Trigonometria - Primeira Parte

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1 Cpítulo 7 Trigonometri - Primeir Prte 7 Introdução Triângulo é um polígono om ângulos internos, logo ldos Podemos lssiá-los de dus mneirs: qunto os tmnhos dos ldos: equilátero - ldos de mesmo omprimento, isóeles - ldos de mesmo omprimento, esleno - ldos de omprimentos diferentes; qunto às medids dos ângulos: utângulo - ângulos gudos (menores que 90 o grus), retângulos - ângulo reto (90 o grus), otusângulo - ângulo otuso (mior que 90 o grus) 7 Triângulo retângulo e o Teorem de Pitágors Em um triângulo retângulo, Figur 7(), os ldos que formm o ângulo reto são denomindos tetos e o ldo oposto o ângulo reto é hmdo hipotenus Os omprimentos d hipotenus e dos tetos estão reliondos pelo Teorem de Pitágors + (7) () Um triângulo retângulo () O Teorem de Pitágors Figur 7: Triângulo retângulo e o Teorem de Pitágors 4

2 Um prov stnte simples do Teorem de Pitágors pode ser otid trvés d Figur 7(): áre do qudrdo externo é igul à som d áre do qudrdo interno mis áre dos 4 triângulos retângulos, isto é: + 4 ( + ) Rzões trigonométris Pr d ângulo gudo de um triângulo retângulo dene-se 6 rzões trigonométris (onheids omo seno, osseno, tngente, otngente, sente e ossente) d seguinte mneir seno osseno teto oposto hipotenus teto djente hipotenus tngente otngente teto oposto teto djente teto djente teto oposto sente ossente teto hipotenus djente teto hipotenus oposto A Figur 7 ilustr s 6 rzões trigonométris pr os ângulos β e α de um triângulo retângulo α β seno: osseno: tngente: otngente: sente: ossente: os(α) tg(α) tg(α) se(α) s(α) Figur 7: As rzões trigonométris sen(β) os(β) tg(β) tg(β) se(β) s(β) N Figur 7() trçmos digonl de um qudrdo de ldo e então determinmos s rzões trigonométris pr o ângulo de 45 o otido: os(45 o ), sen(45 o ), tg(45 o ) N Figur 7() trçmos ltur de um triângulo equilátero de ldo e então determinmos s rzões trigonométris pr os ângulos de 0 o e 60 o otidos: os(0 o ) /, sen(0 o ) /, tg(0 o ) / / os(60 o ) / A tel 7 resume estes resutdos, sen(60 o ) / ângulo 0 o 45 o 60 o sen os tg, tg(60 o ) / / Tel 7: Vlores de seno, osseno e tngente dos ângulos 0 o, 45 o e 60 o 5

3 45 o () Ângulo de 45 o 60 o 0 o / / () Ângulos de 0 o e 60 o Figur 7: Ângulos fundmentis 74 Algums identiddes trigonométris N Figur 7 temos que os(α) e ; otemos então s seguintes identiddes: tg(α) os(α) otg(α) os(α) se(α) s(α) Usndo o Teorem de Pitágors otemos tg(α) os(α) otg(α) os(α) os(α) se(α) os(α) s(α) (7) (7) (7) (7d) + os (α) + sen (α) [ os (α) + sen (α) ] donde os (α) + sen (α) (7e) A identidde (7e) é hmd de identidde fundmentl: o qudrdo do osseno mis o qudrdo do seno de qulquer ângulo é sempre igul um A prtir d identidde fundmentl otemos outrs dus importntes identiddes: os (α) + sen (α) os (α) os (α) + sen (α) sen (α) os (α) + sen (α) os (α) os (α) + tg (α) se (α) sen (α) os (α) sen (α) + sen (α) otg (α) + s (α) (7f) (7g) 75 A Lei dos Cossenos Vimos que pr triângulos retângulos s medids dos ldos estão reliondos pelo Teorem de Pitágors Pr triângulos quisquer os omprimentos dos ldos estão reliondos pel Lei dos Cossenos (Figur 74) A demostrção d Lei dos Cossenos pr o ângulo α pode ser otid prtir d Figur 75 No triângulo retângulo d esquerd temos os(γ) x x os(γ) x + H H x 6 (7) (7)

4 β γ α Pr o ângulo α: Pr o ângulo β: Pr o ângulo γ: Figur 74: A Lei dos Cossenos + os(α) + os(β) + os(γ) No triângulo retângulo d direit temos Sustituindo (7) e (7) em (7) otemos que é Lei dos Cossenos pr o ângulo γ H + ( x) H + x + x x + os(γ) + x + os(γ) (7) H γ x Figur 75: A demostrção d Lei dos Cossenos pr o ângulo γ 76 A Lei dos Senos Outr relção entre os omprimentos dos ldos e os ângulos de um triângulo qulquer é Lei dos Senos (Figur 76), uj demonstrção rgo do leitor (Prolem Teório 7) β γ α sen(β) Figur 76: A Lei dos Senos sen(γ) 77 Prolems Propostos Prolem 7 A ltur de um triângulo equilátero mede m Determine seu perímetro e su áre Prolem 7 A digonl de um qudrdo mede 6 m Determine seu perímetro e su áre Prolem 7 (PUC-SP) Se ltur de um trpézio isóeles medir 8 dm e sus ses medirem, respetivmente, 7 dm e 5 dm, determine medid de sus digonis Prolem 74 No triângulo ddo determine s medids x e y 7

