Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

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1 Prova QUESTÕES OBJETIIVAS -- VESTIIBULAR DE VERÃO 00 N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, coforme o que costa a etiqueta fiada em sua carteira Cofira se o úmero do gabarito deste cadero correspode ao costate a etiqueta fiada em sua carteira Se houver divergêcia, avise, imediatamete, o fiscal É proibido folhear o Cadero de Provas ates do sial, às 9 horas Após o sial, cofira se este cadero cotém 0 questões objetivas (0 de cada matéria) e/ou qualquer tipo de defeito Qualquer problema, avise, imediatamete, o fiscal 5 O tempo míimo de permaêcia a sala é de horas após o iício da resolução da prova 6 No tempo destiado a esta prova ( horas), está icluído o de preechimeto da Folha de Respostas 7 Trascreva as respostas deste cadero para a Folha de Respostas A resposta correta será a soma dos úmeros associados às proposições verdadeiras Para cada questão, preecha sempre dois alvéolos: um a colua das dezeas e um a colua das uidades, coforme eemplo ao lado: questão, resposta 09 (soma das proposições 0 e 08) 8 Se desejar, trascreva as respostas deste cadero o Rascuho para Aotação das Respostas costate esta prova e destaque-o, para retirá-lo hoje, esta sala, o horário das h5mi às h0mi, mediate apresetação do documeto de idetificação do cadidato Após esse período, ão haverá devolução 9 Ao térmio da prova, levate o braço e aguarde atedimeto Etregue ao fiscal este cadero, a Folha de Respostas e o Rascuho para Aotação das Respostas Corte a liha potilhada RASCUNHO PARA ANOTTAÇÃO DAS RESPOSTTAS VESTTI IBULLAR DE VERÃO 0000 PROVA N ọ DE ORDEM: NOME: UEM Comissão Cetral do Vestibular Uificado GABARITO

2 MATEMÁTICA Rascuho Questão 0 Uma fazeda possui uma represa utilizada para a irrigação das platações A represa possui cico comportas, deomiadas A, B, C, D e E, sedo que A e B forecem água à represa, e C, D e E permitem a saída de água da represa A comporta A, soziha, eche a represa em duas horas, e a comporta B, soziha, eche a represa em três horas A comporta C, soziha, esvazia a represa em quatro horas, e D, soziha, esvazia a represa em cico horas Baseado-se essas iformações, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Se a represa estiver vazia, e as comportas A e B forem abertas, ela estará cheia em 7 miutos 0) Se a represa estiver cheia, e as comportas C e D forem abertas, a represa estará vazia em 0 9 horas 0) Se a represa estiver vazia, e A, B, C e D forem abertas, a represa estará cheia em horas 08) Se a represa estiver com metade de seu volume, e A e C forem abertas, ela estará cheia em horas 6) Se com as comportas A, B e E abertas, o volume da represa ão se altera, etão E soziha esvazia a represa em 7 miutos Questão 0 Para arrecadar fudos, uma associação beeficete realizará um sorteio de diversos prêmios Para esse sorteio, foram vedidas cartelas umeradas com úmeros de dígitos e cada dígito variado de a 6 A escolha da cartela vecedora se dará pela retirada de bolas umeradas de a 6, e cada bola será retirada de uma ura distita Além do prêmio pricipal a ser dado para a cartela sorteada, prêmios também serão dados pela soma S e pelo produto P dos dígitos do úmero de cada cartela Supodo que todas as cartelas foram vedidas, assiale o correto 0) Foram vedidas 00 cartelas 0) Eistem 650 cartelas com úmeros pares 0) Eistem 650 cartelas com S ímpar 08) Eistem 5 cartelas com P par 6) Se para uma determiada cartela P é ímpar, etão S é par GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova

