DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS ANO LETIVO: 2018/2019 ENSINO SECUNDÁRIO PLANIFICAÇÃO ESPECÍFICA

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1 Trigoometria e Fuções Trigoométricas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS ANO LETIVO: 2018/2019 ENSINO SECUNDÁRIO PLANIFICAÇÃO ESPECÍFICA DISCIPLINA ANO DE ESCOLARIDADE MANUAL ADOTADO MATEMÁTICA 11º Ao MÁXIMO 11 (Porto Editora) Tempos 60 mi. Uidade Didática Objetivos gerais/descritores 1.1. Provar, dado um triâgulo acutâgulo [ABC], de âgulos iteros α = BA C, β = AB C e γ = AC B e de lados de medida α = BC, b = AC e c = AB, fixada uma uidade de si α si β si γ comprimeto, que = =, e desigar estas a b c igualdades por lei dos seos ou aalogia dos seos Esteder a defiição do seo aos âgulos retos, tomado si α = 1, quado o âgulo α é reto, recohecedo que esta defiição é a úica possível por forma a esteder a lei dos seos a triâgulos retâgulos Esteder a defiição do seo aos âgulos obtusos tomado, para um âgulo α obtuso,si α = si α, ode α é suplemetar a α, recohecedo que esta defiição é a úica possível por forma a esteder a lei dos seos a triâgulos obtusâgulos Provar, dado um triâgulo [ABC], de lados de medida a = BC, b = AC e c = AB, fixada uma uidade de comprimeto, e sedo agudo o âgulo itero em A, que, se α = BA C, a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α, e desigar este resultado por Teorema de Carot ou lei dos cosseos Esteder a defiição do cosseo aos âgulos retos, tomado cos α = 0 quado o âgulo α é reto, recohecedo que esta defiição é a úica possível por forma a esteder a Lei dos cosseos ao caso de um âgulo itero reto, recohecedo que este caso se reduz ao Teorema de Pitágoras Esteder a defiição do cosseo aos âgulos obtusos tomado, para um âgulo α obtuso, cos α = cos α, ode α é suplemetar a α, recohecedo que esta defiição é a úica possível por forma a esteder a lei dos cosseos ao caso de um âgulo itero obtuso Esteder a todos os âgulos covexos a propriedade segudo a qual, dados âgulos α e α com a mesma amplitude α = α, o seo e o cosseo de α são respetivamete iguais ao seo e ao cosseo de α e desigá-los, também, respetivamete por seo e cosseo de α Determiar, dado um triâgulo [ABC], fixadas uidades de comprimeto e de amplitude de âgulos e cohecidas as medidas dos comprimetos dos três lados (LLL), as medidas do comprimeto de dois dos lados e da amplitude do âgulo itero por eles formado (LAL) ou as medidas do comprimeto de um dos lados e das amplitudes dos dois Apresetação. Iformações referetes à disciplia. Ficha de avaliação diagóstica. Coteúdos Extesão da Trigoometria a âgulos retos e obtusos e resolução de triâgulos - Extesão da defiição das razões trigoométricas ao caso de âgulos retos e obtusos; Lei dos seos e Lei dos cosseos; extesão da fórmula fudametal da trigoometria; - Resolução de triâgulos; - Seo e cosseo da soma de âgulos cuja soma é um âgulo covexo; - Seo e cosseo da difereça de âgulos covexos cuja difereça é um âgulo covexo; - Seo e cosseo da metade de um âgulo Aveida Padre Alírio de Mello Tel: Fax: VAGOS

2 âgulos iteros que lhe são adjacetes (ALA), as medidas dos comprimetos dos restates lados e as medidas das amplitudes dos restates âgulos iteros do triâgulo, desigar este procedimeto por resolução do triâgulo [ABC] e obter valores aproximados destas medidas a forma de dízimas fiitas até uma dada ordem, utilizado uma máquia de calcular Resolver problemas evolvedo a resolução de triâgulos Resolver problemas evolvedo a determiação de distâcias utilizado âgulos e as respetivas razões trigoométricas Idetificar âgulo orietado como um âgulo ão ulo em giro o qual se fixa um dos lados para lado origem, desigado o outro por lado extremidade Idetificar um âgulo orietado de um plao como tedo orietação egativa quado, imagiado os movimetos dos poteiros de um relógio cujo mostrador se supõe situado esse plao, os poteiros podem descrever o âgulo começado o lado origem e termiado o lado extremidade, idetificar um âgulo orietado como tedo orietação positiva o caso cotrário, e afetar do sial as amplitudes dos primeiros equato âgulos orietados, bem como as respetivas medidas. 3. Defiir rotações segudos âgulos orietados Desigar, dados dois potos O e M e um âgulo orietado α em determiado plao, um poto M por imagem do poto M pela rotação de cetro O e de âgulo orietado α quado OM = OM e O M for o lado extremidade do âgulo orietado de lado origem O M e com a mesma amplitude de α equato âgulos orietados. 4. Defiir âgulos geeralizados Idetificar um âgulo geeralizado (ou âgulo trigoométrico ) como um par ordeado (α, ), ode α é um âgulo orietado ou um âgulo ulo e é um úmero iteiro, que é positivo ou ulo se α tiver orietação positiva e egativo ou ulo se α tiver orietação egativa, iterpretado-o ituitivamete como o resultado de rodar o lado extremidade do âgulo α (ou, o caso de α ser ulo, o úico lado, coicidete com α), realizado voltas completas, o setido determiado pelo sial de Desigar o lado origem (respetivamete extremidade) de um âgulo orietadoαtambém por lado origem (respetivamete extremidade) dos âgulos geeralizados (α, ) e um âgulo ulo ω também como lado origem e extremidade dos âgulos geeralizados (ω, ) Idetificar, fixado um âgulo uidade e sedo g a medida de amplitude dos âgulos giros, a medida de amplitude do âgulo geeralizado (α, ) como a + g, ode a é a medida de amplitude do âgulo orietado ou ulo α Recohecer que dois âgulos geeralizados (α, ) e (a, ) têm a mesma amplitude se e somete se α e α tiverem a mesma amplitude e = e justificar, fixado um âgulo uidade que, dado um úmero real x e fixada uma semirreta para lado 5.1. Desigar um referecial ortoormado um dado plao como direto quado o primeiro quadrate, cosiderado como âgulo orietado de lado origem coicidete com o semieixo positivo Ox e lado extremidade coicidete com semieixo positivo Oy, tem orietação positiva Desigar, dado um referecial ortoormado em dado plao, Âgulos orietados, âgulos geeralizados e rotações - Âgulos orietados; amplitudes de âgulos orietados e respetivas medidas; - Rotações; - Orietação de um plao; - Âgulos geeralizados; medidas de amplitude de âgulos geeralizados; - Âgulos geeralizados e rotações.

