TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE

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1 ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO 2 2. JUROS SIMPLES Coceitos e Cálculos Descoto Simples Descoto Simples Bacário Descoto Simples Racioal 8 3. JUROS COMPOSTOS Coceitos e Cálculos Cálculo do motate para período fracioário Coveção Expoecial Coveção Liear Descoto Composto Descoto Composto Racioal, ou Por Detro Descoto Composto Comercial ou Bacário ou Por Fora TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Equivalêcia de Capitais o Regime de Juros Simples Equivalêcia de Capitais o Regime de Juros Compostos 21 6 ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORM ES Auidade com Parcelas Postecipadas Valor Futuro ou Motate Auidade com Parcelas Atecipadas Valor Futuro ou Motate Reda Perpétua AMORTIZAÇÕES Sistema Fracês de Amortização SFA - (Sistema Price) Caso com Período de Carêcia: Sistema de Amortização Costate SAC (Sistema Hamburguês) FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Fluxo de Caixa Taxa Míima de Atrativi dade Método do Valor Presete Líquido (VPL) Método do Valor Presete Líquido para Períodos Diferetes de Ivestimetos Ivestimetos Mutuamete Exclusivos Método da Taxa Itera de Retoro (TIR) Comparação etre os Métodos da TIR e do VPL TIR Modificada (TIRM) 49 APÊNDICE A RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 54 Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 1

2 1. Itrodução A Matemática Fiaceira tem como poto fudametal o cálculo de valores moetários em diversas datas trasportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remueração pelo capital emprestado ou aplicado. A partir daí é possível desevolver várias aplicações tais como cálculo de motate, de descoto de títulos, de fiaciametos, aplicações, redas, aálise de ivestimetos, depreciação e etc. Basicamete existem dois tipos de capitalização: [Capitalização, em Matemática Fiaceira, é a soma dos juros devidos ao pricipal, ampliado-se o mesmo e formado o motate] - - Capitalização Simples e Capitalização Composta. A Capitalização Simples (ou Juros Simples), cosiste o cálculo de juros de maeira que seu crescimeto, ao logo do tempo, ocorre liearmete. Os juros são calculados sobre o Capital Iicial. Na Capitalização Composta (ou Juros Compostos), os juros são calculados sobre o motate do período aterior, que já possui juros capitalizados. O crescimeto dos juros, ao logo do tempo, ocorre expoecialmete. Na capitalização composta, portato, paga-se mais juros que a capitalização simples (cosiderado mesma taxa de juros e mesmo período), exceto o caso do primeiro período de capitalização ode os juros são iguais. Outro coceito importate é o Período de Capitalização, que é o período o qual os juros são capitalizados ou icorporados ao pricipal. Exemplo: se o período de capitalização é mesal sigifica que ao fial de cada mês, os juros calculados este período serão icorporados ao capital. A taxa de juros é o ídice que permite calcular os juros. Ela é geralmete expressa em percetual e deve, obrigatoriamete, refereciar o período de capitalização. Exemplos 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ao. Aqui será estudado os seguites tópicos: cálculo de capital, juros, períodos, motate e taxa de juros para os regimes de capitalizações simples e composta. Descotos simples e compostos (bacários e racioais). Taxas de juros omiais, proporcioais, efetivos e equivaletes. Equivalêcia de capitais. Auidade ou série de pagametos uiformes. Amortizações, usado o método Price e o método Hamburguês, e aida desevolvedo um modelo de amortização o regime de capitalização simples. Aálise de Ivestimetos, através dos dois métodos mais utilizados: pelo Valor Presete Líquido e pela Taxa Itera de Retoro. E fializado com depreciações, estudado os quatro modelos mais cohecidos. Em cada tópico estudado serão resolvidos algus exercícios e propostos outros com seus respectivos resultados. Nomeclatura: os símbolos usados para os parâmetros de cálculo são os cohecidos uiversalmete e utilizados as calculadoras fiaceiras e plailhas eletrôicas. Os pricipais símbolos são: Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 2

3 Símbolo Símbolo Defiição Alterativo C [Preset Value] Valor Presete, Capital Iicial M [Future Value] Valor Futuro, Motate J INT {Iterest] Juros i t Taxa de Juros Tempo, Período, Número de Prestações PMT [Paymet] Pagameto, Prestação VPL N [Net Preset Value] Valor Presete Líquido TIR IRR [Iteral Rate of Retur] Taxa Itera de Retoro 2. Juros Simples 2.1 Coceitos e Cálculos No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor pricipal (ou capital iicial). Os juros acumulados crescem, ao logo do tempo, de maeira liear coforme uma progressão aritmética. Observe o seguite diagrama, ode o capital iicial aplicado é 1.000, a taxa de juros simples é i1% por período (O período poderá estar em qualquer uidade de tempo: dia, semaa, mês, semestre, ao, etc.) INT 1 10 INT 2 10 INT 3 10 INT Períodos Em qualquer período (1 ou 2 ou 3 ou 4) o juro é sempre calculado sobre o capital iicial (valor presete), 1% de 1.000, INT j 10. Cosiderado : capital iicial ou valor presete motate ou valor futuro i taxa de juros úmero de períodos que os juros serão capitalizados INT juros calculados o período Temos as seguite fórmulas para capitalização simples: j + INTj j 1 Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 3

4 j j1 INT j i No exemplo acima temos, para cada período: Período Juros Juros Capital Acumulados Note que o capital cresce segudo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro. Exemplo: Quais os juros e motate correspodetes á uma aplicação de um capital de R$ durate 55 dias à uma taxa de 15% ao ao? Pela fórmula: 55 INT , , , ,50 Observações: - foi cosiderado ao comercial (de 360 dias) e ote que o uso da fórmula, e i devem estar a mesma periodicidade (se em mês etão i em % ao mês, se em ao etão i % ao ao, e assim por diate). No caso de ao exato (de 365 dias): 55 INT , , , ,41 *Observação: Caso esteja omisso, adota-se o ao comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias).. Resumido, temos as seguites fórmulas para o regime de capitalização simples: 1 1 ( + i ) ( + i ) Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 4

