2 A) E) 2 3 B) 2 3. Questão 03. é real. Então. , em que n é o menor inteiro positivo tal que 1. i z w é igual a A) 3 i. Questão 04

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1 : cojuto dos úmeros aturais : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros reais NOTAÇÕES arg z : argumeto do úmero compleo z a, b : a b A \ B : A e B ão-egativos i : uidade imagiária; i A : complemetar do cojuto A P A : cojuto de todos os subcojutos do cojuto A A : úmero de elemetos do cojutos fiito A AB : segmeto de reta uido os potos A e B AB : arco de circuferêcia de etremidades A e B a k 0 k k a0 a a... a, Observação: Os sistemas de coordeadas cosiderados são cartesiaos retagulares. Questão 0 Deseja-se trocar uma moeda de cetavos, usado-se apeas moedas de, e 0 cetavos. Etão, o úmero de diferetes maeiras em que a moeda de cetavos pode ser trocada é igual a A) 6 B) 8 ) 0 D) E) Sejam u, c e d o úmero de moedas de, e 0 cetavos respectivamete. Devemos ecotrar o úmero de soluções iteiras ão egativas da equação u c 0d. Para d, podemos ter c e u 0 ou c 0 e u, portato duas soluções. u, que tem soluções, a saber: Para d, temos c u 0ec u ec u 0 e c u e c 0 Para d 0, temos c u, quem tem 6 soluções: u 0ec u ec u 0 e c u e c u 0 e c u e c 0 Assim, o total de soluções de é 6 Alterativa D

2 Questão 0 Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaeamete, etão a probabilidade do alvo ser atigido pelo meos uma vez é igual a A) B) ) D) E) A probabilidade de cada atirador ão atigir o alvo é. Supodo que cada atirador atigir o alvo sejam evetos idepedetes, ao dispararem simultaeamete, a probabilidade do alvo ão ser atigido é. Assim, a probabilidade do alvo ser atigido (ao meos 9 uma vez) é igual a. 9 9 Alterativa D Questão 0 Sejam z cos º ise º e w cosº iseº, em que é o meor iteiro positivo tal que i z w é igual a A) i B) i ) i D) i E) i é real. Etão Temos: i cosº ise º cos º ise º. Para que esse úmero seja real, devemos ter: º 80º k, kz k, k Z. O meor iteiro positivo que satisfaz essa codição é. Assim, para : cos º se º z i cos0º i se 0º w cosº iseº z i w Alterativa B Questão 0 Se arg z A) B), etão um valor para arg iz é ) D) E) 7

3 Temos z z cis. Etão: 7 iz ciscis z cis z cis z cis 7 Logo argiz Alterativa E Sejam r, r e r úmeros reais tais que r r e r r r são racioais. Das afirmações: I. Se r é racioal ou r é racioal, etão r é racioal; II. Se r é racioal, etão r r é racioal; III. Se r é racioal, etão r e r são racioais, é (são) sempre verdadeira(s) A) apeas I. B) apeas II. ) apeas III D) apeas I e II. E) I, II e III. Questão 0 Temos que rr Q e rr r Q. Assim: (I) Se r Q etão rr rr r r Q. r r r r r r Q r r r r Q. Logo e Se r Q etão rr rr rr Q. Logo rr rr r r Q e r r r r Q. Portato a afirmação (I) é verdadeira. (II) Se r Q rr r r rr Q. A afirmação (II) é verdadeira. etão (III) Já vimos que, se r Q, etão r r Q. Nesse caso: rrr r rq e rrrr rq. A afirmação III é, portato, verdadeira. As três afirmações são sempre verdadeiras. Alterativa E Questão 06 As raízes, e do poliômio p 6 a e 0 Etão, o coeficiete a é igual a A). B). ). D). E). estão relacioadas pelas equações:

4 p a ( ) 6 Relação de Girard: 0 Escaloado o sistema: 0 Dode:, e Fialmete, p() a 6 0 Alterativa a Questão 07 Sabe-se que y, y, 8 y,7y z é uma progressão aritmética com o último tempo igual a 7. Etão, o produto yz é igual a A) 60 B) 0 ) 0 D) 0 E) 60 Temos: yy8yy y 0 7yz 8y 8y y z y z 0 0 omo 7 yz 7 temos: Assim y 0, z 0 e yz 0 Alterativa A 60

