M = C (1 + i) n. Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:

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Thiago Santarém Bernardes
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1 PEDRO ORBERTO JUROS COMPOSTOS Da capitalização simples, sabemos que o redimeto se dá de forma liear ou proporcioal. A base de cálculo é sempre o capital iicial. o regime composto de capitalização, dizemos que o redimeto se dá de forma expoecial. Os juros do período, são calculados com base um capital, formado um motate, que será a ova base de cálculo para o período seguite. Chama-se período de capitalização o istate de tempo o qual a aplicação rede juros. Sedo o tempo de aplicação igual a 2 aos, por exemplo, e os juros capitalizados mesalmete, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quatidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4, e assim sucessivamete. EXEMPLO: a aplicação de R$ 1.000,00 durate 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, cotada uma capitalização mesal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação iicial vai reder 5 vezes. Observado o crescimeto do capital a cada período de capitalização, temos: 1º período: 100% R$ % M M = R$ 1.020,00 (esta é a ova base de cálculo para o período seguite) Portato, o motate ao fial dos 5 meses será R$ 1.104,08. o cálculo, tivemos R$ ,02 1,02 1,02 1,02 1,02 = R$ (1,02) 5 = R$ ,10408 = R$ 1.104,08 CAPITAL MOTATE 2º período: R$ 1.020,00 1,02 = R$ 1.040,40 3º período: R$ 1.040,40 1,02 = R$ 1.061,21 4º período: R$ 1.061,21 1,02 = R$ 1.082,43 5º período: R$ 1.082,43 1,02 = R$ 1.104,08 Observamos o fator (1,02) 5. Essa potêcia pode ser calculada com calculadoras cietíficas ou com auxílio das tabelas fiaceiras. Geeralizado, o cálculo do motate a juros compostos será dado pela expressão abaixo, a qual M é o motate, C o capital, i é a taxa de juros e é a quatidade de capitalizações. Comparado o cálculo composto (expoecial) com o cálculo simples (liear), vemos o cálculo simples: CAPITAL JUROS MOTATE R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 M = R$ 1.020,00 R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 M = R$ 1.040,00 R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 M = R$ 1.060,00 R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 M = R$ 1.080,00 R$ 1.000,00 0,02 = R$ 20,00 M = R$ 1.100,00 Portato, o motate simples, ao fial dos 5 meses será R$ 1.100,00. Observamos que ao fial do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresetam valores iguais. A partir daí, o redimeto composto passa a superar o simples. MATEMÁTICA FIACEIRA 13

Os juros do período, são calculados com base um capital, formado um motate, que será a ova base de cálculo para o período seguite.

2 PEDRO ORBERTO O Motate composto pode ser calculado com uso de calculara fiaceira e plailha eletrôica Com a calculadora HP-12C para a resolução do problema aterior, pode ser usada a seguite sequêcia de teclas: 1000 CHS PV 2 i 5 FV 1) Calcular o motate, ao fial de um ao de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. A capitalização é mesal, portato, o tempo de aplicação cosiderado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 i = 4% = 0,04 = 12 M = 600 (1 + 0,04) 12 M = 600 (1,04) 12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62 O fator (1,04) 12 pode ser calculado com auxílio das tabelas fiaceiras, para = 12 e i = 4%. i 2% 3% 4% 5% 9 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,88565 Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguite sequêcia de teclas: 600 CHS PV 4 i 12 FV 2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durate 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? C = R$ 500 = 8 (as capitalizações são mesais) M = 500 (1,05) 8 M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738, J = R$ 238,73 3) Qual a aplicação iicial que, empregada por 1 ao e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se tora igual a R$ 477,62? MATEMÁTICA FIACEIRA 14

A capitalização é mesal, portato, o tempo de aplicação cosiderado teremos 12 capitalizações.

