2. Teoria das Filas Características estruturais dos sistemas de fila

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1 2. Teoria das Filas Segudo Fogliatti (2007), a teoria das filas osiste a modelagem aalítia de proessos ou sistemas que resultam em espera e tem omo objetivo determiar e avaliar quatidades, deomiadas medidas de desempeho, que expressam a produtividade/operaioalidade desses produtos, e de posse destas iformações busar meios para miimizar os impatos egativos das esperas os proessos. Teixeira e Piheiro (200) apresetam uma visão mais espeífia, quado afirmam que a teoria das filas é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas, através de aálises matemátias preisas e propriedades mesuráveis das filas. Ela provê modelos para demostrar previamete o omportameto de um sistema que ofereça serviços uja demada rese aleatoriamete, torado possível dimesioá-lo de forma a satisfazer os lietes e ser viável eoomiamete para o provedor do serviço, evitado desperdíios e gargalos. 2.. Caraterístias estruturais dos sistemas de fila Existem muitos tipos diferetes de filas. Em Moreira (2007), as filas são estruturadas de aordo om a Figura 5, em quatro partes priipais: a fote de lietes; a hegada de lietes; o proesso de seleção; e o posto de atedimeto. Os lietes são idivíduos de uma população que hegam ao loal da prestação do serviço de aordo om determiado omportameto estatístio, para serem atedidos de aordo om um ritério de seleção preestabeleido e serão atedidos de aordo om araterístias próprias.

2 25 Figura 5: Estrutura de uma fila Fote: Moreira Fote de lietes Os lietes perteem a uma população maior, ode todos são lietes poteiais. As fotes podem ser fiitas ou ifiitas, sedo ifiitas aquelas em que a probabilidade de hegada ão é afetada de forma sigifiativa pelo fato de que algus lietes já estão aguardado a fila, já a hegada fiita oorre o otrário Modelos de hegadas Segudo Moreira (2007), o proesso de hegadas dos usuários é espeifiado pelo omportameto do fluxo de hegadas dos mesmos ao sistema. Se forem oheidos o úmero de hegadas e os istates de tempo em que elas aoteem, esse proesso é deomiado determiístio; aso otrário, tem-se um omportameto aleatório ostituido um proesso estoástio araterizado por uma distribuição de probabilidade. Para essa distribuição, é eessária a espeifiação de um parâmetro deomiado taxa de hegadas, que represeta o úmero médio de usuários que hegam ao sistema por uidade de tempo. Usualmete as taxas de hegada são represetadas por e há duas formas tradiioais de se falar sobre a hegada de lietes para o atedimeto: úmero de lietes que hegam em um dado itervalo de tempo e o tempo deorrido etre

3 26 duas hegadas oseutivas. É muito omum os estudos de teoria das filas se utilizar da distribuição de Poisso para ofigurar a taxa de hegada à fila e atedimeto. A Tabela 2 apreseta as distribuições de probabilidade utilizadas em ada uma das formas tradiioais de hegada de lietes. Tabela 2: Distribuições de probabilidade utilizadas as taxas de hegada de lietes Gradezas Distribuição de hegada Médias Número de hegadas a uidade de tempo (taxa de hegada) Poisso Tempo deorrido etre duas hegadas oseutivas Expoeial / Fote: Moreira (2007) 2.4. Modelos de atedimeto Segudo Moreira (2007), o proesso de atedimeto é espeializado pelo omportameto do fluxo de usuários atedidos e a sua araterização é aáloga à do proesso de hegadas. Usualmete os modelos de atedimeto usa-se o parâmetro e, assim omo os modelos de hegadas, existem duas omelaturas omumete utilizadas, assoiadas a este parâmetro: úmero de atedimetos a uidade de tempo e tempo deorrido etre dois atedimetos oseutivos. Cada uma dessas

4 27 gradezas apreseta uma distribuição de probabilidade, omo é ilustrado a Tabela 3. Tabela 3: Taxa de atedimeto de lietes o sistema de filas Gradezas Número de atedimetos a uidade de tempo(taxa de atedimeto Tempo deorrido etre dois atedimetos oseutivos Distribuição de atedimeto Poisso Expoeial Médias / Fote: Moreira (2007) Os modelos de atedimeto podem apresetar diversas ofigurações: aal úio, aal múltiplo, atedimeto úio, atedimeto múltiplo. O aal úio se ofigura por ter apeas uma istalação de atedimeto, podedo ter um ou mais postos de atedimeto, porém em série. O aal múltiplo apreseta mais de um aal de atedimeto em paralelo, atuado de forma idepedete. O atedimeto múltiplo é realizado por mais de uma istalação de atedimeto em série, depedete uma da outra. Já o atedimeto úio osiste a realização do atedimeto feita itegralmete em um posto, idepedete de qualquer outro posto. As figuras Figura 6, Figura 7, Figura 8, Figura 9, exemplifiam a ombiação destes oeitos. Figura 6: Caal úio, atedimeto úio. Fote: Moreira 2007

5 28 Figura 7: Caal úio, atedimeto múltiplo. Fote: Moreira 2007 Figura 8: Caal múltiplo, atedimeto úio. Fote: Moreira 2007 Figura 9: Caal múltiplo, atedimeto múltiplo. Fote: Moreira 2007

