uma função real SOLUÇÃO 20 Temos f(x)

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1 Priipis otções o ojuto de todos os úmeros reis [,b] = { : b} ],b[ = { : < < b} (,b) pr ordedo gof fução omposto de g e f - mtri ivers d mtri T mtri trspost d mtri det () determite d mtri s uestões de ão devem ser resolvids o dero de resposts Pr respode-ls, mrue opção esolhid pr d uestão folh de leitur ópti e folh de resposts (ue se eotr últim pági do dero de resposts) (IT ) Sejm f, g : defiids por f() = e g () = os Podemos firmr ue: () f é ijetor e pr e g é ímpr () g é sobrejetor e gof é pr () f é bijetor e gof é ímpr (D) g é pr e gof é ímpr (E) f é ímpr e gof é pr ltertiv E omo, pr todo, f(-) = (- ) = - = -f(), f é ímpr Temos ue, pr todo, g() = os > Logo g ão é sobrejetor Filmete, gof:, gof() = g(f()) = g( ) = os ( ) os e, portto, gof(-) = gof é pr ssim, podemos firmr ue f é ímpr e gof é pr os = = gof(), isto é, (IT ) Deotemos por (X) o úmero de elemetos de um ojuto fiito X Sejm, e ojutos tis ue ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) = e ( ) = Etão, () + () + () é igul : () () () (D) (E) Temos ( ) = () + () - ( ) = ( ) = () + () - D mesm form, ( ) = ( ) = () + () - e ( ) = ( ) = () + () - omo ( ) = e ( ) =, oluímos ue ( ) = () + () + () - ( ) - ( ) - ( ) + ( ) = () + () + () - (() + () + () - (() + () - ) - (() + () - ) - (() + () - ) + () + () + () = (IT ) Sej f()!!( )! um fução rel de vriável rel em ue! idi o ftoril de osidere s firmções: I f() = II f( -) = III f(-) = Podemos oluir ue () Somete s firmções I e II são verddeirs () Somete s firmções II e III são verddeirs () pes firmção I é verddeir (D) pes firmção II é verddeir (E) pes firmção III é verddeir Temos f()!!( )! f: Logo: I Fls f() = ( + ) = II Verddeir f(-) = (+(-)) = III Verddeir f(-) = (+(-)) = (IT ) Qutos úmeros de seis lgrismos distit podemos formr usdo os dígitos,,,, e, os uis o e o u pm posições djetes, ms o e o sempre pm posições djetes? () () () (D) (E) Podemos formr!! úmeros de seis lgrismos distitos os uis o e o sempre pm posições djetes Podem id ser formdos!!! úmeros ue, lém ds odições im, tmbém tehm o e o pdo posições djetes Logo o totl de úmeros os uis o e o u pm posições djetes, ms o e o sempre pm posições djetes é!! -!!! = (IT ) Sedo e + i ríes d eução + + b + =, em ue, b e são úmeros reis, etão () b + = ( ),

2 () b + = () b + = (D) b + = (E) b + = omo os oefiietes d eução poliomil são reis e el dmite ri + i, etão dmite tmbém ri ojugd + i = - i, sej, s ries d eução são, + i e - i Ds relções etre oefiietes e ríes b/ = (+i)+(-i)+(+i)(-i) -/ = (+i)(-i) b = 7 e = - Portto b + = 7 + (-) = (IT () () () (D) (E) ltertiv ) som ds ríes reis positivs d eução vle ssim, som ds ríes reis positivs d eução é 7(IT ) Sedo I um itervlo de úmeros reis om etremiddes em e b, om < b, o úmero rel b - é hmdo de omprimeto de I osidere ieução < som dos omprimetos dos itervlos os uis el é verddeir é igul : () / () / () 7/ (D) / (E) 7/ Sej p() = = ( ) omo p(-) =, dividmos por - (-) = +, ssim p() = (+)( -+) e < (+)( -+) < Sedo () =, () = + e () = - +, () = = / = /, e estuddo o sil de, obtemos: - / / ssim som dos ojutos dos itervlos os uis ieução é verddeir é igul (-(-) + (/ - /) = / (IT ) Sej S = [-,] e osidere s firmções: I / (/) <, pr todo S II, pr todo S III -, pr todo S Etão, podemos dier ue: () pes I é verddeir () pes III é verddeir () somete I e II são verddeirs (D) pes II é fls (E) tods s firmções são flss ltertiv I Verddeir Temos - (/) - (/) (/) / (/) < II Fls Por eemplo, se = S, III Fls Por eemplo, se = S, - = - = - > (IT ) Sej o úmero ompleo + i Sedo S o ojuto solução o plo ompleo de - = + =, etão o produto dos elemetos de S é igul () (-i) () (+i) () (i-) (D) -i (E) i s medids ds digois do prlermo de ldos djetes - e - são - e + omo - = = é medid de um dos ldos do prlermo e - = + =, etão - = + = e, portto, o prlermo é um udrdo ssim, s soluções de - = + = são obtids de por rotção de etro origem e âgulos de º e -º, sej, são i e -i, ujo produto é (i )(-i ) = = (+i) = i (IT ) osidere f: defiid por f() = se - os Sobre f podemos firmr ue: () é um fução pr () é um fução ímpr e periódi de período fudmetl () é um fução ímpr e periódi de período fudmetl /