5 i 1 1 i Observação: Para o uso correto destas fórmulas a taxa de juros deve ter periodicidade coforme a uidade de. Por exemplo: se estiver em meses, a taxa deverá ser ao mês, ou se a taxa for ao ao etão deve estar em aos. Exercícios: 1. Um capital de $ foi aplicado durate 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Motate após este período. 2. Quato tempo deve ficar aplicado um capital de $ para formar um motate de $ se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ao? 3. Um certo capital foi aplicado à uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durate 14 meses, e formou um motate de $6.697,60. Calcular este capital. 4. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de $ , durate 28 bimestres, gera um motate de $ Um capital de $ foi aplicado durate 10 meses à uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o motate foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de 1,24% ao mês. Calcular o motate após este período. 6. A que taxa de juros simples um capital deve ser aplicado para que, após dois aos, ele triplique de valor? 7. Um certo capital foi aplicado durate 6 trimestres à uma taxa de juros simples de 5% ao trimestre. Após este período o motate foi aplicado por mais 5 quadrimestres à uma taxa de juros simples de 7,5% ao quadrimestre, resultado um motate de $ Perguta-se qual foi o capital iicialmete aplicado? 8. Quato tempo será ecessário para que um capital quituplique de valor se aplicado à uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês? 9. O que rede mais: Alterativa I: aplicar um capital durate dois aos, à uma taxa de juros de simples de 3,2% ao mês; Alterativa II: aplicar, durate dois aos, 30% deste capital à uma taxa de 5% ao mês e o restate à uma taxa de 2,8% ao mês 10. Qual a taxa de juros diária que aplicada sobre um capital de $5.000 durate um ao forma um motate de $5.900? Repetir o cálculo cosiderado taxa de juros mesal. Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 5

6 2.2 Descoto Simples Por muitas vezes as empresas ecessitam de caixa para fazer o giro. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as empresas fazem uma operação cohecida como descoto de título de crédito. O título de crédito (como uma duplicata), é o compromisso de alguém com a empresa para o pagameto em uma determiada data. A empresa ecessitado da atecipação deste diheiro recorre à uma istituição fiaceira que aplica um descoto o valor do título. Este descoto é o juros cobrados pela istituição fiaceira pela atecipação do diheiro. Chama-se Valor de Face, ou Valor Nomial do título, o valor omialmete expresso este título. O Valor de Resgate é o valor atecipado pelo Baco após ser aplicado o descoto. A Taxa de Descoto é o ídice usado para calcular o descoto e o Período de Atecipação é em quato (tempo) o título foi atecipado. Chama-se Descoto Simples por ser calculado detro do regime de capitalização simples. O Descoto pode ser de dois tipos : (I) Descoto Simples Bacário, ou Comercial ou Por Fora e (II) Descoto Simples Racioal, ou Por Detro. A omeclatura utilizada é: Valor de Resgate (Note que é Valor Presete pois ocorre ates de ) Valor de Face ou Valor Nomial i Taxa de Descoto (Nada mais é que uma taxa de juros e deve ser expressa com um determiada periodicidade). Período de atecipaçãp D b Descoto Bacário D r Descoto Racioal Descoto Simples Bacário Também chamado de Descoto Por Fora, pois a taxa de descoto é aplicada sobre o Valor de Face do título. Portato temos as seguites fórmulas: Db Db i Destas duas fórmulas podemos tirar que: i i Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 6

7 1 ( i ) ou 1 ( i ) i 1 1 i Exercícios: 11. Qual o valor do descoto de um título de $ descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto simples bacário de 2,8% ao mês? 12. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias ates do seu vecimeto por $1.280 sabedo-se que a taxa de descoto simples bacário utilizada foi de 3,2% ao mês? 13. Um título de $ foi resgatado 45 dias ates do seu vecimeto por $ Calcular a taxa de descoto simples bacário utilizada. 14. Um título de $ foi resgatado por $ sedo aplicada uma taxa de descoto simples bacário de 7,9% ao trimestre. Calcule quato tempo o pagameto deste título foi atecipado. 15. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias ates do seu vecimeto, por $ e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Perguta-se se esta operação foi vatajosa. 16. Uma empresa possui 6 títulos de diferetes valores e vecimetos coforme tabela abaixo. Ela decide por descotá-los um baco que aplica taxa de descoto simples bacário de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Valor Nomial Vecimeto Título 1 $ dias Título 2 $ dias Título 3 $ dias Título 4 $ dias Título 5 $ dias Título 6 $ dias Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 7

8 2.2.2 Descoto Simples Racioal Também chamado de Descoto Por Detro, pois a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de resgate. As fórmulas para este descoto são as seguites: Dr i Dr i i 1 1 ( + i ) 1 ( + i ) 1 i Exercícios: 17. Qual o valor do descoto de um título de $ descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto simples racioal de 2,8% ao mês? 18. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias ates do seu vecimeto por $1.280 sabedo-se que a taxa de descoto simples racioal utilizada foi de 3,2% ao mês? 19. Um título de $ foi resgatado 45 dias ates do seu vecimeto por $ Calcular a taxa de descoto simples racioal utilizada. 20. Um título de $ foi resgatado por $ sedo aplicada uma taxa de descoto simples racioal de 7,9% ao trimestre. Calcule quato tempo o pagameto deste título foi atecipado. 21. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias ates do seu vecimeto, por $ e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 2,3% ao mês. Perguta-se se esta operação foi vatajosa. 22. Uma empresa possui 6 títulos de diferetes valores e vecimetos coforme tabela abaixo. Ela decide por descotá-los um baco que aplica taxa de descoto simples racioal de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 8

