Matemática Carla Tomé Catarina Coimbra

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1 Matemática Carla Tomé Cataria Coimbra 10.º Ao LÓGICA E TEORIA DOS CONJUNTOS Rota de apredizage m Salesiaos de Mogoores - 018/019 Objetivo Geral: Operar com proposições Relacioar codições e cojutos Resolver problemas Tempo Previsto: Total: quizeas do 1.º período (4 aulas) Questões orietadoras / Coceitos Itrodução à Lógica bivalete e à Teoria dos cojutos Proposições - Valor lógico de uma proposição; Pricípio de ão cotradição; - Operações sobre proposições: egação, cojução, disjução, implicação e equivalêcia; - Prioridades das operações lógicas; - Relações lógicas etre as dieretes operações; propriedade da dupla egação; Pricípio do terceiro excluído; Pricípio da dupla implicação; - Propriedades comutativa e associativa, da disjução e da cojução e propriedades distributivas da cojução em relação à disjução e da disjução em relação à cojução; - Leis de De Morga; - Implicação cotrarrecíproca; Descritores Metas de Apredizagem 1.1. Desigar por «proposição» toda a expressão suscetível de ser «verdadeira» ou «alsa», desigar estes atributos por «valores lógicos» e por «pricípio do terceiro excluído» o acto de apeas se cosiderarem como proposições as expressões a que se atribua um daqueles dois valores lógicos. 1.. Saber que uma proposição ão pode ser simultaeamete verdadeira e alsa e desigar esta propriedade por «pricípio de ão cotradição» Saber, dadas proposições p e q, que «p é equivalete a q» é uma proposição, desigada por «equivalêcia etre p e q», que é verdadeira se e somete se p e q tiverem o mesmo valor lógico e represetá-la também por «p q» Saber, dada uma proposição p, que «ão p» é uma proposição, desigada por «egação de p», que é verdadeira se p or alsa e é alsa se p or verdadeira e represetá-la também por «~ p». p p, 1.5. Justiicar, dada uma proposição p, que desigado esta propriedade por «lei da dupla egação» Saber, dadas proposições p e q, que «p e q» é uma proposição, desigada por «cojução de p e q», que é verdadeira se e somete se p e q orem simultaeamete verdadeiras, e represetá-la também por «p q» Saber, dadas as proposições p e q, que «p ou q» é uma proposição, desigada por «disjução de p e q», que é alsa se e somete se p e q orem simultaeamete alsas, represetá-la também por «p q» e justiicar que p q é uma proposição verdadeira, desigado esta propriedade por «pricípio do terceiro excluído» Saber, dadas as proposições p e q, que «p implica q» é uma proposição, desigada por «implicação etre p e q», que é alsa se e somete se p or verdadeira e q or alsa, represetá-la também por «p q», desigar p por «atecedete» e q por «cosequete» da implicação e recohecer, dada uma proposição r, que se p q e q r, etão p r Saber que, por coveção, em qualquer sequêcia de operações lógicas, a meos de utilização de parêteses, se 1 Descritores Peril do Aluo Cohecedor/ sabedor/ culto/ iormado (A, B, G, I, J) Criativo (A, C, D) Crítico/Aalítico (A, B, C, D, G) Idagador/ Ivestigador (C, D, F, H, I) Respeitador da diereça/ do outro (A, B, E, F, H) Sistematizador/ orgaizador (A, B, C, I, J) Questioador (A, F, G, I, J) Comuicador (A, B, D, E, H) Autoavaliador Participativo/ colaborador (B, C, D, E, F)

2 - Resolução de problemas evolvedo operações lógicas sobre proposições. Codições e Cojutos - Expressão proposicioal ou codição; quatiicador uiversal, quatiicador existecial e segudas Leis de De Morga; cotraexemplos; - Cojuto deiido por uma codição; Igualdade etre cojutos; cojutos deiidos em extesão; - Uião (ou reuião), iterseção e diereça de cojutos e cojuto complemetar; - Iclusão de cojutos; - Relação etre operações lógicas sobre codições e operações sobre os cojutos que deiem; - Pricípio de dupla iclusão e demostração respeitam as seguites prioridades: egação; cojução e disjução; implicação e equivalêcia #Provar, dadas as proposições p e q, que a proposição p q é equivalete à proposição p q #Provar, dadas as proposições p e q, que a proposição p q é verdadeira se e somete se pqe q p orem ambas proposições verdadeiras e desigar esta propriedade por «pricípio da dupla implicação» #Provar, dada uma proposição p e represetado por V (respetivamete F) uma qualquer proposição verdadeira (respetivamete alsa), que pv p, pv V, p F p e pf F #Provar, dadas as proposições p e q, que p q p q e que p q p q e desigar estas equivalêcias por «primeiras leis de De Morga» #Provar, dadas as proposições p, q e r, que p q r p q r p q q p e que, p q r p r q r, bem como as que se obtêm permutado em todas as ocorrêcias os símbolos e, e desigá-las respetivamete por «associatividade», «comutatividade» e «distributividade» #Provar, dadas duas proposições p e q, que a proposição p q é equivalete à proposição q p e desigar esta última implicação por «implicação cotrarrecíproca da implicação p q» Simpliicar expressões evolvedo operações com proposições, substituido-as por proposições equivaletes evolvedo meos símbolos, e determiar o respetivo valor lógico sempre que possível..1. Desigar por «expressão proposicioal» ou por «codição» uma expressão p x evolvedo uma variável x tal que, substituido x por um objeto a, se obtém pa. uma proposição.. Saber, dada uma codição px, que «qualquer que seja x, px» é uma proposição que é verdadeira quado e apeas quado se obtém uma proposição verdadeira sempre que se substitui x em p x por um objeto arbitrário, represetá-la por «, x p x», e desigar o símbolo por «quatiicador uiversal»..3. Idetiicar uma codição, p x como «uiversal» se x p x or uma proposição verdadeira e recohecer que a disjução de qualquer codição com uma codição uiversal é uma codição uiversal..4. Saber, dada uma codição px, que «existe x tal que px» é uma proposição que é verdadeira se e somete se, para pelo meos um objeto a, pa or verdadeira, represetá-la por «x : px» e desigar o símbolo por «quatiicador existecial»..5. Idetiicar uma codição : p x como «possível» se x p x or uma proposição verdadeira, como «impossível» se Resposável/ autóomo (C, D, E, F, G, I, J) Cuidador de si e do outro (B, E, F, G)

