Proposta de prova-modelo

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1 Proposta de prova-modelo Matemática A. AN DE ESCLARIDADE Duração: (Cadero + Cadero ): 0 miutos. Tolerâcia: 0 miutos

2 Cadero : 7 miutos. Tolerâcia: miutos (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. Na figura está represetada uma circuferêcia de cetro e raio r. Sabe-se que: AB é um diâmetro da circuferêcia; C s potos C e D pertecem à circuferêcia; é a amplitude, em radiaos, do âgulo BDC com 0,. A D r B comprimeto da corda BC é igual a: (A) si r (B) r si (C) r si (D) r si. Cosidere um departameto de uma empresa ode trabalham oito homes e doze mulheres. Neste departameto vão ser escolhidos, etre todos os trabalhadores, dois homes e três mulheres para desempeharem tarefas distitas. Qualquer um dos vite trabalhadores pode desempehar qualquer uma das cico tarefas. De quatas maeiras pode ser feita a escolha dos cico trabalhadores e a distribuição das respetivas tarefas? (A) 7 90 (B) 660 (C) (D)

3 . Na figura, está represetada, um referecial ortoormado y, a circuferêcia de equação y r y. Sabe-se que: A e B são os potos da circuferêcia de ordeadas positivas e abcissas 8 e 8, B 8 8 A respetivamete; a reta r é tagete à circuferêcia o poto A; é a amplitude, em radiaos, do âgulo formado pelos vetores A.. Qual das equações seguites defie a reta r? 6 0 (A) y (B) y (C) y (D) y.. Determie ta. e B.. úcleo de remo de uma escola C+S, formado por sete aluos do esio básico e catorze do secudário, vai escolher a equipa para participar uma prova de Quatro com Timoeiro. Sabe-se que o timoeiro é o aluo do esio básico com meos peso. s quatro remadores serão escolhidos etre os restates. Se a escolha for feita por sorteio, qual é a probabilidade de etre os escolhidos haver pelo meos um remador de cada ível de esio? Apresete o resultado a forma de percetagem, com arredodameto às décimas.. Na figura está represetado, o plao compleo, o quadrado ABC ( é a origem do referecial), bem como o poto D de coordeadas,0. Imz Sabedo que AD 7 e que a amplitude do âgulo DA é igual a B radiaos, mostre que o poto C é o afio do úmero compleo z i. C A Sugestão: Comece por calcular A recorredo ao teorema de Carot. D Rez

4 6. Na figura está represetado, em referecial ortoormado yz, o prisma quadragular regular ABCDEFGH (o vértice D ão é visível). z E H Sabe-se que: poto E tem coordeadas,,6 ; plao ABC pode ser defiido pela equação 8y z 0 0; A B C F G y 6.. Defia por uma equação vetorial a reta AE. 6.. Determie as coordeadas do poto A. 6.. Escolhem-se, ao acaso, três vértices distitos do prisma. Qual é a probabilidade de o plao defiido por esses três vértices coter uma face do prisma? (A) 8 (B) (C) 8 (D) 7 7. Seja f uma fução difereciável em R e seja g a fução defiida em R por g f. Admita que a reta r de equação y m b é tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa a. y t g r f Mostre que a reta t, tagete ao gráfico da fução g o b poto de abcissa a, pode ser defiida pela equação y m b. a a Fim do Cadero CTAÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos)

5 Cadero : 7 miutos. Tolerâcia: miutos (ão é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetificam a opção escolhida. 8. Cosidere a fução g, de domíio R, defiida, para determiado úmero real k, por: g k e Determie o valor de k sabedo que a reta tagete ao gráfico de g o poto de abcissa passa a origem do referecial. 9. Cosidere a sucessão u de termo geral u log log valor de limu é: (A) (B) (C) 0 (D) 0. Sabe-se que f é uma fução real de variável real tal que Qual das seguites afirmações é ecessariamete verdadeira? (A) (B) (C) (D) f 0 f 0 f 0 f 0 é um etremo relativo de f 0 f f lim. 0 si. Seja h, a fução de domíio,, defiida por h( ) l... Verifique se o gráfico da fução h admite assítota ão vertical... Estude a fução h quato ao setido da cocavidade do gráfico e quato à eistêcia de potos de ifleão.