3 (D) é um fução periódi de período fudmetl (E) ão é pr, ão é ímpr e ão é periódi ltertiv omo os f() = se - os os se, temos: = se(-) - se(-/) = -se + se/ = -f(), sej, f é ímpr Os períodos de se e se/ são, respetivmete, / e // = omo = ( /), f é periódi de período fudmetl Temos = = E = D = m, E = = = m e E = = m ssim, o semiperímetro do triâgulo E é E E m e su áre é E m Portto o rio d iruferêi isrit o triâgulo E é m e su áre é (( )) ( )m (IT ) O vlor de ue tor seüêi +, -, - um progressão ritméti pertee o itervlo () [-,-] () [-,] () [,] (D) [,] (E) [,] seüêi dd é progressão ritméti se, e somete se, = (-) = -/ omo - -/, [-,] (IT ) osidere um triâgulo isóseles, retâgulo em Sej D iterseção d bissetri do âgulo  omo o ldo e E um poto d ret suporte do teto de tl modo ue os segmetos de ret E e D sejm prlelos Sbedo ue D mede isrito o triâgulo E é () m () () (D) m m m m, etão áre do írulo (E) m ltertiv D omo é um triâgulo isóseles, retâgulo em, temos ue m () m() º D é bissetri de Â, o m(âd) = m(âd) = º omo E é prlelo D, m(ê) = m(âd) = º º D (IT ) áre de um triâgulo é de uiddes de superfíie, sedo dois de seus vérties os potos : (,) e : (,-) Sbedo ue o tereiro vértie eotr-se sobre o eio ds bisss, pode-se firmr ue sus oordeds são () (-/,) (,) () (-/,) (,) () (-/,) (,) (D) (-/,) (,) (E) (-/,) (,) Sej = (;) o tereiro vértie ssim, podemos esrever: / Logo = (;) = (-/;) (IT ) Um ilidro irulr reto é seiodo por um plo prlelo o seu eio seção fi m do eio e sepr bse um ro de º Sedo de m áre d seção pl retgulr, etão o volume d prte meor do ilidro seiodo mede, em m () () () (D) (E) 7 7 º º º O m º h h D E º O'

4 Ns figurs, seção é o retâgulo D, ujos ldos são ltur do ilidro e ord orrespodete um ro de º iruferêi d bse Ess ord é o ldo do triâgulo euilátero E, isrito iruferêi omo o pótem desse triâgulo (distâi do etro os ldos) mede m, oluímos ue o rio d iruferêi mede m, e o ldo do triâgulo euilátero isrito mede, portto, m Sedo h ltur do ilidro, áre d seção vle h = h = m O volume pedido é o produto d áre do segmeto irulr de rio m e âgulo º pel ltur do ilidro, sej, º º E O seº 7 m (IT ) Um oe irulr reto om ltur de m e rio d bse de m está isrito um esfer ue, por su ve, está isrit um ilidro rão etre s áres ds superfíies totis do ilidro e do oe é igul () () () 7 (D) 7 (E) ltertiv D Um plo otedo o eio do ilidro determi seção represetd figur seguir º No triâgulo retâgulo OM, temos ( ) m áre d superfíie totl do ilidro é gertri do oe é superfíie totl do oe é 7 m m ssim, áre d m rão etre s dus áres, ordem presetd, é: 7 7 (IT ) Dus rets r e r são prlels à ret - = 7 e tgetes à iruferêi = Se d é distâi de r té origem e d é distâi de r té origem, etão d + d é igul () () () 7 (D) (E) Temos ue r e r são tgetes ` iruferêi de etro ; e rio omo origem à iruferêi, d + d é igul à distâi etre r e r, sej, é igul o diâmetro d iruferêi Logo d + d = 7(IT ) Sbe-se ue é um úmero rel perteete o itervlo ], [ e ue o triplo d su sete, somdo o dobro d su tgete, é igul Etão, o osseo de é igul : () () 7 () (D) O (E) M ltertiv Temos