3 a circuferêcia cetrada a origem e de raio 1 desse plao também por circuferêcia trigoométrica (ou, por abuso de liguagem, por círculo trigoométrico ) Idetificar, dado um referecial ortoormado direto em dado plao e um âgulo orietado α desse plao, o seo de α (respetivamete o cosseo de α ) como a ordeada (respetivamete a abcissa) do poto P, iterseção da circuferêcia trigoométrica com o lado extremidade do âgulo orietado de lado origem coicidete com o semieixo positivo Ox e de amplitude igual a α, represetá-lo por si(α), se(α), si α ou se α (respetivamete por cos(α) ou por cos α), recohecer que este valor ão depede da escolha do referecial, e que esta defiição estede a defiição de seo (respetivamete de cosseo) de âgulos geométricos covexos, se o idetificarmos com o seo (respetivamete cosseo) de um âgulo orietado com a mesma amplitude Idetificar, dado um referecial ortoormado direto em dado plao, e um âgulo orietado α desse plao de lados ão perpediculares, a tagete de α como a ordeada do poto P, iterseção da reta de equação x = 1, tagete à circuferêcia trigoométrica o poto de coordeadas (1, 0), com a reta suporte do lado extremidade do âgulo orietado de lado origem coicidete com o semieixo positivo Ox e de amplitude igual a α, represetá-la por ta(α), tg(α), ta α ou tg α, recohecer que ta α = si α e que esta defiição estede a defiição de tagete de cos α um âgulo agudo, se a idetificarmos com a tagete de um âgulo orietado com a mesma amplitude Idetificar, dado um âgulo geeralizado θ = (α, ), o seo de θ, o cosseo de θ e a tagete de θ como, respetivamete, o seo, o cosseo e a tagete de α Justificar, dados âgulos geeralizados θ e θ com a mesma amplitude θ = θ, que o seo, o cosseo e a tagete de θ são respetivamete iguais ao seo, ao cosseo e à tagete de θ e desigá-los também, respetivamete, por seo, cosseo e tagete de θ Desigar por radiao a amplitude de um âgulo ao cetro de uma circuferêcia que ela determia um arco de comprimeto igual ao raio e recohecer que o radiao ão depede da escolha da circuferêcia, aproximado o comprimeto do arco de circuferêcia por comprimetos de lihas poligoais iscritas Efetuar coversões de medidas de amplitude de âgulos de graus para radiaos e de radiaos para graus, começado por justificar que um âgulo giro tem amplitude 2π radiaos Idetificar, dado um úmero real x, a tagete de x (respetivamete, o seo de x e o cosseo de x ) como a tagete (respetivamete, o seo e o cosseo) de um âgulo geeralizado de medida de amplitude igual a x, em radiaos, sempre que esse valor esteja defiido, e desigar a fução assim determiada esse cojuto de úmeros reais e com cojuto de chegada R por (fução) tagete (respetivamete, (fução) seo e (fução) cosseo ), represetado-a por ta ou tg (respetivamete, por si ou se e por cos ) e o respetivo valor um poto x do domíio também por ta x ou tg x (respetivamete, por si x ou se x e por cos x ) Idetificar, dado um úmero P > 0, uma fução f como periódica de período P ou P-periódica se para todo o x D f, x + P D f e f(x + P) = f(x) Justificar que, para todo o x R, cos( x) = cos x, Razões trigoométricas de âgulos geeralizados - Circuferêcia trigoométrica (Círculo trigoométrico); - Geeralização das defiições das razões trigoométricas aos âgulos orietados e geeralizados e às respetivas medidas de amplitude; - Medidas de amplitude em radiaos.

4 si( x) = si x, cos(x ± π) = cos x, si(x ± π) = si x, cos (x ± π ) = ± si x e si (x ± π ) = ± cos x Resolver problemas evolvedo fórmulas trigoométricas e a determiação de razões trigoométricas Idetificar, dado um úmero P > 0, uma fução f como periódica de período P ou P-periódica se para todo o x D f, x + P D f e f(x + P) = f(x) Desigar, dada uma fução f, o úmero P 0 > 0 por período fudametal de f ou por período positivo míimo de f se f for P 0 -periódica e ão admitir outro período P iferior a P Justificar que as fuções reais de variável real seo e cosseo têm domíio IR, cotradomíio [ 1, 1] e período fudametal P 0 = 2π Provar que os zeros da fução seo (respetivamete da fução cosseo) são os úmeros da forma kπ, k R (respetivamete da forma π + kπ, k R ) Justificar que a fução seo (respetivamete a fução cosseo) admite extremos locais os potos de abcissa da forma π + kπ, k R (respetivamete da forma x = kπ, k 2 R) Justificar que a fução real de variável real tagete tem domíio D ta = R\ {x : x = π + kπ, k Z}, 2 cotradomíio R, período fudametal P 0 = π e que os respetivos zeros são os úmeros da forma kπ, k R Recohecer que as fuções si: [ π, π ] [ 1, 1], 2 2 cos: [0, π] [ 1, 1] e ta: ] π, π [ R, obtidas por 2 2 restrição respetivamete das fuções si, cos e ta aos itervalos idicados e tomado para cojutos de chegada os respetivos cotradomíios, são bijetiva e desigar as bijeções recíprocas por (fução) arco-seo (arcsi ou arcse), (fução) arco-cosseo (arccos) e (fução) arco-tagete (arcta ou arctg), respetivamete, sabedo que são valores aproximados destas fuções que as calculadoras forecem, associados às teclas, respetivamete, si 1, cos 1 e ta 1, desde que esteja selecioado o radiao para uidade de medida dos âgulos 8.2. Recohecer, dados úmeros reais x e α, que cos x = cos α se e somete se existir k R tal que x = α + 2kπ ou x = α + 2kπ Recohecer, dados úmeros reais x e α, que si x = si α se e somete se existir k R tal que x = α + 2kπ ou x = π α + 2kπ Recohecer, dados úmeros reais x e α do domíio da fução tagete, que ta x = ta α se e somete se existir k R tal que x = α + kπ Resolver equações da forma: si x = a, cos x = a e ta x = a, a R Resolver problemas evolvedo fuções trigoométricas. Fuções trigoométricas - As fuções reais de variável real seo, cosseo e tagete: domíios, periodicidade, cotradomíios, zeros e extremos locais; - Relações etre razões trigoométricas de âgulos complemetares, suplemetares, cuja difereça é um âgulo reto ou um âgulo raso ou cuja soma é um âgulo giro; - Geeralização da relação fudametal da Trigoometria e das fórmulas trigoométricas da soma, difereça e da duplicação; - Equações do tipo si x = k, cos x = k e tg x = k; - Iequações trigoométricas com domíio um itervalo limitado; - Estudo das fuções defiidas aaliticamete por asi(bx + c), a 0, acos(bx + c), a 0 e atg(bx + c), a 0 ; - Fuções trigoométricas iversas; razões trigoométricas e a determiação de distâcias; fuções trigoométricas. Aplicações aos osciladores harmóicos - Osciladores harmóicos: amplitude, pulsação, período, frequêcia e fase; osciladores harmóicos.

