6) V cone = FORMULÁRIO. 30 o 45 o 60 o. sen. cos. 1) a n = a 1 + (n-1) r. 2) S n = 2. 3) a n = a 1 q n 1. 4) S n = 1. 7) (x a) 2 + (y b) 2 = r 2

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1 Resolução da prova de matemática UFSC 0 PROVA VERDE Prof. Guilherme Sada Ramos Guiba FORMULÁRIO 0 o 4 o 60 o se cos tg ) a = a + (-) r a + a ) S = ) a = a q 4) S a (q ) = a ) S = q 6) V coe = q π r h 7) ( a) + (y b) = r A + yb ya 8) d A,B = ( ) ( ) B 9) a = b + c c b cos 0) A triâgulo = D ) T p+ = a p p ) =! p p! ( p )!, p ode D = y y y ) se(a + b) = se a cos b + se b cos a

2 Questão Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. As sequêcias (4, 7, 0,...) e (, 0,,...) são duas progressões aritméticas com 0 termos cada uma. A quatidade de termos que pertecem a ambas as sequêcias é. 0. Segudo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Atigo, com muitas atribuições e locais de culto. Na ideologia atiga, Hórus foi cofudido com o céu ou assimilado ao Sol (disco solar ladeado por duas grades asas). No papiro de Rhid ficou registrado que a sequêcia das frações dos olhos do deus Hórus era,,,,,. O valor umérico da soma dos termos desta sequêcia é. 04. O primeiro termo da progressão geométrica em que a = e a 6 = é O valor de a equação = 440, sabedo que as parcelas do primeiro membro formam uma progressão aritmética, é 4. RESOLUÇÃO: 0. A primeira sequêcia é formada dos 0 primeiros múltiplos positivos de adicioados de uma uidade. Já a seguda é formada pelos 0 primeiros múltiplos de. Como mmc (,) =, etão de em uidades, teremos elemetos repetidos das duas sequêcias. Assim, teremos a sequêcia (0,, 40,,..., p), sedo p o último termo em comum. Esse termo é certamete meor ou igual ao 0º termo da primeira PA, este a = a + r. Teremos: que pode ser calculado por ( ) p a0 = a + 49r p = ( ) A sequêcia dos termos comus será dada por (0,, 40,, 70, 8, 00,, 0, 4), que tem 0 termos. Item FALSO!!! 0. Ocorre que = = Note que ão se trata de uma sequêcia ifiita (esse caso a soma daria, coforme a fórmula ). Item FALSO!!! 04. Se a6 = e a =, podemos achar a razão da PG, fazedo 9 a a.q 6 =. Temos que:

3 q q =.q 9 = = 9. 7 = = 7 Utilizado aida a = a.q, ocorre: a = a.q = a. 9 = a. a =.9 = Item VERDADEIRO!!! 08. Temos termos em PA cuja soma é 440, e queremos saber o valor de a. Retomemos ( a + a) a fórmula S =. Como a = a + ( r ), etão será verdade que a a + r a = a + r r =. Substituido a relação da soma, teremos: r a a + r ( a + a) r S = + ( + ) 440 = ( + ) 440 = = 760 = + 0 = + 76 Resolvedo a equação do segudo grau, teremos = 4 ou = 4. Como os termos são positivos, etão = 4. Item VERDADEIRO!!! GABARITO:

4 Questão Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. A reta que passa pela origem e pelo poto médio do segmeto AB com A=(0,) e B=(,0) tem coeficiete agular. 0. Dois automóveis, A e B, deslocam-se o mesmo setido com movimeto uiforme em uma mesma estrada, que é reta. No istate t = 0, A se ecotra o quilômetro zero e B o quilômetro 60. Se, o itervalo de t = 0 a t = h, A percorreu 60 km e B percorreu 0 km, etão A alcaça B o istate t = h ao passarem pelo marco de 90 km. 04. A reta t de equação 4 + y 6 = 0 é tagete à circuferêcia C de equação ( 4) + y = 4 e perpedicular à reta s de equação 4 y + = As circuferêcias C de equação + y 0y + = 0 e C de equação + y 8 4y + 0 = 0 são secates. RESOLUÇÃO: 0. O poto médio do segmeto AB é dado pelas médias aritméticas etre as coordeadas dos potos A e B. Esse poto é M =,. O coeficiete agular da reta que passa O 0,0 e por M é calculado por: pela origem ( ) y = y M O m M O m = =. = Item VERDADEIRO!!! 0. Como o movimeto é MRU, as velocidades são costates. Como a velocidade de A é 60 km/h, e ele parte do quilômetro zero, ele ão passa pelo quilômetro 90 o istate t = h. Item FALSO!!! 04. Para que duas retas ão paralelas aos eios cartesiaos sejam perpediculares, é preciso que o produto de seus coeficietes agulares seja igual a. Isolado y as

