QUESTÕES DISCURSIVAS. Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta

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1 QUESTÕES DISCURSIVAS Questão Um estudante tinha de calcular a área do triângulo ABC, mas um pedaço da folha do caderno rasgou-se. Ele, então, traçou o segmento A C paralelo a AC, a altura C H do triângulo A BC e, com uma régua, obteve estas medidas: CH =, cm, AB =,4cme AB = 4, cm. a) Use essas medidas e calcule a área do triângulo ABC. b) Com a régua, ele mediu também o lado A C e obteve AC =,5 cm. Se as medidas em graus dos ângulos agudos  e B são respectivamente a e b, calcule o valor de sen(a b). sen(a b) = sen a cos b sen b cos a, 0,5, 0,9 sen(a b) = =,5,,,5 0,48 = = 0,46.,95 Questão Um meteorito foi detectado por astrônomos nas proximidades da Terra e cálculos feitos mostraram que ele deveria atingir a superfície em uma região deserta, com a forma de um retângulo ABCD. Sabe-se que a área da região S, que tem a forma de um trapézio retângulo, mede 7 km. Expresse, em porcentagem, a probabilidade de o meteorito cair na região R ou na região T. a) Como A C // AC, ΔA C B ~ ΔACB (caso AA),4 com razão k = =. Assim, a razão entre 4, (,4,)/ suas áreas é k = = 9 área (ABC) 9 área (ABC) = 7,56 cm. b) Por Pitágoras nos triângulos A HC e BHC, (A C ) = (C H) + (A H) (,5) = = (,) + (A H) A H = 0,9 cm e (BC ) = = (C H) + (HB) (BC ) = (,) + + (,4 0,9) BC =, cm. Assim, A região R é um trapézio retângulo de bases menor e maior, respectivamente, iguais a x x x x 6 = 6 e x x x 5x 8 = 4,ealtura x 5x Logo sua área é = x 4. A região T é um retângulo de lados x e 4, e sua área é x 8x 4 =. A área do retângulo ABCD é 4 x. Assim, a probabilidade de o meteorito cair na região R ou na região T é: x 8x = = 0,854 = 85,4% 4x 48

2 matemática Questão A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onças-pintadas, P(t), daqui a t anos, será estimada pela função: P(t) = 60( + e t ).Onú- mero e pode ser calculado com tanta precisão 005, quanto se queira, mas, nesta questão, aproxime-o, quando necessário, para,7. a) Faça uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos. Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo. b) Se mantiver esse decrescimento, daqui a quantosanosseráatingidoopontoemquea extinção é inevitável, considerada pelos biólogos em cem indivíduos? Utilize esses valoresparaoslogaritmosneperianosdee: ln = 069, ;ln =,0. a) Daqui a vinte anos a população de onças-pintadas será P(0) = 60( + e ) = 0,05 0 = indivíduos.,7 b) Mantido esse decrescimento, daqui a t anos a população será de 00 indivíduos. Portanto 0,05t P(t) = = 60( + e ) t 0,05t 00 = e = e 0 t n = n(e 0 t ) n = n 0 ne t = 0( n n ). Utilizando os valores do enunciado t = = 0(,0 0,69) = 8, anos. Questão 4 Uma editora decidiu disponibilizar o lançamento de um novo livro em duas versões: uma mais elaborada, com capa dura, e outra, popular, com capa de papelão. Uma pesquisa contratada pela editora registrou que, no dia do lançamento, o lucro da editora poderia ser estimado pela função: L = ( 5 0, 5x) x+ ( 0 y) y ( 50 0, 5x y) em que x é o preço do exemplar de capa dura e y, o preço do exemplar com capa de papelão, em reais. O departamento de produção da editora decidiu que o exemplar de capa dura deveria custar o dobro do preço do exemplar de capa de papelão. Buscando obter o maior lucro possível, o diretor de vendas estabeleceu estes preços para as duas versões: capa dura R$ 50,00 capa de papelão R$ 5,00 Foi correta a decisão do diretor de vendas? Por quê? Devido à decisão do departamento de produção x = y e, assim, o lucro da editora pode ser estimado por L(y) = (5 0,5(y))(y) + + (0 y)y (50 0,5 (y) y) L(y) = 7y + 80y 500. Logo, para obter o maior lucro possível, deve-se ter b 80 y = = = 0, ou seja, o preço y do exemplar de capa de papelão deve ser R$ 0,00 eopre- a ( 7) ço x = y do exemplar de capa dura, R$ 40,00. Considerando o raciocínio anterior, podemos afirmar que a decisão do diretor de vendas não foi correta.

