1. Objetivo: determinar as tensões normais nas seções transversais de uma viga sujeita a flexão pura e flexão simples.

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1 FACULDADES NTEGRADAS ENSTEN DE LMERA Curso de Graduação em Egeharia Civil Resistêcia dos Materiais - 0 Prof. José Atoio Schiavo, MSc. NOTAS DE AULA Aula : Flexão Pura e Flexão Simples. Objetivo: determiar as tesões ormais as seções trasversais de uma viga sujeita a flexão pura e flexão simples.. trodução Elemetos delgados que suportam carregametos aplicados perpedicularmete ao seu eixo logitudial são deomiados vigas.. Em geral, vigas são tratadas como elemetos de barra logos e retos, com área da seção trasversal costate e são classificadas coforme o modo como são apoiados. Por exemplo, uma viga simplesmete apoiada é suportada por um apoio fixo em uma extremidade e um apoio móvel (ou rolete) a outra. Uma viga apoiada com extremidade em balaço é uma viga a qual uma ou ambas as extremidades ultrapassam livremete os apoios. Além disso, uma vez que esses diagramas forecem iformações detalhadas sobre a variação dos esforços solicitates ao logo do eixo da viga, os egeheiros podem utilizá-los los para decidir ode colocar materiais de reforço o iterior da viga ou calcular as dimesões da seção trasversal da viga.. Flexão Ao supor uma barra reta prismática submetida a atuação de mometos fletores M aplicados a extremidade da peça, tem-se o mometo costate ao logo do eixo da barra. Todos os potos da barra têm a mesma curvatura, portato a forma da curvatura é um arco de circuferêcia. Os carregametos aplicados perpedicularmete ao eixo logitudial provocam uma deflexão da viga. Esforços físicos iteros aparecerão como resultado da deformação das partículas da viga etre si. Por cota desses carregametos aplicados, a viga desevolverá etão um mometo fletor e uma força de cisalhameto itera (força cortate). Estes dois esforços irão variar de poto para poto ao logo do comprimeto do eixo da viga. Para projetar uma viga correte, é ecessário determiar a força de cisalhameto (V) e o mometo fletor (M) máximos que agem a viga. Um modo de fazer isso é expressar V e M em fução de uma posição qualquer x ao logo do eixo da viga. Etão, essas fuções de cisalhameto e mometo podem ser represetadas em gráficos deomiados diagramas de força cortate e mometo fletor. Os valores máximos desses esforços podem ser obtidos desses gráficos. Depois que a barra se deforma, o segmeto BB ' aumeta de comprimeto, equato o segmeto AA ' dimiui. Ao logo da altura da barra, etre esses dois segmetos, deve haver um segmeto CC' que matém o mesmo comprimeto. O eixo logitudial que cotém esse segmeto é deomiado eixo eutro ou liha eutra,, porque ão se deforma. Parece claro que a parte da barra acima do eixo eutro é toda comprimida, com maior ecurtameto as fibras mais superiores. Abaixo do eixo eutro toda a região está tracioada, com maior alogameto das fibras mais iferiores. Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0

2 Sabe-se que quato mais alogameto, maior a itesidade de tesão a fibra está submetida. Portato, as fibras superiores e iferiores mais extremas estarão sujeitas a tesões maiores, em valor absoluto. Se a fibra se ecurta, ela está comprimida. Se ela se aloga, está tracioada. Tesões de compressão e de tração são aquelas que atuam perpedicularmete ao plao de aálise. Portato, são tesões ormais (σ). Um exemplo de ocorrêcia de tesões ormais é o problema de um cabo submetido à ação de uma força perpedicular à sua seção trasversal. Na resistêcia dos materiais, supomos que as seções plaas de uma barra permaecerão plaas após a deformação de flexão. É como se a seção girasse em toro da liha eutra como um corpo rígido. Pode-se observar esse giro as extremidades da viga da figura aterior. A face vertical da viga gira em toro do poto localizado a liha eutra da peça. Supõe-se que a variação da deformação logitudial (ε) seja liear ao logo da seção trasversal. Na viga submetida à flexão também há compressão e tração em suas partículas. Etão, tesões ormais (σ) também ocorrem a flexão. Para cofirmar isso, vamos dividir uma viga fletida em várias áreas elemetares. Ao aalisar duas dessas áreas vizihas, veremos que a flexão faz com que uma área aplique uma força sobre a outra. Parte dessa força é perpedicular ao plao de cotato etre as áreas. Daí tem-se uma tesão ormal (σ) aplicada a iterface etre as áreas. De acordo como a Lei de Hooke, para materiais de comportameto elástico-liear, liear, a tesão ormal é proporcioal à deformação logitudial: σ E.ε. Assim, temos que a tesão ormal também varia liearmete ao logo da seção trasversal da barra. Em duas regiões distitas de uma viga fletida, tomemos outras duas áreas elemetares em cada região. Na região iferior da viga, tracioada, o alogameto é maior quato mais próximo for da borda iferior. Na outra região, o ecurtameto máximo ocorrerá a borda superior. Caso tivermos uma barra com seção trasversal retagular, teremos que a máxima tesão ormal de tração será igual à máxima tesão ormal de compressão, em valor absoluto. A força resultate de compressão C terá a mesma itesidade da força resultate de tração T. Ambas são aplicadas o CG da figura formada pelo diagrama de distribuição de tesões ormais. Essas duas forças costituem um biário oriudo do mometo fletor. Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0