5 duas equações de reta, teremos que 6 m t.ms =. Item FALSO!!! 9 m t 4 4 = e ms =. Assim, ocorre que Cofira a figura abaio. Note que C é de fato tagete a t, já que a distâcia etre O e t é igual ao raio (r = ) de C. Etretato, as duas retas ão são perpediculares. 08. Para que duas circuferêcias sejam secates, basta que o sistema formado por suas equações admita duas soluções da forma (, y). Cada uma das soluções (se eistirem) será um poto em comum das circuferêcias. Vamos resolver o sistema + y 0y + = 0. + y 8 4y + 0 = 0 Subtraido a primeira equação da seguda, teremos que 6 6y + = 0 y + = 0 = y. Substituido esta relação em qualquer uma das duas equações (opto pela seguda), teremos: + + = y 8 4y 0 0 ( ) ( ) y + y 8 y 4y+ 0 = 0 y 4y y 8y + 6 4y + 0 = 0 y 6y + 0 = 0 y 8y + = 0 Resolvedo a equação do segudo grau, temos y = (que implica = ) e y = (que resulta = ). Assim, temos duas soluções para o sistema, (,) e (,). Logo, as circuferêcias são secates. Item VERDADEIRO!!! GABARITO: 09

6 Questão Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. As soluções do sistema homogêeo abc com ( a b c) tipo (,, ) + + múltiplo de. + y z = 0 8y + 8z = 0 y + 4z = 0 são teras ordeadas do a b a b 0. Se det A = 8 para A =, etão det B = 8 para B =. c d a + c b + d 04. Se A = etão + 4 ( A A A t ) = Se,, [ AB ]. B = C. ABC são matrizes iversíveis, etão ( ).( AC) 6. O valor de para que os potos A(, ), B(,9) e C(0,) sejam colieares é. RESOLUÇÃO: + y z = 0 0. Ao tetarmos resolver o sistema 8y + 8z = 0, vamos cocluir que se trata de um y + 4z = 0 sistema possível e idetermiado, já que a terceira equação é a soma da seguda com a primeira multiplicada por. Com isso, o sistema tem duas equações que são realmete relevates, equato que a outra é redudate. De qualquer forma, podemos epressar duas das três variáveis em fução da terceira. Vamos fazê-lo: Isolado a seguda equação, teremos = 8y 8z. Substituido a primeira 0 equação, ocorre 8y 8z + y z = 0 y 0z = 0 y = 0z y = z. Assim, z 88z 8 = 8y 8z 8 z 8z z 8z z = = =. 8 0 Portato, todas as ifiitas soluções do sistema são da forma z, z,z. Somado os três elemetos da tera ordeada, teremos 8 0 8z + 0z + z z z+ z+ z = =.Esta soma ão é múltipla de. Item FALSO!!! 0. Se det(a) = 8, etão ad bc = 8. O determiate da matriz B será dado por a b ( b d) a ( a c) b ab a+ c b+ d = + + = + ad ab bc = ad bc = 8. Logo, det(b) = 8. Item VERDADEIRO!!!

