( - Se a > 0, valor mínimo = yv. - Se a < 0, valor máximo = yv. Quadro-Resumo Logaritmos. Álgebra Elementar. Trigonometria.

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1 Qudro-esumo Logritmos Álger Elemetr log = Û = Simologi Ù e) Ú ou) tl que) $ eiste) $ ão eiste) " qulquer que sej) Æ vzio) Î pertee) Ï ão pertee) É otém) É ão otém) Ì otido) Ë ão otido) ode:,, Î >0e¹e>0 Deorrêis d defiição log = 0 " 0 < ¹ ) log = " 0 < ¹ ) log ojutos = 0 < ¹ e > 0) log = log Û = 0 < ¹, > 0 e > 0) Iterseção A Ç = { Î A Ù Î } Proprieddes opertóris log + log = log log - log = log log =. log log =. log Uião A È = { Î A Ú Î } Difereç A - = { Î A Ù Ï } Mudç de se omplemetr se Ì A etão A = A - log = log log Trigoometri Fuções zões Trigoométris Estudo d fução Um relção : A será um fução de A em, se e somete se: - D) = A - d elemeto Î A se relio form pr) om um úio elemeto. Sej um triâgulo retâgulo, fido um âgulo gudo, temos: seo - é rzão etre o teto oposto o âgulo e hipoteus: se = osseo - é rzão etre o teto oposto o âgulo e hipoteus: os = tgete - é rzão etre o teto oposto o âgulo e o teto djete o âgulo: tg = Notção: f : A ou y = f) Fução do º gru - f:, defiid por f) = Df) = - ; -D - oordeds do vértie: V = 4 - Se > 0, vlor míimo = yv. - Se < 0, vlor máimo = yv. )

2 Pr lemrr... Lemre-se d frse: orri, í e tomei um o. orri - o/hip teto oposto/hipoteus) = seo í - /hip teto djete/hipoteus) = osseo o - o/ teto oposto por djete) = tgete Vlores otáveis se os tg Ö3 Ö Ö3 Ö Ö 3 Ö 3 3 dios - Grus 80 = p rd y = rd = y p 80 De temos: De temos: se + os = otg + = osse tg + = se otg = os se tg = se os se = os osse = se Triâgulos Quisquer Sej um triâgulo, qulquer: A Lei dos Seos: sea = se Lei dos osseos: ² = ² + ² -.osa ² = ² + ² -.os ² = ² + ² -.os = se Trsformção de Aros Aros egtivos: se-) = -se tg-) = -tg os-) = os Adição/Sutrção de ros: se + ) = se. os + se. os se - ) = se. os - se. os os + ) = os. os - se. se os - ) = os. os + se. se tg + ) = tg + tg tg - ) = tg - tg - tg. tg + tg. tg Aro doro: se) =. se. os os) = os² - se² Aro metde: se/) = ± Ö - os os/) = ± Ö + os tg/) = ±Ö - os + os tg) = tg - tg² PG Progressões Geométris) Termo gerl Som dos termos S = - =. q -. q - q Û S = PG ifiit - < q < ) S = - q Médi d PG Sej um PG...,,,,...) = Ö. Esrevedo 3 termos oseutivos -...,q,,q). - q) - q

3 ilo Trigoométrio seo tgete Ö3 elções Trigoométris Fudmetis se os p/ 90º) 0º) p/3 p/3 60º) Ö3/ 35º) 3p/4 p/4 45º) Ö/ Ö3/3 50º) 5p/6 / p/6 30º) 80º) p - -Ö3/ -Ö/ -/ / Ö/ Ö3/ p 360º) 0 0º) osseo 0º) 7p/6 -/ p/6 330º) -Ö3/3 5º) 5p/4 -Ö/ 7p/4 35º) -Ö3/ 40º) 4p/3 5p/3 300º) - 3p/ 70º) - -Ö3 tg se osse otg 0 A prtir desse heágoo, podemos retirr tods s relções trigoométris fudmetis. Notemos s seguites proprieddes: ) Sommos o qudrdo de dois vérties dos triâgulos zuis tedo que ret se do segmeto de ret formdo por esses dois vérties deve ser prlel o eio tg-otg) e igulmos à pot do triâgulo. ) Seguido s sets, igulmos o primeiro vértie à rzão dos dois vérties seguites. Mtrizes Mtriz m é um tel de úmeros reis, dispostos em m lihs e olus. [ M = m m m3... m Ode idi posição de d elemeto, sedo i = lih e j = olu. sos Espeiis Mtriz qudrd: m = Mtriz lih: m = Mtriz olu: = Mtriz ul: = 0, " i, j. [ Progressões PA Progessões Aritmétis) Termo gerl = + - ). r Som dos termos S = + ). Médi d PA Tedo-se um PA...,,,,..) = + eesrevedo 3 termos oseutivos PA..., - r,, + r) Adição de mtrizes Tedo s dus mtrizes o mesmo úmero de lihs e olus, som-se d elemeto um um. Proprieddes ssoitiv: A + ) + = A + + ) omuttiv: A + = + A elemeto eutro: A + O = 0 + A = A

