NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.

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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto de todos os subcojutos de X. A \ B = { A; B}. a, b] = { ; a b}. a, ) = { ; a }., a] = { ; a}. P =, y) sigifica poto P de coordeadas, y). AB deota o segmeto que ue os potos A e B. I deota o logarítmo atural de. A t deota a matriz trasposta da matriz A. d Cosidere as seguites afirmações sobre úmeros reais positivos: I. Se > 4 e y <, etão y >. II. Se > 4 ou y <, etão y >. III. Se < e y >, etão y < 0. Etão, destas é são) verdadeiras) a) apeas I. b) apeas I e II. c) apeas II e III. d) apeas I e III. e) todas. I. Verdadeira, pois > 4 e y < > 6 e y > 4 y > 6 4 y >. II. Falsa, pois para = e y = temos que y =. = 7 <. III. Verdadeira, pois se e y são positivos, etão: < < < y < 0 y } { y > { > y > e Sejam a, b, c reais ão-ulos e distitos, c > 0. Sedo par a fução dada por a + b f) =, c < < c, + c etão f), para c < < c, é costate e igual a a) a + b b) a + c c) c d) b e) a A fução f :] c; c, com c > 0, defiida por ITA º Dia) Dezembro/00

2 a + b f) =, é par. + c Logo: f ) = f), ] c; c a + b a + b =, ] c; c + c + c a + b ac + bc = a b + ac + bc, ] c; c b ac) = 0, ] c; c b ac = 0 b = a c Assim sedo: a + b } f) = + c b = a c f) = a + ac + c f) = a e Os valores de, para os quais a fução real dada por f) = 5 6 está defiida, formam o cojuto a) 0, ] b) 5, 6] c) 5, 0] U, ) d), 0] U, 6] e) 5, 0] U,6] Os valores de para os quais a fução está defiida são dados pela solução, em, da iequação Para resulta: Para resulta: Cocluímos, etão, que 5; 0] ; 6] ITA º Dia) Dezembro/00

3 4 d Seja a equação em z 4 z + = 0 Qual detre as alterativas abaio é igual à soma de duas das raízes dessa equação? i a) b) c) + d) i e) ) z 4 z + = 0 z ±. i = z +. i = ou z = ) z +. i = z = + i z = cos 60 + i. se 60 z = cos 0 + i. se 0 ou z = cos 0 + i. se 0 z = + i ou z = i ) z. i = z = i z = cos 00 + i. se 00 z = cos 50 + i. se 50 ou z = cos 0 + i. se 0 z = + i ou z = i 4) O cojuto verdade da equação z 4 z + = 0 é { + i; i; + i; i} 5) A soma de duas raízes da equação pode ser: 0 ou i ou ou ou i. 5 b Sejam A um cojuto com 8 elemetos e B um cojuto tal que A U B coteha elemetos. Etão, o úmero de elemetos de PB \ A) U P ) é igual a a) 8 b) 6 c) 0 d) 7 e) 9 ) Para quaisquer cojutos A e B tem-se Ø P B \ A) {Ø} P B \ A) P Ø) P B \ A) P B \ A) P Ø) = P B \ A). i ITA º Dia) Dezembro/00

4 P B \ A) P Ø)] = P B \ A) ] ) B \ A) = B A ) = A B) ] A ] = 8 = 4 e portato P B \ A) ] = 4 = 6 ) Dos ites ) e ) coclui-se que P B \ A) P Ø) ] = 6 6 d Sejam f e g duas fuções defiidas por f)= ) se e g) = ) se,. A soma do valor míimo de f com o valor míimo de g é igual a a) 0 b) c) d) e) 4 4. se º) f) = ). se = f) é míimo para se =, assim:. ) f míimo = = = 4 º) g) =. se g) é míimo para se =, assim: g míimo =. º) A soma do valor míimo de f com o valor míimo de g, é: + = b ) ) Seja f : P ) dada por = f ) = {y ; se y < }. Se A é tal que f ) =, A, etão a) A =, ]. b) A = a, ), a >. c) A = a, ), a. d) A =, a], a <. e) A =, a], a. ) f) = {y ; se y < } = ; A, sigifica que para todo y deve-se ter se y < ; A. ) Para todo > tem-se se y <, y, pois ) = 4 ITA º Dia) Dezembro/00