7 04. Vamos determiar a matriz iversa de A e a sua trasposta. Em seguida, efetuamos a soma e, por último, multiplicamos este resultado por si próprio. a b d b A matriz iversa, se eistir, de A =, é dada por A =. No caso c d det A c a de A =, como det( A) =.. =, etão a matriz iversa será A =. Além disso, temos que A t =, trocado lihas por coluas. Assim, ossa soma fica: t A + A A = + = Multiplicado o resultado por ele próprio, temos: + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = = Item VERDADEIRO!!! 08. Vamos os fazer valer de quatro propriedades de operações etre matrizes: ( ) XY = Y X ( XY) Z X( YZ) ( X ) = X =, cohecida por propriedade associativa da multiplicação. X X = X.X = I, em que I é a matriz idetidade de ordem, elemeto eutro da multiplicação Desevolvedo o lado esquerdo da igualdade questioada, temos: ( ) ( ) (( ) )( ) ( )( ) ( ) [ BIC] B = [ BC] B = C B.B = C ( B B) = C.I = C AB AC B = B A AC B = BA AC B = B A A C B = O resultado é a matriz iversa de C, e ão a própria C, como é afirmado. Item FALSO!!! 6. Para que três potos o plao cartesiao estejam alihados, basta que o determiate D da fórmula 0 seja igual a zero. Neste caso, fazedo D em termos de, temos: D = 9 = = Fazedo D = 0, obtemos 7 + = 0 7 = =. Item FALSO!!! GABARITO: 06

8 Questão 4 Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Para que a fução P() = + p seja divisível por 4, é ecessário que p seja igual a Os valores reais de que satisfazem a equação =. itervalo (, 4]. pertecem ao 04. Supoha que Chevalier de Mére, um jogador fracês do Século XVII, que gahava a vida apostado seu diheiro em jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um o laçameto de um dado perfeito de seis faces umeradas de a 6. Com relação a esse eperimeto, há dois resultados possíveis: ou sai e Chevalier gaha, ou ão sai e ele perde. Cada um destes resultados sai um ou ão sai um tem a mesma probabilidade de ocorrer. 08. Se =, etão log = Se a, b e c são raízes reais da equação = 0, etão o valor de log + + é ulo. a b c. Se A é o úmero de arrajos de 6 elemetos tomados a ; B é o úmero de permutações de elemetos e C é o úmero de combiações de elemetos tomados a, etão A + B C = 40. RESOLUÇÃO: 0. Como 4 é um poliômio do primeiro grau, basta que P(m) = 0, sedo m a raiz de 4, para que o poliômio P() seja divisível por 4. Calculemos m primeiramete: 4 = 0 4 = = 4 Assim, basta impor P = 0 4 e calcular o valor de p correspodete: P( ) = + p = 0 P p 0 4 = = p + 4p + = 0 = p + = 0 4p = p = 4 Item FALSO!!!

9 0. Vamos resolver a equação, impodo = t. + = =. + = t 4 t + = t t 4 0 Resolvedo a equação, temos t = 4 e t =. Calculado os valores de : = 4 = = = 0 Nehum dos dois valores pertecem ao itervalo (, 4]. Item FALSO!!! 04. Cada face tem chace /6 de ocorrer. Neste caso, ele tem /6 de chace de gahar (saido ) e /6 de chace de perder (saido,, 4, ou 6). Item FALSO!!! 08. Podemos dizer que log =. Por propriedades de logaritmos, podemos aida afirmar que log =. Além dessa propriedade, lembremos que: logba + logbc = logbac log a b = log a b Calculemos etão, log : + log = log. = log + log = log + log = + = Item VERDADEIRO!!! 6. Pelas relações de Girard, uma equação da forma a + b + c + d = 0, temos que: c ab + ac + bc = a d abc = a Na equação = 0, temos que ab + ac + bc = e abc = 0 bc + ac + ab Como + + =, etão, esse caso, o valor de + + é =. E a b c abc a b c 0 log 0. Item FALSO!!!. Não dadas o formulário, temos as fórmulas Façamos os cálculos: A p A6 + P C = 6!! = +! = 6!!! = ( ) ( )!, C p! ( ) 6!! 6..4!. 4.! = +! = +! = 4!!! 4!!! = = 40 Item VERDADEIRO!!! p! = p! p! ( ) e P =!. GABARITO: 40

