MATEMÁTICA. Questões de 01 a 04

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1 MAT. 6 GRUPO 1 TIPO A MATEMÁTICA Questões de 01 a Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e y : 2 4x + α y = 18 6x + 6y = β Estabeleça condições sobreα e β para que o sistema: A) tenha solução única. B) não tenha solução.

2 GRUPO 1 TIPO A MAT Na figura abaixo, h representa a altura relativa ao lado AC do triângulo ABC ; a e b são as medidas dos lados BC e AC, respectivamente, e α é a medida do ângulo AC ˆ B. B a h c C α H A b ab A) Mostre que a área do triângulo ABC é igual a senα. 2 0 B) Se o perímetro do triângulo é 40 cm, α = 30 e c = 10cm, quais devem ser as medidas de a e b de modo que a área do triângulo ABC seja a maior possível? Qual é essa área?

3 MAT. 8 GRUPO 1 TIPO A 03. Numa pirâmide quadrangular, todas as arestas são iguais. Assumindo o fato de que tal pirâmide é regular, responda ao que se segue: A) Qual o ângulo formado entre duas arestas laterais não adjacentes? B) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? C) Se cada aresta mede 10 cm, qual é o volume da pirâmide?

4 GRUPO 1 TIPO A MAT. 9 x 4 4x Considere as matrizes A = e B = e responda às questões abaixo: 3 x A) Para que valores reais de x tem-se det A > 0 e det B > 1? B) Dentre os valores de x encontrados no item anterior, quais satisfazem a desigualdade det A 1 log det B?

5 GRUPO 5 TIPO A MAT. 1 MATEMÁTICA Questões de 01 a Para realizar a meta de produção diária de uma fábrica, são necessárias duas máquinas funcionando 3 horas por dia. Em um determinado dia, uma delas quebrou e a outra, sozinha, realizou a produção prevista na meta em 4 horas. Em quanto tempo a máquina quebrada realizaria a meta diária de produção? 02. Um lado de um retângulo mede 5 2. Determine a medida da diagonal e a medida do outro lado desse retângulo, sabendo que essas medidas são números inteiros.

6 MAT. 2 GRUPO 5 TIPO A 03. Na igualdade seguinte, a representa um algarismo nos números que estão escritos na base dez: a37 4a8 = 1aa + 1a 13. Determine o valor de a. (Lembremos que se abcd representa um número na base dez, então abcd = 1000 a + 100b + 10c + d ) 04. Participam de um festival de música 100 profissionais, entre instrumentistas e compositores. Há 85 instrumentistas e 66 compositores. Quantos são os instrumentistas que não são compositores?

7 GRUPO 5 TIPO A MAT. 3 x 4 4x Considere as matrizes A = e B = e responda aos itens abaixo: 3 x A) Para que valores reais de x tem-se det A > 0 e det B > 1? B) Dentre os valores de x encontrados no item anterior, quais satisfazem a desigualdade det A 1 log det B?

8 MAT. 4 GRUPO 5 TIPO A 06. Todo assalariado brasileiro, que ganha mensalmente acima de um certo valor estipulado pela Receita Federal, é obrigado a pagar imposto de renda, que incide sobre seu salário mensal, após descontado o INSS. O cálculo desse imposto é feito do seguinte modo (no que se segue, considere que os salários mencionados já estão com o desconto do INSS): - o assalariado que recebe até R$1.300,00 é isento de pagamento de imposto; - aquele que receber acima de R$1.300,00 e até R$2.700,00 paga 15% de imposto sobre o valor que exceder a R$1.300,00; - se o assalariado receber acima de R$2.700,00, descontam-se 15% de R$1.400,00 (que é a diferença entre R$1.300,00 e R$2.700,00) mais 27,5 % sobre o valor que exceder a R$2.700,00. A) Qual o desconto de imposto de renda de pessoas que recebem por mês, respectivamente, R$1.000,00, R$2.000,00 e R$3.000,00? B) Faça um esboço do gráfico que representa o imposto pago em função do salário mensal recebido, considerando apenas os salários na faixa de R$300,00 a R$6.000,00.