9 Título Valor Nomial Vecimeto Título 1 $ dias Título 2 $ dias Título 3 $ dias Título 4 $ dias Título 5 $ dias Título 6 $ dias 3. Juros Compostos 3.1 Coceitos e Cálculos No regime de juros compostos os juros calculados um período serão acrescidos ao capital pricipal para o cálculo dos juros o próximo período. Por esta razão dizse, o caso de regime de capitalização composta, juros sobre juros. Observe o esquema abaixo, ode é aplicado um capital de $ durate períodos à uma taxa de 1% por período , ,10+10, ,30+10,30 INT 1 10 INT 2 10,10 INT 3 10,20 INT 4 10, Períodos No primeiro período a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital gerado juros INT 1 10 e formado o motate, em 1, No segudo período a taxa de juros foi aplicada sobre o motate do período aterior (1), , gerado juros de INT 2 10,10 e formado o motate ,10. E assim sucessivamete a cada período. Revedo : de Valor Presete ou Capital Iicial de Valor Futuro ou Motate INT de Juros i de taxa de juros de período ou tempo O Motate pode ser calculado pela seguite fórmula: + j INTj j 1 ou j Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 9

10 ... ( ( 1 + vezes Da mesma maeira, para calcularmos o Valor Presete: 1 ( + Os Juros são calculados pela fórmula: INT- No exemplo acima temos, para cada período: Período Juro Capital , , , , , , , , ,60 Note que o capital e os juros crescem segudo uma progressão geométrica. Para o cálculo da taxa temos: 1+ i 1 i 1 1 Para o cálculo do úmero de períodos: Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 10

11 ( + l ou log l 1 l l ou log log log ou l l log log 1 ( + Exemplos: 1. Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado durate 4 aos à uma taxa de 12% ao ao? (1+ 0,12) , ,18 2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 10 meses para produzir um motate de $5.800? ,03) , ,74 3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durate 3 aos? Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar 3 aos para 6 semestres. +INT , ,56 Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 11

12 i , , ,045 4,5% a. s. 4. Durate quato tempo devo aplicar um capital de $ , à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mesalmete, para obter um motate de $ ,51? ,51 l l , , 50 l l 0,015) 0, meses Exercícios: 23. Calcular o motate de um capital de $ aplicado durate 18 meses á uma taxa de juros compostos de 3% ao bimestre, capitalizado bimestralmete. 24. Um capital de $ foi aplicado durate 2 semestres à uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmete. Após este período, o capital resultate foi aplicado por mais 3 aos à uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmete. Calcular o valor do motate após este período. 25. Quato de capital é ecessário aplicar hoje, para que daqui a 16 bimestres forme um motate de $3.950,67 sabedo-se que a taxa de juros compostos usada foi de 3,1% ao bimestre, capitalizável bimestralmete? 26. Qual a taxa de juros compostos ecessária para que um capital de $ forme um motate de $ durate 7 meses? 27. Em quato tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determiado capital? 28. Numa determiada data foram aplicados dois capitais: um de $ à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês e outro de à uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês. Após quato tempo os motates das duas aplicações ficaram iguais? 29. Qual ivestimeto é mais retável: aplicar $ e resgatar $ após 7 meses ou, aplicar $ e resgatar $ após 12 meses? 30. Qual taxa de juros compostos quadruplica um capital após 2 aos? 31. Se a cadereta de poupaça rede 0,5% ao mês, quato deverei aplicar para que ela reda juros de $ após 6 semestres? 32. Uma loja está vededo um televisor por $1.500 a vista ou em duas parcelas mesais de $766,50 cada, sedo a primeira de etrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e sabedo que daqui a um mês esta aplicação me rederá $75,00 de juros, qual a maeira mais vatajosa para mim se eu quiser comprar este televisor: (1) a vista, sacado todo o diheiro aplicado ou (2) em duas parcelas, sacado o suficiete para dar a etrada e deixar o restate aplicado durate um mês para depois pagar a seguda prestação? Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 12

13 3.2 Cálculo do motate para período fracioário Quado o úmero de períodos de capitalização for um úmero fracioário, existem dois critérios para se calcular o motate Coveção Expoecial Neste caso usa-se juros compostos tato para a parte iteira como para a parte fracioária do período. Adota-se a seguite fórmula: 1 k + ( + m ode é a parte iteira do úmero de períodos e k/m é parte fracioária do úmero de períodos. Por exemplo, para um período de 7 meses e 15 dias e capitalização mesal, temos 7 e k/m15/300,5. Ou para um período de 1 ao e 20 dias e capitalização aual temos 1 e k/m20/3600, Exemplos: 1. Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado à uma taxa de 3% ao bimestre, capitalizável bimestralmete, durate 310 dias? Para passarmos o período para bimestre divide-se 310 por 60 dias 5, k/m ,03) , , Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 6 meses e 10 dias? Neste caso temos 6, k10 e m30 (1 mês tem 30 dias) ,02) , , Coveção Liear Neste segudo critério usa-se juros compostos para a parte iteira e juros simples para a parte fracioária do período. Adota-se a seguite fórmula: 1+ i k m Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 13

14 Utilizado os dados do exemplo 2 aterior: 2. Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 6 meses e 10 dias? Neste caso temos 6, k10 e m30 (1 mês tem 30 dias) Exercícios: ,02) 1+ 0, , , , 25 Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados: 33. Calcular o motate de um capital de $ aplicado durate 14 meses e 25 dias á uma taxa de juros compostos de 3,9% ao bimestre, capitalizado bimestralmete. 34. Um capital de $ foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 18,4% ao ao, capitalizável aualmete, durate 6 aos e 3 trimestres. Calcular o motate. 35. Um capital de $ foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 10,5% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmete, durate 2 aos e 2 trimestres. Calcular o motate. 3.3 Descoto Composto Os coceitos de descoto composto são os mesmos que os de descoto simples, visto ateriormete. A difereça é que o descoto composto está o regime de capitalização composta. Ele pode ser Descoto Composto Bacário (ou por Fora) ou Descoto Composto Racioal (ou por Detro), sedo este segudo o mais utilizado pelas istituições fiaceiras. Os termos utilizados esta operação são os mesmos do descoto simples. Relembrado: - Valor Nomial ou Valor de Face do título () é o valor do título a data do seu vecimeto; - Valor de Resgate do título () é o valor atecipado recebido pelo credor; - Descoto (D) é o valor cobrado pela istituição que realizou a operação; D b Descoto Bacário D r Descoto Racioal - Período de Atecipação () é em quato tempo o baco adiatou o pagameto; - Taxa de Descoto ( é a taxa de juros, com determiada periodicidade, cobrada pela istituição fiaceira. Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 14