5 se y. ) Para eiste y tal que se y e {y ; se y < }. 4) Dos ites, e coclui-se que {y ; se y < } =, A se, e somete se, > e portato A = a; ), a >. 8 a A divisão de um poliômio f) por ) ) tem resto +. Se os restos das divisões de f) por e são, respectivamete, os úmeros a e b, etão a + b vale: a) b) 5 c) d) e) 0 A partir do euciado, temos: º) f) ). ) f) = + = + Q) { f) = + = º) f) q f) = a a ) º) f) q f) = b b ) Portato a = e b = e a + b = + = 9 b Sabedo que a equação p = q m, p, q > 0, q, m, possui três raízes reais positivas a, b e c, etão log q abc a + b + c ) a+b+c ] é igual a a) m + p log q p. b) m + p log q p. c) m + p log q p. d) m p log q p. e) m p log q p. Seja a equação p. q m = 0, cujas raízes positivas a, b e c satisfazem as relações de Girard: a + b + c = p } a. b + a. c + b. c = 0 a. b. c = q m a + b + c = a + b + c) ab + ac + bc) = = p. 0 = p Etão log q abca + b + c ) a + b + c ] = = log q q m. p ) p ] = mlog q q + p. log q p = m + p. log q p ITA º Dia) Dezembro/00

6 0 d Dada a fução quadrática f ) = temos que a) a equação f ) = 0 ão possui raízes reais. b) a equação f ) = 0 possui duas raízes reais distitas e o gráfico de f possui cocavidade para cima. c) a equação f ) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui cocavidade para baio. d) o valor máimo de f é. e) o valor máimo de f é. Se f é defiida por f) = + 6. etão: 4 ) ) = < 0 e portato f possui co- cavidade para baio e possui máimo. 4 ) = 6) 4.. ). = 6) + ). ) = 6) ) = 6 + ). 6 + ) = 9. 4 = 4.. > 0 e portato a equação f) = 0 possui duas raízes reais e distitas. ) O valor máimo de f é dado por. Logo: 4a f ma = = = 4. ) 4. ) ITA º Dia) Dezembro/00

7 d Quatos aagramas com 4 letras distitas podemos formar com as 0 primeiras letras do alfabeto e que coteham das letras a, b e c? a) 69. b) 57. c) 50. d) 5. e) 9. Iterpretado das letras a, b e c como apeas das letras a, b e c temos: ) O úmero de maeiras de se escolher das letras a, b e c é C, =. ) O úmero de maeiras de se escolher as outras letras etre as 7 restates é C 7, =. ) Permutado, para cada caso, as 4 letras escolhidas resulta C,. C 7,. P 4 =.. 4 = 5 e O seguite trecho de artigo de um joral local relata uma corrida beeficete de bicicletas: Algus segudos após a largada, Ralf tomou a lideraça, seguido de perto por David e Rubiho, esta ordem. Daí em diate, eles ão mais deiaram as primeiras três posições e, em ehum mometo da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A lideraça, o etato, mudou de mãos ove vezes etre os três, equato que em mais oito ocasiões diferetes aqueles que corriam a seguda e terceira posições trocaram de lugar etre si. Após o térmio da corrida, Rubiho reclamou para ossos repórteres que David havia coduzido sua bicicleta de forma imprudete pouco ates da badeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubiho ão pôde ultrapassá-lo o fial da corrida. Com base o trecho acima, você coclui que a) David gahou a corrida. b) Ralf gahou a corrida. c) Rubiho chegou em terceiro lugar. d) Ralf chegou em segudo lugar. e) ão é possível determiar a ordem de chegada, porque o trecho ão apreseta uma descrição matematicamete correta. Da epressão logo atrás de David vamos cocluir que David e Rubiho chegaram em posições cosecutivas. Com os competidores D = David, R = Ralf e B = Rubiho, pode-se formar os seguites seis teros ordeados cosiderado suas posições durate a prova: D; R; B), D; B; R), R; D; B), R; B; D), B; D; R) e B; R; D). Vamos cosiderar o tero ordeado fudametal R; D; B) como sedo o que represeta as posições desses competidores logo após a largada. De acordo com o euciado o competidor D chegou a posição imediatamete aterior à posição do competidor B. ITA º Dia) Dezembro/00