3 de equivalêcias por dupla implicação; - Negação de uma implicação uiversal; demostração por cotrarrecíproco; - Resolução de problemas evolvedo operações sobre codições e sobre cojutos. ão or possível e recohecer que a disjução de qualquer codição com uma codição possível é uma codição possível e a cojução de qualquer codição com uma codição impossível é uma codição impossível. p x, que a egação da x p x é equivalete à proposição x : px p x é equivalete à.6. Saber, dada uma codição proposição,, que a egação da proposição x : proposição x, p x, desigar estas propriedades por «segudas leis de De Morga», recohecedo-as iormalmete em exemplos, e justiicar que a egação de uma codição uiversal é uma codição impossível e vice-versa. 3 p x e um cojuto.7. Represetar, dada uma codição U, a proposição, x, xu px por «x U, px caso de ser verdadeira, desigar px por «codição uiversal em U».», e, o.8. Represetar, dada uma codição px e um cojuto U,a proposição x : xu px por «x U: px», o caso de ser verdadeira desigar px por «codição possível em U»e, o caso cotrário, por «codição impossível em U». p x e um cojuto.9. +Recohecer, dada uma codição U, que a egação da proposição x U, px à proposição x U: px x U: px é equivalete à proposição x U, px desigar um elemeto a U tal que «cotraexemplo» para a proposição x U, px..10. Represetar, dada uma codição px, por «: um cojuto A tal que x, x A px A x: px codição px». é equivalete, que a egação da proposição e pa como um x p x», desigado a igualdade por «deiição em compreesão do cojuto pela.11. Saber, dados os cojutos A e B, que A=B se e somete se x, x Ax B..1. Desigar, dado um objeto a e um cojuto A, por «elemeto de A» quado a A, dados objetos a a k, represetar por «1,..., k a1,..., a k» o cojuto A cujos elemetos são exatamete a1,..., ak e desigar a igualdade A a1,..., ak por «deiição em extesão do cojuto A de elemetos a1,..., a k». p x e um cojuto U, o.13. Idetiicar, dada uma codição cojuto x: xu p x como «cojuto deiido por p xem U») e represetá- px em U» (ou «cojuto-solução de lo também por «A Bx: x A x B»..14. Idetiicar, dados os cojutos A e B, o «cojuto-uião (ou reuião) de A e B» e o «cojuto-iterseção de A e B»

4 respetivamete como : ABx: xa xb. A B x x A x B e.15. Idetiicar, dados os cojutos A e B, como estado «cotido em B» («A B») quado x, x Ax B, e, esse caso, desigar A por «subcojuto de B» ou por «uma parte de B»..16. Desigar, dados os cojutos A e B, por «diereça etre A e B» o cojuto xa: xb e represetá-lo por A\B ou simplesmete por B quado B A e esta otação ão or ambígua, desigado-o, etão, por «complemetar de B em A». p x e qx, que a.17. Justiicar, dadas as codições proposição x, px qx x, px qx q x p x é equivalete à proposição e desigar uma demostração da seguda proposição por «demostração por dupla implicação» da primeira..18. Recohecer, dados os cojutos A e B, que A B se e somete se e AB e B A, e desigar esta propriedade por «pricípio da dupla iclusão». p x e.19. +Recohecer, dadas as codições egação da proposição x, px qx qx, que a é equivalete à proposição x: px qx, isto é, que essa proposição é alsa se e somete se existir a tal que é alsa. pa é verdadeira e.0. Justiicar, dadas as codições px e proposição x, px qx qb qx, que a é equivalete à proposição x, q x p x, desigar a seguda proposição por «cotrarrecíproco» da primeira e uma demostração da seguda proposição por «demostração por cotrarrecíproco» da primeira Resolver problemas evolvedo operações lógicas sobre proposições Resolver problemas evolvedo operações sobre codições e sobre cojutos. 4

5 ÁLGEBRA Objetivo Geral: Deiir e eetuar operações com radicais Deiir e eetuar operações com potêcias de expoete racioal Eetuar operações com poliómios Resolver problemas Tempo Previsto: Total:,5 quizeas do 1.º período. (30 aulas) Apredizages Esseciais: Recohecer, idetiicar e aplicar a resolução de problemas a divisão euclidiaa de poliómios e regra de Ruii; a Divisibilidade de poliómios; o Teorema do resto; a Multiplicidade da raiz de um poliómio e respetivas propriedades. Questões orietadoras / Coceitos Radicais - Mootoia da poteciação; raízes de ídice IN, ; - Propriedades algébricas dos radicais: produto e quociete de raízes com o mesmo ídice, potêcias de raízes e composição de raízes; - Racioalização de deomiadores; - Resolução de problemas evolvedo operações com radicais. Descritores Metas de Apredizagem Recohecer, dados dois úmeros reais a e b e um úmero ímpar, que se a b, etão a b Recohecer, dados dois úmeros reais a e b e um úmero par, que se 0a b, etão 0a b e se ab 0, etão a b Saber, dado um úmero real a e um úmero ímpar, que existe um úmero real b tal que b a, provar que é úico, desigá-lo por «raiz ídice de a» e represetá-lo por «a» Saber, dado um úmero real a positivo e um úmero par, que existe um úmero real positivo b tal que b a, provar que b a e que ão existe, para além de b e de b, qualquer outra solução da equação x ídice de a» e represetá-lo por «a». a, desigar b por «raiz.1. +Recohecer, dado um úmero real ão egativo a e um úmero racioal ão egativo q ( q 0 se a 0), etão m m q (sedo m,, m e úmeros iteiros, m, m 0 e, ), que a m a m #Provar, dados úmeros reais ão egativos a e b e um úmero par, que a b ab e recohecer que para m, m a m a #Provar, dados úmeros reais a e b e um úmero ímpar, que a b a b e recohecer que, para m, m m a a #Provar, dados úmeros reais a e b (respetivamete úmeros reais a e b ão egativos), com b 0 e um úmero Descritores Peril do Aluo Cohecedor/ sabedor/ culto/ iormado (A, B, G, I, J) Criativo (A, C, D) Crítico/Aalítico (A, B, C, D, G) Idagador/ Ivestigador (C, D, F, H, I) Respeitador da diereça/ do outro (A, B, E, F, H) Sistematizador/ orgaizador (A, B, C, I, J) Questioador (A, F, G, I, J) Comuicador (A, B, D, E, H) Autoavaliador Participativo/ colaborador (B, C, D, E, F) 5