3 matemática Questão 5 Uma empresa recebeu uma verba de R$ 600,00 que deve ser utilizada integralmente para fabricar bolas de tênis. A empresa possui máquinas, cada uma das quais é capaz de produzir, automaticamente, vinte bolas por hora. O custo de preparar e programar as máquinas é de R$ 80,00 por máquina, para qualquer tempo de utilização. Além disso, são necessários dois trabalhadores para supervisionar todas as máquinas, cada um dos quais recebe R$ 0,00 por hora. Quantas máquinas devem ser usadas para produzir o maior número de bolas possível? Quantas bolas de tênis serão produzidas com essa verba? O custo de utilização de M máquinas em H horas é 80M + 0H = 80M + 40H e o número de bolas produzidas é N = 0MH. Como a empresa pretende utilizar integralmente R$.600,00, temos 80M + 40H = 600 H = 40 M e N = 0M(40 M) N = 800M 40M. O maior número de bolas produzidas (N máx. ) ocorre quando M = 800 b, ou seja, M = = a ( 40) = 0 máquinas e N máx. = Nmáx. = bolas. Questão 6 a) Determine a e b de forma que a matriz A = a 05, b verifique que A = Ae depois calcule A. b) Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu as mesmas quantidades de açúcar, arroz e feijão em um mesmo supermercado, mas os preços sofreram uma leve alteração: Preço por quilo Abril Maio Açúcar R$,00 R$,0 Arroz R$,50 R$,00 Feijão R$,00 R$,00 Quantidade de pacotes de kg Açúcar Arroz Feijão Mediante um produto de matrizes, expresse, por meio de uma matriz, quanto a família gastou em cada mês. a) Se A = a 0,5b, então + a + 0,5b A = a + ab a + 0,5b. Assim A = A + a + 0,5b a + ab a + 0,5b = = 4a b + a = + 0,5b = a = 0,5 e b =. a + ab = 4a a + 0,5b = b Multiplicando a equação A = A por A temos A = A = (A) = A. De fato, indutivamente, multiplicando essa equação por A sucessivas n n vezes, temos A = A, para n natural maior 0 que. Isto é, A A 04 = =. b) A família gastou, no mês de abril, 4, ,50 + 6,00 reais e no mês de maio, 4,0 + 5,00 + 6,00 reais. Podemos escrever esse gasto como o seguinte produto de matrizes:,00,0 [ 4 5 6],50,00 = [ 4,5,8],00,00 Questão 7 A História da Matemática apresenta muitos problemas para resolver mediante sistemas de equações, mas cujos enunciados indicam que as soluções são números naturais. Resolva este antigo problema: Dois viajantes encontraram uma bolsa que continha entre 50 e 00 moedas de ouro. O primeiro disse para o segundo: Se eu ficar com metade do dinheiro que há na bolsa, vou me tornar o dobro de rico que você, se não contar o dinheiro que levo comigo.