4 elemeto oposto: A + -A) = O. Multiplição de um umero rel por um mtriz Multipli-se todos os elemetos d mtriz pelo úmero rel. Multiplição de dus mtrizes Dds dus mtrizes A e, o produto A só eiste se o úmero de olus de A for igul o úmero de lihs de, pois A é do tipo m e é do tipo p. O produto A é um mtriz que tem o úmero de lihs de A e o úmero de olus de, pois = A é do tipo m p. Aid pel defiição, deve-se oter d elemeto ik d mtriz A d seguite form: I) Tom-se lih i d mtriz A. II) Tom-se olu k d mtriz. III) olo-se lih i de A vertil o ldo d olu k de. IV) lul-se os produtos dos elemetos que firm ldo ldo. V) Somm-se esses produtos, otedo ik. Proprieddes ssoitiv: A). = A. ) distriutiv à dir.: A + ). = A + A distriutiv à esq.: A.+) = A + A Trspost de um mtriz Determites Determite de mtriz de ordem d Determite de mtriz de ordem epetimos s dus primeirs olus o ldo do determite e seguir multiplimos os elemetos direção ds flehs. Os produtos dos elemetos ididos pels flehs zuis são somdos e os dos elemetos ididos pels flehs vermelhs são sutrídos. Está é regr de Srrus, só válid pr determites de ordem 3. Meor omplemetr Se é um elemeto d mtriz A de ordem, etão o meor omplemetr do elemeto é o determite que se otém retirdo-se lih i e olu j d mtriz A. Idimos o meor omplemetr do elemeto por M. omplemeto lgério ou oftor Idi-se por A e é ddo por: i+j A = -). M = d - 3 Determites do produto de mtrizes Sedo A e mtrizes qudrds de mesm ordem etão: deta.) = deta. det Determite de ivers de um mtriz: - deta = deta Os.: um mtriz A só é iversível se, e somete se, deta 0. ¹ Aálise omitóri Ftoril! =. - ). - ) Þ. - )!! = 0! = Priípio multiplitivo Se um eveto A pode oorrer de m meirs distits e seguir, um eveto pode oorrer de meirs distits, etão o úmero de proiliddes de oorrer A seguido de é m vezes. Arrjos simples São grupmetos ode ordem om que os elemetos prtiipm é osiderd e ão eiste repetição de elemetos. É ddo pel fórmul: A =,p Permutções simples São rrjos ode = p.! - p)! P =! omições simples São grupmetos ode ão import ordem dos elemetos.!,p = - p)! p!

