( ) ( ) ( ) { } Questões tipo exame. π kπ. π 5. kπ 2π kπ. Pág a) O perímetro do triângulo [ACE] é igual a

Transcrição

1 Questões tipo eame a) O perímetro do triâgulo [ACE] é igual a CE AE AC AC (raio da circuerêcia) DC cos, ou seja, DC cos AC Assim, CE DC DE, isto é, CE cos AD si, ou seja, AD si AC Pág 0 O triâgulo [ADE] é retâgulo em D, logo, pelo Teorema de Pitágoras: AE DE AD AE si AE si Como AE > 0, AE si Dode resulta que P cos si, ou seja, 7 cos si P, cqm CE AD cos si b) Área [ ACE ] si cos si si cos si cos si si cos si Portato, A si cos cos (i) cos cos cos cos Como 0,, etão rad cos si (ii) A [ ] si ACE 8 8 g si cos cos cos k, k, k, 0 k, Pág k, k, Como [ 0, ] : Para k 0 : Para k : Para k : Para k : Portato, os dois gráicos itersetam-se os potos de abcissa,, e si si si si si si si 8 si si si si si si si Etão, P,, P,, P, P, g 0 0 g 0 si 0 cos 0 k, k Z k, k, k, k, k, k k,, Como [ 0, ] : k 0 0 k 0 k k 0,,,, { } Portato: 0 e

2 Questões tipo eame k k 0 k 8 k 8 k k {, 0,, } 7 Portato: Etão, os zeros da ução g são: 7 0,,,,,,, e < < si k < < k, k < < k, Como [ 0, ] : Para k 0, < < e para k, < < Portato: < [ 0, ],, cos y si As retas QB e RP são perpediculares se os seus vetores diretores o orem, ou seja, se QB RP Por outro lado, QB RP QB RP 0 e (, 0 ), (, ), ( 0, ) e (, ) P b B a a R a b Q b a b Etão: QB B Q a, a b, a b a b, b RP P R b, 0 0, a b b, b a QB RP a b, b b, b a b a b b b a ab b b ab 0 Portato, as retas QB e RP são perpediculares A ordeada a origem a reta RP é igual à ordeada do poto R, ou seja, igual a a b QB a b, b é um vetor diretor Por outro lado, temos que b da reta QB, pelo que, o declive da reta QB é igual a a b A reta QB passa pelo poto B(a, a), portato: b b ab QB : y a ( a) y a a b a b a b b ab a ab b a ab y y a b a b a b a b A ordeada a origem da reta QB é igual a ab a b a b a b a ab b k k k a ab a ab a ab a b a k ab b k b a ab a ab a ab y z y z 0 y y z z 0 y y z z 0 y z 0 ( y ) ( z ) Etão, C ( 0,, ) e r 9 Pág Seja A o cetro da circuerêcia, iterseção do plao α com a superície esérica, P um poto geérico da circuerêcia e C o cetro da superície esérica Recorredo ao Teorema de Pitágoras: CP AP AC AC AC Como AC > 0, etão AC Tomado plaos paralelos aos plaos coordeados distaciados do cetro da superícies esérica duas uidades, temos que três possíveis equações para o plao α são:, e y Dado que o plao tagete, ou seja, θ tem que ser paralelo ao plao β, o vetor ormal terá que ser coliear com o vetor u ( 0,, ) Seja C o cetro da superícies esérica e P o poto de tagêcia Assim, sedo, CP R e CP kuɵ, k \ { 0} Portato: ɵ CP ku k 0 k k k k Etão: CP 0,, ou CP 0,, Vamos determiar as coordeadas do poto de tagêcia P Se CP 0,, : P C CP ( 0,, ) 0,, 0,,

