e seja P uma matriz invisível tal que B = P -1 AP. Sendo n um número natural,

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1 3 Cosidere as matrizes A 3 alule o determiate da matriz A e 0 B, e seja P uma matriz ivisível tal que B P - AP Sedo um úmero atural, 0 det A det A, tem-se: Como ( ) ( ) ( ) det A 3 3 Cosidere uma seqüêia de triâgulos retâgulos uja lei de formação é dada por a b K + K + a 3 b 5 K K ode a K e b K, para K, são os omprimetos dos atetos do K-ésimo triâgulo retâgulo Se a 30m e b m, determie o valor da soma das áreas de todos os triâgulos quado K Seja S K a área do K-ésimo triâgulo retâgulo: ak bk ak+ bk+ SK e S K + ak bk ak bk SK + SK Da relação S K + SK 5 oluímos que a seqüêia formada pelas áreas é uma PG de razão 8 q 5 a b 30m m S SK 8 7 K q 5 5 SK K 350m

2 Cosidere o sistema de equações dado por 3logα + log9 β 0 log9α log3β 0 ode α e β são úmero reais positivos Determie o valor de P αβ Tem-se: 3 log log log log 3 log α log α + log β + log β 0 3α + 9β 9α 3β ( x) 3α 3 5 log + 5 log β 0 5 log3α β 0 log 3 P 0 P Sejam C e C* dois írulos tagetes exteriores de raios r e r* e etros O e O*, respetivamete, e seja t uma reta tagete omum a C e C* os potos ão oiidetes A e A* Cosidere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmeto AA* em toro do eixo OO*, e seja S a sua orrespodete área lateral Determie S em fução de r e r* ( ) r + r* d + (r r*) AA* d r r* AA* Lembrado que M é poto médio: r* seθ+ k seθ r* + r ym seθ No Δ OO* P : rr * seθ r + r* De e r* + r r r* ym r r* r + r* Seja S a área perdida: S π y d π r r* rr* π rr* M AA'

3 Resolva a equação Deve-se ter: log ( ( sex osx ) se x) + +, π π x, + se x > 0, se x+ os x > 0, se x os x Daí, se x + os x + se x, om + e ( ) π π x, π i) + se x > 0 se x > se x x ; π 3π ii) se x+ os x > 0 se x > os x x, Mas omo π π x,, etão π π x, ; iii) se x+ os x se x os x π x e x 0 se x + os x + se x se x + se x os x+ os x + se x iv) ( ) +se x + se x Essa igualdade é verdadeira para todo π π x, Assim o ojuto solução dessa equação é dado pela iterseção dessas quatro odições Portato: π π S, 0 0, 3

4 O quadrilátero BRAS, de oordeadas A(,0), B(-,0), R(x,y ) e S(x,y ) é ostruído tal que RAS RBS 90º Sabedo que o poto R pertee à reta t de equação y x +, determie a equação algébria do lugar geométrio desrito pelo poto S ao se desloar R sobre t pois o poto R está sobre a reta de equação y x+ O poto S(x,y) prourado está sobre as retas r e s Cálulo dos oefiietes agulares: a a mar + ms a a+ a a mbr + mr a+ a+ a (s) y 0 (x ) a + Equações das retas r e s: a (r) y 0 (x + ) a + Coordeadas do poto s: a y ( x+ ) a + a y ( x ) a + a a ( x+ ) ( x ) x a a+ a+ a y ( a ) a + De e x x+ y, que é a equação pedida para os potos s x Sejam x e x as raízes da equação x +(m-5)x+m0 Sabedo que x e x são úmeros iteiros, determie o ojuto de valores possíveis para m Tem-se que: x+ x m+ 5 e x x m x+ x x x + 5 x x x + x x + 5 x x + x + x + Como x é iteiro, x + é divisor de 6 Assim, o ojuto dos possíveis valores de x + é: { ±, ±, ± 3, ±, ± 8, ± 6} Daí, o ojuto dos possíveis valores de (x,x ) é: {( 05, ),(, 7),( 7, ),( 3, 9),( 33, ),( 5, 5),( 7, ),( 9, 3),( 50, ),( 7, ) } Lembrado que m x x, o ojuto dos possíveis valores de m é: { ,,,,, }

5 Cosidere o ojuto formado por m bolas pretas e bolas braas Determie o úmero de seqüêias simétrias que podem ser formadas utilizado-se todas as m+ bolas Observação: uma seqüêia é dita simétria quado ela possui a mesma ordem de ores ao ser perorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita i) Se m e são ímpares, etão ão é possível uma seqüêia simétria ii) Se m é ímpar e par, etão a bola etral da seqüêia deve ser preta e os úmeros de seqüêias será dado por m+ m,! Pm, para tato basta observar que uma vez distribuídas a metade das pretas restates e a metade das braas à + m!! esquerda da bola preta etral é úia a forma de distribuir as outras metades à direita iii) Se m é par e ímpar, etão temos m+ m,! P m, seqüêias simétrias (raioíio aálogo ao aterior) + m!! iv) Se m e são pares, etão teremos m+ m,! Pm, seqüêias simétrias, distribuímos a metade das pretas e a metade das braas, pois para as outras metades + m!! teremos apeas uma possibilidade Sejam a, b e úmeros reais ão ulos Sabedo que a + b b + a + +, determie o valor umério de a + b a b Tem-se: a+ b b+ a+ a b a+ b Portato; ( a+ b+ ) a+ b b+ a+ a b a+ b+ Seja f: uma fução tal que k 0 e o dos úmeros reais Determie o valor umério de ( + ) f (k) 008, ode e são, respetivamete, o ojuto dos úmeros aturais ( + ) f ( 006 ) 5

6 h ( + ) f(k) f( 0 ) + f( ) + + f() 008 (I) ( + ) k 0 h+ ( + + ) f(k) f( 0 ) + f( ) + + f() + f( + ) 008 (II) ( + + ) k 0 De (I) e (II): ( + ) ( + ) + + f( + ) ( + 3) ( + ) f( + ) 008 ( + 3)( + ) ( + 3)( + ) f( + ) 008 Fazedo 005: f( 006 ) 008 6