Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x.

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1 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.: Defiição e coceitos básicos Defiição.: Uma equação diferecial ordiária é uma dy d y equação da forma f,,,, y = 0 ou d d ( ) f (, y, y,, y ) = 0, evolvedo uma fução icógita y = y( ) e algumas das suas derivadas em ordem a. Eemplos.: dy ) + y = 0; ) y + y = d ; 3) ( y ) d ( + y ) dy = 0. Defiição.3: Chama-se ordem da equação diferecial à maior das ordes das derivadas que ela aparecem. Por eemplo, - a equação diferecial y + = e é de primeira ordem; - a equação diferecial ( 9) y y = é de oa ordem; - a equação diferecial d dt s ds 3 + s = t é de seguda ordem. dt "Resolver" a equação diferecial cosiste em ecotrar fuções ( ) y = y que a satisfaçam.

2 Defiição.4: Chama-se solução de uma equação diferecial de ordem o itervalo I a uma fução g( ) y = defiida esse itervalo, jutamete com as suas derivadas, até à ordem, que satisfaz a equação diferecial, ou seja, f ( (, g( ), g ( ),, g ) ( ) ) = 0, I. Eemplo.5: Mostre que y = Ce é uma solução da equação y y = 0. Resolução: De y = Ce resulta que y = Ce. Substituido a equação dada as epressões de y e y, obtém-se Ce Ce = 0, pelo que a fução y = Ce satisfaz a equação diferecial dada, qualquer que seja o valor da costate arbitrária C. Eemplo.6: Mostre que a fução solução da equação y + y =. y 0 t = e e dt + C e é Resolução: De y 0 t = e e dt + C e resulta que y = e t ( ) e dt + e e + Ce, isto é, 0 y 0 t = e e dt + C e. Substituido as epressões y e y o º membro da equação diferecial, obteremos.

3 Defiição.7: Chama-se solução geral ou itegral geral de uma equação diferecial ordiária a toda a solução que evolva uma ou mais costates arbitrárias. Defiição.8: Chama-se solução particular ou itegral particular de uma equação diferecial ordiária a toda a solução obtida atribuido valores às costates arbitrárias da solução geral. Eemplo.9: A taa de desitegração (perda de massa) de uma substâcia radioactiva é proporcioal à massa que fica. Isto é, se d () t represeta a massa eistete um istate t, tem-se = k, dt sedo k uma costate positiva, característica da substâcia. Determie a massa eistete um istate t. Resolução: Vamos resolver a equação diferecial = k. Sedo > 0, vem d dt = k, isto é = k dt = kdt kt C kt l = kt + C = e e = e C. Esta solução () t, vem afectada duma costate arbitrária C, represetado assim uma família de fuções (soluções), ou kt seja, () t = e C é a solução geral da equação diferecial. 3

4 0k 0 Se ( 0 ) = tem-se: ( ) = e C C =. kt Logo, () t = e é uma solução particular, pois já ão evolve ehuma costate arbitrária. Defiição.0: Chamam-se codições iiciais as codições relativas à fução icógita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variável idepedete. Defiição.: Chamam-se codições de froteira as codições relativas à fução icógita e suas derivadas dadas para valores distitos da variável idepedete. Nota: A costate C deve-se à primitivação que foi ecessário fazer. É evidete que se a equação evolvesse derivadas até uma certa ordem, seria ecessário primitivar vezes, logo a solução geral evolveria costates arbitrárias. Neste caso, para obter uma solução particular seria ecessário cohecer codições. Eemplo.: Resolva a equação diferecial: y = 0 e idique a solução da equação que satisfaz as codições y () = 0 e ( 0) = y. Resolução: y = 0 y = y = + C y = + C + C. 4

5 y, vem afectada de duas costates arbitrárias represetado por isso uma família de fuções (soluções). Diz-se, por isso que ( ) + C C y = + é a solução geral da equação diferecial. y() = C 0 ( 0) = = y desejada., C. Como y ( ) = + C C. Logo ( ) = + 3 = y é a solução particular 4.: Equações difereciais de variáveis separadas e separáveis Defiição.: Uma equação diferecial de variáveis separadas é uma equação do tipo g ( y) dy = f ( ) d. MÉTODO DE RESOLUÇÃO A solução geral da equação diferecial de variáveis separadas obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja, ( y) dy f ( ) d C g = +. Defiição.: Chama-se equação de variáveis separáveis a uma equação do tipo ( ) h ( y) d f ( ) h ( y)dy f = a qual o coeficiete associado a cada diferecial se pode factorizar em fuções, depedetes só de ou só de y. 5