15 3.3.1 Descoto Composto Racioal, ou Por Detro Neste caso a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de resgate do título. As fórmulas utilizadas são as mesmas vistas o item sobre Juros Compostos, exceto a primeira: Dr ( ( + i 1 1 l l Exemplos: 1. Qual o valor de resgate de um título de R$4.800, descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto racioal composto de 3,5% ao mês? Qual o valor do descoto? ,035) , ,85 D r ,85319,15 O valor de resgate é de R$4.480,85 e o descoto é de R$319,15 2. Qual a taxa de descoto racioal composto foi aplicada a uma duplicata de R$2.100 resgatada 90 dias ates do seu vecimeto por R$1.924,60? i , ,0295 2,95% a. m. Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 15

16 3.3.2 Descoto Composto Comercial ou Bacário ou Por Fora Neste caso a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de face do título. As fórmulas utilizadas são mostradas a seguir: Db 1 1 ( ( i 1 1 l l ( 1 Exemplos: 1. Quato tempo foi atecipado um título de R$ resgatado por R$12.507,53, sabedo que o baco aplica uma taxa de descoto composto comercial de 3,25% ao mês? a) pela fórmula: l l ,53 l ( l( 1 0,0325) 0, , ,5 Resposta: 5,5 meses ou 5 meses e 15 dias. 2. Qual o valor do descoto que o Baco aplicou sobre um título de R$3.050, descotado 45 dias ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto bacário composto de 4% ao mês? 1,5 ( ( 1 0,04) , , 84 Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 16

17 D b ,84181,16 O valor do descoto é de R$181,16 Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados (Descoto Racioal e Descoto Bacário): 36. Um título de $ foi resgatado 130 dias ates do seu vecimeto. Se o baco utiliza uma taxa de descoto composto de 4,1% ao mês, calcular o valor de resgate do título e o valor do descoto. 37. Um título foi resgatado por $5.126, 3 meses ates do seu vecimeto. Calcular o valor de face deste título sabedo-se que a taxa de descoto composto utilizada foi de 6,2% ao bimestre. Calcule também o valor do descoto. 38. Quato tempo foi atecipado um título de $40.000, resgatado por $38.451, se a taxa de descoto composto é de 9% ao trimestre? 39. Se um título de $ é resgatado 85 dias ates do seu vecimeto por $92.145, calcule qual a taxa de descoto composto utilizada. 40. Uma empresa descotou um título de $45.000, 45 dias ates do seu vecimeto, por $38.376,94. A empresa aplicou este valor o mercado fiaceiro e após 30 dias redeu juros de $1.074,55. Aalisar se esta operação foi vatajosa para a empresa levado-se em cota que o diheiro cotiuou aplicado após os 30 dias. 41. Uma empresa realizou o descoto de vários títulos em vários bacos que praticam taxas de descoto composto diferetes, coforme tabela abaixo. A empresa aplicou o total obtido o mercado fiaceiro à uma taxa de juros compostos de 1,4% ao mês. Elaborar uma tabela mostrado a evolução dos juros e do motate desta aplicação, a cada mês, até o sexto mês. Baco Valor do Título Vecimeto Taxa de Descoto Baco 1 $ dias 6,38% ao bimestre Baco 2 $ dias 8,87% ao trimestre Baco 3 $ dias 3,74% ao mês Baco 4 $ dias 3,01% ao mês Baco 5 $ dias 0,15% ao dia 4. Taxa de Juros omial, proporcioal, efetiva e equivalete Taxa de Juros omial é aquela cujo valor é uma referêcia. Geralmete é expressa para periodicidade aual e trasformada para periodicidade meor de forma proporcioal. Taxa de Juros proporcioal é aquela calculada proporcioalmete ao juro omial (como o juros simples). Por exemplo, qual a taxa de juros mesal proporcioal à 12% ao ao? Divide-se 12% por 12 e acha-se 1% ao mês. Taxa de juros efetiva é a taxa que efetivamete é aplicada o cálculo. Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 17

18 Taxas de juros equivaletes, quado duas ou mais taxas com periodicidades diferetes são aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo tempo e produzem o mesmo motate, diz-se que elas são equivaletes. No regime de capitalização composta, o cálculo de taxas equivaletes utiliza-se a seguite fórmula: ( 1 + ) ieq i ode 2/1 é a relação etre a periodicidade das taxas equivaletes. Exemplos: cosiderado uma taxa omial de 24% ao ao o regime de capitalização composta teremos: São taxas proporcioais : 2% ao mês, 4% ao bimestre, 12% ao semestre, etc Se a capitalização é mesal, etão 2% ao mês é a taxa efetiva. As taxas a seguir são equivaletes à 2% ao mês: i i i i eq eq eq eq 0,02 ) 2 1 0,02 ) 3 1 0,02 ) ,0404 4,04% a. b. 1 0,0612 6,12% a. t. 1 0, ,62% a. s. 0,02 ) , ,82% a. a. Ou seja, se aplicar um capital a 2% a.m. durate meses, produzirá o mesmo motate se eu tivesse aplicado este capital a 4,04% a.b. durate /2 bimestres ou a 6,12% a.t. durate /3 trimestres ou a 12,62% a.s. durate /6 semestres ou a 26,82% a.a. durate /12 aos. Observação: Apesar de ão ser muito aplicado, pode-se dizer que uma taxa equivalete o regime de juros simples, é a taxa proporcioal. Por exemplo, uma taxa omial de 12% ao ao, o regime de juros simples, 1% ao mês é uma taxa proporcioal e é também a taxa efetiva (é efetivamete usada o cálculo dos juros) e a taxa equivalete (produz o mesmo motate que 12% ao ao, se aplicada ao mesmo capital, durate o mesmo período). Exercícios: 42. Calcular as taxas equivaletes mesais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais e auais cosiderado: (a) Taxa omial de 18,24% ao ao e capitalização composta mesal; Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 18

