CPV seu Pé Direito no INSPER

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1 CPV seu Pé Direito o INSPE INSPE esolvida /ovembro/0 Prova A (Marrom) MATEMÁTICA 7. Cosidere o quadrilátero coveo ABCD mostrado a figura, em que AB = cm, AD = cm e m(^a) = 90º. 8. No plao cartesiao da figura, feito fora de escala, o eio represeta uma estrada já eistete, os potos A(8; ) e B(; 6) represetam duas cidades e a reta r, de icliação º, represeta uma estrada que será costruída. Se a diagoal BD está cotida a bissetriz do âgulo A^BC e BD = BC, etão a medida do lado CD, em cetímetros, vale a). b) 0. c). d). e). Como o ΔABD é retâgulo de catetos e, a hipoteusa BD = e cos α = Aplicado o Teorema dos Cosseos o ΔBCD, temos: = +... cos α Þ = 0 Para que as distâcias da cidade A e da cidade B até a ova estrada sejam iguais, o poto C, ode a ova estrada itercepta a eistete, deverá ter coordeadas a) ( ; 0 ). b) (; 0). c) ( ; 0 ). d) (; 0). e) ( ; 0 ). d B, r = d A, r e m r = Logo, r: y + = 0, Î 8 + = 6 + \ 6 + = + Þ 6 + = ± ( + ) Logo, =, portato r: y = 0 e C ( ; 0 ) cos α = CPV INSPENOV0 Alterativa B Alterativa C

2 INSPE //0 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades 9. Em um sistema de coordeadas cartesiaas o espaço, os potos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e D(,, ) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordeadas positivas, está localizado o poto. a) (,, ). b) (,, ). c) (,, 6). d) (,, 7). e) (,, ). Pelas coordeadas, cocluímos que a base ABCD da pirâmide é um quadrado de lado. Portato, a área da base mede S B =. Como o volume mede 8 e V = S B H obtemos que H = 6. Como V possui coordeadas positivas, cocluímos que o vértice V é dado por V (,, ). Z A B D C X Alterativa E Y CPV INSPENOV0

3 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades INSPE //0 0. Uma pessoa irá escolher dois úmeros reais positivos A e B. Para a maioria das possíveis escolhas, o logaritmo decimal da soma dos dois úmeros escolhidos ão será igual à soma de seus logaritmos decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = e B = r, tal igualdade se verificará. Com essas iformações, pode-se cocluir que o úmero r pertece ao itervalo. Na figura abaio, em que o quadrado PQS está iscrito a circuferêcia trigoométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamete, com 0 < α < β < π. a) [,0;,]. b) ],;,]. c) ],;,]. d) ],;,]. e) ],;,]. Do euciado, temos: log ( + r) = log + log r log ( + r) = log (. r) + r =. r r = =,... Sedo assim, r pertece ao itervalo ],;,] Alterativa D. A partir do mometo em que é ativado, um vírus de computador atua da seguite forma: ao logo do primeiro miuto, ele destrói 0% da memória do computador ifectado; ao logo do segudo miuto, ele destrói 0% do que havia restado da memória após o primeiro miuto; e assim sucessivamete: a cada miuto, ele destrói 0% do que havia restado da memória o miuto aterior. Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá destruído aproimadamete a) 0% da memória do computador ifectado. b) 60% da memória do computador ifectado. c) 80% da memória do computador ifectado. d) 90% da memória do computador ifectado. e) 00% da memória do computador ifectado. Aalisado a quatidade destruída do arquivo, temos: o miuto o miuto o miuto o miuto 0% %,% 8,6%... Observe que a quatidade destruída por miuto forma uma P.G. de razão q = 60%. Como durate um dia há 0 miutos, podemos aproimar a soma da quatidade destruída os 0 miutos pela soma ifiita da P.G. (há uma quatidade muito grade de termos). Sedo assim: 0% S = 60% = ou 00% Alterativa E Sabedo que cos α = 0,8, pode-se cocluir que o valor de cos β é a) 0,8. b) 0,8. c) 0,6. d) 0,6. e) 0,. Observado a figura, temos que β α = 90º Þ β = 90º + α cos β = cos (90º + α) = se β Portato: se β = 0,6 = 0,6 Þ se β = ± 0,6 se β = 0,6 Þ cos β = 0,6 β α α Alterativa C INSPENOV0 CPV