3 Questões tipo eame Equação de θ que passa em P de que u ( 0,, ) é um vetor ormal: θ : y z 0 y z 0 Se CP 0,, : P C CP ( 0,, ) 0,, 0,, Equação de θ que passa em P de que u ( 0,, ) vetor ormal: θ : y z 0 y z 0 u 0,, é ormal ao plao α O vetor é um Por outro lado, sabe-se que o plao β é paralelo ao plao α, u 0,, é um vetor ormal ao plao β pelo que Assim, o plao β pode ser deiido por uma equação do tipo y z d 0 7 Como este plao passa o poto V,,, etão, substituido as coordeadas de V a equação y z d 0 : d 0 0 d 0 d 0 d Portato, uma equação cartesiaa do plao β é y z 0 A reta r é perpedicular ao plao, pelo que os vetores diretores da reta r são colieares aos vetores ormais do plao Assim, um vetor diretor da reta r, pode ser, u ɵ ( 0,, ) Por outro lado, a reta r passa pelo poto V, portato 7, λ R são equação paramétricas da reta r y λ z λ 7 W,, 7 A reta VW pode ser deiida pela codição z Assim, uma codição que deie o segmeto de reta [VW] é, 7 por eemplo, z y O volume da pirâmide é igual a área da base altura Relativamete à pirâmide em causa, tem-se que: área da base é igual a uidade quadradas a altura é igual a VE, sedo E o poto de iterseção do plao com a reta perpedicular a este plao e que passa por V, ou seja, com a reta r A reta r pode ser deiida pelo seguite sistema de equações paramétricas 7, λ R e o plao é deiido pela equação y λ z λ y z 0 Assim, as coordeadas do poto E satisazem a codição 7, λ R y z 0 y λ z λ Tem-se que: λ ( λ ) 0 0 λ 9λ 0 λ 0 λ λ Portato, as coordeadas do poto E são: 7 7 y y, ou seja, 0 E 7 9,, 0 9 z z VE E V,,,, ,, Etão, a medida do volume da pirâmide é igual a u ± ± 8 8 Como N, etão Portato, 7 é o termo de ordem da sucessão ( u ) Pág

4 Questões tipo eame a) Temos que 7 ( k ) v k 0 w u ( ) ( ) ( ) ( ) Já que as parcelas da soma do umerador são os termos de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é e o termo de ordem é igual a ± 0 ±, logo, ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) b) Recorredo ao algoritmo da divisão: Assim, w N, 0 < N, 0 > N, > N, w < Como a sucessão ( w ) é miorada e majorada, etão é limitada u v u v u u u u 8 u u u u u u v Como, v N, etão ( v ) é uma progressão geométrica de razão 7 O termo geral de ( v ), sedo esta uma progressão geométrica, é v v r, ode v é o º termo e r a respetiva razão v u v v v v r v v u, ou seja, u e como v, vem que u Portato, N, v e N, u 7 limu lim lim 0 lim Como o limite é um úmero real, etão a sucessão ( u ) é covergete 8 Seja AB BC e y BP CQ AP BQ ( AB BP) ( BC CQ) AB BC AB CQ BP BC BP CQ 0 AB CQ BP BC 0 ( AB BC e BP CQ ) AB CQ cos ABɵCQ BP BC cos BPɵ BC y cos y cos0 y y 0 Logo, como AP BQ 0, os vetores AP e BQ são perpediculares 8 α CPA ˆ ; PC BP Seja β APB ˆ e α β BP BP BP AB BC BP PC ta β BP BP BP BP BP ta β cos β cos β 9 cos β 9 cos β 9 cos β 9 Como β é um âgulo agudo, cos β cosα cos( β ) cos β 8 H D DH D BF BF F B ( 0,, 0) (,, ) (, 0, ) H D BF,, 7, 0,,, HB B H,,,, 7,, ( ) R HB :, y, z,, k 7,,, k Seja R um poto geérico da reta HB R 7 k, k, k, k R Etão, Pretedemos determiar k R de modo que o poto R perteça ao plao Oy, isto é, ao plao de equação z 0