3 Se agora tomarmos duas faixas logitudiais, uma abaixo e outra acima da liha eutra dessa mesma viga, veremos que a faixa iferior sofre alogameto, e a superior sofre ecurtameto. Surgem etão tesões de cisalhameto a iterface das duas faixas devido a essa difereça de deformação. Se a seção há, além do mometo fletor, força cortate, a flexão é cohecida como flexão ormal simples.. Na figura aterior temos flexão simples os trechos etre o apoios e as cargas cocetradas. A figura a seguir é o resultado de uma aálise fotoelástica de um modelo de viga em flexão pura. Nela, pode-se observar faixas horizotais de mesma cor. sso quer dizer que a tesão ormal em uma mesma altura da viga ão varia ao logo de seu eixo. Etão, costata-se que o mometo fletor é costate equato as faixas coloridas se apresetarem a horizotal. A faixa egra idica os lugares geométricos ode a tesão é ula, ou seja, a liha eutra. Quado aalisamos uma área elemetar bem a iterface das duas faixas, veremos que a tesão de cisalhameto tederia a fazer essa área girar em toro de seu cetro. Para mater o equilibro estático do elemeto, surgem etão tesões de cisalhameto que atuam as faces verticais do elemeto. Cocluímos etão que as tesões de cisalhameto devem atuar em duas direções mutuamete ortogoais para que o elemeto se mateha em equilibro. O cisalhameto a flexão será objeto de aula futura, portato ão abordaremos mais detalhes esta ota de aula.. Tesões ormais a flexão Quado o vetor mometo fletor é perpedicular a um eixo pricipal de iércia, o eixo z por exemplo, a flexão é deomiada flexão ormal. Existido apeas o mometo fletor a seção (cortate e ormal são ulos), a flexão é chamada de flexão ormal pura.. Na figura abaixo, o trecho BC da viga, etre as cargas cocetradas, está submetido à flexão pura. Há também outros casos de flexão que serão objetos de estudo de aulas posteriores... Equação da flexão Para aplicar o coceito de tesão o caso da flexão, vamos cosiderar que, em áreas ifiitesimais da de uma seção da barra, há forças dn perpediculares à seção. Sedo as áreas da cofudidas com um poto, podemos supor que as tesões elas sejam uiformes. Etão a tesão ormal média em cada área pode ser defiida por: dn σ da Como a largura (e) e a altura da barra (h) são pequeas quado comparadas com seu comprimeto, podemos admitir que a tesão ormal em todos os potos ao logo da largura seja costate. Se somarmos dn ao logo de toda a área da viga submetida a tesões ormais de compressão teremos a força de compressão resultate (a força de compressão do biário): C A σ da Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0

4 Fazedo da mesma maeira para as tesões ormais de tração, teremos: + T A σ da + em que A - e A + são as áreas em que as tesões são egativas e positivas, respectivamete. Para que haja equilíbrio, o biário itero deve equilibrar o mometo extero aplicado M. Assim: M Td C d Como vimos, a tesão ormal um poto da seção trasversal da barra é: dn σda. Como as tesões variam liearmete a altura da seção trasversal, tomemos uma costate K pela qual multiplicaremos pela distâcia (z) da força até a liha eutra para determiarmos o valor de σ. A força ormal dn será: dn K z da O mometo elemetar de cada força dn em relação à liha eutra será: dm z dn K z da A soma de todos esses ifiitos mometos elemetares tem de ser igual ao mometo M (biário resultate das tesões). M K z da K A sedo, A z da que é o mometo de iércia da seção em toro do eixo. Sabedo que K σ / z, a tesão ormal será: M σ z em que z é a distâcia a vertical etre o poto de aálise e a liha eutra. Exemplo Determiar as máximas tesões de tração e compressão a viga abaixo. Passo: cálculo das características geométricas da seção trasversal. Cetróide em relação ao eixo : h 0 z g 0cm Mometo de iércia em relação ao eixo. Para retâgulos, o mometo de iércia vale: b h cm Passo: Tesões ormais. Por se tratar de caso de flexão simples, as máximas tesões ormais serão ecotradas as fibras mais distates da liha eutra (o CG). Por coveção, a distâcia etre o eixo e um poto abaixo dele é cosiderada positiva. A distâcia etre o eixo e um poto acima dele será egativa. - tesão ormal a fibra iferior: M 98 σ z 0 0, 5 kn cm², MPa tesão ormal a fibra superior: M 98 σ z ( 0) 0, 5 kn cm², MPa Passo: Máximas tesões ormais. σ, MPa max σ mi, MPa (tesão ormal de compressão) Exemplo Verificar se a viga pode ser utilizada com seguraça. Dados: σ t 80 MPa e σ c 60MPa. Passo: determiar o diagrama de mometo fletor. (tesão ormal de tração) Passo: determiar o diagrama de mometo fletor. Reações os apoios: 5 RA RB 7, 5kN Diagrama de mometo fletor: p l 5 9, 8kNm 8 8 M max + M max M max 7, 8kNm, 00kNm Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0