5 Geometria Aalítica Uidade Didática Objetivos gerais/descritores 1.1. Idetificar, fixado um plao muido de um referecial ortoormado de origem O e dada uma reta r que passa pela origem e é distita do eixo Ox, a icliação de r como a amplitude do âgulo covexo formado pelo semieixo positivo das abcissas e a semirreta O P, ode P é um qualquer poto de r de ordeada positiva, e idetificar a icliação do eixo das abcissas como a amplitude ula Idetificar, fixado um plao muido de um referecial ortoormado de origem O, a icliação de uma reta r como a icliação da reta paralela a r que passa por O Justificar, fixado um plao muido de um referecial ortoormado, que o declive de uma reta ão vertical é igual à tagete trigoométrica da respetiva icliação Idetificar, fixada uma uidade de comprimeto, dados os vetores ão ulos u e v, o produto escalar (ou itero) de u e v como o úmero OP OQ (respetivamete, o úmero OP OQ ) ode, fixado um poto O, P = O + u, Q = O + v, Q é a projeção ortogoal de Q a reta OP, se OQ e OP tiverem o mesmo setido (respetivamete, se tiverem setidos cotrários), recohecedo que este valor é idepedete da escolha do poto O, idetificar o produto escalar de vetores u e v como ulo se um dos vetores for ulo e represetar o produto escalar de vetores u e v por u v Idetificar, dados os vetores ão ulos u e v, âgulo dos vetores u e v como qualquer âgulo covexo, ulo ou raso, POQ, tal que u = OP e v = OQ, recohecedo que têm todos a mesma amplitude, desigar também essa amplitude por âgulo formado pelos vetores u e v, quado essa desigação ão for ambígua, e represetá-la por (u, v ) Provar, dados os vetores u e vão ulos, que u v = u v cos(u, v ) Idetificar os vetores u e v como perpediculares quado um deles for ulo ou quado, ão sedo ulo ehum dos dois, forem perpediculares duas retas de vetores diretores respetivamete iguais a u e a v, e idicar que u e v são perpediculares escrevedo u v Justificar, dados os vetores u e v, que u v = 0 u v 2.6. Justificar, dado um vetor u, que u u = u Justificar, dados os vetores u e v, que u v = v u Provar, dados os vetores u e ve um úmero real λ, que (λu ) v = λ(u v) Provar, dados os vetores u, v e w, que (u + v) w = u w + v w Justificar, fixado um plao muido de um referecial ortoormado e os vetores u (u 1, u 2 ) e v(v 1, v 2 ), que u v = u 1 v 1 + u 2 v 2, começado por justificar que e 1 e 1 = e 2 e 2 = 1 e e 1 e 2 = Justificar, fixado um referecial ortoormado do espaço e dados os vetores u (u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ) do espaço, que u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3, começado por justificar que e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 1 e e 1 e 2 = e 1 e 3 = e 2 = 0. e Provar, fixado um plao muido de um referecial ortoormado, que duas retas de declives respetivamete iguais a m e a m são perpediculares se e somete se Coteúdos Declive e icliação de uma reta do plao - Icliação de uma reta do plao e relação com o respetivo declive. Produto escalar de vetores - Produto escalar de um par de vetores; - Âgulo formado por um par de vetores ão ulos; relação com o produto escalar; - Perpedicularidade etre vetores e relação com o produto escalar; - Desigualdade de Cauchy-Schwarz; - Simetria e biliearidade do produto escalar; - Cálculo do produto escalar de um par de vetores a partir das respetivas coordeadas; - Relação etre o declive de retas do plao perpediculares; a oção de produto escalar. 22

6 mm = Resolver problemas evolvedo a oção de produto escalar de vetores Resolver problemas relativos à determiação de equações de uma reta do plao em situações diversas evolvedo a oção de perpedicularidade Idetificar um vetor v como ormal a um plao α se for ulo ou, ão sedo ulo, se as retas de vetor diretor v forem perpediculares a α Justificar, dados os plaos α e β e vetores v α e v β ão ulos, ormais, respetivamete a α e β, que α e β são (estritamete) paralelos ou coicidetes se e somete se v α e v β forem colieares e α e β são perpediculares se e somete se v α e v β forem perpediculares Justificar, dado um vetor ão ulo v ormal a um plao α e um poto P 0 α, que para todo o poto P do plao, P α P 0 P v = Recohecer, fixado um referecial ortoormado do espaço e dado um vetor ão ulo v(v 1, v 2, v 3 ) e um poto P 0 (x 0, y 0, z 0 ), que existe um úico plao α que passa por P 0 tal que v é ormal a α e provar que P(x, y, z) α se e somete se v 1 (x x 0 ) + v 2 (y y 0 ) + v 3 (z z 0 ) = Justificar que as equações da forma ax + by + cz + d = 0, ode a, b, c, d R, (a, b, c) (0, 0, 0), são equações de plaos e, reciprocamete, que qualquer plao admite uma equação cartesiaa daquela forma Justificar, dados a, b, c, d R,(a, b, c) (0, 0, 0), que o vetor de coordeadas(a, b, c) é ormal ao plao de equação ax + by + cz + d = Idetificar, dado um plao α, um vetor v como paralelo a α se v for ulo ou, ão sedo ulo, se for vetor diretor de uma reta de α Provar, dado um plao α, um poto P 0 α e dois vetores u e v ão colieares paralelos a α, que para todo o poto P do espaço, P α s, t R : P = P 0 + su + tv e desigar esta equação por equação vetorial do plao α Justificar, dado um plao α, um poto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) α e dois vetores u (u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ) ão colieares paralelos a α que, para todo o poto P (x, y, z) do espaço, P α s, t R : x = x 0 + su 1 + tv 1 y = y 0 + su 2 + tv 2 z = z 0 + su 3 + tv 3 e desigar este sistema de equações por sistema das equações paramétricas do plao α Resolver problemas relativos à determiação de equações de plaos em situações diversas evolvedo a oção de perpedicularidade e de paralelismo Resolver problemas evolvedo equações de plaos e de retas o espaço. Equações de plaos o espaço - Vetores ormais a um plao; - Relação etre a posição relativa de dois plaos e os respetivos vetores ormais; - Paralelismo etre vetores e plaos; - Equações cartesiaas, vetoriais e paramétricas de plaos; a oção de produto escalar de vetores; - Resolução de problemas relativos à determiação de equações de retas do plao em situações evolvedo a oção de perpedicularidade; a determiação de equações de plaos, em situações evolvedo a perpedicularidade; equações de plaos e de retas o espaço.