5 Questões tipo eame 9 Nas coordeadas de R temos z k Logo, k 0 k Substituido k por as coordeadas de R, 7,,,, 0 obtemos O poto de iterseção da reta BH com o plao Oy tem,, 0 coordeadas ( )( ) Para decompor em atores o poliómio Pág, vamos recorrer à regra de Ruii (eperimeta-se os divisores do termo idepedete) 0 Portato, ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) Costruido um quadro de siais para estudar o sial da ução : () d 0 d 0 Temos, etão, que D \ {, } R Zeros de : e > 0,, ] [ ] [ < 0 ], [ ], [ ], [ 9 D R \ {, } Assítotas verticais 0 lim lim 0 Logo, a reta de equação é assítota vertical ao gráico de lim 0 0 lim lim ( )( )( ) lim ( )( ) ( )( ) ( )( ) lim lim Por outro lado, Como ehum destes dois limites é iiito, a reta de equação ão é assítota vertical do gráico de Assítotas ão verticais lim lim lim lim 0 0 lim lim lim lim 7 lim lim 0 Logo, a reta de equação y é assítota ao gráico de em De modo aálogo se mostra que a reta de equação y, também é, assítota do gráico de em Portato, as equações das assítotas do gráico da ução são: e y 9 Determiemos a epressão da ução derivada da ução ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Assim, ( ) ( ) ( ) Logo, o declive da reta s é igual a pode de coordeadas (, ()) : e como esta passa pelo

6 Questões tipo eame y y ( ) ( ) y y Portato, a equação reduzida da reta s é y 0 Ao gráico correspode o valor r 0,9 visto que a associação liear etre as variáveis é positiva Ao gráico correspode o valor r 0,8 e ao gráico correspode o valor r 0,7, pois ambos apresetam uma associação liear etre as variáveis egativa No etato, a associação do gráico é mais orte que a associação do gráico, 0 P cos, si A( ) e ( cos ) ( 0 si ) AP 8cos cos si 8cos 7 8cos Portato, d 7 8cos d ( 0) 7 8cos0 7 8 d ( ) 7 8cos 7 8 d ( 0) d, pelo que a proposição p é alsa d 7 8cos 7 8cos 8cos 7 cos Como pertece ao itervalo,, etão ou seja, rad, Pág Sejam S, C e B as amplitudes, em graus, dos âgulos ASB, BCA e SBC, respetivamete (C é o cetro da Terra) Comprimeto do arco AB raio da Terra BCA, em radiaos BCA 00 0 BCA rad BCA rad 70 9 rad rad C 0 80 C 9 ; C, 90 B 80 7,,9 9,07 Pela lei dos seos: si 9,07 si 7, 70 si 9,07 d 70 d si 7, d 8,9 A distâcia do satélite ao poto A é aproimadamete igual a 8,9 km Seja m o declive da reta t e m o declive da reta r m ta ( 0 ) ta ( 80 0 ) ta 0 Dado que as retas t e r são perpediculares: m m, ou seja, m m m Assim, a equação reduzida da reta r é da orma y b, b R Por outro lado, sabemos que o poto A(, 0) pertece à reta r, pelo que: 0 b 0 b b Logo, a equação reduzida da reta r é y O poto C tem abcissa e a reta r passa por C: y y y C (, ) A equação reduzida da reta t é da orma: y b, b R Como esta reta passa pelo poto C (, ) : b b b Logo, a equação reduzida da reta t é y Por outro lado, temos que B pertece ao eio O e à reta t: 0 Portato, a abcissa do poto B é A circuerêcia represetada este reerecial tem cetro C (, ) e passa pelo poto B(, 0) Seja r o raio desta circuerêcia, etão: (, ) ( ) ( 0) r d B C Logo, a região sombreada da igura pode ser deiida pela codição: y y 0 A(, 0) e C (, ), pelo que 9 seja, M, 0 M,, ou AC C A (, ) (, 0 ) (, ) 9 9 MP P M (, y),, y