3 Questão 0 Rascuho Cosiderado a fução f ( ) / cos, com 0 π, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) A fução f é periódica com período π 0) As raízes da fução f são também raízes da fução g( ) cos 0) Para >, tem-se que 08) O valor máimo de f é 6) O valor míimo de f é f( ) Questão 0 Uma caia cotém 0 lâmpadas, das quais duas estão queimadas As lâmpadas serão testadas uma a uma, até serem determiadas as duas queimadas Em relação ao eposto, assiale o que for correto 0) A probabilidade de a lâmpada do primeiro teste estar queimada é 0 0) Se a lâmpada do primeiro teste estiver boa, a probabilidade de a lâmpada do segudo teste estar queimada é 9 0) A probabilidade de serem feitos eatamete cico testes para se determiar as duas lâmpadas queimadas é 5 08) A probabilidade de serem feitos mais que cico testes para se determiar as duas lâmpadas queimadas é 7 9 6) A probabilidade de serem feitos meos que cico testes para se determiar as duas lâmpadas queimadas é 5 GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova

4 Questão 05 Dado um úmero atural e cosiderado que as raízes -ésimas da uidade são as raízes compleas do poliômio, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) O módulo de qualquer raiz -ésima da uidade é igual a 0) Todas as raízes de são também raízes setas (6-ésimas) da uidade 0) Se z e z são raízes -ésimas da uidade, ambas distitas de, etão zz também é uma raiz -ésima da uidade 08) Se z é uma raiz quita da uidade e z é uma raiz z sétima da uidade, etão é uma raiz quita da z uidade 6) é sempre raiz da uidade para Questão 07 Cosiderado a figura abaio, que ilustra o gráfico de uma fução f :[ 8, ] em um sistema ortogoal de coordeadas cartesiaas Oy, em que a porção referete ao subitervalo do domíio [ 8, ] é parte de uma parábola, e o restate do gráfico é uma liha poligoal, assiale o que for correto y 5 6 Questão 06 Cosiderado, em um sistema ortogoal de coordeadas cartesiaas Oy, a circuferêcia C de equação + y + y 6 0, o quadrado Q de lados paralelos aos eios coordeados, iscrito a circuferêcia C, e a uidade de medida padrão em cada eio como sedo o cetímetro (cm), assiale o que for correto 0) A circuferêcia C é cetrada o poto H (,) e possui diâmetro medido cm 0) O quadrado Q tem lados medido 8 cm 0) As retas que cotêm as diagoais do quadrado Q têm equações y e y + 08) A reta r de equação y 5 cotém o cetro da circuferêcia C 6) O triâgulo de vértices A (,0), B (6,0) e C (6,) é cogruete ao triâgulo UVW, em que U, V e W são três vértices do quadrado Q 0) Se 8, etão f( ) 0 0) f ( 8 ) 5 () () () ( ) 0) f f f f > 08) A equação f( ) possui apeas cico raízes reais distitas 6) Se é solução da equação f( ), etão 0< < GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova

5 Questão 08 Rascuho Cosiderado o sistema I abaio, em que z e w são úmeros compleos, e z e w são, respectivamete, os seus compleos cojugados, assiale o que for correto I: 0 ( w z i ) () 6z w i () 0) A equação () do sistema I é equivalete a w z 0 0 i 0) O par ( z, w ) dos úmeros compleos z i e w + i é uma solução do sistema I 0) O par ( z, w ) dos úmeros compleos z i e w i é solução da equação () de I, mas ão satisfaz à equação () 08) O par ( z, w ) dos úmeros compleos z cos 5π + se 5π i e w cos π + se π i, é uma solução da equação () de I 6) Dois úmeros compleos, ambos sedo úmeros imagiários puros, ão formam uma solução de I Questão 09 Cosiderado que S é o cojuto de todas as retas do plao com equação da forma a + by c, em que a, b e c são úmeros reais distitos em progressão geométrica, essa ordem, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Duas retas distitas de S podem ser paralelas 0) O cojuto S ão cotém retas horizotais 0) O cojuto S ão cotém retas verticais 08) A reta y 0 ão itercepta ehuma reta de S 6) O cojuto S cotém retas perpediculares etre si GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova 5