19 (b) Taxa omial de 26% ao ao e capitalização composta semestral; (c) Taxa omial de 8,9% ao ao e capitalização composta trimestral 43. Calcular as seguites taxas equivaletes (capitalização composta): (a) 14% ao ao em taxa mesal (b) 4% ao trimestre em taxa aual (c) 8% ao semestre em taxa aual (d) 12,6% ao quadrimestre em taxa bimestral (e) 1,2% ao mês em taxa diária (f) 3,8% ao bimestre em taxa semestral 44. Qual das seguites taxas de juros compostos apreseta maior retabilidade? (a) 1,90% ao mês (b) 3,75% ao bimestre (c) 5,75% ao trimestre (d) 12,00% ao semestre (e) 24,00% ao ao 5. Equivalêcia de Capitais Equato as taxas equivaletes são aquelas que com periodicidades diferetes, produzem o mesmo motate, se aplicadas sobre o mesmo capital durate o mesmo período, diz-se que dois ou mais capitais são equivaletes se, trabalhado com uma determiada taxa de juros, eles forem trasportados para uma determiada data focal, seus valores serão iguais. Obs.: Data focal é a data a qual será trasportado os valores com os quais estamos trabalhado. Em outras palavras, se estivermos trabalhado com uma taxa i e com dois capitais, um a data 3 e outro a data 10, estes capitais serão equivaletes se, trasportados para uma data focal qualquer através da taxa i, eles apresetarem o mesmo valor. As maeiras como trasportamos os capitais são diferetes os casos de juros simples e juros compostos. No caso de juros simples sempre teremos que, primeiro, levar o capital para a data focal ZERO pois é sobre o valor esta data que são calculados os juros. No caso de juros compostos ão há a ecessidade de levar o capital para a data focal zero pois os juros são calculados sobre o capital do período imediatamete aterior. 5.1 Equivalêcia de Capitais o Regime de Juros Simples Exemplo 1: a seguir temos três capitais equivaletes cosiderado uma taxa de juros simples de 2% ao mês: Meses Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 19

20 Se levarmos todos estes valores para a data focal zero, usado a taxa de 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor: Como vamos trazer cada um dos valores para uma data aterior, cosideramos que eles são as suas datas e a data focal 0. Usado a fórmula de motate para juros simples: ,02 2) 0,02 5) , , ,18 0,02 9) Para outras datas focais calcula-se, aplicado a taxa de juros de 2% a.m. sobre durate o período que se deseja: - Data Focal 1: - Data Focal 3: - Data Focal 7: 1 ( + i ) ( 1 + i ) ,02 1) ( 1 + i ) ,02 3) ( 1 + i ) ,02 7) Etão podemos dizer que o regime de juros simples, a uma taxa de 2% ao mês, os seguites capitais são equivaletes: a data 0, a data 1, a data 2, a data 3, a data 5, a data 7 e a data 9. Exemplo 2: Supoha dois capitais equivaletes: um de $ uma data focal k meses e outro de $ a data focal k+4 meses. A taxa de juros simples que estamos trabalhado é de 1% ao mês. Supoha aida que ão se sabe qual foi o capital que gerou estes motates e ão se sabe quatos períodos existem etre a data 0 e as datas k e k+4 meses: Uma solução possível para este exemplo é descobrir quais os juros mesais (lembre-se que estamos o regime de juros simples e este regime os juros são costates por período). No caso acima, etre as datas k e k+4, capitalizou-se 4 meses de juros, e o total de juros este período é de $4.000 ($ $14.000). Portato $4.000 dividido por 4 meses, represeta $1.000 de juros mesais. E $1.000 de juros mesais à uma taxa de 1% ao mês é calculado sobre um de $ Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 20

21 Etão o capital de $14.000, a data k, possui $4.000 de juros e portato a data k é 4 meses. Por sua vez o capital de $18.000, a data k+4 que é igual à 4+48 meses, possui $8.000 de juros. Aida, os capitais $ a data 0, $ a data 4 e $ a data 8 são equivaletes o regime de juros simples, cosiderado uma taxa de juros de 1% ao mês. 5.2 Equivalêcia de Capitais o Regime de Juros Compostos Exemplo 1: a seguir temos três capitais equivaletes cosiderado uma taxa de juros compostos de 2% ao mês: 4.080, , , Meses Data Focal 0: Se levarmos todos estes valores para a data focal zero, usado a taxa de 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor: Como vamos trazer cada um dos valores para uma data aterior, cosideramos que eles são as suas datas e a data focal 0. Usado a fórmula de motate para juros compostos: , ,64 0,02) 1 0,02) , , , ,02) Coclui-se que os capitais $4.080 a data 1, $4.504,64 a data 6 e $4.686,64 a data 8 são equivaletes o regime de juros compostos à uma taxa de 2% ao mês. Se estes capitais são equivaletes, etão para qualquer data focal que eles forem levados, à uma taxa de 2% ao mês, será produzido o mesmo valor. Vejamos os exemplos abaixo: - Data Focal 6: ( 1+ Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 21

