E X A M E ª FASE, V E R S Ã O 1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O

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1 Preparar o Eame 0 Matemática A E X A M E 0 4 ª FASE, V E R S Ã O P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O GRUPO I ITENS DE ESOLHA MÚLTIPLA Tem-se que A e B são idepedetes, portato, P A B P A PB Assim: 0,48 0,48 0,48 0, P A B P A B P A B P A B 0, P A P B P A B 0, 0,4 P B P A P B 0, 0, PB 0, 4 PB 0, 0,6 PB PB PB 0, 0,6 Outra Resolução: Tem-se que P A P A P A A e B também o são, portato, P A B PA P B Assim: 0,4 0,4 0,6 Se A e B são idepedetes, etão 0,48 P A B 0,48 P A PB 0,48 0,6 PB 0,48 PB 0,6 PB P B 0,8 0, Resposta: O úmero de casos possíveis é 6, dos seis vértices, escolhem-se três Para que os três vértices escolhidos formem um plao paralelo ao plao de equação z, tem-se de escolher três dos quatro vértices cotidos o plao Oy (plao de equação z 0 ) Logo, o úmero de casos favoráveis é 4 e a probabilidade pedida é Resposta: B Um termo do desevolvimeto do biómio Assim: 0 é dado por 0 p 0 p p, com 0 p 0 e p p 0 p p p p 0 0 p 0 0 p p0 p 0 0 p p0 p p 0 p p 0 p p p Logo, o termo ão depedete de, ou seja, o termo idepedete de é o termo em que o epoete de é 0 Etão p 0 0 p 0 p Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução

2 Preparar o Eame 0 Matemática A Portato, o termo do desevolvimeto do biómio 0 ão depedete de é: Resposta: B 4 Tem-se que etão lim lim e e, mas como a sucessão de termo geral Assim, pela defiição de limite segudo Heie, vem: lim g lim l e l e e l 0 e é estritamete crescete, Resposta: D omo a fução f é cotíua em, 4, etão também é cotíua à esquerda de, logo: lim f f cos y cos se y se y lim lim lim lim y y y i) y 0 ii) y0 y0 f k Logo, k k i) Mudaça de variável: Se etão 0 Seja y y, y 0 ii) Usado o círculo trigoométrico, verifica-se que cosy se y Resposta: 6 Seja a o zero positivo da fução g Recorredo a um quadro de variação do sial da fução g, vem: Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução

3 Preparar o Eame 0 Matemática A 0 a g 0 0 g pi pi o gráfico da fução g tem a cocavidade votada para baio em 0,a, tem a cocavidade votada para cima em,0 e em a, e tem potos de ifleão em 0 e em a O úico gráfico que está de acordo com esta tabela é o da opção IAI Resposta: A 7 Dois plaos são perpediculares se os seus vetores ormais também o forem Um vetor ormal do plao é,,0 Das opções apresetadas, os úicos plaos que são perpediculares a são os das opções IBI e II Um vetor ormal do plao de equação y z 0 Um vetor ormal do plao de equação y z 0 Destes dois plaos, o úico que cotém o poto,0, é,, e é,, e,,0,, ;,,0,, ; A, é o plao de equação y z 0, pois: Afirmação verdadeira Logo, uma equação do plao é y z 0 Resposta: B 8 Tem-se: B é a imagem geométrica do úmero compleo i, Logo, B, e portato B Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução omo a circuferêcia está cetrada a imagem geométrica de i (o poto ), etão uma codição que a defie é zi Seja um argumeto de i Tem-se tg e ºQ Logo, Assim, uma codição de defie a semirreta OA é arg z

4 Preparar o Eame 0 Matemática A Seja um argumeto de i Tem-se tg Assim, uma codição de defie a semirreta OB é arg z e ºQ Logo, Portato, uma codição que defie a região sombreada da figura é z i arg z Resposta: GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA Tem-se que, z cis cos ise i i i Logo, z i Portato as coordeadas do poto A são, Assim, z i i i 4 9 zi ii ii i i 9 i 9 i i i i i Portato, as coordeadas do poto B são 0, Represetado o triâgulo AOB, o plao compleo: Im z O A Re z A AOB OB A 9 B Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução 4

5 Preparar o Eame 0 Matemática A Tem-se: cos cos 4 cos 4cos 4 z cos z 0 z z cos 4 cos cos 4se z z i) i cos 4se cos ise z z z ii) cos ise z cos ise z cos ise z cos ise z cis z cis z cis iii) iii) i) se cos se cos ii) omo 0,, etão se 0 e portato 4se se iii) omo a fução cosseo é para e a fução seo é ímpar, etão cos cos e se se Outra maeira de escrever as solução da equação a forma trigoométrica era reparar que cos ise é o cojugado de cos ise Assim, como cos ise cis, etão cos ise cis O úmero de casos possíveis é 6!, é o úmero de maeiras que as seis bolas podem permutar etre si Para determiar o úmero casos favoráveis, vamos agrupar um bloco as duas bolas azuis Assim, o bloco e as restates quatro bolas permutam etre si de! maeiras distitas Detro do bloco, as duas bolas azuis permutam etre si de! maeiras distitas Logo, o úmero de casos favoráveis é!! e a probabilidade pedida é!!!! 6! Outra resolução: Para esta resolução vamos apeas cosiderar a escolha das posições para as duas bolas azuis Assim, o úmero de casos possíveis é 6 (úmero de maeiras de escolher duas posições de etre as seis dispoíveis) O úmero de casos favoráveis é (ficado as duas bolas azuis jutas, um bloco, o bloco pode ocupar da posições e, ou as posições e, ou as posições e 4, ou as posições 4 e ou as posições e 6) Assim, a probabilidade pedida pode ser dada por 6 Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução

