GGE RESPONDE ITA 2015 MATEMÁTICA 1 A RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES NO SITE: 01. Considere as seguintes afirmações sobre números reais:

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1 0. Cosidere s seguites firmções sobre úmeros reis: I. Se epsão deciml de é ifiit e periódic, etão é um úmero rciol. II. 0 ( III. l e (log )(log ) é úmero rciol. É (são) verddeir (s): ) eum b) pes II. c) pes I e II. d) pes I e III. e) I, II e III. I. Verddeir II. 0 ( ). 0 Note que 0 represet som de um P.G. de termo e rzão q. Portto, 0 0 ) Dí, ( ) III. l e le log log log log log VERDADEIRA ALTERNATIVA: D. FALSA Portto epressão vle 0. Sejm A, B e C os subcojutos de C defiidos por A {z e C : z i < }, B {z C : z i < 7/} e C {z C : z z 0 0}. Etão, (A \ B) C é o cojuto: ) { i, i} b) { i, i} c) { i} d) { i} e) { i} A {z C : z i < } z y i ;, y e R ( ) (y )i < ( ) (y ) < Q C {z C : z z 0 0} Z z z i z z i e z c {, i} i Cocluímos que Z, Z A; Z B e Z B. logo ( A \ B) C {` i} ALTERNATIVA: C 0 i 0. Se z, etão o vlor de rcse (Re(z)) rctg ( i Im(z)) é igul ) b) c) d) e) 0 i z i Covertedo pr form polr, temos i i cos ise i i cos ise 0 0 i 0.e i i Di, z e e i e i i i z e e i Ou sej, Re z Im z Logo, rcse Re z rctg Im(z) rcse rctg ALTERNATIVA: D B {z C : z i < 7/} z y i;, y e R (y )i < 7 (y ) < GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

2 0. Sej C um circuferêci tgete simultemete s rets r: y 0 e s: y 0. A áre do círculo determido por C é igul : ) b) c) d) e) 7 As rets: r: y 0 s: y 0 São prlels. Assim, circuferêci tgete mbs rets tem rio igul à metde d distâci etre els. O Poto,0 r. Usdo o resultdo d geometri lític: d by c, ode d b é distâci do poto à ret de equção byc0. Assim: d 0 y0, ode d e distâci do poto ( 0, y 0 ) à ret s. b 0. Cosidere equção com e b úmeros / iteiros positivos. Ds firmções: I. Se e b, etão 0 é um solução d equção. II. Se é solução d equção, etão, e. III. ão pode ser solução d equção. É são verddeirs(s) ) pes II b) pes I e II c) pes I e III d) pes II e III e) I, II e III I. Substituido temos? 0 0 Verddeir II. Codição de Eistêci Verddeir III. Substituido temos? b,0 r d 0 d b 0b Que é impossível pois o ldo esquerdo é múltiplo de. Assim r r áre de c, etão, é: ALTERNATIVA: E 0. Sej (,,,...) sequêci defiid d seguite form:, e pr. Cosidere s firmções seguir: I. Eistem três termos cosecutivos, p, p, p, que,est ordem, formm um progressão geometric. II. 7 é um úmero primo. III. Se é multiplo de, etão é pr. I. Como z, ; se três termos cosecutivos formssem P. G.,terímos,r,r stisfzedo r r, o Portdo r r que ão possui solução rciol impossibilitdo serem os três iteiros. II. VERDADEIRA 7 é primo III. VERDADEIRA é fácil ver que se mod() ou mod() etão é impr logo, somdo, o resultdo segue ALTERNATIVA: D Verddeir ALTERNATIVA: E 07. Cosidere o poliômio p ddo por p() b, com, b R. Sbedose que p dmite riz dupl e que é um riz de p, etão o vlor de b é igul ) b) c) d) e) p() b,, b R Admite riz dupl e é riz. Temos dois csos cosiderr. º Cso: As rízes são,, O produto seri As possibiliddes serim p () ( ), b e b p () ( ) ( ) b e b GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