6 ímpar (respetivamete um úmero par), que a a b b m e justiicar que para m, b m b #Provar, dados úmeros aturais e m (respetivamete úmeros aturais ímpares e m) e um úmero real ão egativo a (respetivamete um úmero real a ), que m a m a. Resposável/ autóomo (C, D, E, F, G, I, J) Cuidador de si e do outro (B, E, F, G) Potêcias de expoete racioal - Deiição e propriedades algébricas das potêcias de base positiva e expoete racioal: produto e quociete de potêcias com a mesma base, produto e quociete de potêcias com o mesmo expoete e potêcia de potêcia; - Resolução de problemas evolvedo operações com potêcias. Poliómios - Divisão euclidiaa de poliómios e regra de Ruii; - Divisibilidade de poliómios; Teorema do resto; - Multiplicidade da raiz de um poliómio e respetivas propriedades; - Resolução de problemas evolvedo a divisão euclidiaa de poliómios, o Teorema do resto e a Desigar também por «ração» a represetação «a b» do quociete etre úmeros reais a e b (com b 0), a e b, este cotexto, respetivamete por «umerador» e «deomiador» e idetiicar duas rações como «equivaletes» quado represetam o mesmo úmero Racioalizar deomiadores da oram a b, ou a b c d (a e c úmeros iteiros, b, d e úmeros aturais, com 1) Resolver problemas evolvedo operações com radicais e com potêcias... +Idetiicar, dado um úmero real ão egativo e um m úmero racioal ão egativo q (m e úmeros iteiros, m0 e ), q 0 se a 0, a «potêcia de base a e de expoete q», a q, como a m, recohecedo que este úmero ão depede da ração escolhida para represetar q, e que esta deiição é a úica possível por oram a esteder a propriedade a b c bc a a expoetes racioais positivos..3. Idetiicar, dado um úmero real positivo a e um úmero racioal positivo q, a «potêcia de base a e de expoete q», 1 a q, como a q, recohecedo que esta deiição é a úica 6 b c b c a a a a possível por oram a esteder a propriedade expoetes racioais..4. +Recohecer que as propriedades algébricas previamete estudadas das potêcias de expoete iteiro (relativas ao produto e quociete de potêcias com a mesma base, produto e quociete de potêcias com o mesmo expoete e potêcia de potêcia) podem ser estedidas às potêcias de expoete racioal..5. +Simpliicar expressões evolvedo radicais e potêcias Desigar um poliómio P com apeas uma variável x por «Px» Recohecer, dados os poliómios ão ulos Ax e Bx, que o grau do poliómio AxBx é igual à soma dos graus de Ax e de Bx Saber, dados os poliómios Ax e ulo, que existem dois úicos poliómios que de Bx, Qx e Bx ão Rx tais Rx ou é o poliómio ulo ou tem grau ierior ao grau Bx e Ax BxQx Rx, e desigar, este

7 atorização de poliómios; - Resolução de problemas evolvedo a determiação do sial e dos zeros de poliómios. cotexto, «poliómio-divisor», Ax por «poliómio-dividedo», Bx por Qx por «poliómio-quociete» e Rx por «poliómio-resto» da «divisão iteira» (ou «divisão Ax por Bx Determiar, dados os poliómios euclidiaa») de ão ulo, as ormas reduzidas dos poliómiospoliómio-resto da divisão iteira de Ax por 7 Ax e B x, B x -quociete e Bx Recohecer, dado um poliómio Px e um úmero a, que aplicado a «regra de Ruii» se obtém o quociete e o resto da divisão iteira de P x por x a Provar, dado um poliómio Px e um úmero a, Px por x a é igual a que o resto da divisão iteira de Pa e desigar esta propriedade por «teorema do resto» Desigar, dado um poliómio Px, por «raiz do poliómio» (ou «zero do poliómio») qualquer úmero real tal que Pa Idetiicar um poliómio Px como «divisível» por um poliómio Px por Qx ão ulo se o resto da divisão euclidiaa de Qx é ulo Provar, dado um poliómio Px de grau e um Px, se e somete se úmero real a, que a é uma raiz de P x or divisível por xae que, esse caso, existe um poliómio Qx de grau 1 tal que Px x a Qx Resolver problemas evolvedo a divisão iteira de poliómios e o teorema do resto Idetiicar, dado um poliómio Px e uma raiz a de Px, a «multiplicidade de a» como o maior úmero atural tal que existe um poliómio Qx com Px x a Qx, justiicar que esta situação Qa 0 e desigar a por «raiz simples» quado a respetiva multiplicidade é igual a 1. P x de grau x, x,..., x k têm respetivamete que 1... k e que Recohecer, dado um poliómio cujas raízes (distitas), 1 multiplicidade 1,,..., k existe um poliómio Qx sem raízes tal que 1 Px x x x x x x k Qx, tedo-se 1,,..., k 1... se e somete se 4.1. Recohecer, dado um poliómio k Qx tiver grau zero. P x de coeicietes iteiros, que o respetivo termo de grau zero é múltiplo iteiro de qualquer raiz iteira desse poliómio.

8 5.1. +Resolver problemas evolvedo a divisão iteira de poliómios e o teorema do resto Resolver problemas evolvedo a atorização de poliómios de que se cohecem algumas raízes Resolver problemas evolvedo a determiação dos zeros e do sial de uções poliomiais de grau superior a dois. GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO Objetivo Geral: Deiir aaliticamete cojutos elemetares de potos do plao Operar com vetores Operar com coordeadas de vetores Cohecer propriedades dos vetores diretores de retas do plao Resolver problemas Tempo Previsto: Total: 3 quizeas do 1.º e º período. (36 aulas) Apredizages Esseciais: Recohecer o sigiicado da órmula da medida da distâcia etre dois potos o plao em ução das respetivas coordeadas; Recohecer o sigiicado das coordeadas do poto médio de um dado segmeto de reta, da equação cartesiaa da mediatriz de um segmeto de reta, das equações e iequações cartesiaas de um cojuto de potos (icluido semiplaos e círculos) e da equação cartesiaa reduzida da circuerêcia; Recohecer o sigiicado das Equações de plaos paralelos aos plaos coordeados; Equações cartesiaas de retas paralelas a um dos eixos; Recohecer, aalisar e aplicar a resolução de problemas: Norma de um vetor; Multiplicação de um escalar por um vetor e a sua relação com a coliearidade de vetores e com o vetor simétrico; Soma e diereça etre vetores; Propriedades das operações com vetores; Coordeadas de um vetor; Vetorposição de um poto e respetivas coordeadas; Coordeadas da soma e da diereça de vetores; Coordeadas do produto de um escalar por um vetor e do simétrico de um vetor; Relação etre as coordeadas de vetores colieares; Vetor diereça de dois potos; Cálculo das respetivas coordeadas; Coordeadas do poto soma de um poto com um vetor; Cálculo da orma de um vetor em ução das respetivas coordeadas; Vetor diretor de uma reta; Relação etre as coordeadas de um vetor diretor e o declive da reta; Paralelismo de retas e igualdade do declive; Recohecer o sigiicado e aplicar a resolução de problemas a equação vetorial de uma reta o plao. Questões orietadoras / Coceitos Geometria aalítica o plao - Reereciais ortoormados; - Fórmula da medida da distâcia etre dois potos o plao em ução das respetivas coordeadas; - Coordeadas do poto médio de um dado segmeto de reta; - Equação cartesiaa da mediatriz de um segmeto de reta; Descritores Metas de Apredizagem 1.1. Desigar por «reerecial ortoormado» um reerecial ortogoal e moométrico de um dado plao, tal que a uidade de comprimeto comum aos eixos coordeados coicide com uma uidade de comprimeto preixada e, dados os úmeros reais a 1 e a, desigar por «Aa1, a e Bb1, b», o poto A de abcissa a1 e ordeada a esse reerecial Recohecer, ixada uma uidade de comprimeto, dado um plao muido de um reerecial ortoormado e potos A a, a e B b, b pertecetes a esse plao, que a 1 1 medida da distâcia etre A e B é igual a b a b a e represetá-la por «d( A, B )» Demostrar, dada uma reta umérica e dois potos A e B de abcissas a e b, respetivamete, que a abcissa do poto médio do segmeto de reta de extremos A e B é igual a a b. Descritores Peril do Aluo Cohecedor/ sabedor/ culto/ iormado (A, B, G, I, J) Criativo (A, C, D) Crítico/Aalítico (A, B, C, D, G) Idagador/ Ivestigador (C, D, F, H, I) 8