4 INSPE //0 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades. Aalisado o comportameto das vedas de determiado produto em diferetes cidades, durate um ao, um ecoomista estimou que a quatidade vedida desse produto em um mês (Q), em milhares de uidades, depede do seu preço (P), em reais, de acordo com a relação. Sedo k uma costate real positiva, cosidere o gráfico do poliômio de o grau P(), mostrado a figura. Q = +. (0;8) P. No etato, em Ecoomia, é mais usual, esse tipo de relação, escrever o preço P em fução da quatidade Q. Dessa forma, isolado a variável P a relação forecida acima, o ecoomista obteve. a) P = log 0,8 Q - b) P = log 0,8 ( Q 8 ). c) P = 0, d) P = 08, 08, Q - 8 Q - e) P = 0,. log 0,8 ( Q ). Detre as figuras a seguir, a úica que pode represetar o gráfico da fução Q(), defiida, para todo 0, pela lei Q() = P() é a) b) c) d) Q = +. (0,8) P Q = (0,8) P Q log 0,8 Q log 0,8 = log 0,8 (0,8) P = P 0,. log 0,8 Q = P e) P = log 0,8 Q - Alterativa A Temos que P() = a( k). ( + k), a > 0 e Q() = P() Þ Q() = a( k). ( + k) Q() é do o grau, suas raízes são k e k e sua cocovidade é voltada para cima (a > 0). Alterativa A CPV INSPENOV0

5 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades INSPE //0. Um polígoo regular possui lados, sedo um úmero par maior ou igual a. Uma pessoa uiu dois vértices desse polígoo por meio de um segmeto de reta, dividido-o em dois polígoos coveos P e P, cogruetes etre si. O úmero de lados do polígoo P é igual a: a) b) c) d) e) + + Dividido o polígoo de lados em dois polígoos coveos cogruetes, obteremos dois outros polígoos cogruetes que possuem + lados. Alterativa B 6. A equação + 7 = 0 possui uma raiz real r e duas raízes compleas e ão reais z e z. O módulo do úmero compleo z é igual a a). b). c). d) 0. e). Como a soma dos coeficietes é igual a zero, uma das raízes da equação é. Por Briot-uffii, obtemos: 7, de ode resulta + = 0 0 Δ = ( ).. = 6 Þ = ± i Z = + = = ± i. Alterativa B 7. No plao cartesiao, a reta r, de coeficiete agular 0, itercepta o eio y em um poto de ordeada a. Já a reta s, de coeficiete agular 9, itercepta o eio y em um poto de ordeada b. Se as retas r e s iterceptam-se em um poto de abscissa 6, etão a) b = a. b) b = a 9. c) b = a 6. d) b = a + 9. e) b = a + 6. A represetação das retas o plao cartesiao pode ser: y b a y temos: y a = 0 y a = 60 6 Þ y b = 9 y b = 6 a + b = 6 Þ b = a + 6 Alterativa E 8. Um dirigete sugeriu a criação de um toreio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apeas pelos oito países que já foram campeões mudiais: os três sulamericaos (Uruguai, Brasil e Argetia) e os cico europeus (Itália, Alemaha, Iglaterra, Fraça e Espaha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sedo os jogos do grupo A disputados o io de Jaeiro e os do grupo B em São Paulo. Cosiderado os itegrates de cada grupo e as cidades ode serão realizados os jogos, o úmero de maeiras diferetes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americaas ão fiquem o mesmo grupo é a) 0. b) 0. c) 70. d) 60. e) 0. 6 Para que as três seleções Sul-Americaas ão fiquem o mesmo grupo, é ecessário que duas Sul-Americaas fiquem um dos grupos. Assim, temos: Escolha da cidade Escolha das Sul-Americaas Escolha das Europeias C, C, C, = 60 opções Alterativa D INSPENOV0 CPV

6 6 INSPE //0 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades 9. Para fazer parte do time de basquete de uma escola, é ecessário ter, o míimo, aos. A média das idades dos cico jogadores titulares desse time é aos, sedo que o mais velho deles tem 7 aos. Dessa forma, o segudo mais velho do time titular pode ter, o máimo, a) 7 aos. b) 6 aos. c) aos. d) aos. e) aos. Se a média das idades e a quatidade de atletas do time são cohecidas, podemos calcular a soma total das idades: = å i N = å i Portato, a soma das idades da equipe é. = 6 aos. Sabemos que o mais velho tem 7 aos, o segudo mais velho tem aos e especulamos que cada um dos demais atletas tem aos. Assim: = 6, de modo que = aos. Alterativa C 0. Sedo e y dois úmeros reais ão ulos, a epressão ( + y ) é equivalete a a) y + y b) ( y + y ) c) + y d) ( + y) e) + y. Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quatidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados a tabela. Amigo Quatidades compradas de caderos caetas lápis Total pago ($) Júlia 96,00 Bruo 6 0,00 Felipe 79,00 Os preços uitários, em reais, de um cadero, de uma caeta e de um lápis, são, respectivamete,, y e z. Dessa forma, das igualdades evolvedo matrizes forecidas a seguir, a úica que relacioa corretamete esses preços uitários com os dados da tabela é a) [ y z]. b) c) d) e) [ ] y. z [ ] y. z = = [ ]. [ y z] = [ ] [ ]. y = z = Motado os sistemas lieares, temos: Júlia + y + z = 96 Bruo 6 + y + z = 0 Felipe + y + z = 79 ( + y ) = + = y + y. y =. y + y Alterativa A Passado para a forma matricial, obtemos: 6. [ ] y = z Alterativa D CPV INSPENOV0