7 Estatística(10º) Uidade Didática Objetivos gerais/descritores Coteúdos 1. Maipular o sial de somatório 1.1. Desigar, dado p N e uma sequêcia de úmero reais (x 1, x 2,, x p ), a soma x 1 + x x p por somatório de 1 a p dos x i (ou por soma dos p termos da sequêcia, quado esta desigação p ão for ambígua), represetá-la por i=1 x i, desigar o símbolo Σ por sial de somatório e, para 1 < m p, represetar p também por i=m x a soma x i m + x m x p ( somatório de m a p dos xi ) Recohecer, dados p N e λ R e uma sequêcia de p p úmeros reais (x 1, x 2,, x p ), que a igualdade i=1 λx i = λ i=1 x i represeta, o formalismo dos somatórios, a propriedade distributiva da multiplicação relativamete à adição aplicada ao produto de λ pela soma das p parcelas x 1, x 2,, x p Recohecer, dado p N, uma sequêcia de úmeros reais (x 1, x 2,, x p ) e um úmero atural tal que < p, que a igualdade p p i=1 x i = i=1 x i + i=+1 x i represeta, o formalismo dos somatórios, uma aplicação da propriedade associativa da adição à soma das p parcelas x 1, x 2,, x p Recohecer, dado p N e sequêcias de úmero reais (x i ) 1 i p p e (y i ) 1 i p, que a igualdade i=1 (x i + y i ) = i=1 x i + i=1 y i represeta, o formalismo dos somatórios, uma aplicação das propriedades associativa e comutativa da adição à soma das seguites p parcelas x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x p + y p Saber, dada uma população, que existem critérios que coduzem à recolha de amostras cujas médias e desvios-padrão são cosiderados boas estimativas da média e do desvio-padrão da população. p p Características amostrais - Sial de somatório; tradução o formalismo dos somatórios das propriedades associativa e comutativa geeralizadas da adição e distributiva geeralizada da multiplicação em relação à adição; 4

8 Sucessões Uidade Didática Objetivos gerais/descritores 1.1. Idetificar um subcojuto A de R como majorado quado existe um úmero real M tal que a A, a M e desigar M por majorate de A Idetificar um subcojuto A de R como miorado quado existe um úmero real m tal que a A, a m e desigar m por miorate de A Idetificar um subcojuto A de R como limitado quado for majorado e miorado Desigar por máximo (respetivamete por míimo ) de um subcojuto A de R um majorate (respetivamete um miorate) de A pertecete a A e justificar que se existir é úico Idetificar uma sucessão real (ou simplesmete sucessão quado esta desigação ão for ambígua) como uma fução u de domíio N e de cojuto de chegada R, e represetar por u, dito termo geral da sucessão, a imagem u() de N por u e por (u ) N (ou simplesmete por (u ), ou aida por u, quado estas otações ão forem ambíguas) a própria sucessão u Idetificar uma sucessão (u ) como crescete (respetivamete decrescete ) quado o for como fução real de variável real, ou seja, quado para quaisquer p 1, p 2 N, p 1 > p 2 u p1 > u p2 (respetivamete p 1 > p 2 u p1 < u p2 ) e recohecer que (u ) é crescete (respetivamete decrescete) se e somete se para todo N, u +1 > u (respetivamete u +1 < u ) Idetificar uma sucessão (u ) como crescete (respetivamete decrescete) em setido lato quado para quaisquer p 1, p 2 N, p 1 > p 2 u p1 u p2 (respetivamete p 1 > p 2 u p1 u p2 ) e recohecer que (u ) é crescete (respetivamete decrescete) em setido lato se e somete se para todo N, u +1 u (respetivamete u +1 u ) Resolver problemas evolvedo o estudo da mootoia e a determiação de majorates e miorates de sucessões Idetificar uma sucessão (u ) como majorada se o cojuto {u : N} dos respetivos termos for majorado e desigar os majorates deste cojuto também por majorates da sucessão Idetificar uma sucessão (u ) como miorada se o cojuto {u : N} dos respetivos termos for miorado e desigar os miorates deste cojuto também por miorate da sucessão Desigar por limitada uma sucessão (u ) simultaeamete majorada e miorada Resolver problemas evolvedo o estudo da mootoia e a determiação de majorates e miorates de sucessões. Coteúdos Cojuto dos majorates e cojuto dos miorates de uma parte ão vazia de - Cojutos miorados, majorados e limitados; - Máximo, míimo, supremo e ífimo de um cojuto; - Pricípio do supremo; caracterização do cojuto dos majorates e do cojuto dos miorates de um cojuto ão vazio de úmeros reais; - Caracterização do supremo e do ífimo de um cojuto ão vazio de úmeros reais. Geeralidades acerca de sucessões - Sucessões uméricas; sucessões moótoas, majoradas, mioradas e limitadas; cojuto dos majorates e dos miorates de uma sucessão; o estudo da mootoia e a determiação de majorates e miorates de sucessões Saber, dada uma codição T(), que a proposição N, T()é verdadeira set(1)for verdadeira e se, além disso, para todo o N, T() T( + 1) desigar este resultado por pricípio de idução matemática, T(), equato atecedete da implicação T() T( + 1), por hipótese de idução e a proposição N, T() T( + 1) por hereditariedade da propriedade T() e saber que o pricípio de idução pode esteder-se, mutatis mutadis, fixado um úmero iteiro p e uma codição T(), à demostração da proposição N p T(), ode R p =