5 se Sej tg os = r os os se se os os Etão < < /, os = se e se = Portot os os - se se = os os( + ) = os k k k Z omo < <, oluímos ue = - Logo os = os ( - ) = os = os - = (IT ) Sej P() um poliômio divisível por - Dividido-o por +, obtêm-se o uoiete Q() = - e o resto () Se () =, etão o oefiiete do termo de gru de P() é igul () () () (D) (E) omo P() é divisível por -, P() = Temos P() = ( - )( + ) + (), ode () = + b,, b P() b ssim, () b b Logo () = + e P() = ( - ) ( + ) + + = Etão o oefiiete do termo de gru de P() é - (IT ) osidere s mtries M, N, P e X Se X é solução de M - NX = P, etão + + é igul : () () 7 () (D) (E) Temos M - NX = P NX = MP Logo + + = (-) + + = P() (IT ) Sedo um úmero rel positivo, osidere s mtries / / e / / som de todos os vlores de pr os uis () () T é igul : () / () / () / (D) 7/ (E) / ltertiv Sej = = Temos = () T = T = / / + / + (-) = + (- )+(- / ) ( / ) - = / - / ( / ) + ( / ) - = / / / som dos vlores de é + / = / (IT ) osidere s mtries reis M b e I em ue e, b e formm, est ordem, um progressão geométri de rão > Sejm, e s ríes d eução det (M - I) = Se = e + + = 7, etão + b + é igul () / () / () / (D) / (E) / ltertiv Temos det(m - I) = det b ( - )(b - )( - ) = = = b = omo, b e formm, ess ordem, um PG de rão >, om, b = e = ssim / 7 7

6 Logo + b + = + () + ( ) = ( + + ) = / ( + + ) = / (IT ) Num triâgulo utâgulo, o ldo oposto o âgulo  mede m Sbedo ue  = ros / e rse, etão áre do triâgulo é igul () /m () m () m (D) m (E) /m M N t r r P ltertiv E Temos ue os se, se, os portto, se se( - ( ), e, se( ) Pel lei dos seos, m se se áre do triâgulo é igul : se m (IT ) osidere iruferêi isrit um triâgulo isóseles om bse de m e ltur de m Sej t ret tgete est iruferêi e prlel à bse do triâgulo O segmeto de t ompreedido etre os ldos do triâgulo mede () m (),m () m (D),m (E) m ltertiv No deseho temos = e = Sedo P o poto médio de, temos P = omo o triâgulo é isóseles, etão ltur é P =, e por Pitágors, temos = = Logo o rio d iruferêi isrit é áre r semiperímetro ret t determi o triâgulo MN semelhte o triâgulo, pois MN // ltur do triâgulo MN, reltiv à bse MN, é - r = - = Portto MN MN,m (IT ) osidere um pirâmide regulr om ltur de m pliue est pirâmide dois ortes plos e prlelos à bse de tl meir ue ov pirâmide e os dois troos obtidos tehm, os três, o mesmo volume ltur do troo uj bse é bse d pirâmide origil é igul () () () (D) (E) m m m m m ltertiv D Sedo V o volume d pirâmide origil, o volume do troo uj bse é bse d pirâmide origil é V/ e o d pirâmide ue se obtém retirdo-se esse troo d pirâmide origil é V - V/ = V/ prtir d semelhç ds dus pirâmides, sedo h ltur pedid, temos: h V h h ( )m V (IT ) Pr o itervlo [, /], o ojuto de tods s soluções de ieução se() - se( + /) > é o itervlo defiido por () / < < /

7 () / < < / () / < < / (D) / < < / (E) / < < / ltertiv Pr o itervlo [, /], se() - se( + /) > se os se os (*) omo / / + / / e / / + / /, etão se(/ + /) > e (*) / < / + / < / / < / < / / < < / 7