10 Questão Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. A altura da pirâmide cuja secção trasversal paralela à base está a 4 cm dessa (base) e tem uma área igual a da área da base é 8 cm Supodo que uma partícula tem o deslocameto dado pela equação s(t) = cos π πt + em que t está em segudos e s em metros, etão essa fução tem período de segudos e seu cojuto imagem é Im(s) = [, ]. 04. Um quadrado de lado está iscrito uma circuferêcia de comprimeto π. 08. Se a sombra de uma árvore, um terreo plao, em uma determiada hora do dia, mede 0 m e, esse mesmo istate, próima à árvore, a sombra de um homem de altura,70 m mede m, etão a altura da árvore é de aproimadamete 9,70 m. 6. O sague humao pode ser classificado quato ao sistema ABO e quato ao fator Rh. Sobre uma determiada população P, os tipos saguíeos se repartem de acordo com as seguites tabelas: Tabela A B AB O 40% 0% % 4% Tabela Grupo A B AB O RH + 8% 8% 8% 80% RH 8% 9% 7% 0% Um idivíduo classificado como O Rh egativo é chamado doador uiversal. Podemos dizer que a probabilidade de que um idivíduo, tomado ao acaso a população P, seja doador uiversal é de 9%.. Um ciclista costuma dar 0 voltas completas por dia o quarteirão quadrado ode mora, cuja área é de 0400 m. Etão, a distâcia que ele pedala por dia é de 900 m. RESOLUÇÃO: 0. Qualquer secção trasversal uma pirâmide determia um troco e uma pirâmide meor semelhate à primeira. Se as duas pirâmides são semelhates, etão a razão etre as áreas da meor e da maior pirâmides é igual ao quadrado da razão etre as

11 h a medidas lieares da meor e da maior. Em outros termos, = H, sedo h e a A altura e área da base da pirâmide meor, e H e A altura e área da base da pirâmide maior. Como a =, etão h =. A distâcia etre as bases (difereça etre alturas) A 4 H é 4, etão H h = 4 h = H 4. Substituido, temos: H 4 = H H 8 = H H= 8 Item VERDADEIRO!!! 0. Como o cosseo de qualquer arco real está etre e, esse cosseo multiplicado por estará o itervalo [, ]. Esse cojuto represeta a imagem da fução. Item FALSO!!! Nota: o período da fução é de fato, já que π arco π+ t. π p =, sedo m o coeficiete de t o m 04. Cosidere a figura abaio, em que o lado do quadrado mede.

12 Como a diagoal de qualquer quadrado é igual ao produto do lado por, etão d =. =. O raio é a metade desta medida, portato, r =. Como comprimeto de qualquer circuferêcia é dado por C = π r, etão o comprimeto este caso será C = π = π. Item VERDADEIRO!!! 08. Como os raios solares um dado istate são cosiderados paralelos, etão a altura de qualquer objeto e a sua sombra estarão sempre a uma mesma razão. Se o idivíduo tem,70m de altura e a sombra mede m, etão a altura de cada objeto este istate é 8% da medida da sombra, tal qual ocorre com o sujeito. Logo, a altura da árvore deverá ser 8% da sombra que mede 0m, ou seja, deve essa altura valer 8,0m. Item FALSO!!! 6. A chace de escolhermos um idivíduo do tipo O é 4%. Desses 4%, 0% tem grupo Rh egativo. Calculemos 0% de 4% = = = 9% 00 Neste caso, a chace de o doador escolhido ser uiversal é de 9%. Item VERDADEIRO!!!. Se o quarteirão quadrado tem 0400 m² de área, etão a medida do lado será 0400m = 0m. Se o ciclista dá 0 voltas por dia esse quarteirão, etão ele percorre diariamete uma distâcia equivalete a 0 vezes o perímetro do quadrado. Como este período é 4.0 = 80m, ele pedala diariamete 0.80 = 8400m. Item FALSO!!! GABARITO:

13 Questão 6 Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Pode-se defiir Divisão Áurea como sedo a divisão de um segmeto de reta em duas partes, de tal maeira que a razão etre a parte maior e a parte meor seja aproimadamete igual a,6. Um retâgulo se diz dourado quado possui seus lados a razão áurea, isto é, seus lados medem e,6. Assim, se o lado meor de um retâgulo dourado for uidades de comprimeto, etão a área desse retâgulo será igual a 4,4 uidades de área. 0. O valor umérico de a figura abaio é =, cm. A 4, cm 6, cm B M 6 cm y C 04. As políticas de iclusão para deficietes, especificamete para os cadeirates, destacam a ecessidade de rampas para o acesso do usuário de cadeira de rodas, e que as mesmas, segudo as ormas técicas, devem ter uma icliação de, o máimo, 8,%, ou seja, para cada metro horizotal subir 8, cm a vertical. A rampa da figura abaio cumpre a orma especificada acima. 80 cm 8 m 08. Os vários órgãos de defesa do cosumidor, assim como o Imetro, têm deuciado irregularidades como, por eemplo, o peso real do produto ser iferior ao idicado a embalagem. Se a difereça etre o peso real e o peso auciado a embalagem de uma determiada marca de feijão é de,60 g por cada quilograma e o preço do kg ao cosumidor é de R$,, etão o gaho idevido por toelada é de R$ 44, A soma dos coeficietes do biômio ( a b) é.