6 . Cosidere a fução f, de domíio,, defiida por f cos si f.. Determie lim Estude a fução f quato à mootoia e determie, caso eistam, os etremos relativos.. Cosidere a sucessão u defiida por: u u u, qualquer que seja N Relativamete a esta sucessão qual das seguites afirmações é verdadeira? (A) u é moótoa crescete (B) Sedo (C) u é covergete (D) limu S a soma dos primeiros termos de u etão lim S. De uma progressão aritmética, a, sabe-se que o primeiro termo é igual a 0 e que a soma dos primeiros 0 termos é igual a zero. Determie uma epressão do termo geral desta sucessão.. Seja z um úmero compleo ão ulo, cujo afio, o plao compleo, pertece ao segudo quadrate e à bissetriz dos quadrates pares. Qual dos seguites pode ser um valor de N para o qual i (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) z é um úmero real positivo? Fim da prova CTAÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos) TTAL (Cadero + Cadero ) 00 6

7 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: r ( amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de figuras plaas Polígoo regular: Semiperímetro Apótema Setor circular: r ( amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de superfícies Área lateral de um coe: r g (r raio da base; g geratriz) Área de uma superfície esférica: r (r raio) Volumes Pirâmide: Área da base Altura Coe: Área da base Altura Esfera: r (r raio) Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão (u): Progressão aritmética: u u Progressão geométrica: r u r Trigoometria si cos a b si a cos b si b cos a a b cos a cos b si a si b si A sib si C a b c a b c bccos A Compleos i i cis cis ou e e k k i cis cis ou e e k 0,..., e N Probabilidades p p p p Se X é N,, etão: P X, P X 0, 9 P X 0, 997 Regras de derivação u v ' u' v' u v ' u' v u v' u u' vu v' v v u ' u u' R si u ' u' cos u cos u ' u' si u u' cos u ta u ' u e u' e u u u a u' a I a a R \ u' I u u u' u I a log u a R \ a Limites otáveis lim si lim 0 e lim 0 I lim 0 e lim p e N pr 7

8 Proposta de resolução Cadero. Como os âgulos iscritos o mesmo arco de circuferêcia têm a mesma amplitude, temos que BAC BDC. C Por outro lado, dado que um âgulo iscrito uma semicircuferêcia é um âgulo reto, o triâgulo ABC é retâgulo em C. BC BC Logo, si si BC rsi AB r A D r B Resposta: (A). C C! Número de maeiras de distribuir as fuções pelos trabalhadores escolhidos Número de maeiras de escolher três mulheres etre as Número de maeiras de escolher dois homes etre os 8 Resposta: (C). y Se Logo,.. 8 vem y y y y A 8 6, e 8 6 B,. 8 6 A A, 6 6 Declive de A 8 8 Como a reta r é perpedicular a A, o seu declive é A reta r tem declive Uma equação de r é m e passa o poto A 8 6,. m y y y Resposta: (B) 8

9 B B, A B (raio da circuferêcia) A B ,, 8 AB 8 7 cos cos Aɵ, B A B 6 ta ta ta ta ta 9 7 Como cos 0, é do.º quadrate. Logo, ta. 7 ta cos. s quatro remadores serão escolhidos etre 0 elemetos, sedo seis do esio básico e catorze do secudário. úmero de casos possíveis é dado por: 0 C 8 Número de casos favoráveis: C C C C C C ou C C C A probabilidade pedida é dada por: 89 P 0, , 0% 8. Aplicado o teorema de Carot ao triâgulo DA, com B S AD 7, D e A a temos: 7 a a cos B Imz 9 a a A 0 9a a a a 0 a a C a 7 D Rez a a a 8 9

