A maneiras. Concluindo, podemos obter

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1 Matemática A. o ao TESTE DE AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA.º ANO PROPOSTA DE RESOLUÇÃO. A soma de todos os termos da liha de ordem do triâgulo de Pascal é ; assim, para esta liha, tem-se 96 log 96 log. O elemeto maior dessa liha, que, ou seja tem elemetos, é o elemeto cetral, ou seja, C 6 ( 9 ). Opção correta: (D). As diagoais do tabuleiro têm 5 casas. Os bispos, as raihas e os reis são 8 das peças do jogo. Os dois bispos de cada cor ão se distiguem um do outro, equato as restates quatro peças (reis e raihas) são distiguíveis umas das outras, assim como dos bispos. Comecemos por escolher as casas para colocar os bispos pretos, o que podemos fazer de 5 C maeiras. Passado à escolha das casas para os bispos bracos, temos C maeiras de o fazer. As restates peças podem ser dispostas as casas sobrates, cosiderado a ordem da sua escolha, o que pode ser feito de 5 A maeiras. Cocluido, podemos obter 6868 C C A disposições diferetes dessas peças, colocado-as as diagoais do tabuleiro.. Comecemos por determiar o úmero de disposições possíveis dos peões (6 peças), sem restrições: 6 C 6 (úmero de casos possíveis). O úmero de disposições em que todos os peões bracos ficam em casas bracas e em que todos os peões pretos ficam em casas pretas é C C (úmero de casos favoráveis). 8 8 A probabilidade de todos os peões bracos ficarem em casas bracas e de todos os peões pretos ficarem em casas pretas é igual a C C C6, que é aproximadamete igual a,. Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados.

2 Matemática A. o ao. x y e e lim f x lim lim x y x x yx y x y si x si x si x lim f x lim lim lim lim x 5x6 x x x x x x x x x si y lim y yx y x y Como ão se verifica lim f x lim f x f ão é cotíua esse poto. x x, a fução f ão tem limite em x e, portato,. A fução f é cotíua o itervalo,, pois é o quociete de fuções cotíuas esse itervalo. Verifica-se que f e e f e. Coclui-se que, pelo teorema de Bolzao-Cauchy, a equação pelo meos uma solução o itervalo,. Como a fução f é crescete em, uma solução o itervalo,. f x e tem, coclui-se que a equação e,679,67 f f, f x e tem exatamete. Tedo em cota o resultado forecido pela calculadora, o valor da abcissa do poto de iterseção do gráfico de f com a reta de equação aproximadamete,5. y e, o itervalo,, é Trata-se de um valor aproximado às décimas da solução da equação f f x e, o itervalo,,55 e e f, 5, pois verifica-se que e e, de acordo com a alíea aterior, sabemos que existe uma úica solução da equação f x e esse itervalo. Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados.

3 Matemática A. o ao. Para determiar aaliticamete os valores de a e b, usaremos os seguites dados: T 85 e T t lim 5. Assim, tem-se: t,5t lim T t lim ae b a b b; portato, b 5. t t,5 T ae ba b; a5 85 a 6 Agora, podemos equacioar o problema e obter a respetiva solução.,5t,5t,5t ,5 l T t e e e t l l t t 7,...,5,5, A temperatura do café foi igual a 5 C cerca de 7 miutos e 9 segudos depois de ter sido tirado. 5. z z e i z z i 6 i i i i e e e e i ze ze O afixo do úmero complexo z z está cotido o semieixo imagiário positivo. Assim, dos potos dados, o afixo deste complexo pode ser o Z. Opção correta: (B) 6. i i i 5 5 w i i i i i i i i i i ii i Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados.

4 Matemática A. o ao w Sedo um argumeto de w, tem-se quadrate, pode ter-se. ta. Como o afixo de w pertece ao.º w e i 6 i i6 i w e e e 6 7. A área do triâgulo ABC é dada por Determiemos as coordeadas do poto C : AC y B, sedo y B a ordeada do poto B. log log f x x x x x x x x Assim, tem-se C,. Determiemos as coordeadas do poto B : f x g x log xlog x xx log x log x x log x x x x x x x Assim, tem-se,, B g B. Portato, a área do triâgulo ABC é igual a. Opção correta: (C) Cálculos auxiliares: x x x x x xx Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados.

5 Matemática A. o ao f x y x y x y x 7. f x x Opção correta: (A) log log y 8. x f x 9lx f x 9l f x lx lim lim lim lim x 9x x 9x 9x x 9x x x f x f x lim lim 9 x x x x Das equações dadas, a equação que pode defiir a assítota oblíqua ao gráfico da fução f é y x. Opção correta: (B) 9. Começado pela expressão da opção (C), tem-se: cos, lim lim lim lim Pelo teorema das sucessões equadradas, coclui-se que cos lim As sucessões defiidas pelas expressões (A) covergetes. A sucessão defiida pela expressão (B) cos se pode chegar pelo teorema das sucessões equadradas). Opção correta: (C) e (D) ão são coverge para (coclusão a que Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados. 5

6 Matemática A. o ao. O raio da circuferêcia é. Tem-se: cos, si cos, si M cos, si N M MN si A altura do triâgulo é dada por cos (tem-se cos ). si cos si cos si Área si..º processo: si si Portato, é máximo quado Sedo, o triâgulo si, isto é, quado MNO é retâgulo e isósceles...º processo: A si cos cos cos Acoscos k, k k, k Sedo,., tem-se A cos 6si A A 6si 6si 6 Como A e Sedo A, o triâgulo, a área do triâgulo MNO é máxima para MNO é retâgulo e isósceles. Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados.. 6

7 Matemática A. o ao. 5 5 ON cos, si ON, ON, OM cos, si ON, ON, ON OM Opção correta: (A). T s; Opção correta: (D) f Hz T. A velocidade do corpo C é dada, em fução de t, por d t. d t 7 6cos t 6si t t 6si t si t Determiemos o primeiro istate, em que d atige o valor máximo (que sabemos ser úico, dado tratar-se de um oscilador harmóico). 8 d t cos t cos t t k k t kk Sedo t, tem-se: t kk,,...,9 Quadro de sial de d e de mootoia de d : t t d d Míimo Máximo 9 Por aálise do quadro, podemos cocluir que a velocidade foi máxima pela primeira vez quado 9 t s. Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados. 7

8 Matemática A. o ao CD. 8 AD : x, y, z,, k,,, k Com k, obtêm-se as coordeadas do poto A :,, BC : x, y, z,, k,,, k Com k, obtêm-se as coordeadas do poto B :,,. A altura da pirâmide é igual a 8. Sedo E o cetro da base da pirâmide, tem-se: EV E (poto médio de AC ou de BD ). e,,, tem-se: EV AD abc,,,, a a EV CD abc,,,, bc bc Por outro lado, sedo EV a, b, c As coordeadas de EV são da forma, cc,, com c. EV c c c c c c 8c Cosiderado V o.º octate, tem-se EV,, Como V E EV, as coordeadas de V são:,,,,. c. A área do triâgulo PQR é dada por O poto P tem coordeadas O poto Q tem coordeadas PQ QR. a, f a, ou seja,,l,l a. Determiemos a equação reduzida da reta t. a a. Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados. 8

9 Matemática A. o ao fxl x x O declive da reta t é fa. a l a abbl a a A equação reduzida da reta t é y xl a. a Portato, o poto R tem coordeadas, l a. Tem-se, etão: PQ a ; QR l a l a ; a a Coclusão: ÁreaPQR Novo Ípsilo Matemática.º ao Raiz Editora, 8 Todos os direitos reservados. 9