3 º Cso: As rízes são,, O produto seri (Já cosiderdo) A questão deveri ser uld, ms dmitido que riz dupl ão pode ser tripl, temos b ALTERNATIVA B 0. Sej p o poliômio ddo por () j p j, com j R, j 0,, ( ) 0 j0...,, e 0. Sbedose que i é um riz de p e que p(), etão o resto d divisão de p pelo poliômio q, ddo por q(), é igul ) b) c) d) e) j p() j, 0 j0 p() q() k() r() O gru do poliômio r() émeor ou igul, pois o gru do poliômio q() é igul q(i) i i i i 0 Logo, i é riz de q. q() 0 Logo, é riz de q. Assim, p(i) q(i) k(i) r(i) 0 0 k(i) r(i) r(i) 0 Logo i é riz de r. p() q() k() r() 0 k() r() r() Se i é riz, como ij R i é riz. A( i) ( i) r() A ( ) r() A R r() A ( ) A A r() ALTERNATIVA B 0. Cosidere todos os triâgulos retâgulos com os ldos medido, e. Detre esses triâgulos, o de mior ipoteus tem seu meor âgulo, em rdio igul ) rctg b) rctg c) d) e) rctg rctg rctg rctg rctg / ALTERNATIVA: C ( ) 0 0. Os vlores de [0,] que stisfzem equção se cos são ) rccos e b) rcse e c) rcse e d) rccos e e) rccos e GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

4 se cos, [0,] Usdo s idetiddes se se cos cos cos Temse: se cos cos se cos cos cos se cos 0 cos 0 se cos ( I), (I) (II) se cos (II) se cos ms, pr cos se ms, [0,] cos se [0,] [0, ], portto ALTERNATIVA: A e se cos e, ssim se cos se rccos. Sejm e úmeros reis tis que,, ]0,[ e stisfzem s equções cos cos e cos cos 7 7 Etão, o meor vlor de cos(α ) é igul ) b) c) d) e) 0 α α β β Sej ti cos, t* se, t cos, t* se Temse etão: * t t 0 t t t t 0 * t t * t t 0 t t t 7t 0 * 7 7 t t Ms, α α * cosα cos se t t β β β cosβ cos cos cos (t ) β β β * seβ se se se ( t) Pr t cos, ms 0,, Logo devese desprezr ess solução. Pr t cos se Pr t cos se 0 Ms 0, Logo, cos, dode cos e se 0 Observse que é tl que um ds dus prcels é ul, depeder de t. Logo, devese procurr combição mis egtiv e ocorre pr se e se. Logo o meor vlor de cos ( ). ALTERNATIVA B. Sej A ( ij ) mtriz tl que ij i (j ), i, j. Cosidere s firmções seguir: I. Os elemetos de cd li i formm um progressão ritmétic de rzão i II. Os elemetos de cd colu j formm um progressão geométric de rzão. III. tr A é um úmero primo. É (são) verddeirs(s) ) pes I b) pes I e II c) pes II e III d) pes I e III e) I, II e III. A ( ij ) ij i (j ) I. A li i tem i fio e j, vrido: i j ij i ((ji)) i (j) j () i VERDADEIRA II. A colu j tem j fio e i vrido: ii j / ij i (ji) / ji (ji) Pr t cosβ 0 e seβ Tem secos(α β) cos α cosβ seα seβ Prcel Prcel VERDADEIRA GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