9 { Z : p} Utilizar o pricípio de idução para efetuar demostrações Saber, dada uma fução f : A A e a A, que existe uma úica sucessão (u ) de elemetos de A tal que u 1 = a e N, u +1 = f(u ), referir que estas codições defiem a sucessão (u ) por recorrêcia e saber que estes resultados podem esteder-se, mutatis mutadis, à defiição de fuções de N p em A, ode N p = { Z : p}, também desigadas por sucessões (idiciadas em R p ) Utilizar o pricípio de idução para efetuar demostrações Desigar, dados a, r R, por progressão aritmética de primeiro termo a e razão r a sucessão defiida por recorrêcia por u 1 = a e, para todo o N, u +1 = u + r Justificar que o termo geral da progressão aritmética de primeiro termo a R e de razão r R é dado por u = a + ( 1)r Desigar, dados a, r R, por progressão geométrica de primeiro termo a e razão r a sucessão defiida por recorrêcia por u 1 = a e para todo o N, u +1 = u r Justificar que o termo geral da progressão geométrica de primeiro termo a e razão r ão ula é dado por u = ar Resolver problemas evolvedo progressões aritméticas e geométricas Desigar, dado N N, por progressão aritmética (fiita) de comprimeto N (respetivamete progressão geométrica (fiita) de comprimeto N ), a sequêcia (u 1, u 2,..., u N ) dos N primeiros termos de uma progressão aritmética (respetivamete geométrica) (u ) Recohecer, dado N N, que a soma dos termos de uma progressão aritmética de comprimeto N, (u 1, u 2,..., u N ), é N dada por S = i=1 u i = u 1+u N N Recohecer, dado N N, que a soma dos termos de uma progressão geométrica de comprimeto N, de primeiro termo u 1 e de razão r diferete de 1, é dada por S = 1 r u N. 1 1 r Resolver problemas evolvedo progressões aritméticas e geométricas. Pricípio de idução matemática - Pricípio de idução matemática; - Defiição de uma sucessão por recorrêcia; - Demostração de propriedades utilizado o pricípio de idução matemática. Progressões aritméticas e geométricas - Progressões aritméticas e geométricas; termos gerais e somas de termos cosecutivos; progressões aritméticas e geométricas Idetificar, dada uma sucessão (u ), um úmero real l como limite da sucessão (u ) ou como limite de u quado tede para + quado, para todo o úmero real δ > 0, existir uma ordem p N tal que N, p u l < δ, referir, esta situação, que u tede para l ( u l ), e desigar a sucessão (u ) por covergete quado um tal limite l existe e por divergete quado ão for covergete Provar que uma sucessão covergete (u ) admite um úico limite e represetá-lo por lim u, limu ou simplesmete por lim u Recohecer que as sucessões covergetes são limitadas Saber que uma sucessão crescete (respetivamete decrescete) em setido lato e majorada (respetivamete miorada) é covergete Idetificar uma sucessão (u ) como tedo limite + ( lim + u = +, lim u = + ou limu = + ) quado,

10 para todo o L > 0, existir uma ordem p N tal que N, p u > L. Referir, esta situação, que u tede para + ( u + ) e recohecer que uma tal sucessão é divergete Idetificar uma sucessão (u ) como tedo limite ( lim + u =, lim u = ou limu = ) quado, para todo o L > 0, existir uma ordem p N tal que N, p u < L. Referir, esta situação, que u tede para ( u ) e recohecer que uma tal sucessão é divergete (e ão tede para + ) Provar, dados úmeros reais a, b, c e d e utilizado a defiição de limite, que o limite da sucessão de termo geral u = a+b (c + d 0 para todo o ) é igual a a se c 0, a +, c+d c se c = 0 e a > 0, a se c = 0 e a < 0 e a b d d d se a = c = Recohecer, dada uma sucessão (u ) com limite l R ou tededo para + ou para (respetivamete sem limite), que qualquer sucessão (v ) que possa ser obtida de (u ), alterado apeas um úmero fiito de termos, tem o mesmo limite (respetivamete ão tem limite) Provar, dada uma sucessão (u ) limitada e uma sucessão (v ) com limite ulo, que limu v = Provar, utilizado a defiição de limite, que, dado um úmero racioal p, lim p = + se p > 0 e lim p = 0 se p < Provar, dadas duas sucessões (u ) e (v ) covergetes, com limites respetivamete iguais a l 1 e l 2, que a sucessão (u + v ) é covergete e que lim(u + v ) = l 1 + l #Provar, dadas duas sucessões (u ) e (v ) covergetes, com limites respetivamete iguais a l 1 e l 2, que a sucessão (u v ) é covergete e que limu v = l 1 l #Provar, dada uma sucessão (u ) covergete de termos ão ulos, com limite l 1 ão ulo, que lim 1 e justificar u = 1 l 1 que se for também dada uma sucessão (v ) N covergete, com limite l 2, etão a sucessão ( v ) é covergete e u lim v = l 2. u l #Provar, dada uma sucessão covergete (u ) e um úmero real a, que a sucessão de termo geral au é covergete e que lim(au ) = a limu #Provar, dada uma sucessão covergete (u ) e um úmero racioal r, que, se r N, ou se os termos da sucessão forem todos ão egativos e r for positivo, ou aida se os termos da sucessão forem todos positivos, etão a sucessão de termo geral (u ) r é covergete e lim(u ) r = (limu ) r Provar, dadas sucessões (u ) e (v ), com limites respetivamete + e l R (ou ambas com limite + ), que lim(u + v ) = + e represetar esta propriedade por + + l = + (ou por + + (+ ) = + ) #Provar, dadas sucessões (u ) e (v ), com limites respetivamete e l R (ou ambas com limite ), que lim(u + v ) = e represetar esta propriedade por + l = (ou por + ( ) = ) Justificar, dadas sucessões (u ) e (v ), que apeas da iformação limu = + e limv = ada se pode cocluir acerca da existêcia de lim(u + v ) e referir esta situação por idetermiação do tipo (+ ) + ( ) #Provar, dadas sucessões (u ), com limite +, e (v ) com limite l R + ou + (respetivamete com limite l R ou ), que lim(u v ) = + (respetivamete lim(u v ) = ) e represetar estas propriedades por (+ ) l = + e (+ ) (+ ) = + (respetivamete por (+ ) l = e (+ ) ( ) = ). Aplicações aos juros compostos - Cálculo de juros compostos; juros compostos. Limites de sucessões - Limite de uma sucessão (casos de covergêcia e de limites ifiitos); uicidade do limite; caso de sucessões que diferem um úmero fiito de termos; - Operações com limites e situações idetermiadas; - Levatameto algébrico de idetermiações; - Limites de poliómios e de frações racioais; - Limites lim a, lim a (a 0 ) e (p IQ); limites de sucessões.

