1. Breve Revisão de Operações em

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1 Breve Revisão de Operções em Est seção cotém um reve resumo de lgums operções e proprieddes dos úmeros reis, s quis serão muito utilizds o desevolvimeto do Cálculo Como se trt de um rápid revisão, escolhemos quels proprieddes que são esseciis, porém muits vezes cm esquecids pelos estudtes Dess form, muits outrs form omitids, o que ão sigific que ão serão ecessáris Pr o om comphmeto de um curso de Cálculo é ecessário que tods s regrs ásics ds operções com os úmeros reis estejm presetes em su memóri, o tempo todo Por isso recomedmos ão pes o estudo dest revisão, como tmém costte usc pelos coteúdos já vistos e esquecidos Pr elorção dest seção utilizmos como referêci o livro Pré-Cálculo, que comph o livro Cálculo Diferecil e Itegrl, de Pulo Boulos Ed Mkro Books Um o referêci pr um estudo mis detlhdo é coleção Fudmetos de Mtemátic Elemetr, d Ed Atul, com Gelso Iesi como utor predomite Todvi, este é um ssuto que já foi estuddo o logo do Esio Fudmetl e Médio e, portto, seu livro didático tmém poderá te uilir est tref Simologi : cojuto dos úmeros turis {,,,,,5,6, } : cojuto dos úmeros iteiros { -5, -, -, -, -,,,,,,5,6, } : cojuto dos úmeros rciois p q tl que p, q Z; q É o cojuto dos iteiros ou decimis com úmero fiito de css e dqueles com ifiits css decimis, porém este cso, seus elemetos são iguis ou formm dízims periódics : cojuto dos úmeros irrciois São decimis com ifiits css, cujos elemetos precem letorimete, ou sej, sem estelecer ehum seqüêci π, ,, Eemplo, : cojuto dos úmeros reis R Q I * * : cojuto dos úmeros reis, sem o zero

2 A B {, y) : A, y B} ( (produto crtesio) R R {(, y) : R, y R} R R R R L R, vezes : qulquer que sej : / ou tq : tl que : pertece (elemeto pertece cojuto: (, ) R y ) : ão pertece : está cotido (su-cojuto está cotido em cojuto: N Z Q R ) : cotém : uião; : itersecção : é equivlete : eiste; : portto : meor que; : mior que : meor ou igul ; : mior ou igul : se, etão ( N Z ; lê-se: se pertece o cojuto dos turis, etão pertece o cojuto dos iteiros; só vle id) : se, e somete se ( y z z y ; lê-se: mis y é igul z se, e somete se, é igul z meos y; o etedimeto que se tem é: se mis y é igul z, etão é igul z meos y e, cocomittemete, se é igul z meos y, etão mis y é igul z; vle id e volt) Itervlos: Aerto: (, ) { R : } Fechdo: [, ] { R : } Semi-erto à direit: [, ) { R : } Semi-erto à esquerd: (, ] { R : } Ifiito: ( ) { R : }, R

3 Operções e proprieddes Em mtemátic, um cojuto é crcterizdo por seus elemetos e pels operções que estes podem relizr E ests operções sempre stisfzem lgums proprieddes, s quis são fudmetis pr relizção dos cálculos ecessários à solução de prolems Os elemetos de já form presetdos cim e este cojuto estão defiids dus operções, dição e multiplicção, s quis stisfzem s seguites proprieddes: (I) Comuttiv: quisquer que sejm dois úmeros reis e, sempre se tem: e (II) Associtiv: quisquer que sejm os úmeros reis, e c, sempre se tem: ( ) c ( c) e (c) ()c (III) Elemeto eutro: eistem úicos úmeros reis, idicdos por e, tis que, pr qulquer úmero rel, verificm e (IV) Elemeto oposto e elemeto iverso: (i) Ddo um úmero rel, eiste um úico úmero rel, idicdo por -, chmdo oposto de, tl que (-) (ii) Ddo um úmero rel, eiste um úico úmero rel idicdo por ou por, chmdo iverso multiplictivo de, tl que (V) Distriutiv: quisquer que sejm, e c reis, sempre se tem: ( c) c e ( c) c Coseqüêcis ds regrs ásics: Sutrção: difereç etre e, idicd por, é defiid por (-) Coseqüetemete, pr todo, reis, tem-se: ( ), ( c) c e ( c) c Potecição: sedo um úmero rel, defiimos: ( ftores), se,,,