6 MÉTODO DE RESOLUÇÃO Dividido ambos os membros pelo produto ( ) h ( y) fica com as variáveis separadas ( ) ( ) f a equação ( y) ( y) dy f h d =. f h O itegral geral desta equação tem a forma f f ( ) ( ) h d = h ( y) ( y) dy + C Eercícios.3: Determie a solução geral das equações: dy. d (i) ( y ) y = ; (ii) ( + ) y = 0 Eercício.4: Calcule a solução particular da equação ( + e ) yy = e que satisfaz a codição iicial y ( 0 ) =. 4.3: Equações difereciais totais eactas: factor itegrate Defiição 3.: A equação diferecial M (, y) d + N(, y) dy = 0 diz-se total eacta se eistir uma fução g com derivadas parciais de ª ordem cotíuas tal que g (, y) = M (, y) g y e (, y) = N(, y). 6

7 Teorema 3.: Se M e N são fuções cotíuas com derivadas parciais cotíuas uma bola aberta do plao Oy etão a equação diferecial (, y) d + N(, y) dy = 0 M é total eacta se e só se y M, ( y ) ( y)= N,. Nota: O teorema aterior permite cocluir que, se M N, (, y ), etão a equação M (, y) d + N(, y) dy = 0 y ( y) ão é total eacta. MÉTODO DE RESOLUÇÃO Para resolver a equação diferecial total eacta (, y) d + N(, y) dy = 0 M devemos determiar a fução g que g satisfaça as equações (, y) = M (, y) g y e (, y) = N(, y) solução da equação diferecial é dada por g ( y) = C,.. A Nota: Em geral a equação diferecial M (, y) d + N(, y) dy = 0 ão é total eacta. Mas, por vezes, é possível trasformá-la uma equação diferecial total eacta mediate a multiplicação por um factor adequado. Defiição 3.3: Uma fução ( y) I, é um factor itegrate da equação diferecial (, y) d + N(, y) dy = 0 M se a equação diferecial (, y) ( M (, y) d + N(, y) dy) = 0 I for total eacta. 7

8 4.4: Equações difereciais lieares de ª ordem Defiição 4.: Chama-se equação diferecial liear de ª ordem a uma equação da forma y + P( ) y = Q( ) fuções cotíuas de um certo domíio ode P e Q são D IR. É usual desigar por equação completa aquela em que Q ( ) 0 equato que a equação se chama homogéea, se Q ( ) = 0 A resolução destas equações pode equadrar-se em casos já estudados. Se Q ( ) = 0 Se ( ) 0, a equação é de variáveis separáveis. Q a equação admite um factor itegrate fução só P( ) d I, = e. de, ( y) MÉTODO DE RESOLUÇÃO º - Determiar o factor itegrate ( y) P( ) d I, = e ; º - Multiplicar a equação diferecial por este factor itegrate, isto é e P ( ) d P( ) ( y + P( ) y) = e d Q( ) ; () 3º - Notar que o º membro da equação () é igual a d d P( ) d ye ; 4º - Itegrar ambos os membros em ordem a, ou seja, ( ) P( ) d = e d. P d ye Q( ) 8

9 Eercício 4.: Determie a solução geral das equações: () dy d 3 y = ; () ( + ) dy + ( y + + ) d = : Trasformadas de Laplace. Defiição e propriedades. Defiição 5.: Seja f uma fução real de variável real tal que + f () t = 0 se t < 0. Se eistir o itegral impróprio e st f ()dt t, ode s é um úmero real, a este itegral chamamos trasformada de Laplace de f e represeta-se por L { f () t. Eemplo 5.: Use a defiição para calcule { Nota: () A trasformada de Laplace { f ( t) 0 L e { e t L. L de f é uma fução + de s, ou seja, L { f () t = e st f ()dt t 0 ( s) = F. () A trasformada de Laplace { f ( t) L eiste se o itegral impróprio + e st 0 f ()dt t for covergete. 9