9 GRUPO 5 TIPO A MAT A figura abaixo representa um paralelogramo no plano cartesiano: y B C A M O D N x As coordenadas dos pontos C e D são, respectivamente, (4,2) e (1,-1), o segmento BC é paralelo ao eixo x e O é o ponto médio do segmento MN. Encontre as coordenadas do ponto A.

10 MAT. 6 GRUPO 5 TIPO A 08. As pirâmides ABCDE e AMNOP da figura abaixo são regulares e de bases quadradas. A M E P N O D B C A pirâmide ABCDE tem volume V 1 e altura h 1. A pirâmide AMNOP tem volume V 2 e altura h 2. A) Mostre que V V 1 2 h = h B) Se h1 mede o triplo de h 2 e o volume do tronco de pirâmide acima é 13cm 3, determine o volume da pirâmide ABCDE.

11 GRUPO 5 TIPO A MAT Duzentas e trinta bolas de bilhar de mesmo tamanho, entre brancas e pretas, serão dispostas em forma triangular, do seguinte modo: coloca-se uma bola branca; depois duas pretas; depois três brancas; depois quatro pretas; e assim por diante, até o momento em que o número de bolas restantes não será suficiente para montar uma nova fileira (veja figura a seguir). A) Quantas bolas serão utilizadas? B) Quantas bolas pretas serão utilizadas?

12 MAT. 8 GRUPO 5 TIPO A 10. Sobre cada um dos lados de um hexágono regular, de lado a, constrói-se um quadrado, externamente ao hexágono, conforme indica a figura. Mostre que os vértices desses quadrados que não pertencem ao hexágono são os vértices de um dodecágono regular de lado a.

13 GRUPO 5 TIPO A MAT Considere a decomposição em fatores primos do número 10800, isto é: = a b c A) Explique por que os divisores de são da forma 2.3.5, números inteiros tais que 0 a 4, 0 b 3 e 0 c 2. onde a, b e c são B) Quantos divisores o número possui? C) Quantos são os divisores de que são múltiplos de 15?

14 MAT. 10 GRUPO 5 TIPO A 12. Os dados da tabela abaixo expressam, entre outras informações, a porcentagem de domicílios brasileiros com acesso a bens e serviços nos anos de 1970 e de Eletricidade 47,5 % 97,7 % TV 24 % 93 % Telefone 4,7 % 74,5 % Computador - 22,1 % Pão (Kg) Cr$ 1,80 R$ 5,03 Feijão (Kg) Cr$ 1,27 R$ 2,56 Arroz (Kg) Cr$ 1,19 R$ 1,50 Banana (dúzia) Cr$ 0,45 R$ 2,15 Leite (litro) Cr$ 0,60 R$ 1,45 Salário Mínimo Cr$ 187,20 R$ 350,00 Um dólar Cr$ 4,95 R$ 2,15 Moradores por casa 5,1 3,4 Católicos 91,8 % 73,6 % Fonte: Almanaque Abril 2008 IBGE (Censo de 1970, Pnad 2006, Censo de 2000); DIEESE (preços de dezembro de 1970 a dezembro de 2006, em São Paulo, pesquisa da cesta básica) Com base nesses dados, resolva o que se pede nos seguintes itens: A) Tomando o dólar como parâmetro, calcule o reajuste percentual sofrido pelo salário mínimo no período (em relação ao seu valor em 1970).

15 GRUPO 5 TIPO A MAT. 11 B) O poder de compra do salário mínimo de 2006, para os alimentos que constam da tabela, aumentou ou diminuiu em relação ao ano de 1970? Justifique sua resposta.