11 6.20. #Provar, dadas sucessões (u ), com limite, e (v ) com limite l R + (respetivamete com limite l R ou ), que lim(u v ) = (respetivamete lim(u v ) = + ) e represetar esta propriedade por ( ) l = (respetivamete por ( ) l = + e ( ) ( ) = + ) #Provar, dada uma sucessão (u ) com limite + e de termos ão egativos (respetivamete com limite ) e um úmero racioal r positivo (respetivamete r N ), que a r sucessão de termo geral u tem limite + (respetivamete tem limite + se r for par e limite se r for ímpar) e represetar esta propriedade por (+ ) r = + (respetivamete por ( ) r = + se r for par e por ( ) r = se r for ímpar) Justificar, dadas as sucessões (u ) e (v ), que apeas da iformação limu = + (ou limu = ) e limv = 0 ada se pode cocluir acerca da existêcia de lim(u v ) e referir esta situação por idetermiação do tipo #Provar, dada uma sucessão (v ) de termos ão ulos, positiva a partir de certa ordem, com limite ulo ( limv = 0 + ), que lim 1 = + e represetar esta v propriedade por 1 = #Provar, dada uma sucessão (v ) de termos ão ulos, egativa a partir de certa ordem, com limite ulo ( limv = 0 ), que lim 1 = e represetar esta v propriedade por 1 = #Provar, dada uma sucessão (v ) de termos ão ulos e a teder para + ou para, que lim 1 = 0 e represetar v esta propriedade por 1 = Justificar, dadas as sucessões (u ) e (v ), que apeas da iformação limu = ± e limv = ± (respetivamete limu = limv = 0, em que (v ) ão se aula) ada se pode cocluir acerca da existêcia do limite lim u e referir v esta situação por idetermiação do tipo (respetivamete idetermiação do tipo 0 ) Provar, dado um úmero real a > 0, que lima = + se a > 1 e que lima = 0 se a < Provar, dado um úmero real a > 0, que lim a = 1, começado por observar, o caso de a 1, que 1 a (1 + a ) Saber de memória os limites das sucessões de termo geral p (p Q), a e a(a > 0) Justificar, dado um poliómio P(x) de grau superior ou igual a 1, que a sucessão (P()) N é tal que lim P () = + se o coeficiete do termo de maior grau da forma reduzida de P for positivo e que lim P () = o caso cotrário Calcular, dadas as sucessões (P()) N e (Q()) N, em que P(x) e Q(x) são poliómios, Q(x) sem raízes aturais, o limite lim P() e relacioá-lo com os graus de P() e Q() e Q() com os coeficietes dos termos de maior grau das respetivas formas reduzidas Calcular, por meios algébricos, o limite de sucessões em situação idetermiada e referir esse cálculo como um levatameto da idetermiação Resolver problemas evolvedo a oção de limite de uma sucessão.

12 Fuções Reais de Variável Real Uidade Didática Objetivos gerais/descritores Coteúdos 1.1. Idetificar, dado um cojuto A R e a R, a como poto aderete a A quado existe uma sucessão (x ) de elemetos de A tal que limx = a Idetificar, dada uma fução real de variável real f e um poto a R, b R como limite de f(x) quado x tede para a quado a for aderete ao domíio D f de f e para toda a sucessão (x ) de elemetos de D f covergete para a, lim f (x ) = b, justificar que um tal limite, se existir, é úico, represetá-lo por lim x a f(x), referir, esta situação, que f(x) tede para b quado x tede para a e esteder esta defiição e propriedade ao caso de limites ifiitos Idetificar, dada uma fução real de variável real f e a R, b R como o limite de f(x) quado x tede para a por valores iferiores a a quado b = limf ],a[ (x), x a represetar b por lim x a f(x), desigá-lo também por limite de f(x) à esquerda de a, referir, esta situação, que f(x) tede para b quado x tede para a por valores iferiores a a e esteder esta defiição ao caso de limites ifiitos Idetificar, dada uma fução real de variável real f e a R, b R como o limite de f(x) quado x tede para a por valores superiores a a quado b = limf ]a,+ [ (x), x a represetar b por lim x a +f(x), desigá-lo também por limite de f(x) à direita de a, referir, esta situação, que f(x) tede para b quado x tede para a por valores superiores a a e esteder esta defiição ao caso de limites ifiitos Saber, dada uma fução real de variável real f e um poto a aderete ao respetivo domíio D f, que se a D f e se os limites lim x a f(x) e lim +f(x) existirem e forem iguais, etão x a existe o limite limf(x) e que, esse caso, limf(x) = x a x a lim x a f(x) = lim x a +f(x) Saber, dada uma fução real de variável real f e um poto a D f, que se os limites lim x a f(x) e lim x a +f(x) existirem e forem ambos iguais a f(a), etão existe o limite limf(x) e que, esse x a caso, limf(x) = lim x a x a f(x) = lim x a +f(x) 1.7. Idetificar, dada uma fução real de variável real f cujo domíio ão é majorado como limite de f(x) quado x tede para mais ifiito quado para toda a sucessão (x ) de elemetos de D f com limite +, lim f (x ) = b, justificar que um tal limite, se existir, é úico, represetá-lo por lim f(x), referir, esta situação, que f(x) tede para x + b quado x tede para mais ifiito e esteder esta defiição e propriedade ao caso de limites ifiitos Idetificar, dada uma fução real de variável real f cujo domíio ão é miorado como limite de f(x) quado x tede para meos ifiito quado para toda a sucessão (x ) de elemetos de D f com limite, lim f (x ) = b, justificar que um tal limite se existir, é úico, represetá-lo por lim f(x), referir, esta situação, que f(x) tede para x b quado x tede para meos ifiito e esteder esta defiição e propriedade ao caso de limites ifiitos Justificar que os limites da soma, do produto e do quociete de fuções f : D f R e g : D g R e do produto por um escalar α e da potêcia de expoete racioal r de uma fução Limites segudo Heie de fuções reais de variável real - Potos aderetes a um cojuto de úmeros reais; - Limite de uma fução um poto aderete ao respetivo domíio; - Limites por valores um dado cojuto; limites laterais; - Limites o ifiito; - Operações com limites e casos idetermiados; produto de uma fução limitada por uma fução de limite ulo; - Limite de uma fução composta; - Levatameto algébrico de idetermiações; o estudo dos zeros e do sial de fuções racioais dadas por expressões da forma P(x) Q(x), ode P e Q são poliómios; a oção de limite de uma fução. 35