14 RESOLUÇÃO: 0. Se o lado meor do retâgulo mede u.c, etão o lado maior medirá.(,6) u.c., ou 4,8 u.c. Assim, a área do retâgulo será dada por.(4,8) = 4,4 u.a. Item VERDADEIRO!!! 0. Observe a figura abaio, em que AM é bissetriz itera do triâgulo ABC em relação ao lado BC. Cosidere uma reta CD paralela à bissetriz AM. Prologado a reta BA até ecotrar CD, vamos cocluir que os quatro âgulos idicados são cogruetes: BAM e MAC pela hipótese de AM ser bissetriz, ADC por ser âgulo correspodete a BAM e ACD por ser altero itero com MAC (lembremos que a reta BA é paralela a CD). Neste caso, o segmeto AD é cogruete a AC, ou seja, também vale q. Pelo teorema de Tales, teremos: m p m m+ = = = q p q p+ q Na figura do item, vamos ter a seguite relação: y + y 6 = = = 4, 6, 0,7 0, , Logo, = =, 4, 0,7 0,7 Como o item cosidera valor aproimado, etão é VERDADEIRO!!! 04. Essa rampa levata 80 cm em 8 m, ou seja, 0 cm para cada metro, ídice além do especificado o teto. Item FALSO!!! 08. Se para cada quilo o prejuízo ao cosumidor é de,6 g, etão em uma toelada (000 kg), a quatidade de feijão idevidamete vedido é,6 kg. Se cada quilo custa R$,, o gaho idevido por toelada é de,.,6 = 44, reais. Item FALSO!!! 6. Para calcular essa soma, basta impor, para todas as variáveis, valor e efetuar a poteciação. Neste caso, teremos ( ) ( ).. = =. Item FALSO!!! GABARITO: 0

15 Questão 7 O volume de um coe reto é 04π cm. Se a altura, o raio da base e a geratriz desse coe formam, essa ordem, uma progressão aritmética, etão calcule a medida da geratriz, em cetímetros, e assiale o valor obtido o cartão-resposta. RESOLUÇÃO: A altura, o raio e a geratriz de um coe reto formam um triâgulo retâgulo. Neste caso, como estão estas medidas em PA, será verdade que: ( a) + = ( + a) a + a + = = 4a = 4r + a + a Se o maior cateto é 4a, o meor será a e a hipoteusa, a. Assim, cocluímos que as três medidas (altura, raio e geratriz) serão proporcioais a, 4 e respectivamete. Lembrado que volume de coe é o forecido a fórmula 6, temos que: πrh Vcoe = π 04 π = 04 = 6a 64 = a a = 64 = 4 ( ) 4a.a Assim, ocorre que = 4 g = = 0 GABARITO: 0