5 Questão 08 osidere um poliômio p, de grau, com coeficietes reais. Sabe-se que i e i são duas de suas raízes. Sabe- p pelo poliômio q p 0. Etão, p é se, aida, que dividido-se igual a A). D). B). E) 0. ) 0. obtém-se resto zero e que omo os coeficietes do poliômio são reais, p Q. Em sua forma fatorada, p é dado por: pa, a R* De p 0 segue que: a 0 p a i i i i, a R* a 0 0 a. Portato p p0 Alterativa p também admite como raízes i e i. Também temos que é raiz, pois Um triâgulo AB tem lados com medidas a cm, b cm e c cm. Uma circuferêcia é tagete ao lado a e também aos prologametos dos outros dois lados do triâgulo, ou seja, a circuferêcia é e-iscrita ao triâgulo. Etão, o raio da circuferêcia, em cm é igual a A) Questão 09 B) ) D) E)

6 omo, o triâgulo AB é retâgulo em B. Seja E o cetro da e-iscrita e r seu raio; sejam T, T e T os potos de tagêcia, coforme a figura. Temos br cr ar ac S AE S ABE S BE S AB a c r bca 6 r r Alterativa A Sejam A 0,0, B 0,6 e, vértices de um triâgulo. A distâcia do baricetro deste triâgulo ao vértice A, em uidades de distâcia, é igual a A) Questão 0 B) 97 O baricetro G tem coordeadas dadas por: A B G ya yb y yg G, A distâcia de G a A é: G A G A d y y 97 d 0 0 Alterativa B ) 09 D) E) 0 Questão A área do quadrilátero defiido pelos eios coordeados e as retas r: y 0 e s: y 0, em uidades de área, é igual a A) 9. B) 0. ). D) 7. E) 9. r: y0 y s: y 0 y Fazedo um esboço: y (0,) r P (0,) (0,0) (7,0) s 6

7 Para obter as coordeadas de P, resolve-se o sistema: y y 6 e y P 6, alculado a área S pedida: D D 7 D 7 S u.a. Alterativa D Dados os potos A (0, 0), (, 0),, o lugar geométrico dos potos que se ecotram a uma distâcia d da bissetriz itera, por A, do triâgulo AB é um par de retas defiidas por A) r : y 0., B) r, : y 0 0. r : y 0 0. ), Questão D) E) r : y 0, r : y 0., B e Usado da propriedade de acordo com a qual todo poto da bissetriz é equidistate dos lados, tem-se: d y Pr, y y y y y y y ou y 7

8 osiderado-se a bissetriz itera, sua equação é y vale. Tomado-se um poto Q, y pertecete a este L.G., temos: y y y Um importate algebrismo: multiplicar ambos os lados por y y 0 Alterativa E. O L.G. procurado é o cojuto dos potos cuja distâcia a esta bissetriz. À direita, usar do fato que Questão Sejam A, B e subcojutos de um cojuto uiverso U. Das afirmações: \ A B \ A B ; I. II. A\ B \ A B III. B B ;, é (são) sempre verdadeira(s) apeas A) I. B) II. ) III. D) I e III. E) II e III. A B AB A B A B A B A B A B 8

9 Portato o item I é falso. A B B A B U B A B U A B Logo o item II é falso. Fialmete, B U B B Logo o item III é verdadeiro. Alterativa Sejam A e B dois cojutos disjutos, ambos fiitos e ão-vizihos, tais que P A PB P A B difereça A B pode assumir A) um úico valor. B) apeas dois valores distitos. ) apeas três valores distitos. D) apeas quatro valores distitos. E) mais do que quatro valores distitos. Questão Seja A com m elemetos e B com elemetos. P A é o cojuto das partes de A e possui m elemetos, icluido o cojuto vazio,. PB é o cojuto das partes de B e possui elemetos, icluido o cojuto vazio,. Se A e B são disjutos, o úico elemeto da iterseção de P A e PB é o cojuto vazio. Daí: P A PB P A B m m m m m, dividido por m Que só ocorre para m. Alterativa A ( ). Etão, a 9