8 Assim, os possíveis teros ordeados que podem represetar o resultado da corrida são: R; D; B) e D; B; R). Em ambos os casos tem-se um úmero par de iversões de posição em relação ao tero fudametal R; D; B) e assim sedo ão pode ter havido um total de = 7 iversões de posição etre os competidores coforme está descrito o teto citado o euciado. Logo, pode-se cocluir que o trecho desse artigo ão apreseta uma descrição matematicamete correta para que seja possível determiar a ordem de chegada desses competidores. e Seja a matriz cos 5 se 65. se 0 cos 90 ] O valor de seu determiate é a). b). c). d) e) 0. A matriz cos 5 se 65 se 0 cos 90 ] ] cos 5 cos 5 = = se 0 cos 0 cos 5 cos 5 = / / ] tem determiate igual a zero, pois as duas coluas são iguais. 4 c Sejam A e B matrizes quadradas de ordem tais que AB = A e BA = B. Etão, A + B) t ] é igual a a) A + B). b) A t. B t ). c) A t + B t ). c) A t + B t. e) A t B t. A + B) t ] = A + B) ] t = A. A + AB + BA + BB] t = = ABA + AB + BA + BAB] t = = ABA + B) + BA + AB)] t = = A. B + B) + B. A + A)] t = = A. B + B. A] t = AB + BA)] t = =. A + B) t =. A t + B t ) = ITA º Dia) Dezembro/00

9 5 a Seja A uma matriz real. Supoha que α e β sejam dois úmeros distitos, e V e W duas matrizes reais ão-ulas, tais que AV = αv e AW = βw. Se a, b são tais que a V + b W é igual à matriz ula, etão a + b vale a) 0 b) c) d) e) Supodo V = 0 e W = t y 0 z e sedo AV = αv, AW = βw e av + bw = 0 matriz ula), com α β, tem-se ) av + bw = 0 a + b t = 0 y z 0 a + bt = 0 I) { ay + bz = 0 II) ) av + bw = 0 A. av + bw) = A. 0 a. AV + b. AW = 0 aαv + b. βw = 0 a. α. + b. β. t = 0 y ] z ] 0 ] aα + bβt = 0 III) { aαy + bβz = 0 IV) ) Das equações I) e III) cocluí-se aα β). = 0 e das equações II) e IV) cocluí-se aα β). y = 0 e portato a. = 0 {, pois α β. a. y = 0 Como 0 ou y 0 tem-se a = 0 4) De a = 0 { tem-se bw = 0 av + bw = 0 b = 0, pois W 0. Assim sedo a + b = 0 6 a ] ] O triâgulo ABC, iscrito uma circuferêcia, tem um 0 lado medido cm, cujo âgulo oposto é de 5. O comprimeto da circuferêcia, em cm, é a) 0 + ). b) ) c) 80 + ). d) 0 + 5). e) 0+ ). ] ] ] ] 0 0 ] ITA º Dia) Dezembro/00

10 Sedo R o raio, em cetímetros, e C o comprimeto da circuferêcia, em cetímetros, tem-se: º) 0 ) = R + R. R. R. cos 0 R ) = R = = R R. R 0 =. + ) ) 0 0 R =. + R =. + ) R = 0 ) 0 ) ) ) º) C =.. R Assim: C =.. C = 0 + ) 0 + ) ITA º Dia) Dezembro/00

11 7 b Num sistema de coordeadas cartesiaas, duas retas r e s, com coeficietes agulares e, respectivamete, se iterceptam a origem 0. Se B r e C s são dois potos o primeiro quadrate tais que o segmeto BC é perpedicular a r e a área do triâgulo OBC é igual a 0, etão a distâcia de B ao eio das ordeadas vale 8 4 a). b). c). d). e) De acordo com o euciado pode-se cocluir que uma equação da reta r é y = e uma equação da reta s é y =. Como B r, se desigarmos d d > 0) a distâcia de B ao eio das ordeadas, etão o poto B terá coordeadas d e d ou seja Bd; d). Como C s, se desigarmos a a > 0) a abscissa de C, a etão a sua ordeada será ou seja C ) a; a. A reta BC tem coeficiete agular ) pois é perpedicular a r. a d Assim: = a 4d = a + d a d 5d a 5d a = e = 4 O triâgulo OBC tem área igual a. 0 = 6 = = Assim: d d = 5 5d 5d 4 ITA º Dia) Dezembro/00

12 5d 5d 5d = = d 6 4 = d = sem resposta Seja k > 0 tal que a equação ) + k y y) = 0 defie uma elipse com distâcia focal igual a. Se p, q) são as coordeadas de um poto da elipse, com q q 0, etão p p é igual a q q a) + 5. b) 5. c) +. d) e). ª) A equação da elipse, com distâcia focal, supodo k > 0 e k, é: ) + k. y y) = 0 ) + k y ) ] = + ) y ) + = + k + k 4 4 k ª) Se p;q) é um poto da elipse, com q q 0, temos: p p) + k. q p q) = 0 p p p = k = k q q q q ª) A distâcia focal f) da elipse é igual a, etão f =. Como a elipse temos a = b + f, resulta: { + k + k { = + k a) 4k = 0 4 4k k > k > k = + 5 { + k + k { = + k b) + 4k = 0 4k 4 0 < k < 0 < k < k = k 4 p p Dessa forma: = k = ± + 5 q q Obs.: Se a codição dada fosse k >, a resposta seria a alterativa a. ITA º Dia) Dezembro/00