7 Questões tipo eame Etão: 9 AC MP 0 (, ), y 0 9 y 0 7 y 0 y 0 y y y O lugar geométrico é a mediatriz do segmeto de reta [AC] de equação y Pág A área lateral do prisma é igual a 9 uidades quadradas, pelo que: 9 9 Área[ ] AB BE ABDE Como AB 8, etão 8 BE BE Por outro lado, sabemos que o prisma é triagular regular, portato as suas bases são triâgulos equiláteros, dode BC EB EC Logo, o poto E tem abcissa, ordeada 8 e cota igual à medida da altura do triâgulo [BCE] Sedo M o poto médio de [BC]: EB BM ME ME ME ME Como ME > 0, etão ME Portato, E (, 8, ) Seja A o poto de iterseção do eio O com o plao α : y z 0 8 z 0 y 0 y 0 z 0 z 0 A (,0,0) Assim, (,0,0 ) são as coordeadas de um poto da reta r e r (,, ) é um vetor diretor desta reta dado que é perpedicular a α, y, z, 0, 0 λ,,, λ R é uma Logo, equação vetorial da reta r A(, 0, 0), C(0, 8, 0) e E (, 8, ) EA A E (, 0, 0) (, 8, ) (, 8, ) EC C E ( 0, 8, 0) (, 8, ) (, 0, ) EA EC (, 8, ) (, 0, ) ( ) ( 8) 0 ( ) ( ) 8 EA 8 80 EC 0 EA EC 8 cos( AEC ) EA EC 0 Utilizado, agora, a órmula udametal da trigoometria: si α cos α, isto é, si ( α ) si α si α si α si α Portato, si α 0 Sabemos que u7 u r, ou seja: u7 u u7 u Por outro lado, u9 u 8r, ou seja: u9 u 8 u9 u 9 Logo, v u e v u 9 Como v é uma progressão geométrica e v, v e v são termos cosecutivos, etão as razões v v v e v são iguais à razão da progressão geométrica ( v ) Igualado as razões, obtemos: v v u 9 u ( u ) 9 u u v v u u u 9u u u 9 9u u 9 9u u 9 u 9 u Portato, v, v e v 9 Logo, v v v A sucessão ( u ) é uma progressão aritmética de razão cujo primeiro termo é u u u ( ) r ( ) u u u S Determiemos uma epressão do termo geral de ( u ) Como S temos: 0 ± 7 8 Como N, etão 7 Para,, o que é verdadeiro 7

8 Questões tipo eame Por outro lado, temos que: Se a propriedade é verdadeira para um dado N etão deve ser verdadeira para Assim, a hipótese de idução é: ( ) Pretedemos mostrar que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Portato, se a propriedade é verdadeira para e é hereditária etão é verdadeira para todo N : ( ) N, Utilizado a propriedade aterior, temos que: ( ) Como N, etão > 0, pelo que: ± ± Como N, etão 7 a) Seja δ um úmero real positivo qualquer u < δ < δ < δ δ < δ δ > δ Sedo p um úmero atural maior ou igual δ, δ N, p u < δ Logo, lim u 0 b) Seja L um úmero real positivo qualquer v < L < L < L L > Sedo p um úmero atural maior ou igual N p u < L, Portato, lim v 7 a) u v ( ) L : Pág 7 lim ( u v ) lim lim Portato, lim w, pelo que a proposição p é alsa b) Estudemos o sial de w w : w u v ( ) w w ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 ( )( ) ( )( ) < 0, N, w w < 0 N, ou seja, a sucessão decrescete A proposição q é alsa c) Utilizado o algoritmo da divisão: Portato, w 0 N, 0 < N, 0 < 7 N, < N, < N, < w w é Logo, a proposição r é verdadeira 8 Visto que a reta de equação é uma assítota vertical do gráico de, temos: c 0 c 8

9 Questões tipo eame Como a reta de equação y é assítota ao gráico de em a a e em, lim lim c c a Como a temos a Como ( 0), temos que 0 b, ou seja, b 0 Portato, a, b e c 8 O poto B é o úico poto do gráico de que tem ordeada igual a zero Logo, o poto B tem coordeadas (, 0) 8 A 0,, B(, 0), C(, ) e D(0, ) Área[ ] Área[ ] Área ABCD OBCD [ AOB] 9 a) OB DC OB OA Área [ ABCD ] OD Etão, a área do quadrilátero é igual a 9 ( 0) a a,9 8,8,, 0,9 8,8,8 9, Portato, a velocidade média os quatro primeiros segudos oi de 9, m/s a t,9t 8,8t, 9,8t 8,8 b) Etão, a ( ) 9,8 8,8 9,8 A velocidade o istate t oi de 9,8 m/s 8,8 a t 0 9,8t 8,8 0 t t 9,8 A altura máima oi atigida quado a velocidade oi ula, ou seja, o istate t segudos a,9 8,8, 78,8 A altura máimo oi atigida oi 78,8 m 0 lim eiste quado lim lim Temos que lim 7 9 lim lim ( )( ) ( )( ) lim Pág 8 Como lim lim, eiste lim igual a lim lim lim lim lim lim lim Como e é lim, etão, y é a equação pedida 0 pertece ao itervalo ], [ Assim, para >, 7, ou seja: ( 7 ) ( ) ( 7 )( ) ( ) ( 8 7)( ) ( 7 )( ) ( ) 0 80 ( ) A equação reduzida da reta t pode ser obtida a partir da seguites equação: y Determiemos () e ( ) : ( ) ( ) ( ) 9 9 y ( ) y 89 y Portato, a equação da reta t, tagete a gráico de, o 89 poto de abcissa é y Os triâgulos [ORP] e [OMN] são semelhates (são triâgulos retâgulos com um âgulo agudo comum) OR OP OR OR OP OM u u 9