6 Questão 0 Rascuho Cosiderado a tabela abaio, em que costam os resultados obtidos em uma eleição para prefeito de um certo muicípio, assiale o que for correto Porcetagem do Número de votos Cadidato total de votos em milhares A 6% B % C 9% Nulos e Bracos 9,75 0) 5 mil eleitores votaram para prefeito 0) O úmero de eleitores que votaram em favor do cadidato A é maior do que 5 mil 0) O porcetual de votos obtidos pelo cadidato A sobre o total de votos ão ulos e ão bracos foi de 50% 08) O cadidato A veceu as eleições com uma vatagem, em relação ao cadidato B, de mais de 5% sobre o total de votos ão ulos e ão bracos 6) O cadidato C obteve meos de 5% do total dos votos obtidos pelos outros dois cadidatos Questão Cosiderado que as medidas, em cetímetros, dos lados de um paralelepípedo retâgulo são três úmeros iteiros cosecutivos, tais que o produto deles é oito vezes a sua soma, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) A soma é um múltiplo de 5 0) O volume do paralelepípedo é 60 cm 0) A área lateral do paralelepípedo é 8 cm 08) O comprimeto da maior diagoal do paralelepípedo é 9 cm 6) Uma das medidas dos lados do paralelepípedo é múltiplo de GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova 6

7 Questão Rascuho Assiale o que for correto 0) O coeficiete do termo em ( ) 9 é 67 ( ) 0) As raízes da equação ( ) (+ ) + são maiores do que 0) Se e y são úmeros reais tais que y >, etão y a > a, em que a é uma costate real positiva 08) A equação! C, A, 0 possui eatamete duas soluções o cojuto dos úmeros iteiros maiores ou iguais a 6) log 7 9 Questão Seja ABCD um retâgulo com altura cm, em que os potos A (,0) e B (,0) pertecem à base, os potos C e D se localizam o primeiro quadrate, e o segmeto AD é paralelo ao segmeto BC Seja P o poto de iterseção das diagoais de ABCD e r a reta que passa por P e pela origem O (0,0) Sejam M e N os potos ode r itersecta ABCD, tal que M pertece ao segmeto AD e N pertece ao segmeto BC Cosiderado o eposto, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) A área do trapézio AMNB é cm 0) As medidas dos segmetos AM e NC são iguais 0) A reta r é perpedicular à reta DP 08) A área do triâgulo MAP é 6 cm 6) Toda reta que passa pelo poto P e que itersecta o lado AD do retâgulo divide este em duas regiões de áreas iguais GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova 7

8 Questão Rascuho Assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) cos se cos + 0, qualquer que seja real 0) Se é um arco do terceiro quadrate e cos, 5 etão sectg 9 9 0) cos( π+ ) + se( π + ) 0, qualquer que seja real 08) O domíio da fução f defiida por f( ) + se tg( π+ ) { ππ π π } 6) sec 5π ( ) >, em que π π, é [, ]/ e Questão 5 Cosiderado o poliômio assiale o que for correto 0 p ( ) +, 0 0) A equação p ( ) 0 possui uma raiz de multiplicidade 0) O resto da divisão de p( ) por ( + ) é um úmero primo 0) p ( ) > 08) Se a < e b >, etão pa ( ) pb ( ) < 0 6) O poliômio q ( ) p ( ) é irredutível GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova 8

9 Questão 6 Rascuho Cosiderado a seguite equação de recorrêcia de úmeros iteiros, + 5, em que é um úmero + iteiro positivo e, assiale o que for correto 0) (5 ), para todo iteiro > 0) é um úmero composto para todo 0) é divisível por 5, qualquer que seja o iteiro positivo, 08) 78 para algum iteiro positivo, 6) A sequêcia (,,,,, ) é uma progressão aritmética Questão 7 As arestas de um cubo medem 0 cm De cada um de seus vértices, retira-se uma pirâmide de base triagular, cujas arestas ligadas ao vértice do cubo possuem todas a mesma medida a e são partes das arestas do cubo Após a remoção das pirâmides, obtém-se um poliedro coveo P Baseado-se essas iformações, assiale o que for correto 0) Se a < 5 cm, o poliedro P tem faces 0) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 6 arestas 0) Se a < 5 cm, o poliedro P tem vértices 08) Se a 5cm, o poliedro P tem 0 arestas 6) Se a 5cm, o poliedro P tem 6 vértices Questão 8 y 5 Cosiderado os sistemas lieares I: 5 e 6 y 8 k+ y k+ II:, em que k é uma costate real, y assiale o que for correto 0) O sistema I é possível e determiado 0) Não eiste valor real de k para o qual o sistema II seja possível e idetermiado 0) Eiste um úico valor da costate real k para o qual o sistema II seja possível e determiado 08) Se k 6, o sistema II é equivalete ao sistema I 6) O par ordeado (, ) é solução do sistema II, para algum valor real de k GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova 9