4 Se, podemos esteder est defiição pr iteiro e ssim,,,,,, Regrs d potecição: sedo e úmeros reis ão ulos, m e iteiros, tem-se: m m m m ( ) m m m m ( ) m Divisão: o quociete de por, ode, idicdo por, é defiido por, ode é referido como umerdor e, deomidor tmém é referido como frção Regrs d divisão: sejm,, c, d diferetes de zero Etão, É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO!!!!!, ( ) c c c c c c d c d c d c Se c e d ão são primos etre si, tommos o c d c d d c cd cd cd mmc(c,d) como deomidor pr otermos o quociete já form simplificd c d cd d c c d

5 Oservção: Um pergut surge com muit freqüêci: Por que? Respost: Pr que tods s proprieddes de potecição cotiuem válids Vej, pr todo iteiro positivo, ós podemos escrever Se outro úmero diferete de, epressão terior ão seri verddeir tivesse sido defiido por qulquer Epressões Algérics É importte eteder em difereç etre equção e idetidde: Dd um iguldde ode em cd memro se tem um epressão em, cosideremos o cojuto de todos os úmeros reis que são comus os domíios desss epressões, ou sej, o cojuto dos úmeros reis pr os quis são possíveis de serem relizds s operções idicds por ms s epressões Idiquemos tl cojuto por D Se iguldde se verific pr todo de D, tem-se um idetidde (em D) Cso cotrário, tem-se um equção Neste último cso, resolver equção sigific ecotrr todos os vlores de que verificm O cojuto de todos estes vlores é chmdo cojuto-solução, o qul pode ser vzio, o cso d equção ão possuir soluções Eemplos: ) Pr iguldde, tem-se D Resolvedo-, cheg-se 5/ Logo, trt-se de um equção, cujo cojuto-solução é {5/} ) Pr iguldde ( ) 6 9, tem-se D Como ( ) ( )( ) 9 6 9, trt-se de um idetidde em, ou sej, est iguldde é verddeir pr todo rel c) Pr iguldde, tem-se que D - {} Pr resolvê-l, multiplicmos mos os memros por ( ) pr otermos ( ), o que é equivlete 9/ Logo, trt-se de um equção, cujo cojuto solução é {9/} d) Você deve se lemrr ds igulddes: cos se, tg sec ou se ( ) se( )cos( ) se( )cos( ) Pois trtm-se de idetiddes, um vez que, tomdo, e em rdios, fim de que perteçm o cojuto dos reis, é possível provr 5

6 que ests igulddes são verddeirs em todo o domíio de vlidde do seo, cosseo, tgete e secte, ou sej, primeir e terceir igulddes se verificm pr todo, e reis e segud, em - {π/ k π, k œ } É por isso que são chmds de idetiddes trigoométrics Epressões poliomiis tipo Iformlmete fldo, podemos dizer que um epressão poliomil é som de prcels do, rel e turl (se, covecio-se que mesm cois, o tipo sedo y m ) No cso de dus icógits é, m turl Os úmeros que multiplicm s potêcis s epressões e os que figurm isoldmete são chmdos de coeficietes Assim, -, e 7 são os coeficietes de 7, e ssim por dite Cd prcel d epressão poliomil é referid como termo Assim,, e 7 são os termos de 7 O termo o qul ão prece é chmdo de termo idepedete ou termo costte Os termos de mesmo epoete, do tipo, são chmdos termos semelhtes Por eemplo, e são termos semelhtes e Operções: Som: A som de epressões poliomiis é feit somdo todos os termos, podedo-se usr propriedde distriutiv pr os termos semelhtes Eemplo: (5 5 ) ( ) 5 ( 8) ( 5) ( ) Produto: O produto de epressões poliomiis é feito termo termo, respeitdo-se s regrs de potêci e propriedde distriutiv Eemplo: ( ( ) ( 5 ) ( 5 ) ) ( ) ( ) 6

7 Produtos otáveis: lgus produtos são tão utilizdos que cm receedo omes e métodos especiis de resolução Eis lgus deles: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oservções: Os produtos otáveis são idetiddes, ou sej, s igulddes cim são verddeirs pr todo rel A epressão ( ), é deomid Biômio de Newto, devido o mtemático que determiou um fórmul pr su epsão Os csos eemplificdos cim são csos prticulres dest fórmul gerl, qul é dd por: (! ( )! ( )( )! ( ) L ( )! ) L, sedo que!,!,!,! (-)(-)(-) Muit teção pr o fto de que, em gerl, ( ± ) ( ± ) ( ± ) ± ± ±, Qudo dizemos em gerl queremos dizer podem eistir lgus vlores de ou de que torem, por eemplo, iguldde ( ) verddeir é um cso Quociete: O teorem que fl sore divisão de iteiros positivos é o seguite: Ddos os iteiros positivos e, eiste um úico pr ordedo (q, r) de úmeros iteiros tl que q r, com r Neste coteto, q e r são chmdos, respectivmete, quociete e resto d divisão euclidi de por, ode é o dividedo e, o divisor Assim, o dividirmos, por eemplo, 5 por, otemos o quociete igul e o resto igul, ou sej, podemos escrever 5 ou equivletemete, 5 7