10 Questões tipo eame De igual modo, os triâgulos [OPS] e [OPN] são semelhates Logo: OS OP OS OS OP ON v v Portato, R tem abcissa u e S tem ordeada v Pág 9 (i) Seja a variável correspodete ao úmero de horas cosecutivas sem dormir e y a variável correspodete ao úmero de erros cometidos, etão: 9 9,9 e y 9, (ii) SS ( i ),9 8,9 9 i i yi y i 7 99, 7 a 0, SS 8,9 7, (iii) b y a 9,,9, 8,9 Portato, a equação reduzida da reta dos míimos quadrados é y 0,, Se 8, etão y 0, 8,, Assim, espera-se que esse idivíduo cometa, aproimadamete, erros lim é cotíua em 0 quado o limite por sua vez lim eiste quado lim lim 0 0 eiste e lim lim cos cos 0, logo 0 0 ( 0) 0 lim lim 0 lim lim 0, etão é cotíua 0 0 Portato, 0 0 em 0 A ordeada do poto P é o míimo da ução deiida por cos A abcissa do poto P é o maior dos miimizates egativos da mesma ução R, cos R, cos R, cos Etão, cos cos e o maior úmero egativo tal que cos P, é, portato, lim lim, logo, a reta r tem equação y Determiemos, agora, a equação reduzida da reta tagete ao gráico da ução o poto de abcissa para > 0 é: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Logo, ( ) y ( ) y ( ) 7 y y 7 Logo, y é a equação reduzida da reta tagete ao gráico de o poto de abcissa Determiemos a iterseção desta reta com a reta r y y y y 7 7 y 7 0 Portato, Q (, ) Tem-se que 0 e 0 a bcos 0 a b a bcos a b 0 b b a a Portato, a e b ta α e como taα : cos α 0 cos α 9 cos α 9 cos α cos α ( α ) cos α Etão, α 0 Pág 0 0

11 Questões tipo eame lim ( a b) lim a b ( a b) lim lim lim lim 0 Logo, a reta de equação y a b é uma assítota ao gráico de em A ução é cotíua em 0 quado eiste lim por sua vez este limite eiste quado: lim lim lim lim a b 0 0 ( a b) lim lim 0 0 b lim 0 b lim 0 b 0 (de ) lim lim si si 0 si b 0, ou seja, b Temos que, ou seja, que Determiemos os zeros de : e, pelo 0 0 Costruido um quadro de siais: 0 0 d 0 d Má Mí itervalos de mootoia: é crescete em, e em, é decrescete em, 0 e em 0, etremos relativos: ( ) é um máimo relativo, pelo que tem um máimo para ( ) é um míimo relativo, pelo que tem um míimo para Tem-se que y é uma equação da A equação reta tagete pedida e ( ) y y y y Portato, y é a equação reduzida da reta tagete ao gráico de o poto de abcissa a) Temos que: g a g a g a ( ) b) ( a) ( ) a g a a g a g g ( a) a a ( a) ( a) Pág 7 A área de uma das bases do primas é igual a, pelo que, a área das duas bases do prisma é igual a Por outro lado, temos que o volume do prisma é igual a 0 0 litros, portato, a sua altura é igual a decímetros Logo, a área de uma ace lateral do prisma é igual 0 0 e, sedo assim, a área lateral do prisma é igual 0 0 a Etão, 0 0 A 7 Determiemos a epressão da equação derivada da ução A ( 0 ) ( 0) 0 A Determiemos, agora, os zeros de A 0 A Costruido um quadro de siais, temos: 0 0 A d 0 A d Mí

