Exame Nacional de Matemática A 1 a Fase 2017

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1 Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Proposta de Resolução Versão Nuo Miguel Guerreiro I Chave da Escolha Múltipla ABDABCDC. Pretedem-se formar úmeros aturais de quatro algarismos com os algarismos dispoíveis de a 9. Sabedo que estes úmeros aturais devem ser múltiplos de 5, etão o seu último algarismo deverá ser um 5, ão havedo qualquer restrição aos outros 3 ateriores: = 79 Resposta Correcta: (A). Sejam os acotecimetos: A: "O aluo da turma é rapaz" B: "O aluo da turma tem olhos verdes" Tem-se que P (B A) = P (B A) = P (A B) P (A) e P (A B) = 0, logo: P (A) = P (A B) P (B A) P (A) = 0 = 5 Como existem 0 aluos a turma, existem 0 = 8 rapazes a turma. 5 Resposta Correcta: (B) 3. Por observação do gráfico de f tem-se que em e em, o gráfico de f tem cocavidade voltada para baixo, e em e o gráfico de f tem cocavidade voltada para cima: f ( ) < 0, f ( ) < 0, f () > 0 e f () > 0. Desta forma coclui-se que: f ( ) f ( ) > 0 f () f () > 0 f () + f () > 0 f ( ) + f ( ) < 0. Resposta Correcta: (D) f(x). Tem-se que y = x é assítota do gráfico de f e do gráfico de g, logo x + Sabe-se aida que f(x) = g(x) =, logo: x + x + f(x) g(x) f(x) = g(x) = ( ) = + x + x x + x x = x + g(x) x =. Resposta Correcta: (A) SINAL + Nuo Miguel Guerreiro Resolução Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Págia de 6

2 ( 5. Atetado às opções dispoíveis tem-se que: f π ) ( π ) =, f =, f Sabe-se aida que: f(x) = e f(x) = +. x π + x 3π Logo tem-se: ] Caso A seja o cojuto π [,π, o cotradomíio seria ],[ ] [ 3π Caso A seja o cojuto,3π, o cotradomíio seria ], + [ ] [ π Caso A seja o cojuto,3π, o cotradomíio seria ], [ ] [ 5π Caso A seja o cojuto,3π, o cotradomíio seria ], + [ ( ) 3π = e f ( ) 5π =. Resposta Correcta: (B) 6. A icliação da reta r é α, logo, o declive de r é dado por ta α. Sabedo que cos α =, tem-se que: 5 + ta α = cos α + ta α = ) ta ( α = 5 5 ta α = ta α = ± Desta forma tem-se que ta α =, uma vez que o âgulo é obtuso (repare-se que cos α < 0). Coclui-se que a equação reduzida da reta r pode ser y = x. Resposta Correcta: (C) 7. A codição 5π arg(z) 7π figura ao lado. Im(z) está represetada a Cosidere o poto B represetado a figura. Uma vez que B se situa ( a reta Im(z) =, e pertece à bissetriz dos quadrates ímpares arg(z) = 5π ), B também se situa a reta Re(z) = Como o triâgulo é isósceles, coclui-se que a área do mesmo é dada B por: A = Im(z) = =. Im(z) 5π O 7π Re(z) Resposta Correcta: (D) 8. A sucessão (u ) é uma sucessão itada, uma vez que os seus termos pertecem ao cojuto A = [,,, 3,, 0]. Repare-se que para 0, u =, logo são termos da sucessão todos os úmeros aturais até ao úmero 0, e para > 0, u = ( ), que é itada e ão moótoa, admitido apeas os valores e, para ímpar e par, respetivamete. Desta forma (u ) ão é moótoa, pois ão é moótoa para > 0, em é um ifiitamete grade, uma vez que para > 0, só admite os termos e. Resposta Correcta: (C) FIM GRUPO I SINAL + Nuo Miguel Guerreiro Resolução Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Págia de 6

3 II. Tem-se que: z = 3i9 + i = 3( i) + i = + 3i + i = ( + 3i)( i) ( + i)( i) i + 3i 3i = i = + i = + i em que i 9 = i 6 i 3 = i 3 = i z = 3kcis ( ) 3π = 3k ( i) = 3ki Desta forma o complexo z é tal que Re(z ) = e Im(z ) =, e o complexo z é tal que Re(z ) = 0 e Im(z ) = 3k. A distâcia etre a imagem geométrica de z e z, d, é dada por: d = (Re(z ) Re(z )) + (Im(z ) Im(z )) = ( 0) + ( 3k) = + 9k 6k + = 9k 6k + 5 Como d = 5, tem-se: d = 5 9k 6k + 5 = 5 9k 6k + 5 = 5 9k 6k = 0 3k(3k ) = 0 k = 0 3k = 0 k = 0 k = 3 E como k R +, tem-se k = Sedo T o poto simétrico do poto T, relativamete à origem do referecial, tem-se que o poto médio do segmeto [T T ] é a origem, e a distâcia desta ao poto T é a cota de T, z T = 3. Uma equação da superfície esférica de diâmetro [T T ] é: x + y + z = 9... Tem-se que: UP RS = UP ( SR) = UP ( UP ) UP = z U = 9.3. O poto Q está sob o eixo dos y, pelo que as suas coordeadas são (0,y Q,0), tal que: 0 + y Q = y Q =. O poto T tem coordeadas (0,0,3), logo T Q = Q T = (0,,0) (0,0,3) = (0,, 3). y Logo uma equação cartesiaa que defie a reta T Q é: = z 3 x = 0... Qualquer plao costituído por três vértices das faces [OT SR], [UV QP ], [SV QR] e [T UOP ] é perpedicular ao plao xoy, e, para além disso, qualquer plao com os potos O,T, V, Q e U, S, R e P : pelo que os casos favoráveis são: 6 C 3 O úmero de casos possíveis é referete a escolher três vértices dos oito vértices do prisma: A probabilidade pedida é etão: P = 6 C 3 8 C 3 = C 3. SINAL + Nuo Miguel Guerreiro Resolução Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Págia 3 de 6