10 Questão osidere um úmero real a positivo, fiado, e a equação em a a, Das afirmações: I. Se 0, etão eistem duas soluções reais distitas; II. Se, etão eiste apeas uma solução real; III. Se 0, etão ão eistem soluções reais; IV. Se 0, etão eistem duas soluções reais distitas, é (são) sempre verdadeiras(s) apeas A) I. B) I e III. ) II e III. D) II e IV. E) I, III e IV. a a 0 odição de eistêcia: 0 0 ou 0 I. (Falso). Não basta 0. A codição acima determia ou 0 II. (Verdadeiro) Se, a equação fica: a a 0 a 0 a 0 III. (Verdadeiro) Se 0, a equação fica a 0 S IV. (Falso) Se 0, obtém-se a a Se 0, a equação Portato, Alterativa a a ão admite solução real. e a solução é úica., para que a possa assumir valor real. Questão 6 e e e e Seja S arc se arccos. Etão, A) S. B) S 0. ) S \ 0. D) S. E) S. 0

11 e e e e Seja arcse e arccos. e e e e Logo se e cos e. e e e e omo e são complemetares, se cos e e e e 0 e S 0 Alterativa B Seja 0, tal que se cos. Etão, o produto e a soma de todos os possíveis valores de respectivamete A) e 0. B) e. ) e 0. D) e. E) e Questão 7. omo se cos, ota-se que e secos cos tg sec tg tg tg tg 0 Seja P o produto e S a soma, usado relações de Girard: tg são, P S Alterativa B Questão 8 A soma cosk, para todo 0, k 0 A) cos quado é par. B) se quado é ímpar. ) cos quado é ímpar. D) se quado é par. E) zero quado é ímpar., vale

12 Seja S cosk, para todo 0, k 0. S coscos cos cos... cos cos, se é par Sabemos que cos cos, se é ímpar Logo, 0, se é ímpar S cos, se é par Alterativa E Um coe circular reto de altura cm e geratriz cm é iterceptado por um plao paralelo à sua base, sedo determiado, assim, um ovo coe. Para que este ovo coe teha o mesmo volume de um cubo de aresta ecessário que a distâcia do plao à base do coe origial seja, em cm, igual a A). B). ). D). E). Questão 9 alculado o raio da base do coe R R Seja V o volume do cubo: V cm Seja V o volume do ovo coe: V h R H H omo V V temos: h h 7 h cm A distâcia pedida e dada por: H h cm cm Alterativa D cm,

13 Questão 0 A superfície lateral de um coe circular reto é um setor circular de 0º e área igual a coe medem, em cm e cm, respectivamete A) e. B) e. ) e. D) e. E) e. cm. A área total e o volume deste A cm lateral rg rg 0 r g 60 r g g r Voltado em temos: rr r r cm e g cm Área total r rg cm. h Volume Abase h h alculado h : h h 8 cm Voltado em temos: V V cm Alterativa A h Questão Dez cartões estão umerados de a 0. Depois de embaralhados, são formados dois cojutos de cartões cada. Determie a probabilidade de que os úmeros 9 e 0 apareçam um mesmo cojuto. Deomiemos grupo A e grupo B os dois cojutos de cartões. Seja T o úmero total de distribuições dos cartões os grupos A e B 0! T 0,.,!! Seja o úmero de casos em que os úmeros 9 e 0 aparecem jutos ,. 8,.,.... escolha do grupo escolha dos cartões cartões que que formam ficarão jutos o outro com o 9 e o0 grupo Seja P a probabilidade pedida: P T 9

14 Questão Determie os valores reais de de modo que se cos seja máimo. Seja f se cos f se cos f secos se cos f se omo se S k, k tem máimo igual a, o máimo da fução f é, que ocorre para k, k. Questão osidere a matriz quadrada A em que os termos da diagoal pricipal são,,,..., e todos os outros termos são iguais a. Sabe-se que,,..., é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é e a razão é. Determie a ordem da matriz A para que o seu determiate seja igual a deta 0 0 det A.....q...q, em que q é a razão de PG.... det A.q.q 6 Substituído e q A ordem da matriz A é. Questão Seja um úmero atural. Sabedo que o determiate da matriz log log A log log log log é igual a 9, determie e também a soma dos elemetos da primeira colua da matriz iversa A.

