FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste.º Ao de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tioco //8 Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato, a sua forma mais simples. Evite alterar a ordem das questões. Nota: O teste é costituído por duas partes Cadero : 5 miutos (é permitido o uso de calculadora) Cadero : 4 miutos (ão é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

2 Cadero : 5 miutos (é permitido o uso de calculadora). Cosidere dois vetores, u e v, tais que u v e u u v. ().. Mostre que uv. Sabemos que u u v Portato, u u u v u u v u v u uv c.q.m. ().. Calcule o âgulo formado pelos vetores u e v, com aproximação à décima do grau. Temos u v u v cos u,v Assim, cos u,v cos u,v Portato, u,v, 8º (5).. Qual é o valor de u v? u,v arccos u,v, 8... (A) (B) 6 (C) 8 (D) u v u v u v u u u v vu vv u u v u Temos Portato, u v 4 OPÇÃO A. Fixado um referecial ortoormado Oxyz do espaço, cosidere: - o poto A de coordeadas,, ; - a reta r de equação vetorial x,y,z,,,,, ; - a família de plaos k defiidos por x ky 4z, k. (5).. Para que valor real de k um dos plaos desta família é perpedicular à reta r? (A) k (B) k (C) k 6 (D) r k r t plao,, k, 4., isto é, o vetor diretor da reta, r,, k 4 k Outro processo:,, t, k, 4 k, é coliear com o vetor ormal do k 6 OPÇÃO C t tk 4t t k 4 t k 6 PV.. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

3 (5).. Escreva uma equação vetorial do plao que passa em A e cotém a reta r. Precisamos de dois vetores paralelos ao plao e ão colieares etre si. Um dos vetores pode ser o vetor diretor da reta r,,. O outro pode ser o vetor defiido pelo poto A,, e pelo poto R,, à reta. Temos, AR R A,,,,,,6 Portato, uma equação vetorial de é que pertece x, y, z,, k,,,,6, k, (5).. Determie a equação geral do plao que passa em A e cotém a reta r. Sedo a, b, c o vetor ormal do plao, temos r a,b,c,, AR a,b,c,, 6 6c r e AR. Assim, a b c Portato, o vetor ormal de é da forma b,b, Por exemplo, para b, temos,,.. a b c ab c Já sabemos que o plao tem equação da forma x y z d. Como A,, é um poto do plao, substituido a equação aterior descobrimos d. d d d 5 Temos Logo a equação de é x y5. Na figura do lado está represetada uma superfície esférica de cetro o poto C,, e o plao tagete à superfície o poto T 4,,. (5).. A equação reduzida da superfície esférica é (A) x y 9 x y z 9 (B) x y z 9 (C) x y z 9 (D) Só os falta o raio da superfície, que correspode a CT ou CT. Temos r CT Assim, a equação da superfície é x y z 9, ou seja, x y z 9 OPÇÃO C Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

4 (5).. Mostre que o plao pode ser defiido pela equação x y z. Como o plao tagete é perpedicular ao raio CT o poto de tagêcia T, um vetor ormal do plao é o vetor CT. Temos CT T C 4,,,,,, Portato, o plao tem equação x y z x y z 4 x y z 9 Ou, o plao é da forma x y z d e descobrir d usado o poto T. Outro processo: o plao tagete á superfície é o lugar geométrico dos potos Px, y,z que satisfazem a codição TC TP e TP P T x,y,z 4,, x 4,y,z TC,, Assim, temos TC TP 4 x y z 9,, x,y,z x y z x y z c.q.m. (5).. Seja um plao paralelo a e que iterseta a superfície esférica. Sabedo que essa iterseção é uma circuferêcia com 9 uidades de área, determie uma equação do plao. Como é paralelo a os seus vetores ormais são colieares. Portato, a equação de é da forma x y z d Para descobrir d precisamos de um poto do plao. Como a área da circuferêcia é 9, temos r 9, pelo que r 9. Assim, tal circuferêcia tem cetro o cetro da superfície esférica, pelo que o plao passa o poto C,,. C,, d d d Logo, a equação de é da forma x y z 4. Cosidere a sucessão a de termo geral a () 4.. Verifique se é termo da sucessão e, caso afirmativo, idique a sua ordem. é termo de a se existir tal que a Temos 9 9 Como 6, é o sexto termo da sucessão. 6 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 4/7 Versão

