PROVA DE RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

Transcrição

1 )Uma prova costa de testes de múltipla escolha, cada um com 5 alterativas e apeas uma correta Se um aluo ``chutar`` todas as respostas: a)qual a probabilidade dele acertar todos os testes? b)qual a probabilidade dele acertar exatamete testes? Nas codições dadas, a probabilidade do aluo acertar cada teste é /5 e a de errar é 4/5Desta forma, teremos: a)a probabilidade do aluo acertar todos os testes é ( ) 5 4! 8 b) A probabilidade do aluo acertar exatamete testes é ( ) ( ) 5 5! 8! Respostas: a) ( ) 5 4! b) ( ) ( ) 5 5! 8! 8

2 )Quado uma pizzaria cobra R$4,00 por pizza, 80 uidades são vedidas por dia Quado o preço é R$,00 por pizza, 90 uidades são vedidas a)admitido que a quatidade vedida (y) seja fução do o grau do preço (x ), qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita diária? b)se a relação etre y e x fosse y = 4x + 60, e o custo de cada pizza R$8,00, qual o preço que deveria ser cobrado para maximizar o lucro? a)temos a situação dada pelo gráfico abaixo: y (quatidade) A equação da reta acima é dada por: x ( preço) m = = 5 4 y 90 = 5( x ) y = 5x + 50 Desta forma a receita é: R = x y = x( 5x + 50) = 5x + 50x o valor de x que maximiza a receita é o x do vértice da fução quadrática, isto é: b x = v a = 50 = 5 b)o lucro é dado por L = Re ceita Custo L = x y 8 y F ode F é o custo fixo da pizzaria portato, L = x( 4x + 60) 8( 4x + 60 ) F

3 L = 4x + 9x 80 F o valor de x que maximiza o lucro é o x do vértice da fução quadrática Isto é: b x = v a = 9 = 4 8 Respostas: a)r$5,00 b)r$4,00

4 3)a)Obteha os valores de x e y que satisfazem o sistema abaixo: x + y = 5 x y = log log 4 4 b)qual o cojuto solução da equação expoecial 5 x x = 0 +? a)o sistema dado pode ser escrito sob a forma: x + y = 5 x + y = 5 x + y = 5 x x log ( ) = = = x y y 4 = y 4 b)a equação dada pode ser escrita sob a forma: x x (5 ) = 0 Fazedo 5 x = y, a equação acima fica: x = y = 5 y 5y + 4 = 0 cujas raízes são y = ou y = 4 Assim, temos duas possibilidades: x 5 = x = 0 x 4 5 = 4 x = log 5 Resposta: a) x = y = 5, b) S = { 0 5 } 4,log

5 4)a)O o termo de uma progressão geométrica é A, a razão é q e o último termo é BObteha o úmero de termos desta progressão, em fução de A, B e q b)um empréstimo de R$7 500,00 deve ser pago sem juros em parcelas mesais A a parcela vale R$500,00 e, cada parcela a partir da a é R$50,00 superior à aterior Quatas parcelas são ecessárias para pagar a dívida? a) Se A 0 e q > 0 e q, teremos: B B B log log A A B = A q q = ( ) = = + A log q log q Se A 0 e q < 0 e q, a PG é alterada O úmero de termos é o mesmo da PG ode a = A e a = B ; como a razão desta PG é q, segue com raciocíio aálogo ao caso aterior que: = + B log A log q Os casos ode A = 0 ou q = 0 ou q = ou q = são idetermiados b)as parcelas formam uma progressão aritmética (PA) de o termo igual a 500 e razão igual a 50 Assim, a última parcela é a = ( ) 50 = e a soma das parcelas é: ( a + a ) ( ) S = = = Como a soma das parcelas é 7 500, segue que = 7500 Resolvedo a equação acima ecotramos = 5, pois a raiz egativa ão covém

6 5) a)no plao cartesiao, para que valores de m as retas de equações (r) mx + y + 4 = 0 e (s) mx 4y + 5 = 0 são perpediculares? b)qual a distâcia etre as retas (t) 3x + 4 y = 0 e (v) 3x + 4 y + 5 = 0? m a)o coeficiete agular da reta (r ) é m = e o da reta (s ) é m r retas sejam perpediculares devemos ter, m m = Portato: r s s m m = = Para que as 4 4 m m = m = 8 m = ou m = 4 b)observemos que as retas dadas são paralelas A distâcia etre duas retas paralelas é igual à distâcia etre um poto de uma e a outra Assim, fazedo x = 0 a reta (t) obtemos y = 0 Portato um poto da reta (t) é (0,0) A distâcia procurada é a distâcia etre (0,0) e a reta (v), ou seja: d = = = 5 Resposta: a) m = ou m = b)