15 log log A log log log log A det A det A A 8 Obtedo a iversa de A : a d g b e h 0 0 c f i 0 0 abc 8abc 0 a b c 0 Dode a,b,c. A soma pedida é. Em um plao estão situados uma circuferêcia de raio cm e um poto P que dista cm do cetro de. osidere os segmetos PA e PB tagetes a os potos A e B, respectivamete. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmetos PA e PB e pelo arco meor AB em toro de um eio passado pelo cetro de e perpedicular ao segmeto PA, obtém-se um sólido de revolução. Determie: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. Questão

16 Pelo teorema das tagetes, PA PB. cm O quadrilátero OBPA é um quadrado de lado cm a) Seja S a área pedida: S R R.RR S R cm S 0cm b) Seja V o volume pedido: V R.R. R V R cm 8 cm V Questão 6 As iterseções das retas r:y 0, s:y7 0 e t:7y7 0, duas a duas, respectivamete, defiem os vértices de um triâgulo que é a base de um prisma reto de altura igual a uidades de comprimetos. Determie: a) A área total da superfície do prisma. b) O volume do prisma. r s y0 y 7 0 e y A, r t y0 7y 7 0 0ey B 0, s t y70 7y 7 0 7ey0 70, d d d AB A B S AB

17 a) Seja A T a área pedida: A d d d. h. S T AB A B AB T T A A u.a. b) Seja V o volume pedido: V SAB. h V. V 0u.v. Questão 7 Dos aluos de um colégio, cada um estuda pelo meos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 8% dos aluos estudam Matemática, % estudam Química e 6% estudam Física. Sabe-se, aida, que 8% dos aluos estudam apeas Física e Matemática, equato % estudam todas as três matérias. Os aluos que estudam apeas Química e Física mais aqueles que estudam apeas Matemática e Química totalizam 6 estudates. Determie. Orgaizado os dados em um Diagrama de Ve: omo M F Q M F Q M F M Q F QM F Q 0, 8 0, 6 0, 0, 0, 0 00, y 00, 6, 0, y 0, 0 6 Absurdo! Assim, a questão apresetou erro que a torou icosistete. NOTA Retirado-se a primeira ocorrêcia da palavra apeas, obteríamos 8% dos aluos estudam Física e Matemática. Neste caso, o problema teria a solução: M F Q M F Q M F M Q F Q mf Q 0, 8 0, 6 0, 0, 08 0, 0 y 00, 00, 00, 6 7 aluos Questão para ser aulada. 7

18 Aalise se Questão 8,0 f :, f é bijetora e, em caso afirmativo, ecotre, 0 f :. Aalisado o gráfico da fução f : esboçado abaio otamos que ela é estritamete crescete, cotiua e ão limitada, portato bijetora. y y= +, para 0 7 Prova-se que f é crescete., 0: f f y=, para 0 Para Para, 0: f f Para a iversa f : teríamos as seguites leis de formação: i) y, para y 0 e. ii) y,. y para y 0 e. y,. De i e ii:, f, Determie os valores de 0, Questão 9 se tais que logtg e 0. se logtg e 0 se. log e0 tg Tomado tg 0 vem: logee se 0 log tg se 0 log tg e aso : se 0 e logetg 0 se 0 e tg. 8

19 aso : se 0 e 0 tg Dos casos e temos: S ou < Questão 0 As retas r e r são cocorretes o poto P, eterior a um círculo. A reta r tagecia o poto A e a reta r itercepta os potos B e diametralmete opostos. A medida do arco A é 60º e PA mede cm. Determie a área do setor meor de defiido pelo arco AB. O é o cetro de. Se a medida do arco A é 60º, etão med AO 60º e med AOB 0º A área hacluada S pedida é da área do círculo. S R álculo de R : tg60º R R R cm Voltado em : S. cm cm S 9 9

20 Professores: Bruo Fraga Lafayette Maim Marcelo Moraes Marcos Miola olaboradores Alie Alkmi e arolia haveiro Digitação e Diagramação Daiel Alves Érika Rezede João Paulo Valdivia Piheiro Desehistas Leadro Bessa Luciao Barros Viícius Eduardo Projeto Gráfico Leadro Bessa Viícius Eduardo Supervisão Editorial José Diogo Valdivia Piheiro opyright Olimpo0 As escolhas que você fez essa prova, assim como outras escolhas a vida, depedem de cohecimetos, competêcias e habilidades específicos. Esteja preparado. 0