4 matemática 4 O segundo disse para o primeiro: Se eu ficar com dois terços do dinheiro da bolsa, eu terei, com o que levo, o triplo da quantia que você leva consigo. Quantas moedas de ouro continha a bolsa? Que quantia levava cada um dos amigos? Sejam x o número de moedas do primeiro viajante, y o número de moedas do segundo e z onúmero de moedas da bolsa. Tem-se que x, y e z são números naturais e50 < z < 00. Tem-se ainda que, pelas condições dadas: z = y z = 4y y = 9x z + y = x Como mdc (, 9) =, considerando a fatoração em primos de x e y, existe t natural tal que x = t, y = 9t e, portanto, z = 4(9t) = 6t. Consequentemente,50 < 6t < < t < t = Logo a bolsa continha z = 6t = 80 moedas, enquanto os amigos levavam, respectivamente, x = t = 55 moedas e y = 9t = 45 moedas. Questão 8 Em uma festa de final de ano, dez funcionários de uma pequena empresa de consultoria se reúnem para participar do amigo secreto. Cada um traz um presente que é distribuído, ao acaso, entre os dez. a) Quantas possibilidades há de distribuir os presentes? b) Qual é a probabilidade de certo funcionário receber exatamente o presente que trouxe? a) O número de possibilidades de distribuir os 0 presentes corresponde ao número de permutações de 0 objetos, isto é, 0!. b) Sejam f,f,,f0 os dez funcionários, sendo f o funcionário em questão. Considere os eventos E i : o funcionário f recebe o presente que trouxe o funcionário f i, i 0. Tais eventos são equiprováveis e, portanto, a probabilidade de cada um ocorrer é 0. Assim, a probabilidade do funcionário receber exatamente o presente que trouxe é 0. Questão 9 a) Determine o comprimento do lado de um quadrado, sabendo que um de seus lados está contido no lado AB de um triângulo equilátero ABC, e os outros dois vértices pertencem aos lados AC e BC. Dados: A(0,0), B(6,0), e o terceiro vértice, C, estánoº quadrante. Considere as medidas dos lados do triângulo expressas em metros. b) Um engenheiro pretende construir uma piscina em seu sítio, dentro de um terreno que tem a forma de um triângulo equilátero e a mesma área do triângulo do item A desta mesma questão. A piscina deve ter cerca de,5 m de profundidade, deve ocupar a maior área possível, e a borda deve ter a forma de uma circunferência. De quantos litros de água, aproximadamente, ele vai necessitar, para encher completamente a piscina? Se necessário, utilize o valor,4 para π. a) Considere a figura na qual RSTU é o quadrado em questão. O triângulo equilátero ABC tem altura 6 = = 8 m. Logo C = (8; 8 ). Seja o lado do quadrado RSTU. Como ΔCRS ~ ΔCAB (caso AA), temos 6 = 8 = = 6 8 ( + ) = 6 = 6 ( ).

5 matemática 5 b) Como a piscina tem a borda na forma de uma circunferência e será construída num terreno na forma de um triângulo equilátero, para que a área ocupada pela piscina seja máxima devemos tomar a circunferência inscrita no triângulo equilátero de lado 6 m. Como o raio da circunferência inscrita é um terço da altura do triângulo equilátero, esse raio vale 8 = 6 m. Devemos então calcular o volume de um cilindro reto de raio da base 6 m e altura,5 m, que é π (6 ),5 = 6 πm. Usando a aproximação de,4 para π, o volume é6,4 = 508,68 m = Questão 0 O conhecimento que temos da matemática na Antiguidade vem, em boa parte, de textos matemáticos redigidos por escribas, propondo problemas para os alunos ou outros escribas resolverem. Leia com atenção esta adaptação do texto Sou o escriba, o chefe dos trabalhadores, e resolva o problema que o autor propõe como um desafio a outro escriba: a) Temos de resolver um problema e calcular certa taxa de juro. Um velho mercador emprestou um capital de 8 moedas de ouro, a certa taxa anual de juro composto, durante três anos. Passado esse tempo, o velho mercador ficou muito contente: somente de juros, ele recebeu 9 moedas de ouro! Os escribas estarão todos reunidos para descobrir a taxa de juro da aplicação, mas nenhum saberá como fazê-lo. Voltar-se-ão para ti e te dirão: Tu és um escriba hábil, meu amigo! Responde rápido para nós, honra tua reputação, para que não se possa dizer que existe alguma coisa que o chefe dos escribas não saiba: a que taxa anual de juro composto o mercador aplicou o seu dinheiro? b) Para encontrar a taxa de juro, você resolveu uma equação polinomial do terceiro grau. Quais são as outras duas raízes dessa equação? a) Aplicando 8 moedas, em anos, o mercador recebeu 9 moedas de juros. Sendo x a taxa de juros aplicada, temos: 7 8( + x) = ( + x) = 8 + x = x = ou 50% ao ano. b) Sabendo que é raiz da equação 8( + x) = 7 8x + 4x + 4x 9 = 0, aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: Assim, as raízes restantes são raízes da equação 8x + 8x + 8 = 0 4x + 4x + 9 = 0 = 7 x i 7 i ou x =