13 9 a Cosidere a região do plao cartesiao y defiida pela desigualdade y 4y 8 0 Quado esta região rodar um âgulo de radiaos 6 em toro da reta + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície etera total com área igual a a). b). c) d). e). 6 7 A região do plao cartesiao y defiida pela desigualdade + y + 4 4y 8 0 é um círculo de raio R = 4, e cujo cetro C ; ) pertece à reta de equação + y = 0 Quado este círculo rodar um âgulo de radiaos 6 em toro dessa reta irá gerar um sólido composto por duas cuhas esféricas cogruetes de raio R = 4 e âgulo equatorial de medida, coforme a figura 6 seguite. ITA º Dia) Dezembro/00

14 A área total S desse sólido é dada por: 6 S =. 4.. R R + 4. S = R 8 + ) S = R 8 Assim: S = 4 8 S = 0 c Seja uma pirâmide regular de base heagoal e altura 0 m. A que distâcia do vértice devemos cortá-la por um plao paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8 do volume da pirâmide origial? a) m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m. Sedo V o volume da pirâmide de altura d e V o volume da pirâmide de altura h = 0m, tem-se: Assim: d 0 m V V = e = V 8 V ) d h d = = d = 5m 8 0 m ) Seja a fução f dada por f) = log 5). log log 4 + log +). Determie todos os valores de que toram f ãoegativa. ITA º Dia) Dezembro/00

15 f) = log 5). log log 4 + log +) = = log 5). ). log ). log 4. + ). log = = ). log ). log 4. + ). log = =. ). log ). log. + ). log = = log ) ] = = log ) ] Etão: f) 0 log ) ] , pois log > Resposta: 5 Mostre que y + + y 4 > C 8,4, para quaisquer e y reais positivos. Obs.: C,p deota a combiação de elemetos tomados p a p. Sabe-se que: º) C 8,4 = 8! = 70 4!4! º) y 0 para quaisquer e y reais es- y tritamete positivos. Assim: y y y y y y y y )4 y y > 70 y y )4 ) y + + > C y 8,4 ) )4 )4 ITA º Dia) Dezembro/00

16 Com base o gráfico da fução poliomial y = f) esboçado abaio, respoda qual é o resto da divisão de f) por ) ). Sejam Q) e R) = a + b, respectivamete, o quociete e o resto da divisão de f) por ) Etão: f) ) ) a + b Q) f) = ) ). Q) + a + b Com base o gráfico forecido temos: f ) = e f) = 0 Portato: 8 {a = 8 4 f) = a + b = 0 b = 4 {f ) = a + b = Logo, R) = a + b = Resposta: O resto é ). ITA º Dia) Dezembro/00

17 4 Sejam a e b dois úmeros compleos ão-ulos, tais que a + b = 0. Se z, w satisfazem a z w + z w = 6a { z w z w = 8b determie o valor de a de forma que z w =. º) Sedo z, w, temos: { z. w + z. w = 6a z. w z. w = 8b Etão: z. w). z. w) = a + 4b). a 4b) z. z ). w. w) = 9a 6b z. w = 9a 6b z. w = 9a 6b 9a 6b =, pois z. w =. º) Como a + b = 0, resulta: a + b = 0 b = a { { 9a 6b = 9a 6b = Portato: 9a 6. a ) = 5a = a = 5 a = ± e a = Resposta: a = 5 5 { z. w = a + 4b z. w = a 4b 5 5. Mostre que se uma matriz quadrada ão-ula A satisfaz a equação A + A + A = 0 ) etão A + I) = A + I, em que I é a matriz idetidade.. Sedo dado que A = 0 satisfaz à equação ) acima, ecotre duas matrizes ão-ulas B e C tais que B + C = B + C = A. Para essas matrizes você garate que o sistema de equações 0 B C) = y 0 tem solução, y) 0,0)? Justifique. Sedo A uma matriz quadrada e I a matriz idetidade temos: ) A + I) = A + I). A + I). A + I) = ] ] ] ITA º Dia) Dezembro/00