16 MAT. 8 GRUPO 6 TIPO A MATEMÁTICA Questões de 01 a Dado um segmento de reta MN, define-se sua mediatriz como sendo a reta perpendicular a MN que contém seu ponto médio. Usando essa informação, faça o que se pede nos seguintes itens: A) Mostre que qualquer ponto P da mediatriz de MN é eqüidistante de M e de N, isto é, medida de PM = medida de PN. B) Use o item anterior para mostrar que as mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado circuncentro do triângulo. Explique por que o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

17 GRUPO 6 TIPO A MAT. 9 C) Use as informações contidas nos itens (A) e (B) para resolver o seguinte problema: Considere o triângulo ABC no plano cartesiano, em que A = ( 2,0), B = (2,0) e C = (0,4). Encontre a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

18 MAT. 10 GRUPO 6 TIPO A 02. Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e y : 2 4x + α y = 18. 6x + 6y = β Estabeleça condições sobreα e β para que o sistema: A) tenha solução única. B) não tenha solução.

19 GRUPO 6 TIPO A MAT Uma turma de estudantes resolveu bancar sua festa de formatura coletando uma mesma quantia de cada um deles, totalizando R$2.304,00. Alguns dias antes da festa, quatro formandos desistiram de contribuir para a coleta, o que elevou em R$8,00 a contribuição de cada um dos que permaneceram. Quantos são os formandos dessa turma? 04. Numa pirâmide quadrangular, todas as arestas são iguais. Assumindo o fato de que tal pirâmide é regular, responda ao que se segue: A) Qual o ângulo formado entre duas arestas laterais não adjacentes? B) Se cada aresta mede 12cm, qual é o volume da pirâmide?

20 MAT. 12 GRUPO 6 TIPO A 05. Os dados da tabela abaixo expressam, entre outras informações, a porcentagem de domicílios brasileiros com acesso a bens e serviços nos anos de 1970 e de Eletricidade 47,5 % 97,7 % TV 24 % 93 % Telefone 4,7 % 74,5 % Computador - 22,1 % Pão (Kg) Cr$ 1,80 R$ 5,03 Feijão (Kg) Cr$ 1,27 R$ 2,56 Arroz (Kg) Cr$ 1,19 R$ 1,50 Banana (dúzia) Cr$ 0,45 R$ 2,15 Leite (litro) Cr$ 0,60 R$ 1,45 Salário Mínimo Cr$ 187,20 R$ 350,00 Um dólar Cr$ 4,95 R$ 2,15 Moradores por casa 5,1 3,4 Católicos 91,8 % 73,6 % Fonte: Almanaque Abril 2008 IBGE (Censo de 1970, Pnad 2006, Censo de 2000); DIEESE (preços de dezembro de 1970 a dezembro de 2006, em São Paulo, pesquisa da cesta básica) Com base nesses dados, faça o que se pede nos seguintes itens: A) Tomando o dólar como parâmetro, calcule o reajuste percentual sofrido pelo salário mínimo no período (em relação ao seu valor em 1970).

21 GRUPO 6 TIPO A MAT. 13 B) O poder de compra do salário mínimo de 2006, para os alimentos que constam da tabela, aumentou ou diminuiu em relação ao ano de 1970? Justifique sua resposta.

22 MAT. 14 GRUPO 6 TIPO A 06. Considere o triângulo ABC da figura abaixo e suponha que os ângulos Bˆ e Ĉ sejam agudos, de modo que a altura AH em relação ao lado BC seja um segmento de reta interno ao triângulo ABC. A c h b B α H a C A) Mostre que b c senbˆ = sencˆ.

23 GRUPO 6 TIPO A MAT. 15 B) Use a igualdade do item anterior para resolver o seguinte problema: Um topógrafo encontra-se ao pé de uma torre A na margem de um rio largo e deseja encontrar a distância dessa torre a uma torre B na margem oposta, sem atravessar o rio. Para isso, ele escolhe uma árvore C na margem em que se encontra e, com sua trena, mede a distância de A a C, obtendo 100m. Com seu 0 0 teodolito, mede os ângulos BÂC = 75 e A CB ˆ = 60 (veja figura). Tendo em vista esses dados, calcule a distância entre as torres. 100m C 60 A 75 B