EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 39/0, de 5 de julho Prova 635/.ª Fase 4 Págias Duração da Prova: 50 miutos. Tolerâcia: 30 miutos. 06 VERSÃO Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação etera são obras protegidas pelo Código do Direito de Autor e dos Direitos Coeos. A sua divulgação ão suprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a utilização destas provas, além do determiado a lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sedo epressamete vedada a sua eploração comercial. Prova 635.V/.ª F. Págia / 4

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3 Idique de forma legível a versão da prova. Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, trasferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretede que ão seja classificado. Para cada resposta, idetifique o grupo e o item. Apresete as suas respostas de forma legível. Apresete apeas uma resposta para cada item. A prova iclui um formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. Prova 635.V/.ª F. Págia 3/ 4

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5 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: ar^a-amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r -raioh Área de um polígoo regular: Semiperímetro # Apótema Área de um sector circular: ar ^a -amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r -raioh Probabilidades = p + f + p v = p ] - g + f + p ^ - h Se X é N] v, g, etão: P] - v X + vg. 0, 687 P] - v X + vg , P] - 3v X + 3vg , Área lateral de um coe: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de uma superfície esférica: 4rr ^r - raioh Volume de uma pirâmide: # Áreadabase # Altura 3 Volume de um coe: # Áreadabase # Altura 3 Volume de uma esfera: Progressões 4 3 rr ^r- raioh 3 Soma dos primeiros termos de uma progressão _ u i: Progressão aritmética: u + u # Progressão geométrica: u r # - - r Trigoometria se] a+ bg= sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sea seb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos ^tcisih = t cis ^ih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, - + e! Ng f ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v v ^ u hl = u - ul ^! Rh ^seuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul se u ^tg uhl = ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a l a ^a! R ^l uhl = ul u log u au l l ^ h = ul a Limites otáveis limb + l = e u lim se = " 0 lim " 0 lim l ^ + h = " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - = l = 0 e p =+ 3 + ^a! R + ^! Nh ^ p! Rh ", h ", h Prova 635.V/.ª F. Págia 5/ 4

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7 GRUPO I Na resposta aos ites deste grupo, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetifica a opção escolhida.. Seja W, cojuto fiito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: P^Ah= PB ^ h= P`A Bj= 6 Qual é o valor de P`A, Bj? (A) 5 4 (B) 0 7 (C) 3 0 (D) Seja X uma variável aleatória com distribuição ormal de valor médio 0 Sabe-se que P^7 X 0h= 0, 3 Qual é o valor de P^X 3h? (A) 0, (B) 0, (C) 0,3 (D) 0,4 3. Seja a um úmero real diferete de 0 a Qual é o valor de lim ae a " a a? (A) 4 (B) (C) (D) Prova 635.V/.ª F. Págia 7/ 4

8 4. Seja f uma fução de domíio R Sabe-se que: lim " 3 f^h+ e = o gráfico de f tem uma assítota oblíqua. Qual é o declive dessa assítota? (A) (B) (C) (D) 5. Na Figura, estão represetados o círculo trigoométrico e um trapézio retâgulo 6 OPQR@ Sabe-se que: o poto P tem coordeadas ^0, h y P Q o poto R pertece ao quarto quadrate e à circuferêcia. Seja a a amplitude de um âgulo orietado cujo lado origem é o semieio positivo O e cujo lado etremidade é a semirreta OR o a R Qual das epressões seguites dá a área do trapézio 6 OPQR@, em fução de a? Figura (A) cosa + seacosa (B) cos a seacosa (C) cosa + seacosa (D) cosa seacosa 6. Seja i um úmero real pertecete ao itervalo, 3 Dr r : Cosidere o úmero compleo z = 3cisi A que quadrate pertece a imagem geométrica do compleo z? (A) Primeiro (B) Segudo (C) Terceiro (D) Quarto Prova 635.V/.ª F. Págia 8/ 4

9 7. Na Figura, está represetado um triâgulo isósceles 6 ABC@ Sabe-se que: AB = BC = BAC t = 75 o Qual é o valor do produto escalar BA. BC? B (A) (B) 75 (C) 3 (D) 3 A Figura C 8. Cosidere as sucessões _ u i e ^v h de termos gerais u = k+ 3 (k é um úmero real) e v l = ; b + l E Sabe-se que lim ^u h= lim ^v h Qual é o valor de k? (A) (B) (C) e (D) e Prova 635.V/.ª F. Págia 9/ 4