5 Teorem de Lple O determite de um mtriz qudrd de ordem >), é igul à som dos produtos dos elemetos de um fil lih ou olu) pelos seus respetivos oftores. Proprieddes dos determites t - deta = deta - Trodo-se posição de dus fils prlels de um mtriz, seu determite ão se lter em módulo, pes trodo de sil. - Se dus fils prlels de um mtriz são iguis, etão seu determite é ulo. - Multiplido-se ou dividido-se) um fil qulquer de um mtriz por um úmero, seu determite fi multiplido ou dividido) por esse úmero. - Sedo A, um mtriz qudrd de ordem, e o um úmero rel, etão: det. A) =. det A - Se um fil de um mtriz é formd por soms de dus prels, etão seu determite é igul à som de outros dois determites: o primeiro formdo om s primeirs prels e o segudo formdo om s seguds prels, ilterds s demis fils. - Teorem de Joi: um determite ão se lter qudo se som um de sus fils um outr fil prlel previmete multiplid por um ostte. Sedo A um mtriz do tipo m, trspost de A, t que se idi por A, é mtriz do tipo m que se otém trodo s lihs por olus d mtriz A. Isto t t é, ª lih de A é igul à ª olu de A, ª lih de A é igul ª olu de A e ssim suessivmete. Proprieddes t t A ) = A t t t A + ) = A + t t. A) =. A t t t A) =. A Mtriz Idetidde I = ) ode = se i = j) e = 0 se i ¹ j) Propriedde A. I = I. A = A Iversão de mtrizes A mtriz ivers d mtriz qudrd A, se eistir, será - idid por A e será tl que: - - A. A = A. A = I Proprieddes - - A) = A t - - t A ) = A ) A) =. A iômio de Newto Número iomil p =! - p)! p! iomis omplemetres p e k são iomiis omplemetres se: p + k = Iguldde de iomiis p = k Û p = k ou p + k = Triâgulo de Psl Proprieddes - A som dos iomiis de um lih é igul, ode é o umerdor dos iomiis. Sistems lieres Todo sistem om um ou mis equções do tipo: = 3 3 egr de rmer Um sistem lier de equções iógits pode ser resolvido pel regr de rmer: = D D, = D D,..., = D D lssifição - Se D ¹ 0, sistem possível e determido. - Se D = D = D =... = D = 0, sistem possível e idetermido - Se D = 0 e D ¹ 0 ou D ¹ 0 ou... D ¹ 0) o sistem é impossível. Sistems lieres homogêeos É o sistem lier que possui os termos idepedetes de tods s sus equções iguis zero. Pr um sistem lier homogêeo teremos: - Se D ¹ 0, o sistem dmitirá um úi solução que será 0;0;0;...;0), hmd solução trivil. - Se D = 0, o sistem será possível e idetermido dmitido ifiits soluções.

6 - elção de Stifel: som de dois iomiis vizihos de um mesm lih é igul o iomil situdo imeditmete io do segudo úmero somdo. p + = + p + p + iômio de Newto termos. Termo Gerl ) = os.: o desevolvimeto + ) é formdo de + + T = p+ p Ode T represet o termo de ordem p + do p+ desevolvimeto de + ). - p p.. { Potêis de i 0 i = i = i i = - 3 i = -i 4 i = : ode: r = 0,, ou 3: resto Adição/Sutrção/Mutiplição N dição e sutrção, diiom-se e sutrem-se seprdmete s prtes omples e s imgiáris. N multiplição us-se propriedde distriutiv, e do fto que i² = -. Divisão r epresetção Gráfi O y q z P r i = i, 4 q z z = z z. z z Î N O úmero ompleo z = + i é represetdo pelo poto P;) o plo de Argd- Guss. P: é o fio de z; O: eio rel; Oy: eio imgiário. Poliômios - P) = Poliômio idetimete ulo P) º 0 Û P) = 0, " P) º 0 Û = =... = = = Poliômios idêtios A) º ) Û A ) = ), ". r. r. r + r. r.r r. r.r = r. r.r 3... r = -). Proprieddes - Se som dos oefiietes de um ddo poliômio P) é 0, etão P) dmite omo riz. - Se som d difereç dos oefiietes simétrios de um ddo poliômio P) é 0, etão P) dmite - omo riz Gru de um poliômio É o mior epoete de, om oefiiete ão ulo, que pree em P). grp) ou dp Se P) º 0, ão se defie grp). Divisão de poliômios A) ) Temos que: ) Q) A) º ). Q) + ) desde que gr) < gr) ou ) º 0). Teorem do resto O resto d divisão de um poliômio P) por - é igul P).

