Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Determinantes. 5. Para que o determinante da matriz

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Madalena Marques Meneses
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1 1. Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz 5. Para que o determinante da matriz Justifique. 2. Considere as matrizes A e B a seguir e n = det(ab). Calcule 7¾. 3. Seja a um número real e seja: seja nulo, o valor de a deve ser: a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou b) bc c) 2bc d) 3bc e) b c a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida. Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível. 4. Considerando-se que f(p) = 12 p - p e g(p) = p - 24p + 144p, o valor do determinante da matriz é igual a a) b) c) d) 400 e) Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante em que a 0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q>0. Sejam, e ƒ as raízes da equação det(m- I)=0. Se ƒ = a e + + ƒ = 7a, então a + b + c é igual a a) 21/8. b) 91/9. c) 36/9. d) 21/16. e) 91/36.

b) bc c) 2bc d) 3bc e) b c a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.

2 8. Se A é uma matriz quadrada de ordem n µ 2 com elementos 11. Dada a matriz mostrada na figura a seguir a Œ= ýcos (i + j), se i = j þ ÿsen i, se i j então, qualquer que seja n, deta é sempre igual a: a) n/2. b) 1. c) 0. d) n. e) 2n. 9. Considere a matriz A a seguir e 0 x 2, sabe-se que det(2a) = 8. Então a soma dos possíveis valores de x é: b) /2 c) d) 3 /2 e) Considere a matriz A representada na figura adiante então det. [(1/4). A ] vale: a) 2 det A b) det A/4 c) det A d) det A/8 e) 4 det A, então o determinante da inversa de M vale: a) 1/6 b) 1/3 c) 1/54 d) 1/15 e) 1/ Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A 0 e det B 0, então é correto afirmar que a) B = A ë det B = det A b) B = A ë det B = det A c) det A = det B ë det A = det B d) det (A+B) = det A + det B e) det (3A) = 3.det A 13. São dadas as matrizes A=(a Œ) Ö, onde a Œ=2i-3j, e B=(b Œ) Ö, onde b Œ= ýi + j se i = j þ ÿi - j se i j Nessas condições, se X = (B - A), o determinante da matriz X é igual a a) 224 b) 286 c) 294 d) 306 e) O valor de x no determinante: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Considere a matriz A a seguir e 0 x 2, sabe-se que det(2a) = 8. Então a soma dos possíveis valores de x é: b) /2 c) d) 3 /2 e) 2 10. Considere a matriz A representada na figura adiante então det.

3 15. Sendo 0 x /2, o valor de x para que o determinante da matriz seja nulo é: a) /2 b) /3 c) /6 d) /4 e) 16. O determinante da matriz a) 9/4 b) 9/2 c) 25/4 d) 25/2 18. A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero é b) 1 c) sen x + cos x d) sen x e) ( sen x + cos x ) 17. Sejam m e m números reais positivos. Se o determinante da matriz A na figura adiante é Ë2/2, então o determinante da matriz B é: a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b b) se e somente se a = b c) se e somente se a = - b d) se e somente se a = 0 e) se e somente se a = b = 1

A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero é b) 1 c) sen x + cos x d) sen x e) ( sen x + cos x ) 17.

4 19. Seja A uma matriz quadrada 2 2 de números reais dada por: 21. Qualquer que seja š o log do determinante O polinômio característico de A é definido por c(t) = det (A - t. I), onde I é a matriz identidade 2 2. Nessas condições, o polinômio característico da matriz A é: a) t - 4 b) - 2t - 1 c) t + t + 1 d) t + 2t + 3t + 4 e) t - 5t - 2 é igual a: a) 1 b) š c) cos š - sin š d) 0 e) cos š 22. Na equação mostrada na figura seguinte 20. Considere a matriz mostrada na figura adiante onde representa qualquer uma das raízes (complexas) da equação x + x + 1 = 0. Se detm simboliza o determinante da matriz M, assinale a opção na qual consta o valor de (detm) + (detm) + 1. a) i. b) 0. c) -1. d) 1. e) -i. um possível valor para x é b) /6 c) /4 d) /3 e) /2

Nessas condições, o polinômio característico da matriz A é: a) t - 4 b) - 2t - 1 c) t + t + 1 d) t + 2t + 3t + 4 e) t - 5t - 2 é igual a: a) 1 b) š c) cos š - sin š d) 0 e) cos š 22.

5 23. A condição para que o determinante da matriz A mostrada na figura a seguir seja diferente de zero é: a) a = -1 e a = 2. b) a 1 e a -2. c) a > 0. d) a -1 e a 2. e) a 1 e a Se a e b são as raízes da equação a seguir: 24. A equação onde x > 0, então a + b é igual a: a) 2/3 b) 3/4 c) 3/2 d) 4/3 e) 4/5 26. Considere as matrizes reais 3 3 na figura a seguir: na variável x, tem duas soluções reais a) somente para m Æ Z b) para todo m Æ IR c) somente para m = 0 d) somente para m = 1/3 e) para m = 1 + i, onde i é a unidade imaginária a) -2A - 2B. b) 2A + 2B + 1. c) 2A + 2B. d) - 2A - 2B - 1. e) 2A - 2B - 1.

A equação onde x > 0, então a + b é igual a: a) 2/3 b) 3/4 c) 3/2 d) 4/3 e) 4/5 26.

6 27. Considere as matrizes reais 29. O valor de a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) O valor de é: a) 4 (cos a + sen a) b) 4 c) 2 (cos a - sen a) d) 2 e) Sendo B = (b Œ) Ö, onde, b Œ= ý1, se i=j þ -2ij, se i<j ÿ3j, se i>j Calcule o det B : a) 13. b) c) 25. d) 20. e) é igual a: b) 4(y + 3z) c) 4(3x + y + 3z) d) 4x + 2y + 3z e) 12(x + z)

Sendo B = (b Œ) Ö, onde, b Œ= ý1, se i=j þ -2ij, se i<j ÿ3j, se i>j Calcule o det B :

7 GABARITO [D] 16. [B] 17. [D] 18. [A] 19. [E] 20. [D] 21. [D] 22. [A] Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d = a + 3n. Portanto, deta = e ò ¾ - e ò ¾ = a) 3; 1-2i; 1 + 2i b) {a Æ IR - 3 < a 5} 4. [E] 5. [A] 6. [D] 7. [A] 23. [B] 24. [B] 25. [C] 26. [A] 27. [B] 28. [A] 29. [D] 30. [A] 8. [B] 9. [B] 10. [C] 11. [C] 12. [B] 13. [E] 14. [B]

3n. Portanto, deta = e ò ¾ - e ò ¾ = 0. 2. 01 3. a) 3; 1-2i; 1 + 2i b) {a Æ IR - 3 < a 5} 4. [E] 5.

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