12 Questões tipo eame Assim, o valor de para o qual a área total do recipiete é míima é igual a 0 8 Sabemos que a aresta da base tem a mesma medida do comprimeto que a altura da pirâmide Seja a essa medida, etão AB BC CD AD OV a Deste modo: a a a a A,, 0, C,, 0 e V ( 0, 0, a) a a a a AC C A,, 0,, 0 a, a, 0 a,, 0 a a a a CV V C ( 0, 0, a),, 0,, a a,, Sedo u (,, 0) e v,, temos que u e v são colieares com AC e CV, respetivamete Logo,, AC CV uɵ, v u v (,, 0 ),, u 0 v u v cos ( u, v ) u v ( u, v ) arccos,º Portato, AC, CV u, v, AB OV 8 a) Volume da pirâmide [ABCDV]:, mas AB OV e o volume é igual a uidades cúbicas AB AB AB AB 79 AB 79 AB Logo, B,, 0 e V ( 0, 0, 9) BV é um vetor diretor da reta BV BV V B ( 0, 0, 9 ),, 0,, 9 A reta BV passa pelo poto V Portato: 9 λ 9 y λ, λ R são equações paramétricas da reta BV z 9 9λ b) B ,, 0,,, 0 C e V ( 0, 0, 9 ) Os vetores BV e BC são vetores diretores do plao BVC 9 9 BV,, 9 BC C B,, 0,, 0 ( 9, 0, 0) Seja ( a, b, c ) um vetor ormal ao plao BCV Etão: BV e BC, pelo que, 9 9 BV 0,, 9 ( a, b, c) 0 BC 0 ( 9, 0, 0 ) ( a, b, c) a b 9c 0 b 9c 0 9a 0 a 0 9 b 9c b c 0 0 a a 0, c, c, c R \ 0, é a amília de vetores Assim, { } ormais ao plao BCV Por eemplo, para c, 0,, é um vetor ormal ao plao BVC e como este plao passa em V, temos que uma equação que o deie é: 0 0 y 0 z 9 0 y z 9 0 Portato, y z 9 0 é uma equação do plao BCV 9 Se lim v a, a R, etão: lim u v limu limv 0 a 0, a R o que cotradiz uma das codições do euciado Portato, lim v ão pode ser igual a um úmero real 9 Por eemplo, v, pois: (i) lim v lim (ão é um úmero real) Pág (ii) lim( u v ) lim lim lim 0 Como a reta de equação y é assítota do gráico de g, e o domíio da ução g é R, Como o domíio da ução h também é lim h o valor de g lim R, vamos calcular lim lim g lim g h g lim lim g lim g 0 lim 0 9

13 Questões tipo eame Como h( ) lim 9, o gráico de h tem uma assítota horizotal que é a reta de equação y 9 A ução é cotíua em seja, se lim lim quado lim eiste, ou lim cos cos lim lim 7 ( )( ) ( )( ) lim 0 Portato, lim lim, etão a ução é cotíua em, como cos cos k, k, 0 { } k, ( ) ( y ) ( z ) A ( 0,, 8) C ( 7,, ) Logo, o poto A pertece à superície esérica O plao tagete à superície esérica o poto A é perpedicular ao raio [AC] Portato, o vetor AC é perpedicular a este plao pelo que uma equação que o deie é da orma y z d 0 Como o poto A pertece ao plao e tem coordeadas ( 0,, 8 ), tem-se 0 8 d 0 d 9 Assim, uma equação do plao tagete à superície esérica o poto A é y z 9 0 CR CS 7 (raio da superície esérica) CR CS CR CS cos CR, CS 7 7 cosθ 7cosθ Se taθ 8, etão 0 < θ < Como ta θ, tem-se: cos θ ( 8 ) 8 cos θ cos θ 9 cos θ cos θ 9 Atededo a que θ 0,, cosθ CR CS 7 cosθ 7 9 B C AC AC C A 7,, 0,, 8,, AC (,, ) B C AC 7,,,,,, B tem coordeadas (,, )