4 3. No cotexto da situação descrita, P (A B) é a probabilidade do úmero da bola retirada ser maior a 6 ou ser par. Repare-se que: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = P (A) + P (A B) }{{} =P (A B) Repare-se que P (A) = P (A) = 6 = 6, uma vez que a probabilidade da bola retirada ser meor ou igual a 6 tem 6 casos favoráveis dos casos possíveis. Tem-se aida que P (A B) é a probabilidade da bola retirada ser meor ou igual a 6 e ser par, logo P (A B) = 3. Vem etão: P (A B) = P (A) + P (A B) = = = 3... Tem-se: f(0) = 9,5(e 0, 0 + e 0, 0 ) = 9,5(e + e ),8 Logo vem que: (f(0) ) + x = ( f(0) ) + x = x = ( f(0) ) x = ± ( f(0) ) x,5 No cotexto do problema, esta solução represeta a distâcia do poto O, quado a distâcia do poto da superfície do rio a P é metros... De forma a poder verificar se o barco, avegado o rio, pode passar por baixo da pote, deve-se calcular o valor máximo de f, isto é, a distâcia vertical máxima do arco da pote. Essa distâcia deverá ser maior que 6 de forma a que o barco possa passar por baixo da pote. Tem-se que: f (x) = (9),5(e 0,x + e 0,x ) = 0,5( 0,e 0,x + 0,e 0,x ) = 0,5 (e 0,x + e 0,x ) ( ) = 0,5 e 0,x e0,x e 0,x = 0,5 e 0,x ( e 0,x ) Determiem-se os zeros de f: f (x) = 0 e } 0,x {{ = 0 } e 0,x = 0 e 0,x = 0,x = 0 x = 0, = 5 Impossivel Através de uma tabela de siais: x f (x) f(x) MIN MAX MIN Desta forma a distâcia vertical máxima dá-se para x = 5, tal que: f(5) = 9,5(e 0, + e 0, 5 ) = 9,5 ( + ) = 9 5 = Coclui-se, portato, que o barco ão passa por baixo da pote. SINAL + Nuo Miguel Guerreiro Resolução Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Págia de 6

5 A fução g é cotíua em se e só se g(x) = g() = g(x), tal que: x x + x g(x) = = x ex x e x = (x )(x + ) x e x em que = e x x 0 + x (x + ) = ( + ) = x e x = é ite otável. x 0 + x ( g(x) = 3 + x + x + em que ) = 3 = 3 = x 0 x = é ite otável. x 0 x Uma vez que g() =, tem-se que 5.. Em ],5[, tem-se g(x) = 3 + g(x) = e etão tem-se: x g(x) = g() = x + g(x), logo g é cotíua em., de tal forma: = 3 x = kπ, k R x = + kπ, k R Para k = 0, tem-se x =, tal que < Para k =, tem-se x = + π, tal que < + π < 5 Para k =, tem-se x = + π, tal que + π > 5 Coclui-se portato que C.S = { + π}. = 0 = 0 0 }{{} <x< Cosidere-se o gráfico da fução g em x <, tal que g(x) = e x. Tem-se que o poto A é a iterseção do gráfico da fução g com o eixo das abcissas, logo é solução da equação g(x) = 0, tal que: g(x) = 0 e x = 0 = 0 e x 0 x = x x = x Tem-se portato que o poto A é o poto de coordeadas (,0). A área do triâgulo [OAP ] é dada por: A [AOP ] (x P ) = OA g(x P ) x P é abcissa do poto P. Pretede-se resolver a equação A [AOP ] (x P ) = 5 g(x P ) = 5 g(x P ) = 0 e x = 0 e em x <, tem-se: e x = 0 x = 0. ex Por observação da figura ao lado, e com recurso às capacidades gráficas da calculadora, coclui-se que x P 3,3. = g(x P ) g(x) = g(x P ), em que y y = 0 x P 3,3 O x SINAL + Nuo Miguel Guerreiro Resolução Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Págia 5 de 6

6 6. O poto P, de abcissa a, pertece ao gráfico de f, logo as suas coordeadas são (a,f(a)). Uma vez que OP = P Q, tem-se que [OP Q] é isósceles, e, portato Q(a,0). A reta r tem o mesmo declive da reta P Q de tal forma que P Q = Q P = (a,0) (a,f(a)) = (a, f(a)), e portato, o declive de r pode ser dado por f(a) = f(a) a a. A reta r também é a reta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa a, pelo que o seu declive é f (a). Logo, coclui-se que f (a) = f(a) a f (a) + f(a) a = 0. FIM GRUPO II SINAL + Nuo Miguel Guerreiro Resolução Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Págia 6 de 6