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11 GRUPO II Na resposta aos ites deste grupo, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato.. Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosidere z = 8cisi e z = cis_ ii + 3i Determie o valor de i pertecete ao 0, r 6, de modo que z # z seja um úmero real.. Cosidere ove bolas, quatro umeradas com o úmero, quatro com o úmero e uma com o úmero 4... Colocam-se as ove bolas, que são idistiguíveis ao tato, um saco vazio. Em seguida, retiram-se, simultaeamete e ao acaso, duas bolas desse saco. Seja X a variável aleatória: «produto dos úmeros das duas bolas retiradas». Costrua a tabela de distribuição de probabilidades da variável X Apresete as probabilidades a forma de fração irredutível... Cosidere agora que se colocam as ove bolas lado a lado, de modo a formar um úmero com ove algarismos. Quatos úmeros ímpares diferetes se podem obter? Prova 635.V/.ª F. Págia / 4

12 3. Na Figura 3, está represetada, um referecial o.. Oyz, uma pirâmide quadragular regular 6 ABCDV@ Sabe-se que: a base plao Oy 6 ABCD@ da pirâmide é paralela ao z V o poto A tem coordeadas ^,, h o poto C tem coordeadas ^ 3, 3, h o plao BCV é defiido pela equação 3y + z 0= 0 A D B C 3.. Escreva uma codição que defia a superfície esférica de cetro o poto A e que é tagete ao plao Oy O y 3.. Determie as coordeadas do poto V Figura Seja a o plao perpedicular à reta AC e que passa o poto P^,, h A itersecção dos plaos a e BCV é uma reta. Escreva uma equação vetorial dessa reta. 4. Num dia de veto, são observadas oscilações o tabuleiro de uma pote suspesa, costruída sobre um vale. Mediu-se a oscilação do tabuleiro da pote durate um miuto. Admita que, durate esse miuto, a distâcia de um poto P do tabuleiro a um poto fio do vale é dada, em metros, por h^th= 0 + cos^rth+ tse^rth (t é medido em miutos e pertece a 0, r 4.. Sejam M e m, respetivamete, o máimo e o míimo absolutos da fução h o itervalo A amplitude A da oscilação do tabuleiro da pote, este itervalo, é dada por A= M m Determie o valor de A, recorredo a métodos aalíticos e utilizado a calculadora apeas para efetuar evetuais cálculos uméricos. Apresete o resultado em metros. Prova 635.V/.ª F. Págia / 4

13 4.. Em o cojuto solução da iequação h^t h 9, 5 é um itervalo da b6 Determie o valor de b a arredodado às cetésimas, recorredo à calculadora gráfica, e iterprete o resultado obtido o coteto da situação descrita. Na sua resposta: reproduza o gráfico da fução h visualizado a calculadora (sugere-se que, a jaela de visualização, cosidere y! apresete o valor de a e o valor de b arredodados às milésimas; apresete o valor de b a arredodado às cetésimas; iterprete o valor obtido o coteto da situação descrita. 5. Seja f uma fução, de domíio R, cuja derivada, f', de domíio R, é dada por f e '^ h = ` + + j Resolva os ites 5.. e 5.. recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. 5.. Sejam p e q dois úmeros reais tais que p = lim " f ^h f ^ h + e q = p Determie o valor de q e iterprete geometricamete esse valor. 5.. Estude a fução f quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à eistêcia de potos de ifleão. Na sua resposta, apresete: o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para baio; o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para cima; a(s) abcissa(s) do(s) poto(s) de ifleão do gráfico de f 6. Cosidere a fução f, de 3, + 36, defiida por f l ^ h = d + Resolva os ites 6.. e 6.. recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. 6.. Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas verticais do seu gráfico. 6.. Seja a um úmero real maior do que Mostre que a reta secate ao gráfico de f os potos de abcissas a e referecial. a passa a origem do FIM Prova 635.V/.ª F. Págia 3/ 4

14 COTAÇÕES Grupo Item Cotação (em potos) I. a potos 40 II TOTAL 00 Prova 635.V/.ª F. Págia 4/ 4

15 ESTA FOLHA NÃO ESTÁ IMPRESSA PROPOSITADAMENTE

16 Prova 635.ª Fase VERSÃO