9 - Equações e iequações cartesiaas de um cojuto de potos; - Equação cartesiaa reduzida da circuerêcia; - Deiição de elipse e respetiva equação cartesiaa reduzida; relação etre eixo maior, eixo meor e distâcia ocal; - Iequações cartesiaas de semiplaos; - Iequações cartesiaas de círculos; - Resolução de problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do plao; - Resolução de problemas evolvedo equações e iequações cartesiaas de subcojutos do plao Recohecer, utilizado argumetos geométricos baseados o Teorema de Tales ou em cosequêcias cohecidas deste teorema, que, dado um plao muido de um A a, a e B b, b reerecial ortoormado e dois potos pertecetes a esse plao, as coordeadas do poto médio do segmeto de reta [AB] são a 1 b 1, a b Desigar, dado um plao muido de um reerecial ortoormado, por «equação cartesiaa» (respetivamete por «iequação cartesiaa») de um cojuto C uma equação (respetivamete iequação) cujas soluções são as coordeadas dos potos de C Determiar, dado um plao muido de um reerecial A a, a e B b, b desse ortoormado e dois potos 1 1 plao, uma equação cartesiaa da mediatriz do segmeto de reta [AB] a orma y mx b (equação reduzida da reta) ou a orma x c Justiicar, ixada uma uidade de comprimeto, dado um plao muido de um reerecial ortoormado, um poto A a, a pertecete a esse plao e um úmero r 0, que a 1 1 x a ya r é uma equação cartesiaa equação da circuerêcia de cetro A e de raio r e desigá-la por «equação (cartesiaa) reduzida da circuerêcia» Desigar, ixada uma uidade de comprimeto e um plao, dados dois potos A e B pertecetes a esse plao e um 1 úmero a AB, por «elipse» o cojuto de potos P do plao tais que d( P, A) d( P, B) a, por «ocos da elipse» os potos A e B, por «cetro da elipse» o poto médio do segmeto de reta [AB] e por «eixo maior da elipse» o úmero a (e a por «semieixo maior da elipse»), iterpretado-o geometricamete Demostrar, dada uma elipse de ocos A e B e de eixo maior a, que a mediatriz de [AB] iterseta a elipse em dois potos C e D equidistates do cetro da elipse e que tomado 1 b CD se tem B a c, ode 1 c AB, desigado b por «eixo meor da elipse» (e b por «semieixo meor da elipse») Recohecer, ixada uma uidade de comprimeto, dado um plao muido de um reerecial ortoormado e 0b a, que a equação x y 1 é uma equação a b cartesiaa da elipse de semieixo maior a e semieixo meor b que tem ocos A c, 0 e Bc,0, ode c a c, e desigá-la por «equação (cartesiaa) reduzida da elipse»..1. +Resolver problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do plao e equações e iequações cartesiaas de subcojutos do plao Recohecer, dado um plao muido de um reerecial ortoormado e uma reta r do plao de equação reduzida y ax b ( a, b ), que os dois semiplaos abertos (respetivamete echados) determiados por r têm por iequações cartesiaas y ax b e y ax b (respetivamete y ax b e y ax b ) e desigá-los Respeitador da diereça/ do outro (A, B, E, F, H) Sistematizador/ orgaizador (A, B, C, I, J) Questioador (A, F, G, I, J) Comuicador (A, B, D, E, H) Autoavaliador Participativo/ colaborador (B, C, D, E, F) Resposável/ autóomo (C, D, E, F, G, I, J) Cuidador de si e do outro (B, E, F, G)

10 respetivamete por «semiplao superior» e «semiplao ierior» em relação à reta r Recohecer, dado um plao muido de um reerecial ortoormado e uma reta r do plao de equação cartesiaa x c ( c ), que os dois semiplaos abertos (respetivamete echados) determiados por r têm por iequações cartesiaas x c e x c (respetivamete x c e x c ) e desigá-los respetivamete por «semiplao à direita» e «semiplao à esquerda» da reta r Justiicar, ixada uma uidade de comprimeto, dado um plao muido de um reerecial ortoormado, que a iequação x a yb r ( a, b, r 0) é uma iequação do círculo de cetro, C a b e de raio r Resolver problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do plao e equações e iequações cartesiaas de subcojutos do plao..1. +Resolver problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do plao e equações e iequações cartesiaas de subcojutos do plao. Cálculo vetorial o plao - Norma de um vetor; - Multiplicação por um escalar de um vetor; relação com a coliearidade e o vetor simétrico; - Diereça etre vetores; - Propriedades algébricas das operações com vetores; - Coordeadas de um vetor; - Vetor-posição de um poto e respetivas coordeadas; - Coordeadas da soma e da diereça de vetores; coordeadas do produto de um vetor por um escalar e do simétrico de um vetor; relação etre as coordeadas de vetores colieares; - Vetor diereça de dois potos; cálculo das respetivas coordeadas; coordeadas do poto soma de um poto com um vetor; - Cálculo da orma de um vetor em ução das respetivas coordeadas; 3.1. Idetiicar, ixada uma uidade de comprimeto e dado um vetor v, a «orma do vetor v» como a medida do comprimeto de um segmeto orietado represetate de v e represetá-la por «v». 3.. Idetiicar, dado um vetor v e um úmero real (também desigado por «escalar»), o «produto de v por» («v») como o vetor de orma v (ixada uma mesma uidade de comprimeto para o cálculo das ormas), com a direção e setido de v se v 0 e 0 e com a direção de v e setido cotrário ao de v se v 0 e 0 e, justiicar que v ão depede da uidade de comprimeto ixada e que 1 v v, vetor simétrico de v Justiicar, dado um vetor v ão ulo, que um vetor u é coliear a v se e apeas existir um úmero real tal que u v e que, esse caso, é úico Justiicar, dados os vetores u e v, que existe um e somete um vetor w tal que wv u, provado que wu ( v) e desigar w por «diereça etre u e v» e represetá-lo por «u v» Recohecer, dado um vetor v e os úmeros reais e que ( )v v v Recohecer, dados os vetores u e v e os úmeros reais u v u v u u. e que e Recohecer, ixada uma uidade de comprimeto e um plao muido de um reerecial ortoormado de origem O e um vetor v do plao que, sedo X(1, 0), Y(0, 1), e1ox e e OY, existe um e somete um v, v de úmeros reais, tais que par ordeado 1 v v1e 1 ve e, por esse motivo, desigar o par ordeado e1, e por uma «base do espaço vetorial dos vetores do plao», v v por «coordeadas do vetor v (a base 1, 10

