2 o dia Q.01 Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema abaixo.

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1 VESTIBULAR DA FUVEST a Fase Provas de Matemática ( o dia e o dia) Professora Maria Antônia Conceição Gouveia o dia Q Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema abaio Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de refleão são iguais, a que distância do vértice Q deve-se jogar a bola branca? Antes de resolver a questão vamos fazer a seguinte observação: O fenômeno da colisão da bola com a borda da mesa obedece às mesmas leis da refleão da luz A informação da questão: Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de refleão são iguais, refere-se à uma das Leis da Refleão: o ângulo de incidência ( î ) é igual ao ângulo de refleão ( rˆ ) PS (Os ângulos de incidência e de refleão são medidos em relação à normal)

2 De acordo com as informações da questão pode-se construir o gráfico ao lado, no qual os triângulos retângulos BAD, DQT e VET são semelhantes (possuem os ângulos agudos congruentes), então seus lados correspondentes são proporcionais Então vale a proporção:,,,,,, (, ),,,, (, ),,,, 7 7 RESPOSTA: 7 m Q Seja f(), R, e considere também a função composta g() f(f()), R a) Esboce o gráfico da função f, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de interseção com os eios coordenados b) Esboce o gráfico da função g, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de interseção com os eios coordenados c) Determine os valores de para os quais g() 5 a) Construindo o gráfico da função f(), R, aplicando o movimento de gráficos RESPOSTA: O gráfico é a solução da questão e os pontos de intercessão da função com os eios coordenados são: (, ), (, ) e (, ) b) Sendo g() f(f()), R, g() f( ), R RESPOSTA: O gráfico número 5 é o gráfico da função g() f(f()), R E os seus pontos de interseção com os eios coordenados são: (, ), (, ) e (, )

3 7 7 c) 5 ou ou ou (impossível) 7 RESPOSTA: Os valores que tornam g() 5 são 7 e 7 Q Uma pessoa (A) pratica corrida numa pista de m, no sentido anti-horário, e percebe a presença de outro corredor (B) que percorre a mesma pista no sentido oposto Um desenho esquemático da pista é mostrado ao lado, indicando a posição AB do primeiro encontro entre os atletas Após min e s, acontece o terceiro encontro entre os corredores, em outra posição, localizada a m de AB, e indicada na figura por A B (o segundo encontro ocorreu no lado oposto da pista) Sendo VA e VB os módulos das velocidades dos atletas A e B, respectivamente, e sabendo que ambas são constantes, determine a) VA e VB b) a distância percorrida por A entre o primeiro e o segundo encontros, medida ao longo da pista c) quantas voltas o atleta A dá no intervalo de tempo em que B completa voltas na pista a) Considerando o ponto relativo a AB, como o ponto inicial da pista, tem-se: O terceiro encontro ocorreu, depois que A fez o percurso AB-A B -A B que corresponde a ( ) e B fez o percurso AB-A B -A B -AB-A B, perfazendo ( ) Assim o o percurso feito por A em min e seg foi de m e o desenvolvido por B, no mesmo intervalo de tempo, foi de m m m Logo: VA,5m/s e VB m/s s s RESPOSTA: V,5m/s e V m/s A B b) Sendo constantes as velocidades, e estando o ponto relativo ao segundo encontro numa posição oposta ao relativo ao terceiro encontro, depois do primeiro encontro, os corredores voltarão a se encontrar a cada s Se A em segundos percorreu m, em segundos a uma velocidade constante percorrerá m RESPOSTA: m c) B percorreu m em segundos, ou seja m/s Uma volta ele percorrerá em (:) 75 segundos e, portanto voltas em 75 s segundos O corredor A percorre,5m a cada segundo, então em segundos percorrerá,5 m que corresponde a ( : ) 7 voltas RESPOSTA: 7 voltas

4 Q Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 5 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma etensão Com base em sua eperiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$, por hora adicional de viagem a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado na folha de respostas b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho (Considere a aproimação, ) c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta d) Considerando o preço do óleo diesel a R$, o litro, a velocidade média do veículo de 7 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho a) b) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles ABC,: 5 RESPOSTA: 5,5 km 5 5 c) AC CB AB 5,5 5 RESPOSTA: km 5 5, 5,5 d) Para fazer o novo percurso o transportador percorrerá quilômetros a mais Se o rendimento médio do veículo é de 7 km por litro, nos quilômetros adicionais consumirá litros totalizando um gasto a mais de, 7 reais 7 7 Se a velocidade média desenvolvida pelo veículo é de 7km/h, os km serão percorridos em 7kmh 7 h kmh No novo percurso, gastará h a mais, logo cobrará por esse tempo 7, reais 5 5 Então, o preço mínimo para aceitar o trabalho é de 7,,7,5 7, RESPOSTA: R$7,