8 Eiste um teorem álogo que diz respeito à divisão de um epressão poliomil por outr Pr euciá-lo, itroduzimos seguite omecltur: Se epressão poliomil L tem-se, el é dit ter gru Agor podemos formulr o seguite resultdo: Se A e B são epressões poliomiis, B, eiste um úico pr (Q, R) de epressões poliomiis tl que idetidde A BQ R se verific, com R ou gru de R gru de B Eiste um lgoritmo pr efetur divisão de poliômios, álogo o lgoritmo utilizdo pr dividir úmeros iteiros O eemplo seguir ilustr Eemplo: Pr dividir 5 por podemos proceder de meir álog à divisão etre úmeros iteiros Podemos iclusive usr mesm disposição prátic do processo: 5 ) Divid 5 (primeir prcel do dividedo) por (primeir prcel do quociete): 5 5 (primeir prcel do divisor) pr oter 5 ) Multiplique 5 pelo divisor, muddo o sil, pr oter Escrev isso io do dividedo pr somr com ele: c) Repit o processo com 5 8 como dividedo: Como epressão tem gru, meor que o gru do divisor, devemos prr por qui Oservção: O processo de divisão cim os permite escreve seguite idetidde em : 5 ( )( 5 5 ) 8

9 ou equivlete Ftorção: Ftorr um poliômio sigific escreve-lo como um produto de outros poliômios, ode cd ftor é um poliômio de gru iferior o do poliômio ftordo Eistem vários tipos, porém só vmos trtr qui o cso que mis os iteress: Teorem Fudmetl d Álger: Sej P () um poliômio de gru, com vriável Etão P () pode ser escrito form ode c é um costte, multiplicidde d i-ésim riz m m m P ( ) c ( ) ( ) L ( ),,, L são s rízes de ) P ( (reis ou comples) e m i deot Oservções: (i) Um úmero é dito riz de um poliômio em se o ser colocdo o lugr de, ul o poliômio (ii) Chmmos de multiplicidde de um riz o úmero de vezes que el ocorre o mesmo poliômio Se multiplicidde for, chmmos riz de simples (iii) Um poliômio é dito irredutível qudo só possui rízes simples Se s rízes são dmitids pes em, etão o poliômio é dito irredutível qudo só possui rízes simples ou ão possui rízes reis (iv) O Teorem Fudmetl d Álger os diz que todo poliômio pode ser ftordo, stdo pr isso, cohecer sus rízes Eemplo: é riz do poliômio p ( ), pois sustituido por otemos p ( ) Logo, é um ftor do poliômio p (), qudo form ftord, ou sej, p () pode ser escrito form p( ) ( ) q( ) Pr determirmos q () st dividirmos p () por ( ) e oteremos q ( ) ( ) Logo, podemos escrever p ( ) ( )( ) 9

10 Neste eemplo oservmos que é um riz simples de p ( ) e que q ( ) ( ) é um poliômio irredutível em, pois ão possui rízes reis Portto, se estmos trlhdo pes o cojuto dos reis, epressão ftord de p () é ( )( ) Epressões rciois Como já foi visto, s operções com epressões lgérics seguem s mesms regrs ds operções com úmeros reis Todvi, qudo se trt de frções, um cuiddo mis sempre é ecessário, pois muitos detlhes precism ser oservdos: O deomidor ão pode ser zero Portto, o efetur um cálculo do tipo 5 primeir preocupção deve ser determição dos vlores de que podem ser utilizdos s operções, ou sej, o domíio d epressão Neste cso, temos ± e Portto, o trlhr com epressão cim, devemos ter sempre em mete que estmos cosiderdo ± A ftorção deve ser sempre utilizd pr verificr preseç ou ão de ftores comus os deomidores, o que fcilitrão os cálculos Oserve que: ( )( ) e ( ) Logo, eiste um ftor comum o deomidor, que é ( ), e ssim operção cim tor-se: 5 5 ( )( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( )( ) ( )( ) Devido às proprieddes de som de frções, tem-se c, c Porém, em gerl, c c c eemplo, 6!!!! Asurdo!!!! c c, pr todo úmero rel,, Vej, se isso fosse verddeiro sempre, terímos, por