11 - Vetor diretor de uma reta; relação etre as respetivas coordeadas e o declive da reta; - Paralelismo de retas e igualdade do declive; - Equação vetorial de um reta; - Sistema de equações paramétricas de uma reta; - Resolução de problemas evolvedo a determiação de coordeadas de vetores o plao, a coliearidade de vetores e o paralelismo de retas do plao. e1, e )» e represetar por «vv1, v coordeadas v, v. 1» o vetor v de 4.. Idetiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado de origem O e dado um poto A, o «vetor-posição do poto A» como o vetor OA e justiicar que as coordeadas do vetor-posição de um dado poto coicidem com as coordeadas do poto Justiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado e dados vetores uu1, u e v( v1, v ) e um úmero real, que o vetor u v (respetivamete u v ) tem coordeadas ( u1 v1, u v ) (respetivamete ( u1 v1, u v ) ), que o vetor u tem coordeadas ( u1, u), que o vetor simétrico do vetor u( u1, u) tem de coordeadas u1, u e que dois vetores ão ulos são colieares se e somete se as respetivas coordeadas orem todas ão ulas e os quocietes das coordeadas correspodetes orem iguais, ou as primeiras ou segudas coordeadas de ambos os vetores orem ulas. Esta parte do descritor é tratada a aula seguite Justiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado e dados potos A( a1, a ) e B( b1, b ) que o vetor AB tem coordeadas ( b1 a1, b a ), começado por justiicar que AB OB OA, idetiicar, a «diereça etre os potos A e B» como o vetor AB, represetá-la por «B A» e justiicar que, para todo o vetor v e para quaisquer potos A e B do plao, B Av B A v Justiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado e dado um poto A( a1, a ) e um vetor v( v1, v ) desse plao, que o poto Av tem coordeadas ( a1 v1, a v ) Justiicar, ixada uma uidade de comprimeto e um plao muido de um reerecial ortoormado que para qualquer veto v( v1, v ), v v v Resolver problemas evolvedo a determiação das coordeadas de vetores do plao Resolver problemas evolvedo a coliearidade de vetores do plao Idetiicar, dado um vetor v ão ulo e uma reta r, v como «tedo a direção de r» quado r tiver a direção das retassuporte dos segmetos orietados que represetam v. 5.. Desigar por «vetor diretor» de uma dada reta r qualquer vetor ão ulo com a mesma direção que r Provar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado e uma reta r ão vertical de declive m, que o vetor v a, b é vetor diretor de r se e somete se b a0 e m e a que, em particular, o vetor de coordeadas 1, m é vetor diretor da reta r Justiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado, que os vetores diretores das retas verticais são v 0, b, b 0. os vetores 5.5. Justiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado, que dada uma reta r de vetor diretor v, os 11

12 potos de r são os potos P Atv, t, ode A é um qualquer poto de r, e desigar esta equação por «equação vetorial da reta r» Justiicar, ixado um plao muido de um reerecial ortoormado e dados a 1, a, v 1, v, que um poto Px, y v( v, v ) passado pelo pertece à reta r de vetor diretor 1 poto A( a1, a ) se e somete se existir t tal que x a tv y a tv, e desigar este sistema por 1 1 «sistema das equações paramétricas da reta r» Resolver problemas evolvedo a determiação das coordeadas de vetores do plao Resolver problemas evolvedo a coliearidade de vetores do plao Resolver problemas evolvedo equações vetoriais, paramétricas e cartesiaas de retas do plao. GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO Objetivo Geral: Deiir reereciais cartesiaos do espaço Deiir aaliticamete cojutos elemetares de potos do espaço Deiir vetores do espaço Operar com coordeadas de vetores do espaço Resolver problemas Tempo Previsto: Total: 1,5 quizeas do.º período. (18 aulas) Apredizages Esseciais: Idetiicar Reereciais cartesiaos ortoormados do espaço; Recohecer o sigiicado das Equações de plaos paralelos aos plaos coordeados; Equações cartesiaas de retas paralelas a um dos eixos; Distâcia etre dois potos o espaço; Equação do plao mediador de um segmeto de reta; Equação cartesiaa reduzida da superície esérica; Iequação cartesiaa reduzida da esera; Recohecer, aalisar e aplicar a resolução de problemas a geeralização ao espaço dos coceitos e propriedades básicas do cálculo vetorial; Recohecer o sigiicado e aplicar a resolução de problemas a equação vetorial de uma reta o espaço. Questões orietadoras / Coceitos Geometria aalítica o espaço - Reereciais cartesiaos ortoormados do espaço; - Equações de plaos paralelos aos plaos coordeados; - Equações cartesiaas de retas paralelas a um dos eixos; - Distâcia etre dois potos o espaço; - Equação do plao mediador de um segmeto de reta; Descritores Metas de Apredizagem 7.1. Idetiicar um «reerecial (cartesiao) ortoormado do espaço» (ou simplesmete «reerecial cartesiao») como um tero ordeado de retas uméricas que se itersetam as respetivas origes, duas a duas perpediculares e com uidades de comprimeto coicidetes com uma mesma uidade de comprimeto preixada, desigar a origem comum das três retas por «origem do reerecial», a primeira reta por «eixo das abcissas», a seguda por «eixo das ordeadas», a terceira por «eixo das cotas», geericamete cada uma delas por «eixo coordeado» e, se or represetada por «O» a origem do reerecial, represetar estes três eixos respetivamete por «Ox», «Oy» e «Oz» e o reerecial por «Oxyz». 7.. Desigar, dado um poto P e uma reta r, por «projeção ortogoal de P sobre r» como o próprio poto P quado P pertecer a r e como o pé da perpedicular traçada de P para r o caso cotrário, recohecedo que é a iterseção com r do plao ormal a r passado por P. Descritores Peril do Aluo Cohecedor/ sabedor/ culto/ iormado (A, B, G, I, J) Criativo (A, C, D) Crítico/Aalítico (A, B, C, D, G) Idagador/ Ivestigador (C, D, F, H, I) 1

