Problema de Fluxo de Custo Mínimo

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1 Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo

2 O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre os modelos de otimização em redes, uma vez que este egloba uma eorme quatidade de aplicações e pode ser resolvido de maeira etremamete eficiete. O Problema de Trasporte, de Desigação, de Camiho Mais Curto e de Fluo Máimo (vistos ateriormete) são casos especiais do Problema de Fluo de Custo Míimo. A úica eceção é o Problema de Árvore Geradora Míima. A eemplo dos problemas acima (com eceção do Problema de Árvore Geradora Míima), o Problema de Fluo de Custo Míimo é um Problema de Programação Liear, logo o Simple pode ser utilizado para sua resolução. Uma versão específica do Simple, deomiada Método Simple de Redes pode ser utilizada de maeira aida mais eficiete de que o próprio Simple. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 2

3 Algumas Cosiderações. A rede é represetada por um Dígrafo (orietada) e coectada. 2. No míimo um dos ós é um ó de forecimeto (origem). 3. No míimo um dos ós é um ó de demada (destio). 4. Todos os ós restates são ós Trasshipmet (etreposto, itermediário). 5. A rede possui arcos, tato quato forem ecessários, com capacidade suficiete para habilitar todos os fluos gerados os ós de forecimeto para alcaçar os ós de demada. 6. O custo do fluo através de cada arco é proporcioal a quatidade daquele fluo, ode o custo por uidade de fluo é cohecido. 7. O objetivo é miimizar o custo total de eviar o forecimeto dispoível através da rede para satisfazer a demada dada (um objetivo alterativo é maimizar o lucro total para fazer isto). Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 3

4 Eemplos de Aplicações: A mais importate aplicação está em plaejar a operação de uma rede de distribuição de uma compahia. Este tipo de aplicação evolve determiar um plao para trasportar bes a partir das fotes (fábricas, etc) para locais de armazeagem itermediárias (quado ecessário) e etão para os clietes (demada). Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 4

5 Formulação do Modelo Cosidere um Dígrafo coectado, ode os ós icluem-se o míimo um ó de forecimeto e o míimo um ó de demada. As variáveis de decisão (de cotrole) são ij = fluo o arco (i,j). As iformações ecessárias são: c ij = custo por uidade de fluo o arco (i,j) u ij = capacidade de fluo o arco (i,j) b i > 0 se o ó i é um ó de forecimeto b i = fluo a rede gerado o ó i A fução-objetivo é: Miimizar Z = c ij ij i= j= = Sujeito a para cada ó i j= ij 0 ij u ij j= e para cada arco (i,j) ji b i b i < 0 se o ó i é um ó de demada b i = 0 se o ó i é um ó trasshipmet j= j= ij ji fluo fluo sai chega ó i ó i Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 5

6 Em algumas aplicações, faz-se ecessário ter um limite iferior L ij >0 para o fluo o arco (i,j). Para evitar alterações a formulação do modelo, utiliza-se: ij = ij L ij ij Lij Propriedade de Soluções Iteiras com substituido ij Para Problemas de Fluo de Custo Míimo, ode todo b i e u ij são valores iteiros, todas as variáveis básicas em toda solução básica viável também são valores iteiros. Propriedade de Soluções Viáveis Uma codição ecessária para um Problema de Fluo de Custo Míimo ter alguma solução viável é que b i = 0, isto é, o fluo total gerado os ós de forecimeto i= deve ser igual ao fluo total absorvido os ós de demada. Quado este fato é violado sigifica que os forecimetos ou as demadas represetam limites superiores ao ivés de quatidades eatas. No caso do Problema de Trasporte, por eemplo, um destio (origem) auiliar é criado a fim de absorver a oferta (demada) em ecesso. De maeira aáloga, o Problema de Fluo de Custo Míimo cria-se um ó de demada (forecimeto) auiliar para absorver o forecimeto (demada) em ecesso. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 6

7 Eemplo O dígrafo abaio ilustra uma rede de distribuição de uma compahia, ode os ós A e B são duas fábricas desta compahia, os ós D e E são dois estoques e o ó C é um cetro de distribuição (trasshipmet). Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 7

8 O modelo de Programação Liear para este eemplo fica: Miimizar Sujeito a Z = 2 AB 4 AC 9 AD 3 BC CE 3 DE 2 ED e AB AB AB AC AC AD AD BC BC CE CE CE DE DE ED ED = = = = = ij 0 Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 8