5 (5) 4.. Estude a quato à mootoia. a = a = = 4 = Portato,, a a 6 = 4, pelo que = 6 4 4, pois 4 e a é moótoa decrescete. (5) 4.. Prove que a é uma sucessão limitada. Como a sucessão é decrescete, sabemos que a é um majorate de a. 4 Vamos recorrer ao algoritmo da divisão para fazermos um equadrameto do termo geral. Temos Como a 6 defie uma sucessão decrescete de termos positivos, temos Ou,, 4, pelo que, 4 Assim, Portato,, a e, pelo que 6, ou seja, a é limitada. Algoritmo: a () 5. Seja c a sucessão cujo termo geral é c. Idique, caso existam, o máximo, o míimo, o cojuto dos majorates e o cojuto dos miorate de c. se é ímpar Temos c se é par Os primeiro termos de c : c ; c ; c ; c ; 4 4 Para ímpar temos c e para par temos c. Portato,, c Assim, é o máximo de c e o cojuto dos majorates é c e o cojuto dos miorates é,. é o míimo de,. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 5/7 Versão

6 Cadero : 4 miutos (ão é permitido o uso de calculadora) 6. Cosidere a sucessão b defiida por recorrêcia: (5) 6.. O valor de b b8 é b b b, (A) (B) 9 (C) (D) 9 Para temos b b9, e para 9 temos b 9 b 8 9 Assim, b b9 b b8 9 b b8 9 OPÇÃO D (5) 6.. Usado o método de idução matemática, prove que o termo geral de b é b. Sedo b, temos de mostrar que: b que é verdade pela defiição por recorrêcia; B, isto é, sabedo que b (hipótese de idução), etão tem-se B a codição B é verdadeira: temos B b Da defiição por recorrêcia sabemos que b b,, logo, b b. Assim, usado a hipótese, temos b. Ou seja, b = = Logo, pelo método de idução cocluímos que, b (5) 7. Acerca de uma sucessão u sabe-se que: = u u Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) (C) u ão é moótoa (B) u é uma sucessão costate (D) Vejamos o que podemos cocluir sobre o sial de u 4 Para temos u u, pelo que u u Para temos uu, pelo que u u u é moótoa crescete Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 6/7 Versão u u é crescete em setido lato c.q.m. 4 Para temos u u, pois os termos de estão sobre uma parábola de cocavidade voltada para cima e zeros em e. Assim,, u u, pelo que u é crescete em setido lato OPÇÃO D

7 8. No referecial ortoormado Oxy da figura do lado estão represetadas duas retas, r e s, que se itersetam o poto C,, tais que: r iterseta Ox o poto A e tem icliação de 6º s tem a direção do vetor s, (5) 8.. Justifique que a reta r tem equação y x e determie as coordeadas do poto A. Sedo y mx b a equação reduzida de r, sabemos que b e m ta 6º. Portato, a equação reduzida de r é y x. Para descobrir as coordeadas do poto A comecemos por observar que a sua ordeada é zero. Assim, x x x A,. x. Portato, () 8.. Averigue se as retas r e s são perpediculares. Duas retas são perpediculares: se os seus vetores diretores são perpediculares; ou se o produto dos seus declives é -..º processo: Usado os vetores diretores, r s r s Vetor diretor de s: s, Vetor diretor de r: r, m, Portato, r s,,. Logo r s e as retas são perpediculares.º processo: Usado os declives, r s m m s Temos mr e ms s Portato, r s m m. Logo as retas são perpediculares. r s (5) 8.. A icliação da reta s é... Como (A) 5 6 (B) (C) 6 ms, temos ta 5 Portato, ta 6 6 (D) 6 OPÇÃO A Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 7/7 Versão