22 , ,64 5 0,02) 0,02) , , , , ,64 1, ,02) 4.504, 64 - Data Focal 4: , ,64 0,02) 3 0,02) , , ,64 1, ,64 1, ,72 4 0,02) 4.329, 72 Todos os capitais acima são equivaletes o regime de juros compostos, à uma taxa de 2% ao mês. Exercícios: 45. Cosiderado o regime de capitalização composta, uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcular o capital equivalete de $15.000: (a) a data focal 4 meses ates (b) a data focal 15 meses depois. 46. Uma empresa desejar trocar um título de $58.000, vecível daqui a 6 meses por outros dois títulos de valores omiais iguais, sedo o primeiro vecedo hoje e outro daqui a 3 meses. Calcular os valores destes ovos títulos cosiderado uma taxa de juros compostos de 2,05% ao mês. 47. Esta mesma empresa deseja trocar dois títulos (o primeiro de $ , vecível em 1 ao e o segudo de $ , vecível em 2 aos) por outros dois de valores omiais iguais com vecimetos um daqui a 6 meses e o outro daqui a 3 aos. Se a taxa de juros compostos é de 10,5% ao semestre, calcular os valores dos ovos títulos. 48. Um automóvel é vedido à prazo em 5 prestações de $6.200, sedo a primeira de etrada. Se a cocessioária usa uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês, calcular o valor a vista deste automóvel. 49. Quato será a prestação de um fiaciameto o valor de $ a ser pago em 3 parcelas iguais mesais, sedo a primeira em 30 dias, sabedo-se que a taxa de juros omial usada é de 54% ao ao? Cosiderar regime de capitalização composta. 50. Se eu estiver trabalhado com uma taxa de juros compostos de 7% ao trimestre o que é mais vatajoso fiaceiramete: Possuir hoje $ ou possuir $ daqui a 3 aos? Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 22

23 6 Auidade ou Séries de Pagametos Uiformes Quado se cotraí uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após um determiado período, ou pode ser parcelada em prestações iguais, sedo amortizada a cada período. Da mesma maeira, quado se iveste um diheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sedo capitalizado a cada período. Os casos de pagameto de dívida e recebimeto de ivestimeto de uma só vez, após um determiado período, já foram vistos ateriormete os ites sobre capitalização simples e composta. Neste item veremos os casos de parcelametos iguais das dívidas e ivestimetos, utilizado amortização/capitalização compostas. Será usado o método Price ode as prestações possuem o mesmo valor. Supoha que você cotraiu uma dívida o valor, à uma taxa de juros compostos de i por período e deverá pagar esta dívida em parcelas periódicas de valor PMT cada. Aida existem duas modalidades de pagameto: 1. As parcelas são pagas ao fial de cada período. Neste caso deomia-se pagameto postecipado. 2. As parcelas são pagas o iício de cada período. Neste caso deomia-se pagameto atecipado. 6.1 Auidade com Parcelas Postecipadas Períodos PMT PMT PMT PMT PMT Cosiderado SD j como o saldo devedor ao fial do período j, temos: SD1 SD2 SD SD2 SD3 SD SD3 PMT 1 PMT [ PMT] 2 PMT PMT 2 2 PMT PMT 3 2 PMT PMT PMT PMT [ PMT] e assim sucessivamete. Nota-se que a expressão geérica do saldo devedor é: PMT Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 23

24 SDj j j 1 PMT j 1 Quado j, o saldo devedor deve ser igual a zero, pois após o último pagameto PMT ao fial do período a dívida deverá ser liquidada. Etão: 0 PMT j PMT j 1 j j 1 j 1 j 1 Note que a expressão é a soma de uma PG (progressão geométrica) sedo o primeiro termo a 1 1 (para j1), com termos e razão q(1+. Aplicado a fórmula da soma de uma PG, temos que: j j 1 PMT PG ( q 1) a1 q 1 j 1 1 i 1 PMT 1 j j 1 i j 1 dividido umerador e deomiador por i temos: PMT i 1 1 ( 1 + Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 24

25 PMT i 1 Da mesma forma temos: 1 PMT i Exemplos: 1. Um fiaciameto de R$ a ser pago em 20 prestações mesais iguais, sedo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguite valor da prestação: PMT i ,02 1 0,02) 200 0, ,57 2. Quato deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retoro, 12 parcelas mesais de R$1.800, sedo a primeira um mês após a aplicação, e sabedo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês? PMT 1 ( 1 + i ) 1 ( 1 + 0,012 ) i , , , , Valor Futuro ou Motate Podemos, da mesma maeira, desevolver uma fórmula para o cálculo do motate ou o valor futuro de quado se deposita várias parcelas iguais e uiformes ao logo do tempo, coforme mostrado o diagrama abaixo: Períodos PMT PMT PMT PMT PMT A última parcela coicide com o valor do motate. Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 25

26 Neste caso temos as seguites fórmulas, que ão serão demostradas (para chegar estas fórmulas utiliza-se a mesma liha de raciocíio usada ateriormete): PMT ( i PMT i 1 Exemplos: 1. Quato deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$ daqui a 12 meses aplicado o diheiro à uma taxa de 1,5% ao mês, cosiderado que o resgate ocorrerá o mometo da última parcela? PMT i , ,015) , ,00 2. Quato terá, ao fial de 5 aos, uma pessoa que deposita o fial de cada ao R$ aplicados à uma taxa de 21% ao ao? PMT 1 0,21) i , , , Auidade com Parcelas Atecipadas Períodos PMT PMT PMT PMT PMT PMT Neste caso teremos parcelas de valor PMT cada (a primeira em 0 e a última em -1). Como a primeira parcela é paga a data 0 (dada como etrada), podemos cosiderar que o valor fiaciado/aplicado, a realidade é -PMT e que o úmero Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 26

27 de parcelas é de -1 e assim sedo poderemos utilizar as fórmulas de parcelas postecipadas. Mas é possível desevolver as fórmulas cosiderado as parcelas atecipadas seguido a mesma liha desevolvida ateriormete. Como resultado teremos: PMT i [ 1 ] 1 PMT [ ] i Exemplos: 1. Um fiaciameto de R$ a ser pago em 20 prestações mesais iguais, sedo a primeira como etrada, e com uma taxa de juros de 3% ao mês, terá como prestação: PMT ,03 [ 1 0,03) ] 0,03) 300 0, ,58 2. Qual o valor a vista de uma mercadoria vedida a prazo em 8 prestações mesais de R$160,00, sedo a primeira de etrada, sabedo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês? [ 1 0,022) ] 0,022) 0,022 26, ,60 0, Valor Futuro ou Motate Cosiderado agora, que as parcelas são atecipadas, ou seja, a última parcela ocorrerá um período ates do motate: Períodos PMT PMT PMT PMT PMT PMT Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 27