7 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades INSPE //0 7. A figura abaio mostra o fluograma do processo que é utilizado em uma cooperativa agrícola para defiir o destio das frutas eviadas a ela pelos produtores da região. De acordo com o fluograma, se o peso de uma fruta recebida pela cooperativa é 0 gramas, etão essa fruta, ecessariamete, a) será eviada para eportação. b) será eviada para a fábrica de geleias. c) ão será eviada para comercialização o mercado itero. d) ão será eviada para compostagem. e) ão será eviada para a fábrica de geleias. Com a úica iformação dispoível sobre a fruta (m = 0g), eistem somete três possíveis destios: D. Se a aparêcia da casca e a rigidez ão estiverem ormais E a fruta estiver podre: compostagem! D. Se a aparêcia da casca e a rigidez ão estiverem ormais E a fruta ão estiver podre: fábrica de geleias! D. Se a aparêcia da casca E a rigidez estiverem ormais: eportação! Alterativa C. Os orgaizadores de uma festa previram que o público do eveto seria de, pelo meos,.000 pessoas e que o úmero de homes presetes estaria etre 60% e 80% do úmero de mulheres presetes. Para que tal previsão esteja errada, basta que o úmero de: a) homes presetes a festa seja igual a 60. b) homes presetes a festa seja igual a 00. c) homes presetes a festa seja igual a.000. d) mulheres presetes a festa seja igual a 60. e) mulheres presetes a festa seja igual a.000. Como ão temos dados sobre o público máimo da festa, teremos que ivalidar alguma alterativa usado as quatidades míimas iformadas:...o público [...] seria de pelo meos 000 pessoas e o úmero de homes presetes [estaria etre] 60% [o míimo] das mulheres presetes. A alterativa que cuja iformação é SUFICIENTE para ivalidar a previsão sobre o público total da festa é a Alterativa A, que afirma que o úmero de homes presetes seria 60. Nesse caso, teríamos ( e y idicam as quatidades de homes e de mulheres da festa): = 60, mas: 60%. y 80%. y 0,6. y 60 0,8. y 88 y 600 Ou seja, essa hipótese, o público total da festa seria formado por, o máimo, + y = = 960 pessoas, o que cotradiria a iformação iicial. Alterativa A. Detro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam alemão também falam iglês, mas ehum que fala iglês fala japoês. Além disso, os dois úicos que falam russo também falam coreao. Sabedo que todo itegrate desse grupo que fala coreao também fala japoês, pode-se cocluir que, ecessariamete, a) todos os tradutores que falam japoês também falam russo. b) todos os tradutores que falam alemão também falam coreao. c) pelo meos um tradutor que fala iglês também fala coreao. d) ehum dos tradutores fala japoês e também russo. e) ehum dos tradutores fala russo e também alemão. As iformações forecidas permite motar o seguite diagrama: Alterativa E INSPENOV0 CPV

8 8 INSPE //0 Seu Pé Direito as Melhores Faculdades. Cosidere, o plao cartesiao, o triâgulo retâgulo determiado pelos eios coordeados e pela reta de equação + y = 60. A medida do raio da circuferêcia iscrita esse triâgulo é igual a a). b). c). d). e). COMENTÁIO ANÁLISE QUANTITATIVA A prova de Aálise Quatitativa do processo seletivo do Isper ovembro/0 troue, como de costume, questões iterpretativas e cotetualizadas. ecohecemos algumas figuras já presetes em provas ateriores, porém criativamete alteradas quato aos seus objetivos. Notamos, também, a preseça de questões que eigiram bom seso e oções de gradeza, além de habilidades e competêcias matemáticas. Acreditamos que esta prova dotará à Baca Eamiadora de codições de selecioar os melhores cadidatos. Icidêcia de Assutos + y = 60 Observado o deseho, podemos cocluir que + = Þ = Alterativa B 7,% Geometria Plaa,0% Lógica 7,% Equações Algébricas 7,% Trigoometria 7,% Geometria Aalítica,0% Geometria Espacial,0% Probabilidades,0% Epoeciais e Logaritmos,% Fuções,% azão e Proporção,% Porcetagem e Juros,% Sequêcias e Progressões,% Poliômios,% Números Compleos,% Aálise Combiatória,% Estatística,% Matrizes CPV INSPENOV0