11 , e Ms é muito comum erros do tipo: ( ) ou A solução pr equção propost é, turlmete, o ( ) cojuto vzio, pois 5 Relções de Ordem Até gor vimos proprieddes dos úmeros reis que evolvem iguldde Pr emirmos s proprieddes que evolvem desigulddes é iteresste termos um visão geométric do cojuto dos úmeros reis, o que fcilitrá compreesão dos resultdos Covecio-se represetr o cojuto dos úmeros reis por um ret e sore el, escolhe-se um poto pr ser origem Neste poto posicio-se o úmero À direit do e em ordem crescete, ecotrm-se os úmeros positivos e à esquerd, de modo simétrico, os úmeros egtivos -P P Assim, ddos dois úmeros reis distitos e, se está à esquerd de, dizemos que é meor que e idicmos, ou equivletemete, dizemos que é mior que e idicmos Do poto de vist lgérico, dizemos que se e, logmete, é meor que se Itroduzimos seguite otção : sigific ou sigific ou Coveção: Se e, costum-se comir isso escrevedo Sigificdo álogo tem s epressões,, Proprieddes: Se,, c R, etão: e c c (trsitividde)

12 c c c c (som de vlores iguis ão lter desiguldde) e c c c e c c c e c c c e c c c (produto de vlores positivos ão lter desiguldde) (produto de vlores egtivos iverte desiguldde) Módulo ou Vlor Asoluto Defiição: Sej O módulo de é ddo por, se, se Iterpretção Geométric: distâci de té origem - Proprieddes:, R, tem-se: e e se, ( desiguldde trigulr) Eemplos: Nestes eemplos vmos eercitr um pouco do que vimos trvés d resolução de equções e iequções (com desigulddes), uscdo ecotrr o cojuto solução

13 ) Resolv equção 5 Solução: D defiição de módulo, tem-se:, se, se, se, se Portto equção tor-se: 5, se 5, se 7, se, se Assim, s soluções d equção são 7 e -, ou S {-, 7} ) Resolv equção Solução: D defiição de módulo, tem-se:, se, se, se e, se, se, se Portto equção tor-se:, se, se, cujo cojuto solução é S {}, se ) Resolv iequção Solução: Utilizdo defiição de módulo, iequção tor-se:, se, se, se, se R : Assim, o cojuto-solução é S { } [, ] ) Resolv iequção Solução: Utilizdo defiição de módulo, iequção tor-se:, se, se, se, se Assim, o cojuto-solução é S { R : } (, )

14 5) Resolv iequção Solução: Utilizdo defiição de módulo, iequção tor-se:, 7,,, 7,,, se se se se se se Assim, o cojuto-solução é S { } ( ) ) [7, ], 7 : ou R 6) Resolv iequção Solução: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), já que R, Porém, ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou e ou e e ou e e ou e Portto, S (-, -) (, ) 7) Resolv iequção 6 Solução: Neste cso, como os dois termos d desiguldde são positivos, elevdo mos o qudrdo, o sil d desiguldde permecerá e os cálculos serão simplificdos Assim teremos ( ) ( ) ou Portto, S (-, ) (, )

15 Riz -ésim Sej um úmero rel e um iteiro pr Chm-se riz -ésim de o úmero tl que Idic-se Oservções: Se, etão eistem dois úmeros, ser, e riz -ésim de é pes, pois é positiv por defiição, tis que, porém Se é um úmero rel qulquer e é um iteiro ímpr, etão o úico úmero tl que é chmdo de riz -ésim de Idic-se Proprieddes: Vlem s seguites proprieddes pr, p, m iteiros,, m : ( i) ( ii) ( iii) ( ) m m m Cso prticulr : p q q ( iv) p p com resslv de que, se é pr, etão, Cuiddo: Em gerl, Vej: Porém, ,88 Porém, 8 Oservção: Qudo se pergut quto é, respost quse sempre é, ou sej, escreve-se Todvi, se tomrmos, por eemplo, -, etão teremos ( ), o que evidetemete está errdo, pois ( ) 6 Qul seri etão respost corret? Bem, segue d defiição de riz-qudrd que é o úico úmero positivo ou ulo que elevdo o qudrdo dá Como e, segue que 5

16 EXERCÍCIOS: ) Determie o cojuto solução ds equções e iequções io: ) 6 e) 5 7 ) f) 8 c) g) d) ( ) 5 h) ( ) ) Efetue os produtos: ) ( ) ( ) ( ) ) (u 6v) ( u v ) c) ( 5) ( 6 ) ) Resolv equção ( ) () ) Divid (isto é, dê o quociete e o resto): ) 6 por ) 5 por 6 5) Ftore: ) ) c) 5 d) 8 7 e) 7 6 f) 6) Efetue e/ou simplifique: ) ) c) d) 9 6

17 e) f) 9 g) h) 7) Verddeiro ou flso? Justifique ou dê cotr-eemplo ) é sempre positivo ) 9 ± c) pode ser ulo d),, R e),, R f) g) h) ( ), i) ( ) j) 8 k) l) ( ) 7

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