3 PEDRO ORBERTO M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 = 6 (as capitalizações são trimestrais) 477,62 = C (1,03) 6 477,62 C = 1,19405 C = R$ 400,00 TAXA OMIAL E TAXA EFETIVA É comum em algumas situações, a apresetação da taxa em uma uidade de tempo diferete da uidade do período de capitalização. Por exemplo, uma taxa aual sedo a capitalização dos juros feita mesalmete. Essa taxa aual e chamada omial. TAXA OMIAL: quado sua uidade de tempo difere da uidade do período de capitalização. TAXA EFETIVA: quado sua uidade de tempo coicide com a uidade do período de capitalização. A TAXA OMIAL ão é utilizada os cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por coveção, a passagem da TAXA OMIAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcioal. EXEMPLOS: Dada uma taxa de 36% ao ao, com capitalização mesal. Temos que 36% a.a. é a taxa omial; a taxa efetiva é portato, 36% 12 = 3% ao mês. Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mesal, temos que 15% ao semestre é a taxa omial; a taxa efetiva será 15% 6 = 2,5% ao mês. TAXAS EQUIVALETES Já sabemos que duas taxas são equivaletes quado aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo período de tempo, produzem o mesmo redimeto. a capitalização simples, duas taxas proporcioais são também equivaletes. a capitalização composta, ão. o regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. represeta o redimeto, em um trimestre, de: Atribuido um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1) 3 M = 10 1,331 M = R$ 133,10. Portato o redimeto o trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês é equivalete a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas os problemas; são efetivas. Podemos geeralizar o cálculo da equivalêcia etre taxas assim: Equivalêcia etre AO e MÊS: 1 + i a = (1 + i m ) 12 Equivalêcia etre AO e TRIMESTRE: 1 + i a = (1 + i t ) 4 Equivalêcia etre SEMESTRE e MÊS: (1 + i m ) 6 = 1 + i s Observamos que o lado da igualdade que cotém a meor das uidades de tempo evolvidas, fica elevado ao expoete igual a quatas vezes a meor uidade cabe a maior. 1) Calcular o motate gerado a partir de R$ 1.500,00, quado aplicado à taxa de 60% ao ao com capitalização mesal, durate 1 ao. MATEMÁTICA FIACEIRA 15

TAXA OMIAL: quado sua uidade de tempo difere da uidade do período de capitalização. TAXA EFETIVA: quado sua uidade de tempo coicide com a uidade do período de capitalização.

4 PEDRO ORBERTO Observamos que 60% ao ao é uma taxa omial; a capitalização é mesal. A taxa efetiva é, portato, 60% 12 = 5% ao mês. C = R$ = 12 M = (1,05) 12 M = ,79586 M = R$ 2.693,78 2) Aplicado R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ao, com capitalização bimestral, durate um ao e meio, qual o valor do motate? Observamos que 12% ao ao é uma taxa omial; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portato, 12% 6 = 2% ao bimestre. C = R$ 800 i = 2% = 0,02 = 9 M = 800 (1,02) 9 M = 800 1,19509 M = R$ 956,07 3) Um capital, após 5 aos de ivestimeto, à taxa de 12% ao ao, capitalizada semestralmete, eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital? Observamos que 12% ao ao é uma taxa omial; a capitalização é semestral. A taxa efetiva é, portato, 12% 2 = 6% ao semestre. M = R$ 1.969,93 i = 6% = 0,06 = 10 C = M - C = 1.969,93 (1,06) -10 C = 1.969,93 0,55839 C = R$ 1.100,00 4) Qual a taxa aual equivalete a: a) 3% ao mês; b) 30% ao semestre com capitalização bimestral a) i a =?; i m = 3% Para a equivalêcia etre AO e MÊS, temos: 1 + i a = (1 + i m ) i a = (1,03) i a = 1,42576 i a = 1, i a = 0,42576 = 42,57% b) 30% ao semestre é uma taxa omial; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portato, 30% 3 = 10% ao bimestre. Para a equivalêcia etre AO e BIMESTRE, temos: 1 + i a = (1 + i b ) i a = (1,1) i a = 1,77156 i a = 1, i a = 0,77156 = 77,15% MATEMÁTICA FIACEIRA 16

Observamos que 12% ao ao é uma taxa omial; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portato, 12% 6 = 2% ao bimestre.

5 PEDRO ORBERTO 5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalete a que taxa mesal? Para a equivalêcia etre MÊS e SEMESTRE, temos: (1 + i m ) 6 = 1 + i s (1 + i m ) 6 = 1,9738 i m = 12% DESCOTO RACIOAL COMPOSTO Calcular o descoto racioal composto sobre um valor omial, obtedo o respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um motate M, a juros compostos. Etão, por aalogia CAPITAL MOTATE VALOR ATUAL VALOR OMIAL Se para o cálculo do motate composto dizemos que, etão, para o cálculo do valor atual racioal compostos, vamos dizer que: = A A = 1 A = ( 1+ i) ( 1 + i ) ou aida A = - 1) Um título de R$ 1.000,00 é descotado 3 meses ates do vecimeto, à taxa racioal composta de 10% ao mês. Qual o valor atual? = R$ = 3 i = 10% = 0,1 Substituido os dados do problema em A = ou A = -, temos: A = - A = (1,1) -3 A = ,75131 A = R$ 751,31 Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguite sequêcia de teclas: 1000 CHS FV 10 i 3 PV 2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de atecedêcia. Qual o valor omial do título, sedo a taxa de 60% ao ao com capitalização mesal, e o critério do descoto racioal composto? A = R$ 1.645,41 = 4 Substituido os dados em A =, temos: A = 1.645,41 = (1,05) ,41 = 1,21551 = R$ 2.000,00 MATEMÁTICA FIACEIRA 17

respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um motate M, a juros compostos.

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