10 Como a 0, temos A a 8. poto A é o afio do úmero compleo cujo módulo é igual a 8 e cujo argumeto é. Logo, como C A 8 e DC, C é o afio do úmero compleo cujo 6 6 módulo é igual a 8 e cujo argumeto é. 6 Portato, i 6 z 8e 8cos isi 8 cos isi cos isi 8 i i ,,6 E ; ABC: 8y z 0 0; 6.. A reta AE passa o poto E,,6 e é perpedicular ao plao ABC. vetor de coordeadas, 8, é perpedicular ao plao ABC. Logo é um vetor diretor da reta AE., y, z,,6 k, 8,, kr. Equação vetorial da reta AE: 6.. A reta AEiterseta o plao ABC o poto A., y, z,,6 k, 8,, kr, y, z k,8 k,6 k, kr Logo, qualquer poto da reta AE é da forma k, 8 k, 6 k, k R poto A é o poto da reta AE que pertece ao plao ABC. Logo, as suas coordeadas satisfazem a equação 8y z 0 0, ou seja: k k k k 6k 6 6k 0 0 8k 6 k, ou seja, A6,, 8 Portato, o poto A tem coordeadas, 8, Número de casos possíveis: 8 C 6 Número de casos favoráveis: 8 P Resposta: (D) 6 C 6 ( prisma tem 6 faces e os quatro vértices de cada face defiem o mesmo plao) 0

11 7. Poto de tagêcia da reta r : Ra, f ( a ) Como o poto a, f ( a ) também pertece à reta r: y m b Declive da reta r : m f a vem f a ma b () a a Poto de tagêcia da reta t: T, g sedo a a g f f a a Logo, T tem coordeadas, f ( a ). Declive da reta t: a g g f f f ( ) a a g f f a m a Portato, a reta t passa o poto de coordeadas, f ( a ) A reta t pode ser defiida por: e tem declive m. a a y f a m y m m f a y m ma ma b y m b Em (), vimos que: f a ma b a Logo, a reta t, tagete ao gráfico da fução g o poto de abcissa, pode ser defiida pela equação y m b.

12 Cadero 8. Seja y m b a equação reduzida da reta t, tagete ao gráfico de g o poto de abcissa. Sabemos que: m g b 0, dado que a reta t passa a origem do referecial. k e k g e 0 e e e e e m g e A equação da reta t é y. poto de tagêcia tem abcissa e também pertece à reta t. Logo, a ordeada desse poto é y. Como o poto de tagêcia, de coordeadas,, pertece ao gráfico de g, temos que: k e k g k k 9. limu limlog log lim log log dado que lim lim Resposta: (B) 0. f f 0 f f 0 lim lim 0 si 0 si 0 f f lim lim 0 0 0si f 0lim 0 si f 0 si lim 0 f 0 si y lim y 0 y y Se 0, y 0 f 0 f 0 Resposta: (C)

13 . h( ) l.. Dado que,. D apeas poderá eistir assítota ão vertical quado h Seja y m b a equação dessa assítota, caso eista. h( ) l l m lim lim lim l l lim lim 0 lim ll l l lim lim lim 00 b lim h( ) m lim l lim l Como br, o gráfico de h ão tem assítotas ão verticais. ( ) l 0.. h h ( ) 0 0,, Como h 0,,, podemos cocluir que o gráfico da fução h tem a cocavidade voltada para cima em todo o domíio e que, portato, ão tem potos de ifleão.. f cos si.. 0 cos si 0 cos si f lim lim lim si si lim cos lim lim si y lim 0 y0 y y Se 0, y 0

14 .. f cos si cos si cos cos cos cos si cos cos si cos si 0 si 0 f 0si 0 0 k, k Z f cossi f cossi f 0 0 cos 0 si 0 0 f cos si f cossi 0 f f ր ց 0 ց ր Mí. Má. Mí. Má. A fução f é estritamete crescete em, e em, e é estritamete decrescete em,. A fução f admite míimos relativos iguais a π e a para e respetivamete, e admite máimos relativos iguais a π e a para respetivamete., e,

15 . u u u u, N u u, N Logo, u é uma progressão geométrica de razão limu lim 0 0 u é covergete. Resposta: (C) r com u. Assim, u.. a 0 a0 a 0 r 0 00r S a a 0 00 a a a a r r r 0 r r 00 a 0 a 0 a a a 0 e a 000r. z r e i i i i i iz i re re e re i i i i re r e r e z é um úmero real positivo k kz z Imz Rez 8k k k Z 8k k Z k Z N se k,0,,0,... Portato, 8,6,,,... Resposta: (B)