6 29 Os aais heterogêeos modelam aais múltiplos om diferetes distribuições de tempo de atedimeto. Porém por mais que este tipo de abordagem osiga modelar asos reais om meor distorção da realidade que o aal úio, este tema ão é amplamete abordado a literatura de Teoria das Filas. Estes modelos são matematiamete omplexos a medida em que há mais aais de atedimetos e suas araterístias se distaiam da abordagem lássia de aal úio. Faria (99) apota dois modelos, Gumbel e rishamoorth, para aais múltiplos. Grumbel propõe fila úia om mais de um posto de atedimeto ode a probabilidade de hegada é igual para todos os postos. As hegadas são represetadas por uma fução expoeial egativa, om uma fote de lietes ifiita já que a média de lietes a fila idepede do omprimeto da mesma. A taxa de atedimeto é uma fução expoeial, idepedete também do omprimeto da fila. O modelo de rishamoorthi estabelee aais heterogêeos de serviço seguido duas disiplias distitas. As hegadas e atedimetos são regidas por distribuições expoeiais egativas. Porém o autor destaa que a probabilidade de hegada para ada um dos postos é diferete diate do oheimeto dos lietes sobre as taxas de atedimeto, ou seja, o liete tederá a esolher o posto de maior taxa. Aida, o proesso de esolha pode se distiguir da forma FIFO, uma vez que é possível que o liete sedo atedido pelo posto de meor taxa pode aabar de ser atedido após o liete que estava imediatamete atrás e foi atedido pelo posto de meor taxa Disiplias das filas As disiplias de filas se referem às regras que o servidor vai empregar para deidir qual será o próximo liete da fila a ser atedido. As disiplias mais omus são demostradas a Tabela 4.

7 30 Tabela 4: Regras de defiição das disiplias de filas FIFO Primeiro a hegar é o primeiro a sair IFO SIRO PRI GD Último a hegar é o primeiro a sair Atedimeto aleatório Atedimeto por Prioridade Outra Ordem Fote Borba (2007) 2.6. Notação de sistema de filas Para a desrição de um sistema om fila, será utilizada este artigo a otação proposta por edall (953), que é da forma A/B/C/D/E, ode as siglas são: A: Represeta a distribuição do tempo etre hegadas suessivas; B: Represeta a distribuição do tempo de atedimeto; C: Represeta o úmero de postos de atedimeto em paralelo; D: Represeta a apaidade físia do sistema; E: Represeta a disiplia de atedimeto. Usualmete para defiir as distribuições do tempo de hegada e do tempo de atedimeto, são utilizadas as seguites siglas para as distribuições mais omus: D: Represeta uma distribuição determiístia ou degeerada M: Represeta uma distribuição expoeial Ek: Represeta uma distribuição de Erlag do tipo k G: Represeta uma distribuição geral (ão espeífia) Algus autores o aso das siglas D e E, às vezes, simplifiam a otação de edall, om isto, admite-se um sistema de filas om apaidade ilimitada

8 3 (ifiita) e om disiplia de atedimeto FIFO (primeiro a hegar é o primeiro a sair) Medidas de desempeho de sistemas de filas De aordo om Moreira (2007), as araterístias operaioais de uma fila são úmeros ou idiadores de desempeho alulados para um dado modelo de filas adotado. Detre as medidas de desempeho itadas por diversos autores, as seguites variáveis foram esolhidas a defiição e álulo de desempeho de um sistema de filas: r: abreviação de ρ: taxa de utilização do servidor; é uma medida de ogestioameto do servidor; P(0): probabilidade de que o sistema esteja oioso; P(): probabilidade de que haja lietes esperado ou sedo atedidos o sistema; P(N>k): probabilidade de que haja mais de k lietes a fila; q : úmero médio de lietes a fila; : úmero médio de lietes o sistema. Wq: tempo médio de lietes em espera a fila; W: tempo médio de lietes em espera o sistema; 2.8. Modelos básios de filas Segudo Ferrari (2008), a maior parte dos modelos elemetares de filas de espera baseia-se o proesso de asimeto e morte (markoviao). No otexto das filas de espera, um asimeto orrespode à hegada de um ovo liete e uma morte orrespode à partida de um liete.

9 32 A seguir, serão apresetados algus modelos básios que ompõe um sistema de filas, om êfase os proessos probabilístios desritos em Fogliatti (2007). Nestes modelos é omum que os tempos etre hegadas e os tempos de atedimeto sigam distribuições expoeiais e as uaes desritas a seguir. Modelo M/M///FIFO: Existe um úio posto de atedimeto, ão existe limitação de apaidade o espaço reservado para a fila de espera, sedo que a ordem de aesso de usuários ao serviço segue a ordem de hegada dos mesmos ao sistema (FIFO). Modelo M/M///FIFO: Apreseta um úio posto de atedimeto, porém existe uma limitação de apaidade o espaço reservado para a fila de espera, sedo que a ordem de aesso de usuários ao serviço segue a ordem de hegada dos mesmos ao sistema (FIFO). A taxa de igresso ao sistema (λ) se difere da taxa de hegada λ para, pela existêia da limitação de apaidade o sistema (). Modelo M/M/C//FIFO: Existem C postos de atedimeto, ão existe limitação de apaidade o espaço reservado para a fila de espera, sedo que a ordem de aesso de usuários ao serviço segue a ordem de hegada dos mesmos ao sistema (FIFO). Modelo M/M/C//FIFO: Existem C postos de atedimeto, porém existe uma limitação de apaidade o espaço reservado para a fila de espera, sedo que a ordem de aesso de usuários ao serviço segue a ordem de hegada dos mesmos ao sistema (FIFO). A taxa de igresso ao sistema (λ) se difere da taxa de hegada λ para, pela existêia da limitação de apaidade o sistema (). As equações das medidas de desempeho dos modelos de filas apresetados aima são apresetadas a Tabela 5.

10 33 Tabela 5: Medidas de desempeho de uma fila Fote: Fogliatti M/M///FIFO M/M///FIFO M/M/C//FIFO M/M/C//FIFO r - P(0) P() 0 k P r P r 0 0!! P(>k) k k k k q 2 P 0 2 W q q P q P W P P

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