7 Módulo z = + i Þ r = z = Ö ² + ² Argumeto É o âgulo q determido pelo eio rel O e o segmeto OP, medido o setido ti-horário prtir do eio rel. osq = z seq = z Form trigoométri z = + i Û z = z. osq + i. seq) Operções Form Trigoométri Multiplição zz = rr[osq + q ) + i. seq + q )] Divisão z z = r [os r q - q) + i. se q - q)] Poteição z = r. [osq) + i. seq)] Números ompleos Uidde Imgiári i² = - Defiição de úmero ompleo z = +. i ode: { Î, = prte rel Î, = oefiiete d p. imgiári i = uidde imgiári úmeros imgiários puros: São os ompleos ode = 0 e ¹ 0 úmeros reis: São os ompleos ode = 0. ojugdo de um úmero ompleo Ddo um ompleo: z = +. i, defiimos omo seu ojugdo: z = -. i Iguldde de ompleos Igul-se prte rel om outr prte rel e o oefiiete d prte imgiári om o oefiiete d outr prte imgiári. Geometri Alíti Distâi etre dois potos Poto médio d = A rietro do triâgulo Áre do Triâgulo Ö Alihmeto de três potos Se A, e são olieres, dets = 0. Ode S é mtriz formd om s oordeds dos três potos. Equção gerl d ret D)² + Dy)² +, y + y A A M + +, y + y + y A, A G 3 3 A =. mód A y A y y. +.y + = 0 Teorem de D Almert Um poliôimo P) é divisível por -, se e somete se, P) = 0. Teorem fudmetl d lger Tod equção lgéri de gru, ode > 0, dmite pelo meos um ríz omple. Teorem d deomposição - P) = , pode ser ftordo em: P) = 0 - r ). - r )... - r ) ode r, r,... r são s rízes de P). Multipliidde de um riz m Se P) = - r). Q) e Qr) ¹ om multipliidde m de P) = 0. 0, etão r é um riz Teorem ds rízes omples Sej P) um poliômio de gru, ode >, om oefiietes reis, se Pz) = 0, etão Pz) = 0, ode z = + i e z = - i om Î e Î *). elções de Girrd - Sej = 0, e sus rízes r, r,..., r: r + r + r r = - 0 r.r. + r. r r.r = 3-0

8 Otedo eq. gerl pelo determite A y A y y = 0 Þ + y + = 0 Equção reduzid r: + y + = 0 Þ y = Þ y = m. + m = oefiiete gulr ou delividde Þ Oservção: N equção de um iruferêi, temos, eessrimete: Os oefiietes de ² e y² são iguis, ilusive em sil e ão ulos. Se o oefiiete de ² for diferete de, deve-se dividir tod equção por ele. Não pode eistir termo.y equção. O termo idepedete p é tl que: ² = ² + ² - p > 0 um iruferêi o rio é sempre positivo) Posições reltivs etre ret e iruferêi et e iruferêi r setes: y y Dy A D m = - = Dy = tg D = ilição d < r et e iruferêi tgetes: r d = r = oefiiete lier: orded do poto em que ret ão vertil) iterept o eio ds ordeds. et eter à iruferêi: d > r Propriedde do lugr geométrio A som ds distâis de qulquer poto d elipse os foos F e F é ostte e igul o segmeto AA. PF + PF = Geometri Espil Esfer Hipérole V = p. F A O A F ilidro eto S = 4. p. F e F foos O etro AA eio rel ou trsverso eio imgiário distâi fol medid do eio rel medid do eio imgiário eetriidde relção otável: ² = ² + ² H H V =. H V = p.. H S L áre lterl) =. p.. H S T áre totl) = p + H) Seção meridi É o retâgulo resultte d iterseção do ilidro om um plo que otém os etros ds ses. Qudo o ilidro é eqüilátero H = ; este so seção meridi é um qudrdo.

9 Elipse A F O F A Equção d ret, ddo um poto e o oefiiete gulr r: y - y = m - ) 0 0 Posição reltiv de dus rets Se dus rets r e s são prlels m r= m s. Se dus rets r e s são perpediulres m r = - ms F e F foos O etro AA eio mior eio meor distâi fol medid do eio mior medid do eio meor eetriidde relção otável: ² = ² + ² Equção reduzid - )² 0 ² - )² 0 ² + y - y)² 0 ² y - y)² 0 + ² = = pr o eio priipl prlelo o eio pr o eio priipl prlelo o eio y Distâi de poto ret Ddo o poto P,y ), e ret r: + y + = 0: 0 0 d = pr + y Ö ² + ² Equção d iruferêi y ;y) ;) - )² + y - )² = ² ² + y² -. -.y + p = 0 álulo do etro e do rio ² + y² y + p = 0 Þ Þ ;) p termo idepedete) Þ p = ² + ² - ² Þ metde om sil trodo oe reto g H g V = 3 g. p.. H S= p.. g L S = p + g) T Seção meridi É o triâgulo resultte d iterseção do oe om um plo que otém o vértie do oe e o etro d se. Os.: o oe eqüilátero é quele em que g = ; este so seção meridi é um triâgulo eqüilátero. Equção reduzid - )² 0 ² - y - y)² 0 ² - y - y)² 0 ² - )² 0 ² = = pr o eio rel prlelo o eio pr o eio rel prlelo o eio y Propriedde do lugr geométrio A difereç d distâi de qulquer poto d hipérole os foos F e F é ostte e igul o segmeto AA. PF + PF = q g q = p g rd ou q = 360 g grus p