13 f : D f R, se calculam, em potos aderetes aos domíios respetivamete de f + g, fg, f g, αf e fr a partir dos limites de f e g esses potos de forma aáloga ao caso das sucessões, recohecedo que se matêm as situações idetermiadas Justificar, dado D R, fuções f : D R e g : D R e um poto a aderete a D, que se limf(x) = 0 e se g é x a limitada, etão lim[f(x)g(x)] = 0 e esteder este resultado x a ao caso de limites por valores superiores ou iferiores a a bem como ao caso de limites em ± Justificar, dadas fuções reais de variável real f e g e um poto a aderete a D g f, que se limf(x) = b R e limg(x) = c R, x a x b etão lim(g f)(x) = c. x a Calcular, por meios algébricos, limites de fuções reais de variável real em situação de idetermiação e referir um desses cálculos como um levatameto da idetermiação Justificar, dada uma fução real de variável real f e um poto a do respetivo domíio, que se o limite limf(x) existe, etão x a é igual a f(a) Desigar, dada uma fução real de variável real f e um poto a do respetivo domíio, a fução f por cotíua em a quado o limite limf(x) existe. x a 2.3. Desigar, dada uma fução real de variável real f de domíio D f, a fução f por cotíua o cojuto A D f quado é cotíua em todos os potos de A e simplesmete por cotíua quado é cotíua em todos os potos de D f Saber que se uma fução real de variável real f de domíio D f for cotíua em a D f e f(a) 0 (respetivamete f(a) > 0 ou f(a) < 0 ), etão existe uma vizihaça V de a tal que f ão se aula (respetivamete f é positiva ou f é egativa) em V D f Justificar que se as fuções reais de variável real f : D f R e g : D g R são cotíuas um poto a, etão as fuções f + g, f g e f g são cotíuas em a e, se g(a) 0, a fução f é cotíua em a. g 2.6. Desigar por fução racioal uma fução real de variável real dada por uma expressão da forma P(x), em que P e Q Q(x) são poliómios Justificar que as fuções poliomiais e racioais são cotíuas Justificar que as potêcias de expoete racioal são cotíuas Saber que as fuções seo e cosseo são cotíuas e justificar que a fução tagete é cotíua Justificar, dadas fuções reais de variável real f e g e a D g f, que se f é cotíua em a e g é cotíua em f(a), etão a fução composta g f é cotíua em a Justificar a cotiuidade de fuções obtidas por aplicação sucessiva de operações de adição algébrica, multiplicação, divisão e composição de fuções de referêcia para a cotiuidade : fuções poliomiais, potêcias de expoete racioal e as fuções cosseo, seo e tagete Resolver problemas evolvedo a oção de limite e de cotiuidade de uma fução real de variável real Calcular, por meios algébricos, limites de fuções reais de variável real em situação de idetermiação e referir um desses cálculos como um levatameto da idetermiação Idetificar, dado um referecial cartesiao, uma fução real de variável real f e a R, a reta de equação x = a como Cotiuidade de fuções - Fução cotíua um poto e um subcojuto do respetivo domíio; - Cotiuidade da soma, difereça, produto, quociete e composição de fuções cotíuas; - Cotiuidade das fuções poliomiais, racioais, trigoométricas, raízes e potêcias de expoete racioal.

14 assítota vertical ao gráfico de f quado pelo meos um dos limites laterais de f o poto a for ifiito Desigar, dada uma fução real de variável real f e um referecial cartesiao, a reta de equação y = mx + b (m, b R) por assítota ao gráfico de f em + (respetivamete por assítota ao gráfico de f em ) se lim (f(x) x + (mx + b)) = 0 (respetivamete se lim (f(x) x (mx + b)) = 0) e desigá-la, quado m = 0, por assítota horizotal Provar, dada uma fução real de variável real f, que a codição lim x + f(x) x = m (respetivamete lim x f(x) x = m ) é ecessária (mas ão suficiete) para que exista uma reta de declive m que seja assítota ao gráfico de f em + (respetivamete ) Resolver problemas evolvedo a determiação de assítotas ao gráfico de fuções racioais e de fuções defiidas pelo radical de uma fução racioal Resolver problemas evolvedo o estudo de fuções racioais Resolver problemas evolvedo a determiação das assítotas e da represetação gráfica de fuções racioais defiidas em R\{c} por f(x) = a + b x c Resolver problemas evolvedo o estudo de fuções racioais Calcular, por meios algébricos, limites de fuções reais de variável real em situação de idetermiação e referir um desses cálculos como um levatameto da idetermiação Resolver problemas evolvedo a oção de limite e de cotiuidade de uma fução real de variável real Resolver problemas evolvedo a determiação das assítotas e da represetação gráfica de fuções racioais defiidas em R\{c} por f(x) = a + b. x c Resolver problemas evolvedo a determiação de assítotas ao gráfico de fuções racioais e de fuções defiidas pelo radical de uma fução racioal Idetificar, dada uma fução real de variável real f e dois potos a e b do respetivo domíio, a taxa média de variação de f etre a e b como f(b) f(a). b a 5.2. Justificar, dada uma fução real de variável real f e dois potos a e b do respetivo domíio, que o declive da reta secate ao gráfico de f os potos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) é igual à taxa média de variação de f etre a e b Idetificar, dada uma fução real de variável real f e um poto x 0 do respetivo domíio, a taxa istatâea de variação de f o poto x 0 como o limite lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, quado este existe e é fiito, desigá-lo por derivada de f o poto x 0, represetá-lo por f (x 0 ) e, esse caso, idetificar a fução f como difereciável em x 0 ou derivável em x Justificar, dada uma fução real de variável real f e um poto f(x) f(x x 0 do respetivo domíio, que o limite lim 0 ) existe se x x0 x x 0 e somete se o limite lim f(x 0 +R) f(x 0 ) R 0 R existir e que, esse caso, ambos os limites são iguais Idetificar, dada uma fução real de variável real f difereciável em x 0 D f e um referecial ortoormado, a reta tagete ao gráfico de f o poto P 0 (x 0, f(x 0 )) como a reta de declive f (x 0 ) que passa por P 0 e justificar, Assítotas ao gráfico de uma fução - Assítotas verticais e assítotas oblíquas ao gráfico de uma fução; a determiação das assítotas e da represetação gráfica de fuções racioais defiidas aaliticamete por b f(x)=a + (a,b,c IR); x c a determiação de assítotas ao gráfico de fuções racioais e de fuções defiidas pelo radical de uma fução racioal.