9 Casos Especiais (demais Problemas de Redes como Problema de Fluo de Custo Míimo). Problema de Trasporte Um ó de forecimeto para cada fote Um ó de demada para cada destio Nehum ó Trasshipmet u ij = mi sujeito a: j= ij m Z = c ij ij j= ji i= j= = b 0 uij ij i ij = s j= = d ij i= 0 i j dispoibilidade demada ( i =,...,m; j,...) ij = 2. Problema de Desigação Igual ao Problema de Trasporte, com: úmero de ós de forecimeto é igual ao úmero de ós de demada b i = para cada ó de forecimeto b i = - para cada ó de demada m mi Z = c ij ij i= j= sujeito a: ij = j= ij ji = bi j= j= = ij i= 0 ij uij ij dispoibilidade demada se i desigado para j = 0 caso cotrário Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 9

10 3. Problema de Camiho Mais Curto Apeas um ó de forecimeto (origem) com forecimeto = Apeas um ó de demada (destio) com demada = Todos demais ós são ós Trasshipmet Todo arco permite fluo em ambos setidos (i j e j i), com eceção dos arcos que saem da origem e dos arcos que chegam o destio mi sujeito a: j= 0 ij m Z = c ij ij ij j= i= j= ji i = origem = 0 i origem i = destio ou para cada arco (i,j) destio Distâcias são os custos c ij e c ji u ij = Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 0

11 4. Problema de Fluo Máimo Apeas um ó de forecimeto (origem) Apeas um ó de demada (destio) Todos demais ós são ós Trasshipmet c ij = 0 para todo (i,j) Adicioar um arco coectado o ó de demada ao ó de forecimeto (este setido) com: u demada,forecimeto = e c demada,forecimeto > 0 (ormalmete utiliza-se c demada,forecimeto = para simplificar cálculos). Obs: a adição deste arco auiliar tora os ós de forecimeto e de demada também ós Trasshipmet. ma Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo j= Z sujeito a: m ij ji = j= 0 ij u ij = i= j= 0 c ij ij mi Z = para cada arco (i,j) destio,origem

12 Modelo de Fluo Máimo a partir do modelo de Fluo de Custo Míimo para o eemplo do Parque Seervada (código Lido). MIN TO!MAX TO!PODE USAR MAX TO OU MIN -TO SUBJECT TO R) OA OB OC - TO = 0 R2) AB AD - OA = 0 R3) BD BE BC - AB - OB = 0 R4) CE - BC - OC = 0 R5) DT - AD - BD - ED = 0 R6) ED ET - BE - CE = 0 R7) TO - DT - ET = 0 END!LIMITES SUPERIORES SUB OA 5 SUB OB 7 SUB OC 4 SUB AB SUB AD 3 SUB BC 2 SUB BD 4 SUB BE 5 SUB CE 4 SUB DT 9 SUB ED SUB ET 6 VARIABLE VALUE TO OA OB OC AB AD BD BE BC CE DT ED ET Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 2

13 Método Simple de Rede O Método Simple de Rede é uma versão do Simple para resolver problemas de Fluo de Custo Míimo. Técica de Limite Superior Esta técica é ecessária para tratar as restrições do tipo. ij u ij Uma variável ão-básica em seu limite superior ij = u ij é recolocada por ij = u ij y ij, com y ij = 0 torado-se uma variável ão-básica. Quado y ij tora-se uma variável básica com valores estritamete positivos ( u ij ), este valor pode ser etedido como um fluo a partir do ó j para o ó i (pórém em setido errado o arco i j) cacelado a quatidade de fluo previamete desigada ( ij = u ij ) do ó i para o ó j. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 3

14 Com isso, quado ij =u ij é recolocado por ij =u ij y ij, o arco real i j é substituído pelo arco reverso j i, ode este ovo arco possui capacidade u ji = u ij (máima quatidade de fluo que pode ser cacelada) e custo c ji = c ij. Para refletir o fluo de ij = u ij através do arco deletado, altera-se a quatidade de fluo da rede gerada do ó i para o ó j por decremetar b i por u ij e icremetar b j por u ij. Se y ij tora-se uma variável que deia a base por alcaçar seu limite superior, etão y ij = u ij é recolocado por y ij = u ij ij com ij = 0 como a ova variável básica ivertedo o processo descrito acima (recolocar o arco j i por i j, etc). Para ilustrar o processo acima, cosidere o eemplo dado ateriormete. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 4

15 Supoha que AB teha torado-se uma variável que deia a base em alguma iteração por alcaçar seu limite superior ( AB = 0). AB é recolocado por AB = 0 y AB, com y AB = 0 torado-se a ova variável ãobásica. Etão o arco A B é substituído pelo arco B A (com y AB como sua quatidade de fluo) com capacidade u BA = 0 e custo c BA = -2. b A é decremetado de u AB (b A = b A u AB ), b A = 50 0 = 40 e b B é icremetado de u AB (b B = b B u AB ), b B = 40 0 = 50. A rede fica: Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 5