5 Passo: cálculo das características geométricas da seção trasversal. Vamos desmembrar a figura da seção trasversal em duas figuras simples. - tesão ormal a fibra superior: 00 σ (, 6 0) 0, 65kN cm² 6, 5 MPa 89, 6 (tesão ormal de tração) Cetróide da figura em relação a : z g 7 + 8, 5cm Cetróide da figura em relação a : 7 z g 8, 5cm Cetróide da seção trasversal: ( 8, 5 8) + ( 8, 5 7 ) z g, 6cm ( ) ( ) Mometo de iércia em relação ao eixo : + ( z g z ) A b h + g (, 6 8, 5) ( 8) 5, cm Passo: Máximas tesões ormais. σ 6, MPa max σ mi, 0 MPa 5 Passo: Comparação com as tesões admissíveis. σ < σ Ok! max t σ mi < σ c Ok! A estrutura é segura quato às tesões ormais de flexão. Numa seção com mometo fletor cohecido queremos achar quase sempre apeas a tesão máxima para compará-la com a tesão admissível. Assim, M M M σ máximo zmáximo z W máximo a qual W é o módulo de resistêcia da seção zmáx e caracteriza a capacidade de resistêcia da seção à flexão. ( z g z ) A b h + g , 6 cm (, 6 8, 5) ( 7 ) 575, cm Passo: Tesões ormais. Para o caso de M + max: - tesão ormal a fibra iferior: σ M 78 z, 6, 6 kn cm² 6, MPa 89, 6 (tesão ormal de tração) - tesão ormal a fibra superior: M 78 σ z, 6 0, kn cm², 89, 6 ( ) MPa (tesão ormal de compressão) Para o caso de M - max: - tesão ormal a fibra iferior: M 00 σ z, 6, 0 kn 89, 6 cm², 0 MPa (tesão ormal de compressão) Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0 5

6 ANEXO Características geométricas das seções trasversais: cetro de gravidade, mometo de iércia e raio de giração. Cetro de Gravidade (CG), baricetro ou cetróide Uma figura complexa pode ser dividida em figuras mais simples. Cada figura tem uma área i e as coordeadas dessa área são ( i,z i ). Para respoder estas questões basta saber que quato maior a distâcia de uma massa em relação a seu eixo de giro, mais difícil se tora girar essa massa. O mometo de iércia () é uma medida da resistêcia ao giro que um corpo oferece. Ele mede a distribuição da massa em toro de seu eixo. z da z z da Ao tomar o mometo de cada área em relação à origem O, temos: A g A + A A i Ai i A área total é a somatória de todas as áreas: A A i A i Combiado as duas equações teremos: A i Ai g i Ai i g e, aalogamete, z g i zi i i i i No caso de um sólido homogêeo plao, podemos dizer que o cetro de gravidade é o poto por ode passa a liha de ação da força peso. O mometo de iércia em relação ao poto de origem dos eixos coordeados é chamado de mometo polar de iércia: ( x ) p r da + da + z Uma característica importate das figuras geométricas quado se trata de uma seção sem eixo de simetria, ou o caso de rotação de eixos, é o produto de iércia.. O produto de iércia de uma área A de uma figura em relação ao dois eixos coplaares com ela, eixos coordeados x e,, é dado por: xda z O mometo de iércia de uma seção retagular em relação ao seu CG é: h / b h z da z b dz h / h / z da b dz h / h b Mometo de ércia ou Mometo de Seguda Ordem tuitivamete, o que é mais fácil girar em toro de seu eixo, um disco fio de grade diâmetro ou um eixo de pequeo diâmetro com mesma massa do disco? É mais fácil girar um corpo em toro de um eixo com um raio de giro grade ou pequeo? Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0 6

7 ANEXO (retirado da apostila do Prof. Serra) Propriedades de Figuras Plaas Notação: A área mometo de iércia em relação ao eixo P m produto de iércia em relação aos eixos m e J m m + mometo polar de iércia em relação aos eixos m e i raio de giração em relação ao eixo Seção Propriedades A P b i imí (b<h) b h (h J b + ) P 0 (h J b + ) W 6 W 6 h/ h A (h J b ) 6 i 6 h W superior W if erior b triâgulo isosceles 8 P 0 6 i b W D R A J R D i i W W D d π A (D π 5π d ) (D d ) (D d ) 6 6 π J (D d ) i i D d π(d d ) W W D Ael circular Fórmulas aproximadas para o caso de t pequeo DR (valor médio) t<<d A t t t t t t maior precisão com ( + ) 8 8 D t J t i i D πtd W W π 8 A R 0,098R 8 8 9π 8 R DR c R 6 c i imíimo R 0,6R π 9π R i W superior 0,907R W if erior 0,587 R W 8 JLSerra Faculdades tegradas Eistei de Limeira Eg. Civil Resistêcia dos Materiais - 0 7