{ } PROVA DE RACIOCÍNIO MATEMÁTICO. 1)a)Dê o domínio da função f ( x) = b)resolva a inequação: x. 4 + x RESOLUÇÃO.

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1 )a)dê o domínio da função f ( ) = 7 + b)resolva a inequação: a)devemos ter Fazendo N = e D = 7 +, teremos o seguinte quadro de sinais: 3 4 N D N/D Tendo em conta que 3 e 4, teremos o seguinte domínio: { } D = R / < 3 ou > 4 b) Fazendo N = 7 e D =, teremos o seguinte quadro de sinais: /7 N D N/D Como, teremos o seguinte conjunto solução: S = R / < 7 Resposta: a) D = { R < ou > } / 3 4 b) S = R / < 7

2 )O Sr Oliveira aplicou R$0000,00 numa caderneta de poupança, e R$30000,00 num fundo de ações por ano Neste período, a caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações apenas % a)qual a taa de rendimento global do Sr Oliveira, no período? b)quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações( mantida a aplicação de R$0000,00 na caderneta de poupança) para que sua taa global fosse de 6% ao ano? a)temos: Ganho na caderneta de poupança: 0, 08( 0000) = 600 Ganho no fundo de ações: 0, 0( 30000) = 600 Ganho total: = 00 Taa de rendimento global: 00 = 0, 044 = 4, 4% b)seja a quantia procurada Teremos: Ganho na caderneta de poupança: 0, 08( 0000) = 600 Ganho no fundo de ações: 0, 0 Ganho total: , 0 Portanto , = 0, 06 Resolvendo a equação acima obtemos =0000 Resposta: a)4,4% b)r$0 000,00

3 3)a)Represente os pontos do plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações y 0 e + y 0 b)uma empresa fabrica uma peça de precisão em dois modelos A e B O custo de produção de uma unidade de A é R$00,00 e o de B é R$50,00 Por restrições de orçamento, a empresa pode gastar por mês no máimo R$45000,00 A mão de obra disponível permite fabricar por mês no máimo 50 peças Seja a quantidade produzida por mês de A e y a de B Represente graficamente os possíveis valores de e yadmita, para simplificar que e y assumam valores reais não negativos + y 0 y b)devemos ter simultaneamente: y y 50 0 y 0 cuja representação gráfica é dada pelo quadrilátero ABCD abaio:

4 D C (50, 00) A B 5 50

5 4)Uma locadora A de automóveis cobra R$90,00 por dia de aluguel de um certo carro Uma outra locadora B cobra pelo mesmo modelo de carro, um valor fio de R$0,00 mais R$80,00 por dia de aluguel Seja n o número de dias que um cliente pretende alugar este carro a)para que valores de n é preferível a empresa A? b)qual deveria ser o valor fio cobrado pela locadora B, para que B fosse preferível para n > 7 dias? a)sejam C = 90n e C = n os custos de A e B respectivamente Devemos A B ter: C < C isto e A B 90n < n n < b)admitindo que n possa assumir qualquer valor real positivo, e chamando de k o custo fio procurado, teremos C = k + 80 ntendo em conta que os gráficos de B C e C são semi retas, devemos ter: A B k + 80n < 90n k < 0n k n > 0 Assim, k = 7 k = 70 0 Observação Como no item (b) alguns alunos interpretaram de forma diferente o enunciado ( como por eemplo o fato de n obrigatoriamente ser inteiro), a banca resolveu aceitar também estas soluções Resposta: a) n < b)70

6 5)Resolva, no campo real, as equações: a) 5( + ) 5 = 0 b) = 8 a) 5 5( + ) = 0 5 ( + ) = 4 ( + ) = = 4 = 4 b) = = = ( 8) = 0 = 5 ou = 4 Substituindo os valores = 5 e = 4 na equação original, verificamos que apenas = 5 satisfaz a equação Assim, S = { 5 } 5 Respostas: a) S = 4 b) S = { 5 }