18 = A + A + I). A + I) = = A + A + A + A + I = A + I 44 0 ) Como A = satisfaz a codição acima, tomemos B = A + I = + = 0 ] ] 0 ] 0 ] Logo B = A + I) = A + I = B. Por outro lado devemos ter B + C = B + C = A, e portato C = C = A B 0 0 C = A B = = Cosiderado o sistema de equações 0 B C). = vem: y = 0 y 0 0. = { + y = 0, 0 0 y 0 que é um sistema possível e idetermiado, possuido soluções, y) 0, 0). Respostas: ) Demostração 0 0 ) B = e C = e o 0 ] 0 ] sistema apresetado admite solução ; y) 0; 0) 6 Sejam úmeros reais positivos a, a,... a que formam uma progressão aritmética de razão positiva. Cosidere A = a + a a e respoda, justificado: Para todo, qual é o maior etre os úmeros e a? ] ] 0 0 ] ]) ] A a ) ] ] A ) ] ] ] ] ] De acordo com o euciado, a progressão aritmética a, a, a, a, ) é tal que 0 < a < a < a,.< a < Logo: a + a ) A = a + a + a + + a =. ITA º Dia) Dezembro/00

19 A a + a ) = A ) a ) = a ) a = ) a + a a 4) ) a = ) a 5) a ) ) a ] = a = ) ) a a + a + a = = a. a ) + a = a a a ) > 0,, A 6) a ) ) A a ] > 0,, a ) > ) a,, A Resposta: O maior é a ) 7 A A A a + a A A Cosidere potos distitos A, A,... A sobre uma circuferêcia de raio uitário, de forma que os comprimetos dos arcos A A, A A,..., A- A formam uma progressão geométrica de termo iicial e razão. Para que valores de teremos o comprimeto do arco A A meor que circuferêcia? 5 do comprimeto da Obs.: Para todo arco A k A l, o comprimeto cosiderado é o do arco que ue o poto A k ao poto A l. o setido ati-horário. ITA º Dia) Dezembro/00

20 De acordo com euciado tem-se: A A = A A = A A 4 = 4... A A = Como A A = A A + A A + A A A A, tem-se: ) ] A A = = = 4 = ) ] Por outro lado: A A = A A A A = ) ] A A =. ) Assim, para que o comprimeto do arco A A seja meor que do comprimeto da circuferêcia, deve- 5 se ter: ITA º Dia) Dezembro/00

21 A A <.. ) <. 5 ) < ) 9 > 9 > 0 9 Resposta: > 0 8 Seja S a área total da superfície de um coe circular reto de altura h, e seja m a razão etre as áreas lateral e da base desse coe. Obteha uma epressão que foreça h em fução apeas de S e m. Sejam: g a geratriz do coe R o raio da base do coe S a área lateral do coe S b a área da base do coe De acordo com o euciado tem-se: S l R g º) = m = m g = Rm e S R b m > pois g > R º) g = h + R Assim: R m R = h R = º) S = S l + S b S = R g + R) h m Assim: S = R Rm + R) S = R m + ). h S = m + ). h S = m m h m ) S = h = m ) S ITA º Dia) Dezembro/00

22 m ) S Resposta: h = m > ) 9 Cosidere o seguite raciocíio de cuho cartesiao: se a circuferêcia de cetro C = h, 0) e raio r itercepta a curva y = +, > 0, o poto A = a, a )de forma que o segmeto AC seja perpedicular à reta tagete à curva em A, etão = a é raiz dupla da equação em que se obtém da itersecção da curva com a circuferêcia. Use este raciocíio para mostrar que o coeficiete agular dessa reta tagete em A é. a A circuferêcia de cetro C h; 0) e raio r tem equação: h) + y = r. Fazedo y = essa equação, tem-se a seguite equação em : h) + ) = r + h) + h r ) = 0 Assim, se = a é a raiz dupla dessa equação, temos: h h a = a = a = h h a = O coeficiete agular m da reta AC é dado por: 0 a a m = m = m = a h a Assim, como a reta t, tagete à curva em A é perpedicular à reta AC, o seu coeficiete agular m é dado por: m = m ITA º Dia) Dezembro/00

23 Logo: m = m = a a 0 Se, y e z são âgulos iteros de um triâgulo ABC se y + se z e se =, prove que o triâgulo ABC é cos y + cos z retâgulo. Se, y e z são as medidas dos âgulos iteros de um triâgulo ABC, etão: + y + z = y + z = y + z = se y + se z Se se =, etão: cos y + cos z. se ). cos ) =. se ).cos ) = cos ). se ).cos ) = se ). se ).cos ) cos ) = 0 se ) cos ) cos ). se ) ]= 0 cos )= 0 ou se )= ± y + z y z. se ) ). cos y + z y z. cos ) ). cos Como: 0 < <, etão tem-se fialmete: 4 ABC é retâgulo. se ) = = = ITA º Dia) Dezembro/00

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