10 Questão 9 Rascuho Um briquedo eletrôico tem um disco de 0 cm de raio, e esse disco possui 5 potos igualmete distribuídos em seu bordo e umerados de a 5 o setido horário Uma esfera magética movimeta-se a borda desse disco Quado posicioada em um poto de úmero ímpar, movimeta-se para o próimo úmero, em setido horário; e quado posicioada em um poto de úmero par, movimeta-se dois úmeros também em setido horário Em relação ao eposto, assiale o que for correto 0) Se a esfera é iicialmete colocada o poto de úmero 5, com 000 movimetos, a esfera irá parar o poto de úmero 0) Se a esfera começa a posição, com dois movimetos, o âgulo do maior arco compreedido etre a posição e a posição fial, em relação ao cetro do disco, em radiaos, mede 6 π 5 0) Se a esfera começa a posição, com movimetos, o camiho total que a esfera percorre mede 0π cm 08) Se a esfera ão iicia a posição 5, etão ela uca passará por essa posição 6) Qualquer que seja a posição em que a esfera seja iicialmete colocada, ela sempre passará pela posição Questão 0 Cosiderado as matrizes de úmeros reais, quadradas e de ordem, A ( a ij) e B ( b ij), defiidas, respectivamete, por j se i> j i+ j a i j ( ) se i > j se i j ij e b ij e que 0 se i j j i se i< j A t idica a trasposta da matriz A, assiale o que for correto 0) A matriz B é ivertível 0) AB BA 0) Eiste um valor iteiro positivo para o qual B é a matriz quadrada ula de ordem 08) A matriz A A t ( c ) ij satisfaz c c para ij ji todo i e para todo j 6) A matriz t A A ( d ) ij e para todo j satisfaz d ij d para todo i ji GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova 0

11 MATEMÁTICA Formulário Trigoometria se( ± y) se()cos(y) ± se(y)cos() cos( ± y) cos()cos(y) se()se(y) tg() ± tg(y) tg( ± y) tg()tg(y) B c ˆB A Â a b Ĉ C Lei dos seos: a b se(â) se(bˆ ) Lei dos cosseos: c se(ĉ) a b + c bc cos(â) Aálise Combiatóri a P! A, r! ( r)! C, r! ( r)!r! (a + b) C, a i b i i i 0 Geometria Plaa e Espacial Progressões Geometria Aalítica Coversão de uidades Comprimeto da circuferêcia: C π R d D Área do losago: A Área do trapézio: Área do círculo: A πr (b + B)h A Área lateral do cilidro: A πrh Área do setor circular: Área lateral do coe: A A R α π RG Área da superfície esférica: A πr Área total do tetraedro regular: A Progressão Aritmética (P A): a a + ( )r (a + a ) S a Poto Médio do segmeto de etremidades A(, y ) e B (, y ): + y + y M, Área do triâgulo de vértices P(, y ), Q(, y ) e R(, y ) : A D, ode m 000 l D y y y Volume do paralelepípedo: VBh Volume do cubo: V a Volume do prisma: V B h B h Volume da pirâmide: V Volume do cilidro: V πr h Volume do coe: R V π h Volume da esfera: V πr Progressão Geométrica (P G): a a q Distâcia de um poto a a q S q, q a S, q < q d P,r P(, y ) à reta r: a + by + c 0 : 0 0 a 0 + by 0 + c a + b GABARITO Vestibular de Verão/00 Prova