28 1 PMT 1 i ( + PMT i [ 1] Exemplo: Se eu depositar um fudo de ivestimetos, o iício de cada mês, R$1.500, durate 10 meses, quato terei o fial do décimo mês, se o fudo remuera à uma taxa de 0,8% ao mês? ,008) 0, ,41 0,008 0,008) , Reda Perpétua O coceito de reda perpétua é utilizado pelas istituições que oferecem previdêcia privada. A reda perpétua, como o próprio ome diz, ão tem prazo para acabar e portato ão há motate a ser calculado. O que ela garate, é uma reda periódica (baseada a taxa de juros e capital iicial) e o capital iicial (que ão será capitalizado em depreciado). Para o cálculo da reda periódica utilizamos a seguite fórmula: PMT i E para o cálculo do valor pricipal (capital iicial): PMT i Exemplos: A) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma reda mesal perpétua de R$2.000, sabedo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês? PMT i , Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 28

29 Ou seja, uma pessoa com capital de $ que aplicá-lo à um 1% ao mês, terá uma reda perpétua de $2.000 mesais pois ão há descapitalização do pricipal. B) Uma istituição de previdêcia privada utiliza-se das seguites taxas de juros: paga 0,95% ao mês sobre os depósitos (cotribuições) feitos pelos seus clietes e paga 0,45% ao mês sobre o capital acumulado para compor a reda vitalícia (aposetadoria) deles. De quato deverá ser a aposetadoria de uma pessoa que cotribui com R$66,36 mesais durate 35 aos? Primeiramete devemos calcular o quato ela irá acumular ao logo dos 35 aos: A pessoa terá, após os 35 aos de cotribuição, um capital de R$ ,68 Portato o valor da sua aposetadoria (reda perpétua) será: PMT i ,68 0, ,00 * Observe que o valor de R$66,36 é aproximadamete quato empregado e empregador cotribuem hoje (Agosto de 2003) para a previdêcia oficial (já expurgada a parte referete assistêcia médica) cosiderado que o empregado gaha um salário de R$720,00) e as taxas de juros (0,95% e 0,45% ao mês) são aproximadamete quato uma istituição de previdêcia privada paga a seus clietes. R$1.765,07 é o valor que esta istituição pagará de reda a alguém que cotribuiu estas codições. Exercícios: 51. Um aparelho é vedido por uma loja a vista por $ Se a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 2,75% ao mês para fiaciar este aparelho, calcular o valor da prestação caso a veda ocorra em 10 parcelas iguais mesais. Cosiderar dois casos: com e sem etrada. 52. Qual o valor a vista de uma mercadoria vedida a prazo em 6 prestações mesais de $233,00, sem etrada, e uma taxa de juros compostos de 3,03% ao mês? 53. Se uma mercadoria é vedida a vista por $840 ou parcelada em 5 prestações mesais iguais, com etrada, de $174,69, calcular a taxa de juros usada. 54. Se eu depositar $300 mesalmete durate 10 aos e se aplicação me reder 1,2% ao mês, quato terei ao fial deste período, o mometo que eu fizer meu último depósito? 55. Quato deverei depositar por semestre, para que após 6 aos eu teha acumulado $ , com uma taxa de juros de 7,42% ao semestre? 56. Uma pessoa está plaejado uma reda vitalícia para daqui a 20 aos de $3.500 mesais. Sabedo que a istituição fiaceira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quato ela deverá depositar mesalmete durate estes 20 aos? 57. Um determiado televisor é vedido pela Loja 1 em 24 prestações iguais mesais de $122,00 cada, sem etrada. A Loja 2 vede o Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 29

30 mesmo televisor em 12 prestações de $228,67 cada, sem etrada. Se as duas lojas praticam juros a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor a vista é meor? 58. Desejado fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa procura um baco que pratica taxa de juros compostos de 3,8% ao mês. Se esta pessoa ão pode pagar mais de $1.500 por mês, qual o úmero de prestações que deverá ter este fiaciameto? 59. Hoje uma certa pessoa possui $ aplicados um baco à uma taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Ela deseja comprar um apartameto que lhe é oferecido as seguites codições: $ a vista ou $ de etrada mais 120 prestações mesais de $1.485,20 cada. Qual a melhor codição de compra? 60. Sadra asceu o dia 22/5/1947. A partir deste dia seus pais começaram a depositar o equivalete a $1,00 mesalmete um baco que paga uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês. Após a morte de seus pais ela cotiuou a efetuar os depósitos até o dia 22/4/2007. A partir de 22/5/2007 ela começou a viver dos juros proveietes da reda acumulada. Calcular o valor desta sua reda vitalícia e o capital que ela poderá retirar a qualquer mometo. 7. Amortizações Quado se cotrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez, após um determiado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto os ites 2 e 3 (Capitalizações Simples e Composta). O segudo foi visto, um caso particular, o item 6 (Auidade com pagameto uiforme) e tem como método de cálculo o sistema Price ou SFA (Sistema Fracês de Amortização). Veremos agora este sistema com mais detalhes além de outros sistemas de amortização. Regra geral, amortização sigifica deduzir o capital pricipal fiaciado. Quado se faz um empréstimo o seu pagameto ocorrerá através de prestações que são compostas de dois compoetes: amortização e juros. 7.1 Sistema Fracês de Amortização SFA - (Sistema Price) Cosiste um sistema ode o valor das prestações é igual em qualquer período, sedo que a parcela correspodete à amortização cresce ao logo tempo e a parcela correspodete aos juros decresce ao logo tempo. Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e o cálculo da prestação é realizado coforme demostrado o item 6 (tato para pagameto atecipado como postecipado). Vamos pegar um exemplo para ilustrar este sistema: Supoha um empréstimo cotraído de $ , a ser pago em 6 prestações auais (a primeira um ao após a tomada do diheiro) com amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ao: Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 30