16 Questão 8 Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). No capítulo X, deomiado Cotas, do Romace Vidas Secas, do escritor brasileiro Graciliao Ramos, cosiderado por muitos como a maior obra deste autor, temos: 0. Fabiao recorda-se do dia em que fora veder um porco a cidade e o fiscal da prefeitura eigira o pagameto do imposto sobre a veda. Fabiao descoversou e disse que ão iria mais veder o aimal. Foi a outra rua egociar e, pego em flagrate, decidiu uca mais criar porcos. Se o preço de veda do porco a época fosse de Rs $000 (ciqueta e três mil réis) e o imposto de 0% sobre o valor da veda, etão Fabiao deveria pagar à prefeitura Rs $600 (três mil e seiscetos réis). 0. Fabiao recebia a partilha a quarta parte dos bezerros e a terça dos cabritos. Mas como ão tiha roça e apeas limitava a semear a vazate us puhados de feijão e milho, comia da feira, desfazia-se dos aimais, ão chegava a ferrar um bezerro ou assiar a orelha de um cabrito. Supoha que Fabiao teha vedido a sua parte dos bezerros com 4% de prejuízo e a sua parte dos cabritos com % de prejuízo. Se o prejuízo total de Fabiao foi de Rs 400$000 (quatrocetos mil réis), etão o valor total da criação de bezerros e cabritos era de Rs 40:000$000 (quareta cotos de réis, ou seja, quareta milhões de réis). 04. Assim como das outras vezes, Fabiao pediu à siha Vitória para que ela fizesse as cotas. Como de costume, os úmeros do patrão diferiam dos de siha Vitória. Fabiao reclamou e obteve do patrão a eplicação habitual de que a difereça era proveiete dos juros. Juros e prazos, palavras difíceis que os homes sabidos usavam quado queriam lograr os outros. Se Fabiao tomasse emprestado do patrão Rs 800$000 (oitocetos mil réis) à taa de % ao mês, durate 6 meses, etão os juros simples produzidos por este empréstimo seriam de Rs 0$000 (vite mil réis). 08. Desde a década de 0, em que foi publicado o romace Vidas Secas, até os dias de hoje, a moeda acioal do Brasil mudou de ome várias vezes, pricipalmete os períodos de altos ídices de iflação. Na maioria das ovas deomiações moetárias foram cortados três dígitos de zero, isto é, a ova moeda vale sempre 000 vezes a atiga. Supoha que certo país troque de moeda cada vez que a iflação acumulada atija a cifra de 700%. Se a iflação desse país for de 0% ao mês, etão em um ao esse país terá uma ova moeda. (Cosidere: log = 0,0 e log = 0,477) RESOLUÇÃO: 0. O imposto a pagar seria 0% de 000, ou seja, Item FALSO!!! 0. Chamemos de b o valor de criação de bezerros e c o valor da criação de cabritos. Pelo euciado, ele tem prejuízo de 4% vededo um quarto dos bezerros e prejuízo de % vededo um terço dos cabritos. Se o prejuízo total é Rs 400:000, podemos afirmar 4 que. b +. c = Desevolvedo a epressão, temos:

17 b c = b + c = b+ c = b + c = Logo, a soma dos valores de bezerros e cabritos (valor total da criação é de 40 milhões de réis, ou quareta cotos de réis). Item VERDADEIRO!!! 04. Se o regime de capitalização é simples, etão os juros relativos a 6 meses após o empréstimo é seis vezes % do capital, oitocetos mil réis. O total desses juros é dado por: = O juro total produzido é de 40 mil réis. Item FALSO!!! 08. Vamos retomar algumas propriedades de logaritmos logba + logbc = logbac a logba logbc = logb c logba = logba logk a logb a = log b k Aumetar algo em 700% é o mesmo que multiplicá-lo por 8. Como a iflação fucioa o regime de juros sobre juros (juros compostos), etão o motate é calculado por M= C ( + i) t, em que M é o motate, C é o capital iicial (o tempo zero), i é a taa de juros e t é o tempo da trasação. Observe os cálculos a seguir: M= C( + i) t 8C = C ( ) log8 log log.0,0 0,90 0,90 ( ) t 0 t + 8 =, t = log, 8 00 t = = = = = = = log, log log0 log. log + log log + log.0,0+ 0,477 0,90 0,90 = =,4 0,60 + 0,477 0,079 Serão ecessários etão meses para que a iflação atija 700%. Logo, a cada ao, a moeda mudará. Item VERDADEIRO. GABARITO: 0

18 Questão 9 Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Supoha que a decomposição de uma substâcia siga a lei dada por 0,t Q(t) = k., em que k é uma costate positiva e Q(t) é a quatidade da substâcia (em gramas) o istate t (em miutos). O valor de t 0, em miutos, cosiderado os dados desse processo de decomposição mostrados o gráfico a seguir, é. Q(t) 8 0 t 0 t + se 0 0. Para a fução f ( ) =, a área da região limitada pelos se < eios coordeados ( = 0 e y = 0) e pelo gráfico de f, é 8, uidades de área. 04. Zero é o meor úmero real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio cubo. 08. Se a receita mesal de uma loja de boés é represetada por R() = 00( 0)( ) reais, a qual é o preço de veda de cada boé (0 ), etão a receita máima será de R$.00,00. RESOLUÇÃO: 0. Pelo gráfico, vemos que Q(0) = 8. Com isso, podemos cocluir que: ( ) ( ) Q t = k. 0,t 0,. ( 0) 0 Q 0 = k. = k. = k. = k = 8 Se k = 8, podemos dizer que ( ) 0,t Q t = 8.. Se Q(t 0 ) =, calculemos t 0. = 8. = 8 = 0,t0 0,t0 0,t 0 0 = 0,t t = 0 Item VERDADEIRO!!!