7 6)Um cojuto de valores uméricos x, x, x x, tem média aritmética igual a 0 3 e variâcia igual a 0 Se adicioarmos 5 a cada valor, isto é, se obtivermos o cojuto ( x + 5),( x + 5), ( x + 5) ( x + 5), 3 a)qual a média do ovo cojuto de valores? ( Justifique) b)qual a variâcia do ovo cojuto de valores? ( Justifique) a)dado que x + x + x + x 3 = 0 Queremos o valor de ( x + 5) + ( x + 5) + ( x + 5) + + ( x + 5) 3 Temos: ( x + 5) + ( x + 5) + ( x + 5) + + ( x + 5) x + x + x + + x = = = 5 b)dado que ( x ) ( x ) ( x 0 ) = 0, queremos o valor de ( x + 5 5) + ( x + 5 5) + ( x + 5 5) Temos: ( x + 5 5) + ( x + 5 5) + ( x + 5 5) ( x 0) + ( x 0) + ( x 0) = = 0 Resposta: a)5 b)0

8 7)a)A medida da diagoal de uma face de um cubo mede 6 5cmQuato mede a diagoal desse cubo? b)sabedo-se que cos x = k, obteha em fução de k o valor de cos 4x a)seja a a medida da aresta do cubo Como a diagoal de uma face mede a, segue que a = 6 5 a = 3 Como a diagoal do cubo d é dada por d d = ( 3 ) 3 = 3 30 b) cos4x = cos x se x cos4x = cos x cos 4x = ( cos x ) cos 4x = ( k ) cos 4x = 8k 4 8k + = a 3, segue etão que Resposta: a)3 30 b)8k 4 8k +

9 8)a)Discuta, em fução de m, o sistema as icógitas x e y: mx + y = 4 x + my = 6 b)dadas as matrizes A = 0 k 0 3 e B =, para que valores de k e m, a matriz A é m 3 a iversa de B? a)seja o determiate da matriz dos coeficietes, D = m m = m Se D 0, o sistema é possível e determiado Portato isto ocorre para m e m - x + y = 4 Para m =, o sistema fica igual a que é impossível x + y = 6 x + y = 4 Para m =, o sistema fica igual a que também é impossível x y = 6 b)a matriz A será a iversa de B se AB=I, ode I é a matriz idetidade Assim, temos: k 0 A B = k + m = Portato, k = k + 3m = 0 k = m = 6 Resposta: a) m e m sistema possível e determiado m = ou m =, sistema impossível b) k = e m = 6

10 9)a)Uma empresa tomou um empréstimo bacário de R$ ,00 para pagameto em 3 parcelas auais, sedo a a daqui a ao O baco combiou cobrar juros compostos a uma taxa de 0% ao ao Sabedo-se que a a parcela foi de R$80 000,00 e a a de R$00 000,00 qual o valor da 3 a? b)durate quatos meses um capital deve ser aplicado a juros compostos e à taxa de 8% ao ao para que o motate seja o triplo do capital aplicado? ( você pode deixar a resposta idicada, sem fazer os cálculos) a)idiquemos por 0 a data de hoje, daqui a ao, daqui a aos e 3 daqui a 3 aos Teremos: Motate daqui a ao: (, 0) = Pagameto daqui a ao: Saldo devedor daqui a ao: Motate daqui a aos: 40000(, 0) = Pagameto daqui a aos: Saldo devedor daqui a aos: Desta forma, o motate daqui a 3 aos será (, 0) = que é o valor da 3 a parcela b)devemos ter, M = C(, 08 ), ode C é o capital, M o motate e o tempo de aplicação em aos ( pois a taxa é aual) Como M = 3C, segue que 3C = C(, 08) = log 3 log, 08 log 3 Portato, o tempo em meses é log, 08

11 3 )a)a fução poliomial P( x) = x + x + 5 é crescete Mostre que ela possui uma raiz real egativa 3 b)sejam a, b e c as raízes da equação x 4x + x + = 0 Qual o valor de a + b + c? a)como P(-) = 3 e P(-) = -5 segue que há uma raiz real etre e ; portato existe uma raiz real egativa, que é úica pois P(x) é crescete b)temos: a + b + c = ( a + b + c) ( ab + ac + bc) Pelas relações de Girard: a + b + c = ( 4) = 4 ( I) e ab + ac + bc = = ( II) De (I) e (II), segue que a + b + c = ( 4) ( ) = Resposta: a)demostração b)