10 Prlelepípedo retâgulo É um prism de seis fes, tods retgulres. uo d D V =.. S =. + + ) D = Ö + + Pirâmide se: em form de polígoo. Fes lteris: são triâgulres. V = ³ S = 6. ² D = Ö3 V = 3.. H Os.: Pirâmide regulr: se é um polígo regulr; s fes lteris são triâgulos isóseles. Geometri Pl Âgulo Tipos de âgulos Âgulo reto = 90º Âgulo gudo = etre 0º e 90º Âgulo otuso = etre 90º e 80º Âgulo rso = 80º Âgulo omplemetres = som = 90º Âgulos suplemetres = som = 80º Polígoos Som dos âgulos iteros: S i = - ). 80º Som dos âgulos eteros p/ oveos): S e = 360º Número de digois: D =. - 3) Polígoos regulres - Todos os ldos de mesm medid e - Todos os âgulos iteros iguis. Triâgulos São os polígoos de 3 ldos Qudriláteros etâgulo Losgo Qudrdo prlelogrmo losgo 4 âgulos retos 4 ldos iguis 4 âgulos retos e 4 ldos iguis Trpézios Um pr de ldos prlelos, hmdos de ses; os outros dois ldos ão so prlelos. Trpézio isóseles: ldos ão prlelos são iguis; os âgulos djetes ds ses são iguis. Trpézio retâgulo: tem dois âgulos retâgulos Trpézio esleo: os ldos ão prlelos são desiguis. Qudrilátero isritível Se e somete se os âgulos opostos somm 80º. Qudrilátero irusritível Se e somete se som de dois ldos opostos é igul à som dos outros dois ldos. Teorem d issetriz iter Semelhç de triâgulos Aplições A y H N z = y M ^ ^ = N = ^ = P ^ = } Þ DA ~ DMNP Þ Þ = y = z = k M y P Þ perda) = k perdmnp) H h = k áreda) áredmnp) A N = k Sedo M e N potos médios: { MN // Þ MN = h

11 Proprieddes gulres Som dos âgulos iteros = 80º Som dos âgulos eteros = 360º Teorem do âgulo etero: d âgulo etero é igul à som dos dois iteros ão djetes. Tetredro regulr É um pirâmide de se triâgulr regulr; tods s qutro fes são triâgulos eqüiláteros. Segmetos otáveis ltur - âgulo de 90º em relção se, uido o âgulo oposto. issetriz - divide o âgulo em dus prtes. meditriz - perpediulr o meio do segmeto. medi - ue o poto médio o âgulo oposto. Potos otáveis Ortoetro Iterseção ds lturs Ietro Iterseção ds issetrizes iruetro Itereção ds meditrizes rietro Iterseção d medis H ². Ö3 = 4. Ö6 H = 3 ². Ö V = lssifição Eqüilátero 3 ldos iguis: 3 âgulos de 60º Isóseles ldos iguis, âgulos d se om medids iguis. Esleo ldos todos diferetes etâgulo âgulo reto Autâgulo 3 âgulos gudos Otusâgulo âgulo otuso, gudos. A M D AD: Trpézio M e N: potos médios. MN = A + D Proprieddes do rietro do triâgulo A { AG = GM P G N G = GN G = GP M elções Métris em Triâgulos etâgulos N se médi) Tgêis ets e iruferêis - São tgetes qudo tem um úio poto em omum. - O rio trçdo o poto de tgêi é perpediulr à ret tgete. - De um poto etero um iruferêi é possível trçr dus tgetes de omprimetos iguis: PT = PT - O etro d iruferêi tgete os ldos de um âgulo se eotr issetriz desse âgulo. tgete iruferêis tgetes - São tgetes qudo têm um úio poto omum. - O poto de tgêi e os dois etros sempre estão sore mesm ret. T T issetriz P h m h = h² = m ² = m ² = Teorem de Tles y r r // s s = y

12 Áres ds figurs pls Áre dos polígoos Qudrdo etâgulo Prlelogrmo A = l. l l Triâgulos h Losgo A =. h A =. h Áre do írulo e sus prtes d D A = D. d l h A =. h l l A = l. Ö3 4 Trpézio A = + ). h h h r A = p. ot: =. p. A = p. 360 A = p - r)