31 Calculamos o valor da prestação em $ ,91 (usado a fórmula do item 6 o caso de pagameto postecipado). Agora vamos motar uma tabela de amortização ode costam, ao a ao, o valor de cada amortização, os juros, as prestações e cada saldo devedor: Ao Saldo Devedor Prestação Amortização Juros , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,68 Total , , ,46 Observações: - As prestações são iguais, a amortização cresce ao logo do tempo e os juros decrescem ao logo do tempo; - Os juros de um determiado ao são calculados sobre o saldo devedor do ao imediatamete aterior, por exemplo, os juros de $ ,60 do ao 3 é correspodete à 15% (taxa de juros) de $ ,64 (Saldo devedor do ao aterior, ou seja ao2); - A amortização de cada ao é a difereça etre a prestação e os juros do mesmo ao (Ao 4: $ ,06$ ,91-$90.469,85); - O saldo devedor de um determiado ao é a difereça do saldo devedor do ao imediatamete aterior pela amortização do ao vigete (Ao 2: $ ,64$ ,09-$ ,45) Caso com Período de Carêcia: Existem empréstimos ode há um período de carêcia, ou seja, o pagameto da primeira prestação ocorrerá algus períodos após a tomada do empréstimo. Geralmete, este tipo de empréstimo, os juros são capitalizados o período de carêcia. Exemplo: um empréstimo de $ , com 4 meses de carêcia, a ser pago em 7 prestações bimestrais e com taxa de juros de 4,5% ao bimestre. $ Bimestres Carêcia PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 31

32 No período de 0 a 2 (carêcia) serão capitalizados juros. Etão podemos adotar duas alterativas para o cálculo da prestação PMT: 1. Levamos o valor de $ para a data focal 1 e cosideramos as parcelas postecipadas ou 2. Levamos o valor de $ para a data focal 2 e cosideramos as parcelas atecipadas. Tato em um caso como outro o resultado é o mesmo. No caso de parcelas postecipadas: Levamos o valor fiaciado $ para a data focal 1, corredo juros durate 1 bimestre: ,045) O resultado $ é o valor da dívida o bimestre 1. Calculado o valor da prestação: PMT 1 i , ,045) 11756,25 0, ,51 Portato o valor de cada prestação bimestral é de $44.334,51 No caso de parcelas atecipadas: Levamos o valor fiaciado $ para a data focal 2, corredo juros durate 2 bimestres: ,045) , 25 O resultado $ ,25 é o valor da dívida o bimestre 2. Calculado o valor da prestação: PMT i ,25 0,045 [ 1 ] 1 0,045) [ ] 0,045) 12285,28 0, E assim chegamos ao mesmo valor da prestação. A tabela de amortização fica: ,51 Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 32

33 Bimestre Saldo Devedor (*) Prestação Amortização Juros , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,14 Total , , ,56 (*) O valor do saldo devedor de cada data já exclui os valores pagos de amortização e juros da mesma data. 7.2 Sistema de Amortização Costate SAC (Sistema Hamburguês) Este sistema cosiste em fixar a amortização um valor costate em qualquer período, variado as prestações e juros. Neste sistema tato os juros como as prestações decrescem ao logo tempo. O valor de cada amortização é a divisão do valor fiaciado pelo úmero de prestações. Vamos usar o exemplo: empréstimo de $ , a ser pago em 6 prestações auais (a primeira um ao após a tomada do diheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ao: Para calcular o valor da amortização: Amortização ,67 A tabela de amortização fica: Ao Saldo Devedor Prestação Amortização Juros , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 6 0, , , ,00 Total , , ,00 Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 33

34 Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período aterior. A valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos. Exercícios: 61. Motar a plailha de amortização para um fiaciameto de $ , pelo Sistema Fracês de Amortização, que deve ser amortizado em 12 prestações mesais (parcelas postecipadas), sem carêcia, e com taxa de juros de 1,8% ao mês. 62. Motar a plailha de amortização para um fiaciameto de $62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com um ao de carêcia, e uma taxa omial de juros de 36% ao ao. Cosiderar: (a) Sistema Price (b) Sistema Hamburguês 63. Uma pessoa comprou um apartameto e captou parte do valor através de um baco, as seguites codições: Valor do apartameto: $ Valor da poupaça: $ (Dado de etrada) Número de Prestações: 24 mesais Amortização: Sistema Fracês de Amortização Taxa Nomial de Juros: 9% ao ao Um mês após o pagameto da 12ª prestação, esta pessoa propôs ao baco liquidar a dívida. Qual o valor que ela deve pagar ao Baco? 64. Usado os dados do exercício aterior, cosiderar que esta pessoa resolveu, após o pagameto das 12 prestações, mover uma ação judicial cotra o Baco alegado que o Sistema Price ão poderia ter sido utilizado para o cálculo do fiaciameto pois fere a legislação vigete. Na ação ela propõe resolver o problema refiaciado o saldo devedor (após o pagameto da 12ª amortização) utilizado o sistema Hamburguês para pagar em 12 prestações. Motar a plailha de amortização desta proposta. 65. Descobrir qual o meor saldo devedor, após o pagameto de 12 parcelas mesais, de um fiaciameto de $ amortizado em 36 meses e com taxa de juros de 2,05% ao mês: se amortizado pelo sistema Fracês ou pelo Sistema Hamburguês? Nos dois casos, calcule também o total de juros pagos até a 12ª prestação. 66. Calcular o percetual amortizado até a 6ª prestação de um fiaciameto, pelo Sistema Fracês, de $ em 15 parcelas bimestrais, à uma taxa de juros omial de 48% ao ao. 67. Calcular os totais de amortização e juros pagos até a 8ª prestação de um fiaciameto, pelo Sistema Hamburguês, de $ em 10 parcelas auais, com 2 aos de carêcia, e com taxa de juros de 42% ao ao. 8. Fluxo de Caixa e Aálise de Ivestimetos Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 34

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