6 Preparar o Eame 0 Matemática A No cojuto das três bolas retiradas, podem estar, zero, uma ou duas bolas azuis, uma vez que a caia estão apeas duas bolas azuis Portato, a variável aleatória X pode tomar os valores 0, e, isto é X 0,, Assim: P X 4 0 ; P X ; P X Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória é dada por: i 0 P X i A amplitude dos âgulos iteros de um petágoo regular é 08º 80 polígoo regular com lados é dada por ) osideremos a figura: (a amplitude, em graus, dos âgulos iteros de um E A D B Tem-se que EAD ˆ ADE ˆ, seja EAD ˆ ADE ˆ Assim: 0 Logo, AB AD BAD ˆ Portato: AB AD AD AB AD cosab AD cos cos cos se AD se se se Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução 6

7 Preparar o Eame 0 Matemática A 4 4 Assítotas verticais 0 0 l 0 l lim f lim Logo, a reta de equação 0 tem mais assítotas verticais Assítotas ão verticais é assítota vertical do gráfico de f omo f é cotíua em,0 l f lim lim l l y m lim lim lim i) y y y y, o seu gráfico ão l y l y lim 0 lim lim y y y y y y l l y l y b lim f m lim lim lim 0 i) y y y y Logo, a reta de equação y é assítota oblíqua do gráfico de f, quado i) Mudaça de variável: Se etão Seja y y, y 4 A fução f é cotíua em,0, pois é a composição, o quociete e a soma de fuções cotíuas o seu domíio Logo, a fução f é cotíua em e,,0 e l f e e e 4, 09 e e l 0 f Tem-se que e,7 Assim, como f é cotíua em e, e como f e e f Bolzao, c e, : f c e, ou seja, a equação f, pelo teorema de e tem pelo meos uma solução em e, Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução 7

8 Preparar o Eame 0 Matemática A 4 Tem-se que g f l l Assim: l g 0 l l l g 0 0 l 0 0 l 0 e 0 e 0 Fazedo um quadro de variação do sial da fução g, vem: e 0 l 0 d d A fução f é decrescete em O triâgulo PQR é retâgulo em Q, portato: g 0 d g mí d, e, é crescete em e,0 e tem um míimo absoluto em e PQ PQ QR QR cos cos PQ 4cos e se se QR 4se PR 4 PR 4 Logo, A A PQRS PQR PQ QR PQ QR 4cos 4se 6cos se A tg 8 cos omo 0, cos cos cos 9, vem Tem-se se cos Assim, tg se cos tg se se cos Portato, A 6cos se Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução 8

9 Preparar o Eame 0 Matemática A omo f 0 e 0 8 e 8 8 7, as coordeadas do poto A são positiva e pertece ao gráfico de f, portato, as suas coordeadas são do tipo Pretede-se determiar 0,0 tal que m AB 0,7 O poto B tem abcissa, f, com 0,0 y 7 B y f A e 0 B A Utilizado o editor de fuções da calculadora, defie-se 0,0 4,4 e y e y a jaela de visualização y Logo, e a, com a 9, O a 0 Portato, a abcissa do poto B é, aproimadamete, 9, y e Outra resolução: omo o declive da reta AB é e as coordeadas do poto A são 0,7, etão a equação reduzida da reta AB é y 7 omo B pertece ao gráfico de f e à reta AB etão a abcissa de B é a solução positiva da equação f 7, com 0,0 (a outra é a abcissa do poto A) Utilizado o editor de fuções da calculadora, defie-se 0,0 0, y f e y 7 a jaela de visualização y Logo, f 7 a, com a 9, Portato, a abcissa do poto B é, aproimadamete, 9, O a 0 y 7 f Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução 9

10 Preparar o Eame 0 Matemática A 7 Vamos estudar a variação da mootoia da fução h utilizado um quadro de variação do sial da fução h O sial de h depede apeas do sial de f, pois e 0, para todo o real h 0 0 h má Assim, a fução h tem apeas um etremo relativo (máimo) em e portato, a afirmação I é falsa A fução f tem um etremo relativo em de h é dada por f, como f é derivável em, etão f e f e e h e f 0 A seguda derivada f f f f e f 0 0 h 0 Logo, a afirmação II é verdadeira 4 e e e portato e Por fim, como lim h, a reta de equação y y 0 é assítota horizotal do gráfico de h, quado, e ão a reta de equação y 0 Assim, a afirmação III é falsa Eame 04 ª Fase, versão Proposta de Resolução 0