! d) m+! maeiras, se é ímpar. m!! Se a = b, etão a primeira igualdade fia: a + b b + a a + a = = = +. Fazedo = x, temos: a a a x = + x x = 0 x = ou x x = -/ a = = b ou = -a = -b. Substituido ovamete a primeira igualdade, temos: a + b a + a a + b a + a = = ou = = a a QUESTÃO 0 ( + ) Seja f: ℵ R uma fução tal que f ( k) = 008, ode ℵ e R ( + ) são, respetivamete, o ojuto dos úmeros aturais e o dos úmeros reais. Determie o valor umério de. f (006) Expadido o somatório para = 006: 006 f( k) = f(0) + f() + f() f(005) + f(006) 006 f( k) = [ f(0) + f() f(005)] + f(006) 005 f( k) Assim, podemos reesrever ossa igualdade, isolado f(006): f(006) = f( k) f( k) k= 0 k= 0 Sabedo que, para = 006 e = 005 temos (006 + ) (005 + ) f( k) = 008 e (006 + ) f( k) = 008 obtemos: (005 + ) f (006) = f (006) = = = ( ) ( 007 ) 007 ( 007 ) = = = Portato, = 007 f (006) QUESTÃO 9 Sejam a, b e úmeros reais ão ulos. Sabedo que a+ b b+ a+ = =, determie o valor umério de a + b. a b Do euiado, temos a seguite odição de existêia: a 0; b 0 e 0. Além disso, podemos dizer que: a+ b b+ = a a + ab= b + (I) a b a + + = ab + b = a + (II) b Fazedo (I) (II), vem: a b = (b a) (a + b)(a b) = -(a b) a+ b = ou a = b. 3

5 (9) O ELITE RESOLVE IME 007 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS Resultados Turma ITA/IME/AFA somete da uidade CAMPINAS 003: 3º lugar de SP a EsPCEx º lugar de SP a EPCAr (3º ao) º lugar de SP a AFA aprovado o IME 00% dos aluos foram aprovados a ª fase da Uiamp 80% dos aluos foram aprovados a ª fase da Uiamp 00: aluos aprovados a AFA (dos 5 que haviam prestado)! 7º lugar de SP a AFA 5º lugar de SP a AFA aprovado o IME aprovado EsPCEx 005: aluos aprovados a AFA º lugar da UNESP - Matemátia º lugar da UFSCar - Matemátia 80% dos aluos foram aprovados em Uiversidades públias 006: aluos aprovados e lassifiados a AFA (além de aprovados e ão lassifiados), dos 7 que prestaram! 3 aluos aprovados a EPCAr (dos 6 que prestaram) º lugar de SP a EPCAr (3º ao)... em 006 é só o omeço... veha ser aprovado voê também!