15 represetado por M(x), x D f, o declive da reta secate ao gráfico de f que passa pelo poto P 0 e pelo poto P(x, f(x)), que lim x x0 M(x) = f (x 0 ) Idetificar, fixados um istate τ 0 para origem das medidas de tempo, uma uidade de tempo T, uma reta umérica r com uidade de comprimeto L e um itervalo I, uma fução p : I R, como fução posição de um poto P que se desloca a reta r durate o itervalo de tempo I se, para cada t I, p(t) for a abcissa do poto de r que represeta a posição que P ocupa, t uidades de tempo T depois de τ 0 se t > 0, ou t uidades de tempo T ates de τ 0 se t < 0, desigado também por istate, este cotexto, cada t I Idetificar, fixados um istate τ 0 para origem das medidas de tempo, uma uidade de tempo T, uma reta umérica r com uidade de comprimeto L, um itervalo I, a fução posição p de um poto P que se desloca a reta r durate o itervalo de tempo I, e dados dois istates t 1 < t 2 de I, a velocidade média de P o itervalo de tempo [t 1, t 2 ] a uidade L/T como a taxa média de variação p etre t 1 e t 2, p(t 2 ) p(t 1 ) t 2 t 1, e, para t I, a velocidade istatâea de P o istate t a uidade L/T como a derivada de p em t, p (t), caso exista Resolver problemas evolvedo fuções-posição, velocidades médias e velocidades istatâeas e mudaças de uidades de velocidade Desigar, dada uma fução real de variável real f, a fução derivada de f como a fução de domíio D f = {x D f : f é difereciável em x} que a cada x D f faz correspoder f (x) Idetificar uma fução real de variável real como difereciável um cojuto A quado é difereciável em todos os potos de A Justificar que se uma fução real de variável real f é difereciável um cojuto A e é crescete (respetivamete decrescete), o setido lado, esse cojuto, etão para todo x A, f (x) 0 (respetivamete f (x) 0) Provar, dada uma fução real de variável real f e um poto a do respetivo domíio, que se f é difereciável em a, f é cotíua em a e justificar que a recíproca ão é verdadeira Provar, dado um cojuto D R e as fuções reais de variável real f : D R, g : D R difereciáveis um poto a de D e um úmero real k, que as fuções f + g e k f são difereciáveis em a e que se tem (f + g) (a) = f (a) + g (a) e (kf) (a) = kf (a) #Provar, dado um cojuto D R e as fuções reais de variável real f : D R, g : D R difereciáveis um poto a de D, que a fução f g é difereciável em a e que (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a) #Provar, dado um cojuto D R e as fuções reais de variável real f : D R, g : D R difereciáveis um poto a de D, com g(a) 0, que a fução f g é difereciável em a e que ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) (g(a)) Provar, dada uma fução f : D f R difereciável um poto a D f e uma fução real de variável real g : D g R tal que D f D g, difereciável em f(a), que a fução composta g f é difereciável em a e que (g f) (a) = f (a) g (f(a)) Calcular, utilizado a defiição, uma expressão aalítica para os valores das fuções derivadas das fuções de referêcia Difereciabilidade - Taxa média de variação de uma fução e iterpretação geométrica; - Derivada de uma fução um poto e iterpretação geométrica; - Derivada da soma e da difereça de fuções difereciáveis; - Derivada do produto e do quociete de fuções difereciáveis; - Derivada da fução composta; - Derivada da fução defiida por f(x)= x p, p iteiro; - Sial da derivada de fuções moótoas; ulidade da derivada um extremo local de uma fução; - Teorema de Lagrage e de Rolle; iterpretação geométrica; - Mootoia das fuções com derivada de sial determiado um itervalo; - Cálculo e memorização da derivada das fuções dadas pelas expressões x, x 2, x 3, 1 x e x ; - Cálculo da derivada de fuções dadas por f(x)= x (x ão ulo se 1 impar, x 0 se par) ; - Cálculo e memorização da derivada de fuções dadas por f(x)= x ( racioal, x 0); - Cálculo de derivadas de fuções utilizado as regras de derivação e as derivadas de fuções de referêcia; - Equações de retas tagetes ao gráfico de uma dada fução; a determiação de equações de retas tagetes ao gráfico de fuções reais de variável real; a aplicação do cálculo diferecial ao estudo de fuções reais de variável real, a determiação dos respetivos itervalos de mootoia, extremos relativos e absolutos. Ciemática do poto - Aplicação da oção de derivada à ciemática do poto: fuções posição, velocidade média e velocidade istatâea de um poto material que se desloca uma reta; uidades de medida de velocidade; fuções posição, velocidades médias e velocidades istatâeas e mudaças de uidades de velocidade.

16 (para o cálculo de derivadas) defiidas por x, x 2, x 3, 1 e x, x ou costates, e saber de memória estes resultados Provar, dado um úmero atural (respetivamete dado um úmero iteiro egativo), que uma fução real de variável real f de domíio R (respetivamete de domíio R\{0} defiida por f(x) = x é difereciável e que, para todo o x D f, f (x) = x 1, cosiderado também estas fuções como fuções de referêcia (para o cálculo de derivadas) e saber de memória este resultado Provar, dado um úmero atural par (respetivamete dado um úmero atural ímpar > 1), que uma fução real de variável real f de domíio R + (respetivamete de domíio R\{0}) defiida por f(x) = x é difereciável e que, para todo o x D f, f 1 (x) =. x Provar, para todo o úmero racioal α, que uma fução real de variável real f de domíio R + defiida por f(x) = x α é difereciável e que, para todo o x D f, f (x) = αx α 1, cosiderado também estas fuções como fuções de referêcia (para o cálculo de derivadas) e saber de memória este resultado Determiar, utilizado as regras de derivação e as derivadas das fuções de referêcia, uma expressão aalítica para as derivadas de fuções obtidas por aplicação sucessiva de operações de adição algébrica, multiplicação, divisão e composição a fuções de referêcia Resolver problemas evolvedo a determiação de equações de retas tagetes ao gráfico de fuções reais de variável real Resolver problemas evolvedo fuções-posição, velocidades médias e velocidades istatâeas e mudaças de uidades de velocidade 8.1. Provar, dada uma fução real de variável real f com domíio cotedo um itervalo I = ]a, b[, (a < b), e difereciável em x 0 I, que se f atige um extremo local em x 0 etão f (x 0 ) = 0 e dar um cotraexemplo para a implicação recíproca Saber, dada uma fução real de variável real f cotíua em [a, b], (a < b), e difereciável em ]a, b[ que existe c ]a, b[ tal que f (c) = f(b) f(a), iterpretar geometricamete este b a resultado e desigá-lo por Teorema de Lagrage Justificar, utilizado o Teorema de Lagrage, que se uma fução real de variável real f é cotíua um dado itervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, difereciável em ]a, b[ e, x ]a, b[, f (x) > 0 (respetivamete, x ]a, b[, f (x) < 0), etão f é estritamete crescete (respetivamete estritamete decrescete) o itervalo I Justificar, utilizado o Teorema de Lagrage, que se uma fução real de variável real f é cotíua um dado itervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, difereciável em ]a, b[ e x ]a, b[, f (x) 0 (respetivamete, x ]a, b[, f (x) 0), etão f é crescete em setido lato (respetivamete decrescete em setido lato) o itervalo I Justificar que se uma fução real de variável real f é cotíua um dado itervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b, difereciável em ]a, b[ e, x ]a, b[, f (x) = 0, etão f é costate em I Resolver problemas evolvedo o estudo de fuções reais de variável real, a determiação dos respetivos itervalos de mootoia, extremos relativos e absolutos Resolver problemas evolvedo a determiação de equações de retas tagetes ao gráfico de fuções reais de variável real.