13 - Equação cartesiaa reduzida da superície esérica; - Iequação cartesiaa reduzida da esera; - Resolução de problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do espaço; - Resolução de problemas evolvedo equações e iequações cartesiaas de subcojutos do espaço Desigar, dado um reerecial ortoormado e um poto P de projeções ortogoais P, o eixo das abcissas, P, o eixo das ordeadas e z x P, o eixo das cotas, por «abcissa de P», «ordeada de P» e «cota de P» respetivamete a abcissa de, P de e as respetivas retas uméricas, e o tero ordeado destes três valores por «coordeadas de P» Desigar por «plaos coordeados» os três plaos determiados por dois dos eixos coordeados, represetá-los por «xoy», «xoz» e «yoz» cosoate os eixos coordeados que cotêm, e recohecer que são perpediculares dois a dois Recohecer, dado um reerecial ortoormado e um tero ordeado de úmeros reais x, y, z, que existe um e apeas um poto P com essas coordeadas e represetá-lo por «,, P x y z» Recohecer, dado um reerecial ortoormado e um P a, b, c de projeção ortogoal P' o plao, poto que, esse plao, muido do reerecial costituído pelos eixos Ox y P e Oy, P' tem coordeadas, resultados aálogos para os plaos e. y a b e euciar yoz 8.1. Justiicar, dado um reerecial ortoormado do espaço e a, que x aé uma equação cartesiaa do plao paralelo ao plao coordeado que iterseta o eixo das abcissas o poto Aa,0,0 e determiar as equações dos plaos paralelos aos plaos coordeados e xoy. 8.. Justiicar, dado um reerecial cartesiao do espaço e, P x, y, z cujas ab, que o cojuto dos potos coordeadas satisazem o «sistema de equações cartesiaas» x a y b é a reta paralela ao eixo das cotas que iterseta xoy A a, b, 0 e determiar o plao coordeado em sistemas de equações cartesiaas de retas paralelas ao eixo das abcissas e ao eixo das ordeadas Provar, ixada uma uidade de comprimeto e dados um reerecial ortoormado do espaço e potos A a, a, a e B b, b, b, que a medida da distâcia etre A e B é igual a z b a b a b a e represetá-la por «, yoz xoz xoz d A B» Determiar, dado um reerecial ortoormado do espaço e as coordeadas de dois potos A e B do espaço, uma equação do plao mediador do segmeto de reta [AB] a orma ax by cz d 0; a, b, c, d Justiicar, ixada uma uidade de comprimeto e dados um reerecial ortoormado do espaço, um poto Aa1, a, a3 e um úmero r 0, que ( xa1 ) ( y a ) ( z a3 ) r é uma equação cartesiaa da superície esérica de cetro A e de raio r, e desigá-la por «equação (cartesiaa) reduzida da superície esérica» Justiicar, ixada uma uidade de comprimeto e dados um A a, a, a e reerecial ortoormado do espaço, um poto 1 3 um úmero r 0, que ( xa ) ( y a ) ( z a ) r é 1 3 P x xoy Respeitador da diereça/ do outro (A, B, E, F, H) Sistematizador/ orgaizador (A, B, C, I, J) Questioador (A, F, G, I, J) Comuicador (A, B, D, E, H) Autoavaliador Participativo/ colaborador (B, C, D, E, F) Resposável/ autóomo (C, D, E, F, G, I, J) Cuidador de si e do outro (B, E, F, G) 13

14 uma iequação cartesiaa da esera de cetro e de raio e desigá-la por «iequação (cartesiaa) reduzida da esera» Resolver problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do espaço, equações e iequações cartesiaas de subcojutos do espaço. Cálculo vetorial o espaço - Geeralização ao espaço dos coceitos e propriedades básicas do cálculo vetorial; - Equação vetorial da reta o espaço; - Resolução de problemas evolvedo cálculo vetorial o espaço Desigar um par de segmetos orietados do espaço por «equipoletes» quado são complaares e equipoletes um plao que os coteha. 9.. Saber que um «vetor do espaço» ica determiado por um segmeto orietado do espaço de tal modo que segmetos de reta equipoletes determiam o mesmo vetor e segmetos de reta ão equipoletes determiam vetores distitos Esteder do plao ao espaço a deiição de orma de um vetor, de adição de um poto com um vetor, de traslação de um dado vetor e as operações de subtração de dois potos, de adição e subtração de vetores, de multiplicação de um vetor por um escalar e as respetivas propriedades geométricas e algébricas Recohecer, ixado um reerecial ortoormado o espaço de origem O e um vetor v que, sedo X 1, 0, 0, Y0,1, 0, Z0, 0,1, e1 OX, e OY e e3 OZ, existe um e somete um tero ordeado v1, v, v3 de úmeros reais tais que v v1e 1 ve v3e, desigar o tero 3 ordeado e1, e, e 3 por uma «base do espaço vetorial dos vetores do espaço», v1, v, v3 por «coordeadas do vetor v (a base e1, e, e 3» e represetar por «v v» o vetor 1, v, v3 v de coordeadas v1, v, v Esteder do plao ao espaço a deiição do vetor-posição de um poto e a idetiicação das respetivas coordeadas, as órmulas para o cálculo das coordeadas da soma e da diereça de vetores, do produto de um vetor por um escalar, do simétrico de um vetor, da diereça de dois potos, da soma de um poto com um vetor e da orma de um vetor, e o critério de coliearidade de vetores através das respetivas coordeadas Esteder do plao ao espaço a deiição e propriedades das equações vetoriais e sistemas de equações paramétricas de retas Resolver problemas evolvedo cálculo vetorial o espaço Resolver problemas evolvedo a oção de distâcia etre potos do espaço, equações e iequações cartesiaas de subcojutos do espaço. FUNÇÕES 14

15 Objetivo Geral: Deiir a composição de uções e a ução iversa de uma ução bijetiva Relacioar propriedades geométricas dos gráicos com propriedades das respetivas uções Idetiicar itervalos de mootoia de uções reais de variável real Idetiicar extremos de uções reais de variável real Estudar uções elemetares e operações algébricas sobre uções Resolver problemas Tempo Previsto: Total: 3,5 quizeas do.º e 3º período. (4 aulas) Apredizages Esseciais: Recohecer, represetar e iterpretar graicamete uções reais de variável real e uções deiidas por expressões aalíticas e usá-las a resolução de problemas e em cotextos de modelação; Recohecer e iterpretar as propriedades geométricas dos gráicos de uções e usá-las a resolução de problemas e em cotextos de modelação; Recohecer e iterpretar a paridade; as simetrias dos gráicos das uções pares e das uções ímpares; os itervalos de mootoia de uma ução real de variável real; os extremos relativos e absolutos e usá-los a resolução de problemas e em cotextos de modelação; Recohecer e iterpretar os extremos, setido das cocavidades, raízes e a represetação gráica de uções quadráticas e usá-los a resolução de problemas e em cotextos de modelação; Recohecer, iterpretar e represetar graicamete uções deiidas por ramos e a ução módulo e usá-los a resolução de problemas e em cotextos de modelação; Recohecer e iterpretar graicamete a relação etre o gráico de uma ução e os gráicos das uções a.(x), (b.x), (x+c) e (x)+d,a,b,c e d úmeros reais, a e b ão ulos e usá-las a resolução de problemas e em cotextos de modelação; Recohecer, idetiicar e aplicar a resolução de problemas a divisão euclidiaa de poliómios e regra de Ruii; a Divisibilidade de poliómios; o Teorema do resto; a Multiplicidade da raiz de um poliómio e respetivas propriedades. Questões orietadoras / Coceitos Geeralidades acerca de uções - Produtos cartesiaos de cojutos; - Gráicos de uções; - Restrições de uma ução; - Imagem de um cojuto por uma ução; - Fuções ijetivas, sobrejetivas e bijetivas; - Composição de uções; - Fução iversa de uma ução bijetiva. Descritores Metas de Apredizagem 1.1. Idetiicar, dados os cojutos A e B, o «produto cartesiao de A por B» como o cojuto a, b : a A b B ab, tais dos pares ordeados que a e b pertecem, respetivamete, a A e B e represetá-lo por «A B». 1.. Recohecer que um cojuto GABé o gráico de uma ução de A em B quado e apeas quado para todo a A existir um e somete um elemeto b B tal que a, b G Idetiicar, dados os cojutos A e B, uma ução : A B e um cojuto C, a «restrição de a C» como a ução : c C A B, tal que x C A, c ( x) ( x) Idetiicar, dados os cojutos A e B, uma ução : AB e C A, o «cojuto imagem de C por» como o cojuto ( C) y B: x C: y ( x) das images por dos elemetos de C e represetá-lo também por «( x): x C». Descritores Peril do Aluo Cohecedor/ sabedor/ culto/ iormado (A, B, G, I, J) Criativo (A, C, D) Crítico/Aalítico (A, B, C, D, G) Idagador/ Ivestigador (C, D, F, H, I) Respeitador da diereça/ do outro (A, B, E, F, H) Sistematizador/ orgaizador 15