5 5 x 6 Prolem 75 No triângulo ddo se-se que 5, y e ldo de omprimento é perpendiulr o ldo de omprimento Determine e x y x Prolem 76 Em um triângulo retângulo um dos tetos mede 5 e su projeção sore hipotenus mede 4 Determine: () o omprimento do outro teto; () o omprimento d hipotenus; y () seu perímetro; (d) su áre Prolem 77 Em um triângulo hipotenus mede 0 e rzão entre os omprimentos dos tetos é 4 Determine os omprimentos ds projeções dos tetos sore hipotenus Prolem 78 [PUC-SP] O perímetro de um losângo mede 0 m e um de su digonis mede 8 m Qunto mede outr digonl? Prolem 79 Num triângulo retângulo ltur reltiv à hipotenus mede m e projeção de um dos tetos sore hipotenus mede 6 m Determine o omprimento dos tetos deste triângulo Prolem 70 Determine o perímetro e áre do triângulo ddo 45 ọ Prolem 7 Os ldos de um triângulo medem, e + Determine s medids de seus ângulos Prolem 7 Um triângulo tem seus vérties nos pontos A, B e C Se-se que AC e BC 4 () Sendo-se que AB 7 e α é o ângulo oposto o ldo BC, determine os(α); () É possível que o ângulo oposto o ldo AC sej de 60 o? Explique Prolem 7 Um terreno têm form de um prlelogrmo ujos ldos medem 40 m e um dos ângulo internos mede 0 o Seu proprietário irá erá-lo e tmém dividi-lo o meio om um er om os de rme Determine quntidde de rme ser utilizd Prolem 74 (ITA-SP) Os ldos de um triângulo medem, e entímetros Qul o vlor do ângulo interno deste triângulo, oposto o ldo que mede entímetros, se forem stisfeits s seguintes relções: 7 e 8 Prolem 75 (ITA-SP) Num losângo ABCD som ds medids dos ângulos otusos é o triplo d som ds medids dos ângulos gudos Se su digonl menor mede d, determine su rest Prolem 76 (Universidde Gm Filho - RJ) Clulr os vlores de k que verim simultnemente s igulddes: sen(θ) k e os(θ) k Prolem 77 Pr d rzão trigonométri dd utilize s identiddes d Seção 74 pr determinr s outrs ino 8

6 () 5 () os(β) 7 () tg(γ) 4 (d) otg(δ) (e) os(ɛ) 5 (f) tg(θ) (g) s(φ) (h) se(σ) Prolem 78 Um pesso n mrgem de um rio vê, so um ângulo de 60 o, o topo de um torre n mrgem opost Qundo el se fst 40 m perpendiulrmente à mrgem do rio, esse ângulo é de 0 o () Qul lrgur do rio? Prolem 79 Verique veridde ds igulddes seguir () +os(α) + +os(α) s(α) () sen (β) os (β) tg (β) () tg(γ) +tg ( γ) sen(γ)os(γ) (d) se(θ)+sen(θ) s(θ)+os(θ) tg(θ) (e) se (φ)s (φ) tg (φ) + otg (φ) + (f) [ tg(σ) sen(σ) ] + [ os(σ) ] [ se(σ) ] Prolem 70 Explique por quê s igulddes dds são inválids () Qul ltur d torre? () () os(α) 5 () se(α) (d) s(α) 4 Prolem 7 Dois ângulos α e β são ditos omplementres se α+β π Use Figur 7 pr se onvener dos seguintes ftos: () o seno de um ângulo é igul o osseno de seu omplementr; () o osseno de um ângulo é igul o seno de seu omplementr; () tngente de um ângulo é igul à otngente de seu omplementr; (d) otngente de um ângulo é igul à tngente de seu omplementr; (e) sente de um ângulo é igul à ossente de seu omplementr; (f) ossente de um ângulo é igul à sente de seu omplementr Prolem 7 Os ldos de um prlelogrmo medem e e sus digonis x e y Mostre que x + y ( + ) Prolem Teório 7 Demonstre Lei dos Senos (Figur 76) 78 Resposts dos Prolems Propostos - Cpítulo 7 7 (págin 7) perímetro 4 m e áre 8 m 7 (págin 7) perímetro m e áre 7 m 7 (págin 7) 505 dm 74 (págin 7) x 4 e y 9 75 (págin 8) 4 6 e x 6 76 (págin 8) () p ; () + ; () p ; (d) 6 +

7 77 (págin 8) 8 5 e 5 78 (págin 8) 6 m 79 (págin 8) 5 m e 0 m 70 (págin 8) perímetro 6 + e áre 9 7 (págin 8) 0 o, 45 o e 05 o 7 (págin 8) () os(α) ; () Não, pois terímos um ângulo ujo seno é mior que 7 (págin 8) 600 m de rme 74 (págin 8) 60 o 75 (págin 8) d 76 (págin 8) k 77 (págin 8) () os(α) 4 5, tg(α) 4, otg(α) 4, se(α) 5 4, s(α) 5 () sen(β) 4, tg(β) 4, otg(β), 7 se(β) 7, sen(β) 7 () os(γ) 7, sen(γ) 6 7, otg(γ) 7 7 4, se(γ) 7, s(γ) 7 6 (d) os(δ) 0, sen(δ) 0, tg(δ) 0 0, se(α) 0, s(α) 0 (e) sen(ɛ) 4 5, tg(ɛ) 4, otg(ɛ) 4, se(ɛ) 5, s(ɛ) 4 5 (f) os(θ) 5, sen(θ) 5, otg(θ), 5 5 se(θ) 5, s(θ) 5 (g) os(φ), sen(φ), tg(φ), otg(φ), se(φ) (h) os(σ), sen(σ), tg(σ), otg(σ) 4, s(σ) 78 (págin 9) () 0 m 4 () 0 m 0