10 Defiição 5.3: Uma fução f, real de variável real, diz-se seccioalmete cotíua o itervalo [ a, b], se for defiida em [ a, b] ecepto possivelmete um úmero fiito de potos i, i =,, com a < < <... < < < b, f é cotíua em cada sub-itervalo da forma ] a [, ], [,, ], b[, fiitos os limites laterais em cada poto i,, e se são i =,,. Defiição 5.4: Uma fução f, real de variável real, diz-se seccioalmete cotíua em [ 0,+ [, se for seccioalmete cotíua em [ 0,b], para todo b > 0. O teorema seguite estabelece codições suficietes para a eistêcia da trasformada de Laplace. Teorema 5.5: Seja f uma fução real seccioalmete cotíua em [ 0,+ [. Se eistirem úmeros reais c, M e 0 ct t tais que f () t Me para t > t 0, etão L { f () t eiste, para s > c. Daqui para a frete, cosideraremos sempre fuções que verificam as codições do teorema aterior. Teorema 5.6: Propriedade de liearidade. Sejam a, b IR. Se L { f () t e L { g( t) eistirem etão { af ( t) bg( t) e tem-se L { af ( t) bg( t) = al{ f ( t) + bl{ g( t) +. L + também eiste 0

11 Eemplo 5.7: Calcule { e t + 5 L. Defiição 5.8: Seja a IR. Chama-se fução de Heaviside ou 0 se fução degrau uitário a fução U a () t = se t < a t a. Teorema 5.9: Sejam g t a, b IR. Se f () t = g t g3 ( ) () () t se t < a se a t < b se t b 0 etão f () t = g ( t) [ U ( t) ] + g ( t) [ U ( t) U ( t) ] g () t U () t + a a b 3 b., Eemplo 5.0: Calcule, usado a tabela à seguir, as seguites trasformadas de Laplace: () L ; () { t 3 (3) { se( t) L ; (4) L ; (5) L{ e t t ; (6) { t e t ( 4t) cos L + ; L. t se 0 t < Eemplo 5.: Cosidere a fução f () t = t. e se t Calcule L { f () t.

12 TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE f () t L { f ( t), s>0 s t, =,,3 se ( kt)! +, s>0 s k, s>0 s + k cos ( kt) s s + k, s>0 f e at f () t F( s a) ( t a) U a ( t), a>0 e as F( s) () t t f, =,,3 ( ) () t f, =,,3 d ( ) F() s ds s F s s f 0 ( ) ( ( ) f ) ( 0) TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA Dada uma fução f de domíio + IR, a sua trasformada de Laplace é, como vimos, uma fução F de variável s. Pode agora colocar-se o problema iverso. Dada F ( s), eistirá uma fução f () t tal que F ( s) = { f () t L?

13 A fução f, se eistir é chamada trasformada de Laplace iversa de F e escreve-se f ( t) L { F( s) =. Nota: () A trasformada de Laplace iversa em sempre eiste, e caso eista, ela pode ão ser úica. L () Do teorema 5.6 decorre, de imediato, que { af() s bg() s = al { F( s) + bl { G( s) +, com a, b IR. (3) A tabela de trasformadas de Laplace, também pode servir para calcular L { F( s). Eemplo 5.: () L = ; s () L L = t = ; s s (3) L e s ( s ) = tu () t. A trasformada de Laplace é muito útil a resolução de equações difereciais lieares sujeitas a codições iiciais. 3

14 4.6: Resolução de equações difereciais lieares de ordem usado trasformadas de Laplace Sejam a 0, a,,a parâmetros reais. Cosideremos a seguite equação diferecial liear de ordem, com coeficietes costates ( ) ( ) + a y + + a y + a y g( t) a y 0 =, t I IR () sujeita às codições iiciais, em t = 0 I, y ( 0) = y0, y ( 0) = y,, ( ) ( 0) = y y. O osso objectivo é obter a solução y ( t) da equação diferecial. MÉTODO DE RESOLUÇÃO Aplicado a trasformada de Laplace em ambos os membros de (), e usado a propriedade de liearidade obtemos ( ) ( ) { y + a L y { + + a L{ y + a L{ y L g( t) { a L 0 = () Pelo formulário, () equivale a ( a () Y s s y() 0 y ) ( 0) ( s ) + ( Y s s y 0 y 0 ) + ( a s () () ) ( ) + + a Y ( s) = G( s) sedo Y () s = L{ y() t e () s L{ g( t) G =. 0 (3) Mas (3) pode escrever-se a forma ( as + a s + + a0 ) Y ( s) = a ( y + y ) a ( y + y ) = s que é uma equação algébrica em Y ( s). s + + G () s, (4) 0 + 4

15 A trasformada de Laplace iverse aplicada à solução Y () s da equação (4), dá-os a solução y( t) L { Y ( s) diferecial () sujeita às codições iiciais dadas. = da equação Eemplo 6.: Recorredo ao método da trasformada de Laplace, determie a solução da seguite equação diferecial sujeitas às codições iiciais dadas: y = ( t ) e t, y ( 0 ) = e ( ) y + y 0 =. 5

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