16 .1. Desigar por «ução real de variável real» uma ução cujo domíio e cojuto de chegada estão cotidos em... Saber, dada uma expressão ( x), que se covecioa, quado ada or idicado em cotrário, que essa expressão represeta a ução com cojuto de chegada igual a e domíio costituído por todos os úmeros reais a, para os quais ica represetado um úmero real pela expressão que se obtém substituido todas as ocorrêcias de x em () x por um símbolo represetado o úmero a, desigar, esse caso, a expressão () x por «expressão aalítica de» e este processo de caracterizar por «deiição (aalítica) de pela expressão () x» Idetiicar, dados os cojutos A e B, uma ução como «ijetiva» se para todos os x1 e x pertecetes a A, x1 x ( x1 ) ( x ) (ou, de modo equivalete, ( x1 ) ( x ) x1 x e desigar também uma tal ução por «ijeção de A em B» Idetiicar, dados os cojutos A e B, uma ução : AB como «sobrejetiva» se para todo o y pertecete a B, existir um elemeto x pertecete a A tal que y () x e recohecer que uma ução é sobrejetiva se e somete se coicidirem os respetivos cotradomíio e cojuto de chegada e desigar também uma tal ução por «sobrejeção de A em B» ou por «ução de A sobre B» Idetiicar, dadas as uções : D A e g : D B, a «ução composta de g g com» como a ução tal que D xd : ( x) D e x D, g g g g () x g x e desigá-la também por «g composta com», «g após» ou «seguida de g» Desigar, dado um cojuto A, por «ução idetidade em A» a ução Id A : A A tal que x A, IdA( x) x e justiicar que se trata de uma ução bijetiva Justiicar, dados cojutos A e B e uma ução bijetiva, que para todo o y pertecete a B : AB existe um e apeas um elemeto x pertecete a A tal que () x y e, represetado-o por x y, desigar por «ução iversa de» a ução tal que 1 que y B, ( y) xy Recohecer, dada uma ução bijetiva, que também 1 1 é bijetiva e que 1 1 por «bijeção recíproca de». 1 : B A tal : AB e desigar (A, B, C, I, J) Questioador (A, F, G, I, J) Comuicador (A, B, D, E, H) Autoavaliador Participativo/ colaborador (B, C, D, E, F) Resposável/ autóomo (C, D, E, F, G, I, J) Cuidador de si e do outro (B, E, F, G) 16

17 Geeralidades acerca de uções reais de variável real - Fuções reais de variável real; uções deiidas por expressões aalíticas; - Propriedades geométricas dos gráicos de uções; - Paridade; simetrias dos gráicos das uções pares e das uções ímpares; - Relação geométrica etre o gráico de uma ução e o da respetiva iversa; - Relação etre o gráico de uma ução e os gráicos das uções ( ), ( ), ( ) e ( ), úmeros reais, e ão ulos Recohecer, dada uma ução, que é bijetiva se e somete se existir uma ução, g: BA, tal que ( x, y) AB, y ( x) x g( y) Justiicar que uma ução é bijetiva se e somete se existir uma ução g B A g Id e g Id g 1 :, tal que A Be que, esse caso,..8. +Recohecer, dada uma ução real de variável real bijetiva e um plao muido de um reerecial moométrico, que os gráicos cartesiaos das uções 1 e são a imagem um do outro pela relexão axial de eixo de equação y x..3. Idetiicar uma ução real de variável real como ução «par» se, para todo o xd, xd e ( x) ( x)..4. Idetiicar uma ução real de variável real como ução «ímpar» se, para todo o xd, xd e ( x) ( x)..5. Justiicar, dada uma ução real de variável real ímpar, que se 0 D, etão (0) Recohecer, dado um plao muido de um reerecial ortogoal, que uma dada ução é par se e somete se o eixo das ordeadas or eixo de simetria do respetivo gráico cartesiao..7. +Recohecer, dado um plao muido de um reerecial cartesiao, que uma dada ução é ímpar se e somete se o respetivo gráico cartesiao or «simétrico relativamete à origem O do reerecial», isto é, se e somete se a imagem do gráico pela relexão cetral de cetro O coicidir com o próprio gráico..9. Recohecer, dados uma ução real de variável real, um úmero real c e um plao muido de um reerecial cartesiao, que o gráico cartesiao de uma ução g deiida em Dg D por g( x) ( x) c é a imagem do gráico cartesiao de vetor u c 0,. pela traslação de.10. +Recohecer, dados uma ução real de variável real, um úmero real c e um plao muido de um reerecial cartesiao, que o gráico cartesiao de uma ução g deiida por g( x) ( xc) o cojuto : AB : AB Dg x c: xd é a imagem do gráico cartesiao pela traslação de vetor u0, c..11. Desigar, dado um plao muido de um reerecial ortogoal e um úmero 0a 1 (respetivamete a 1), por «cotração vertical (respetivamete dilatação vertical) de coeiciete a» a trasormação do plao 17