5 Q Sejam e dois números reais, com sen 5cos( ) Nessas condições, determine a) cos b) sen o dia < < π e π π < <, satisfazendo sen e 5 a) Se sen e π < π 5 <, então cos sen RESPOSTA: cos 5 b) Desenvolvendo a epressão cos( ) coscos sensen Logo sen 5cos( ) sen 5(coscos sensen) Nessa igualdade substituindo cos e sen por seus respectivos valores: sen 5 cos sen 5sen cos 5sen cos 5 5 cos 5sen Elevando ao quadrado os dois membros da equação acima: cos 5sen sen sen 5sen sen 5 sen sen sen( sen 5) sen ou sen Como < < π, 5 5 sen cos Se sen sencos, então, sen RESPOSTA: 5 Q No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas O da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio, bem como o gráfico da função Nessas condições, determine a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função b) a área do pentágono OABCD 5

6 a) Se a circunferência tem centro na origem e raio, então a sua equação é ² ² Para a determinação dos pontos A, B, C, D, interseção da circunferência ² ² com o gráfico da função, deve-se resolver o sistema { Como essa equação é biquadrada do quarto grau, podemos resolvê-la aplicando a fórmula a ac b b ± ± ou 7 ± ± ± ± ± ± Substituindo esses valores de na equação, vem:, e, ;, ;, RESPOSTA: A ( ),, B ( ),, C ( ), e D ( ), b) Conhecidas as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC, pode-se calcular a sua área utilizando a fórmula: S C C B B C A Pode-se, então, determinar a área do pentágono OABCD, calculando a soma das áreas dos triângulos OAB, OBC e OCD S ( ) ( ) 7 S RESPOSTA: 7 Q Seja n um número inteiro, n a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio c) Considere, agora, um número natural k tal que k n Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma

7 a) Considerando que é a quantidade de bolas recebida por Luis e, a recebida por Antônio, de tal modo que n, com n Esta é uma equação do tipo n, cujo número de soluções é o valor do m n m número binomial m n n ( n )! Logo o número de soluções da equação n é n! ( n )! RESPOSTA: (n ) maneiras b) Considerando que é a quantidade de bolas recebida por Luis e, a recebida por Antônio, e, a quantidade recebida por Antônio, de tal modo que n, com n, então o número de soluções dessa equação: é n n ( n )! ( n )! ( n ) ( n ) n! ( n ) ( n )! ( n )! n! n! ( n ) ( n ) RESPOSTA: maneiras c) Considerando que Pedro já tenha recebido k bolas, restam n k bolas para serem distribuídas pelos três rapazes Tem-se então a equação n k que tem um n k n k ( n k )! ( n k )! número de soluções igual a:! ( n k )! ( n k)! ( n k ) ( n k ) ( n k )! ( n k ) ( n k ) n k! ( ) Então o número de maneiras de Pedro receber uma quantidade de bolas maior ou igual a k, com k ( n é EMBED Equation Como eistem EMBED Equation maneiras das n bolas serem distribuídas pelos três rapazes, a probabilidade de que Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k ocorra é: EMBED Equation RESPOSTA: ( n k ) ( n k ) ( n ) ( n ) maneiras Q Dois planos π e π se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, < α < π Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em π, de modo que AB esteja em r Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano π, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo CÂD, satisfaça sen θ Nessas condições, determine, em função de l, a) o valor de α b) a área do triângulo ABD c) o volume do tetraedro ABCD 7

8 a) Calculando, em função de l, a medida de CH, altura do triângulo equilátero ABC: CH l sen l No triângulo retângulo CAD, CD CD senθ CD l AC l CD No triângulo retângulo CDH, senα CH π Sendo < α < e sen α, α 5 RESPOSTA: α 5 l l senα b) Sendo α 5, o triângulo retângulo CDH é isósceles, logo os seus dois catetos têm a l mesma medida, ou seja, CD DH Como DH é altura do triângulo ABD, em relação ao lado AB, a área desse triângulo é: AB DH l l S l RESPOSTA: l c) O tetraedro ABCD tem base ABD e altura CD, então o seu volume é: l l l l V SABD CD l RESPOSTA: Q5

9 log ( 5) Determine a solução (, ), >, para o sistema de equações log (7 ) log log ( 5) (7 ) (Aplicando o conceito de logaritmo) ( 5) (7 ) () ( 5) (7 ) ( 5) ( ) ) ( ) (7 ) 7 ( ) ( 5) ( ) ) ( 5) ( ) 5 { 5 5 ± ±, ou,, ou,, ou, Como >, S { (,) } RESPOSTA: S { (,) } Q No triângulo ABC da figura, a mediana AM, relativa ao lado BC, é perpendicular ao lado AB Sabe-se também que BC e AM Se α é a medida do ângulo A Bˆ C, determine a) senα b) o comprimento AC c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB d) a área do triângulo AMC

10 a) Analisando o triângulo retângulo ABM, conclui-se que: RESPOSTA: senα senα b) Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABM: ² Como senα, α e então, cosα Aplicando ao triângulo ABC a Lei dos Cossenos (Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados) considerando e sendo AC : ( ) 7 7 RESPOSTA: O comprimento AC é 7 CH CH c) Do triângulo retângulo BHC, resulta: senα CH BC RESPOSTA: A altura do triângulo ABC relativa ao lado AB mede d) A área do triângulo AMC, pode ser calculada como a diferença entre as áreas dos triângulos AB HC AB AM ABC e ABM: S RESPOSTA: A área do triângulo AMC é