7 6)Considere o sistema linear nas incógnitas, y e z : + y + m z = 3 + 3y 5z = 7 3 y + z = 4 a)para que valores de m o sistema é determinado? b)resolva o sistema para m = 0 a)para que o sistema seja determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero, isto é: m m 9 0 m 3 b)o sistema a ser resolvido é: + y = 3 + 3y 5z = 7 3 y + z = 4 Escalonando o referido sistema, obtemos + y = 3 ( I ) y 5z = 3 ( II ) 9z = 57 ( III ) De (I), obtemos z = 3 Substituindo em (II), y 5 = 3 y = Substituindo em (I), + = 3 = Portanto, a solução é (,, 3 ) Resposta: a) m 9 b) S = {(,, 3 )}

8 7)a)Os pontos A, B e C são não colineares A distância de A até B é 6, a de B até C é 8 e a de A até C é 6 Qual a distância de A até a reta que passa por B e C? b)qual o período e o conjunto imagem da função f ( ) = 4sen? a)os pontos A, B e C formam o triângulo isósceles da figura abaio: A 6 6 h B 4 4 H A distância de A até a reta BC é a medida h da altura AH do triângulo ABC Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo AHC, teremos 6 = h + 4 h = 0 = 5 C b)o período da função é π = π ( o denominador é o coeficiente de ) Para obtermos o conjunto imagem, observemos que sen varia de a ; portanto f ( ) = 4sen varia de 4 a 4 Assim, o conjunto imagem é o intervalo [ 4; 4] Resposta: a) 5 b)período: π Conjunto imagem: [ 4; 4]

9 8)Uma Escola comprou computadores de 3 fabricantes: A, B e C Trinta por cento foram comprados de A, trinta por cento de B, e o restante de C A probabilidade de um computador fabricado por A apresentar algum tipo de problema, nos próimos 30 meses, é 0, As mesmas probabilidades dos fabricantes B e C são respectivamente 0,5 e 0, a)qual a probabilidade de que um computador escolhido ao acaso, seja fabricado por A e apresente algum problema nos próimos 30 meses? b)se um computador apresentar algum problema nos próimos 30 meses, qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por A? a)sejam A, B e C os eventos correspondentes ao computador ser fabricado pelas empresas A, B e C respectivamente Seja F a probabilidade do computador apresentar alguma problema no período considerado Assim, devemos calcular P( A F) Temos: P( A F ) = P( A) P( F / A) = ( 0, 3)( 0, ) = 0, 03 b)queremos calcular P( A / F)Temos: P( A F) P( A / F) = P( F) P( A F) = P( A F) + P( B F) + P( C F) 0, 03 0, = = = 0, 03 + ( 0, 3)( 0, 5) + ( 0, 4)( 0, ) 0, Resposta: a)0,03 b) 30 55

10 9)a)Calcule ( j ) 60 j= b)obtenha o 0 o termo da progressão geométrica (,,, ) 4 60 a) ( j ) = Trata-se, portanto, da soma S dos termos de j= uma Progress ão Aritmética, onde a =, a = 9 e n = 60Portanto, 60 a + a S = ( ) + = ( ) = 3600 b)a referida Progressão Geométrica é tal que a Desta forma, o 0 o termo é dado por a = a q = ( ) = 9 0 = e q = ( onde q é a razão) Resposta: a)3600 b) 9 9 PROVA DE RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

11 0)a)Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta + 3i e 3i como suas raízes ( i é a unidade imaginária) Qual o menor grau possível para P? Justifique 3 b)a equação polinomial = 0 apresenta uma raiz igual a + i Obtenha as outras raízes a)como P apresenta coeficientes reais, se houver um número compleo como raiz, seu conjugado também será raiz Assim: Sendo + 3i raiz, então o número 3i também será Sendo 3i raiz, então o número + 3i também será Como P apresenta pelo menos 4 raízes, seu grau será no mínimo 4 b)como a equação apresenta coeficientes reais, e +i é raiz, então i também será Assim sendo, haverá mais uma raiz que obviamente será real Seja 3 esta raiz Pelas Relações de Girard, devemos ter: ( + ) + ( ) + = b i i = = a Resposta: a) Demonstração b) 3

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