18 que ao poto P( x, y) associa o poto ( P) de coordeadas x, ay..1. Recohecer, dados uma ução real de variável real, um úmero 0a1 (respetivamete a 1) e um plao muido de um reerecial ortogoal, que o gráico cartesiao de uma ução g deiida em por g( x) a ( x) é a imagem do gráico cartesiao de pela cotração vertical (respetivamete pela dilatação vertical) de coeiciete a..13. Desigar, dado um plao muido de um reerecial ortogoal e um úmero 0a1 (respetivamete a 1), por «cotração horizotal (respetivamete dilatação horizotal) de coeiciete a» a trasormação do plao que ao poto P( x, y ) associa o poto ( P) de coordeadas ax, y..14. Recohecer, dados uma ução real de variável real, um úmero 0a1 (respetivamete a 1) e um plao muido de um reerecial ortogoal, que o gráico cartesiao de uma ução g deiida em x Dg : xd a por g( x) ( ax) é a imagem do gráico cartesiao de pela dilatação horizotal (respetivamete pela cotração horizotal) de coeiciete 1 a..15. Recohecer, dados uma ução real de variável real e um plao muido de um reerecial ortogoal, que o gráico cartesiao de uma ução g deiida em Dg D por g( x) ( x) é a imagem do gráico cartesiao pela relexão de eixo Ox..16. Recohecer, dados uma ução real de variável real e um plao muido de um reerecial ortogoal, que o gráico cartesiao de uma ução g deiida em D x: xd g por g( x) ( x) é a imagem do gráico cartesiao pela relexão de eixo Oy Resolver problemas evolvedo as propriedades geométricas dos gráicos de uções reais de variável real. Mootoia, extremos e cocavidade - Itervalos de mootoia de uma ução real de variável real; caso das uções ais e caso das uções quadráticas; - Vizihaça de um poto da reta umérica; 3.1. Idetiicar, dada uma ução real de variável real e A D, como «(estritamete) crescete em A» (ou simplesmete «(estritamete) crescete» se A D ) se para quaisquer dois elemetos x1 e x de A, se x1 x etão ( x1) ( x). 3.. Idetiicar, dada uma ução real de variável real e A D, como «(estritamete) decrescete em A» (ou simplesmete «(estritamete) decrescete» se A D ) se para quaisquer dois elemetos x1 e x de A, se x1 x, etão ( x1) ( x). 18

19 extremos relativos e absolutos; - Setido da cocavidade do gráico de uma ução real de variável real. Estudo elemetar das uções quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica e módulo e de uções deiidas por ramos - Extremos, setido das cocavidades, raízes e represetação gráica de uções quadráticas; - Fuções deiidas por ramos; - Estudo da ução ; - As uções e equato uções iversas; - Domíio e represetação gráica das uções deiidas 3.3. Idetiicar, dada uma ução real de variável real e A D, como «crescete, em setido lato, em A» (ou simplesmete «crescete, em setido lato» se A D ) se para quaisquer dois elemetos x 1 e x de A, se x1 x, etão ( x1) ( x) Idetiicar, dada uma ução real de variável real e A D, como «decrescete, em setido lato, em A» (ou simplesmete «decrescete, em setido lato» se A D ) se para quaisquer dois elemetos x 1 e x de A, se x1 x, etão ( x1) ( x) Idetiicar, dada uma ução real de variável real e A D, como «(estritamete) moótoa em A» (ou simplesmete «(estritamete) moótoa» se A D ) se or (estritamete) crescete ou (estritamete) decrescete em A e como «moótoa, em setido lato, em A» (ou simplesmete «moótoa, em setido lato» se A D ) se or crescete ou decrescete, em setido lato, em A Idetiicar, dada uma ução real de variável real, um «itervalo de (estrita) mootoia de» como um itervalo I D tal que I é (estritamete) moótoa Idetiicar, dada uma ução real de variável real e A D, como «costate em A» se para quaisquer elemetos e x de A, ( x1) ( x) Demostrar que uma ução aim deiida por () x ax b é estritamete crescete (respetivamete decrescete) em se e somete se a 0 (respetivamete a 0 ) Demostrar que, dada uma ução quadrática da orma () x ax, se a 0, etão é decrescete em,0 e crescete em 0, e que, se a 0, etão é crescete em,0 e decrescete em 0, Desigar, dada uma ução de domíio D e valores em, um úmero real M como «majorate de» (respetivamete «miorate de») quado, x D, ( x) M (respetivamete x D, ( x) M ), reerido a ução como x 1 «majorada» (respetivamete «miorada») quado admitir um majorate (respetivamete um miorate). 4.. Desigar por «limitada» uma ução simultaeamete majorada e miorada Desigar por «míimo absoluto» (respetivamete por «máximo absoluto») de uma ução real de variável real um valor a () do cotradomíio de 19 tal que

20 aaliticamete por ( ) e ( ) ; - Estudo de uções deiidas por ramos evolvedo uções poliomiais, módulos e radicais. Resolução de problemas - Equações e iequações evolvedo as uções poliomiais, raiz quadrada e raiz cúbica, e a composição da ução módulo com uções ais e com uções quadráticas; x D, ( a) ( x) (respetivamete x D, ( a) ( x) ) e desigar por «extremos absolutos de» os máximos absolutos e os míimos absolutos de Desigar, dados um úmero real x 0 e um úmero real positivo r, por «vizihaça r de x 0» o itervalo x0r, x0 r e represetá-la por «Vr ( x 0)» Reerir que uma ução real de variável real «atige um míimo relativo (ou local)» (respetivamete «atige um máximo relativo (ou local) em a D quado existe r 0, tal que x D V ( a), ( a) ( x) (respetivamete, x D V ( a), ( a) ( x) ) e desigar a () por «míimo relativo (ou local)» (respetivamete «máximo relativo (ou local)») de e por um «miimizate» (respetivamete por um «maximizate») de Idetiicar, dada uma ução real de variável real, o gráico de r como «tedo a cocavidade (estritamete) voltada para cima» (respetivamete como «tedo a cocavidade (estritamete) voltada para baixo») um dado itervalo I D se dados quaisquer três potos P, Q e R do gráico, de abcissas em I tais que xp xq xr, o declive da reta PQ é ierior (respetivamete superior) ao da reta QR Saber que uma ução real de variável real tem a cocavidade (estritamete) voltada para cima (respetivamete para baixo) um dado itervalo I D se e somete se dados quaisquer dois potos P e Q do gráico, de abcissas em I, a parte do gráico de de abcissas estritamete situadas etre as abcissas de P e Q icar abaixo (respetivamete acima ) do segmeto de reta [PQ ] Recohecer, dado um úmero real ão ulo a, que o gráico da ução deiida pela expressão ( x) ax temem, a cocavidade voltada para cima se a 0 e voltada para baixo se a Resolver problemas evolvedo as propriedades geométricas dos gráicos de uções reais de variável real Esboçar o gráico de uções quadráticas, começado por represetá-las por expressões da orma a( x b) c e idetiicado os itervalos de mootoia, o extremo absoluto, as evetuais raízes e o setido da cocavidade dos respetivos gráicos Resolver equações e iequações evolvedo as uções poliomiais e a composição da ução módulo com uções poliomiais. r 0