19 0. O gráfico da fução é dado a seguir. O segmeto AB correspode + e o segmeto BC a. A área do gráfico em questão pode ser calculada pela ajuda da malha. Temos 6 quadrados iteiros e mais cico meios quadrados detro do polígoo em questão. Logo, a área é 8, u.a. Item VERDADEIRO!!! 04. Um úmero real cuja soma com o próprio quadrado seja igual ao próprio cubo é solução da equação + =. Vamos resolver a equação: + = 0 = = 0 ( ) = 0 ou = ± = 0 Notemos que das três soluções, 0, +,68 e 0,68, uma é positiva, outra é ula e a última egativa. Portato, zero ão é o meor úmero real solução da igualdade. Item FALSO!!! 08. A fução R( ) = 00( 0)( ) = , admite seu máimo para o valor de igual a v b =. Neste caso, a 000 v = =,, valor que 00 ( ) pertece ao domíio estabelecido. Logo, a receita máima será calcular este valor. yv =. Vamos 4a y v ( )( ) ( ) ( ) 4ac b = = = = 4a = 0 GABARITO: 0

20 Questão 0 Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0. Um atigo mapa escodido embaio de uma rocha cotiha as seguites istruções para se ecotrar uma paela de moedas de ouro eterrada pelos tropeiros aquela região: a partir da rocha ade 4 km, em liha reta, o setido leste-oeste. Depois disso, gire 60º para orte e camihe, em liha reta, km. A meor distâcia etre o local ode está eterrada a paela de moedas de ouro e a rocha ode estava escodido o mapa é de aproimadamete 6 km. 0. A equação se cos = 0 + admite 4 soluções o itervalo [ π ] 0,. 04. O valor umérico de y a epressão tg40º + cos0º y = é. se870º secπ π 08. Se sec = e π, etão tg + cotg é igual a. 6. A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma fução periódica f, de em, de período. y RESOLUÇÃO: 0. Na figura, o caçador percorre o camiho do poto A até C, passado por B. Pela lei dos cosseos, podemos calcular a medida AC.

21 AC 4..4.cos0 = + AC = AC = + AC = 7..4 AC = 7 6,08 Item VERDADEIRO!!! 0. Como se( ) se( ) cos( ) =, a equação fica: ( ) + ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) cos( ) = 0 se cos 0 se cos + cos = 0 cos se + = 0 ou se( ) + = 0 se( ) = π π π Para cos( ) = 0, o itervalo [ 0,π ], as soluções possíveis são, e Já para se( ) =, temos as soluções 7 π π e. Cofira figura abaio. Os potos 6 6 A, B, C e D são os afios dos arcos que servem de solução para a equação. O total de soluções é. Item FALSO!!!

22 04. Devemos lembrar que: Para um arco o segudo quadrate, se = se( 80 ) Para um arco o terceiro quadrate, tg = tg( 80 ) Para um arco o quarto quadrate, cos = cos( 60 ) Item VERDADEIRO!!! tg40 + cos0º y = = se870 secπ tg 40 80º cos 60º 0º = se 0.60 sec980 ( ) + ( ) ( + ) tg60 + cos0 = = se( 80 0 ) cos = = = se0 ( ) cos80 ( + ) = 08. No terceiro quadrate, o valor da fução tagete e cotagete são positivos. Pela relação ( tg) ( sec ) + =, calculamos tg e cotg. ( tg) + = ( ) ( ) tg + = ( ) tg = 4 tg = Se tg =, etão cotg = =. Logo, tg tg + cotg = + =. Item FALSO!!! 6. O período de uma fução pode ser defiido como o meor valor positivo p tal que, Dom f, f + p = f. Pelo gráfico, podemos otar que ( ) ( ) ( ) f( ) = e f( + ) = f( 4) = Logo, o valor ão é período da fução. Item FALSO!!! GABARITO: 0