16 Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 6

17 Correspodêcia etre soluções Básicas Viáveis e Árvores Geradoras Viáveis Uma solução básica viável possui (-) variáveis básicas para uma rede com ós, ode cada variável básica ij represeta o fluo através do arco i j. Estes arcos são referidos como arcos básicos (similarmete, os arcos correspodedo para as variáveis ão-básicas ij = 0 ou y ij = 0 são deomiados arcos ão-básicos). Uma propriedade fudametal é que arcos básicos uca formam ciclos. Portato, qualquer cojuto de - arcos que ão cotém ciclos formam uma Árvore Geradora. Soluções básicas viáveis podem ser obtidas resolvedo Árvores Geradoras como: Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 7

18 )Para arcos que ão pertecem a Árvore Geradora (arcos ão-básicos), colocar as variáveis correspodetes ( ij ou y ij ) igual a zero. 2)Para arcos que pertecem a Árvore Geradora (arcos básicos), resolver para as variáveis correspodetes ( ij ou y ij ) o sistema de equações lieares forecido pelas restrições dos ós. Para ilustrar este procedimeto, cosidere a rede aterior que resulta em recolocar AB = 0 por AB = 0 y AB. Uma Árvore Geradora para esta rede é: Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 8

19 y y Substituido AB = 0 y AB as restrições dos ós, fica: AB AB V.B. AD = 40 BC = 50 CE = 50 DE = 0 AC AC AD AD V.N.B. y AB = 0 AC = 0 ED = 0 BC BC Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 9 CE CE DE DE ED ED = = = = =

20 Uma vez que a solução satisfaz a restrição de ão-egatividade ij 0 e também a restrição de capacidade máima dos arcos CE 80 a Árvore Geradora é uma Árvore Geradora Viável e portato tem-se uma solução viável. A rede com os fluos fica: Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 20

21 Selecioado a variável que etra a base O método Simple (tradicioal) selecioa a variável que etra a base escolhedo detre as variáveis ão-básicas, a que melhore a fuçãoobjetivo com melhor taa (de crescimeto o caso de maimização e de decrescimeto o caso de miimização). No eemplo, as variáveis ão-básicas são y AB, AC, e ED. Escolhedo AC iicialmete implica em adicioar o arco A C. Adicioar um arco ão-básico para uma Árvore Geradora sempre cria um ciclo, ode o ciclo este caso é AC-CE-DE-AD. Se AC etra com um fluo θ, ocasioará um fluo adicioal de θ os arcos de mesmo setido de AC e um decréscimo de θ os arcos de setido oposto ao de AC. Arcos que ão pertecem ao ciclo gerado ão são alterados. Os custos são multiplicados por θ de maeira aáloga ao fluo. A rede fica: Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 2

22 O icremeto total o custo Z fica: Z = c AC θ c CE θ c DE (-θ) c AD (-θ) Z = 4θ θ -3θ -9θ = -7θ Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 22

23 Fazedo θ =, resulta a taa que Z varia quado AC é acrescido. Z = -7 Uma vez que o objetivo é miimizar Z, está parece ser uma boa taa de decrescimeto em Z. Faz-se ecessário computar as mesmas taas para as demais variáveis ão-básicas. Para y AB a rede fica: Z = -2θ 9θ 3θ (-θ) 3(-θ) = 6θ = 6 para θ =. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 23

24 Para ED a rede fica: Z = 2θ 3θ = 5θ = 5 para θ =. Resumido: Z = se se se y AB ED AC = = = Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 24

25 Assim, o valor egativo para AC impõe que esta variável etre a base. Ecotrado a Variável Básica que deia a base Uma vez que AC é a variável que etra a base, o fluo θ o arco AC deve ser aumetado o máimo possível até que uma das variáveis básicas alcacem seu limite iferior (0) ou seu limite superior (u ij ). Retomado a rede adicioada do arco AC. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 25

26 Os 5 arcos em questão são: AD = 40 - θ e u AD = DE = 0 - θ e u DE = CE = 50 θ e u CE = 80 AC = θ e u AC = BC = 50 (costate) e u BC = Aumetado θ =0 resulta em DE = 0, portato, a variável que deia a base é DE. A Árvore Geradora resultate é: Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 26

27 O resultado é ótimo se ão eiste ehuma variável ão-básica com coeficiete egativo. Faz-se ecessário testar. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 27

28 A tabela abaio mostra as variáveis ão-básicas (arcos ãobásicos), os ciclos criados e seus coeficietes. A variável ED possui o meor coeficiete egativo, idicado, portato, que a solução aida pode ser melhorada. Outra iteração é ecessária. O leitor deverá realizar as iterações restates. A próima figura mostra o resultado fial. Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 28

29 Solução Fial Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo 29

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