5 III. Tr(A) ii 0 7 é primo i VERDADEIRA ALTERNATIVA: E. Cosidere mtriz M (m ij ) tl que m ij j i l, i, j,. Sbedo que k 0 det M k Etão o vlor de é igul : ) b) c) d) 7 e) A (0, ) B (0, ) r: y 0 I. Verddeiro 0 ( ) d(a,r) ( ) 0 d(b,r) ( ) Logo: d (A,r) d (B,r) II. Fls B M 0 M 0 M 0 A Por ipótese de idução: k k M 0 M k k k M M (k ), De cordo com figur A e B ão são simétricos com relção à ret r. III. Verddeir y B r O que comprov ipótese de idução. Assim, k M k 0 S Note que S é um som de um P.A. de rzão. C A C S... S ( ) ( ) e k Det M k Logo, 0 ( ) ( ) 7. Cosidere os potos A (0, ), B (0,) e ret r: y 0. Ds firmções seguir: I. d(a, r) d(b, r) II. B é simétrico de A em relção r. III. AB é bse de um triâgulo equilátero ABC, de vértice C (,) ou C (, ) Note que o ldo do triâgulo equilátero ABC de bse AB é igul. Logo medid de su ltur reltiv o ldo AB, é igul. Note tmbém que ret y cotém ltur reltiv o ldo AB, e, portto, o vértice C. Como distâci de C e AB é igul, temos que o triâgulo ABC é equilátero. ALTERNATIVA D É (são) verddeirs(s) pes ) I b) II c) I e II d) I e III e) II e III GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

6 . Ddos o poto A, e ret r: y 0, cosidere o triâgulo de vértices ABC, cuj bse BC está cotid em r e medid dos ldos AB e AC é igul perímetro desse triâgulo são, respectivmete, iguis. Etão, áre e o. Cosidere s firmções seguir: I. O lugr geométrico do poto médio de segmeto AB, com comprimeto l fido, cujos etremos se deslocm livremete sobre os eios coordedos é um circuferêci. II. O lugr geométrico dos potos (,y) tis que y y y 0 é um cojuto fiito o plo crtesio R. III. Os potos (,), (, ) e (,) pertecem um circuferêci. 0 ) e 0 b) e c) e d) e 0 e) e Dests, é (são) verddeirs(s) ) pes I b) pes II c) pes III d) I e II e) I e III I. y 0 0,y 0 y 0 y, 0 PotoMédio 0 0,0 Como o comprimeto é, temse: 0 y0 0 y0 XA XA 7 Logo, X C PotoMédio Assim, o poto médio fz prte de um circuferêci de rio. Verddeiro. II. y y y 0 y y y 0 y y y y 0 Portto o cojuto ão é fiito, ms igul dus rets ilimitds. Flso. 0 A 0 Z P ALTERNATIVA E III. Três potos ão colieres sempre fzem prte de um mesm circuferêci. Assim, bst verificr se os potos são ão colieres São colieres, portto ão fzem prte de um circuferêci! Flso. ALTERNATIVA A GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

7 7. Sej ABCD um trpézio isósceles com bse mior AB medido, o ldo AD medido e o âgulo ADˆ B reto. A distâci etre o ldo AB e o poto E em que s digois se cortm é ) b) c) d) e) 7 A figur é como segue: b c c b 0 b c 0 Dí, O perímetro de PMN é ; ALTERNATIVA A. Cosidere um circuferêci C, o primeiro qudrte, tgete o eio O e à ret r:y0. Sbedose que potêci do poto 0(0,0) em relção ess circuferêci é igul, etão o cetro e o rio de C são, respectivmete, iguis ), e b), e c), e d), e Como ABCD é um trpézio isósceles, etão AD BC. Além disso ABˆ C BÂD, portto ACB~BDA. Por teorem de Pitágors: BD Ms, como o triâgulo BEA é isósceles, F é um poto médio de AB e portto BF7,. DA Assim: Tg DB ALTERNATIVA: E d BF d 7, d. Num triâgulo PQR, cosidere os potos M e N pertecetes o ldos PQ e PR, respectivmete, tis que o segmeto MN sej tgete à circuferêci iscrit o triâgulo PQR. Sbedose que o perímetro do triâgulo PQR é e que medid de QR é 0, etão o perímetro do triâgulo PMN é igul ) b) c) d) 0 e) e), e y y y y Pot (0,0) (,y ). Pot (0,0) d R R X d R d 0 R X.. 0 X 0 R Ms, y y P A circuferêci tem equção: ( 0 ) (yy 0 ) R Ms, y 0 R e 0 ( ) (y R) R M N Aplicdo o poto (, y ) (, ), temos: ( ) ( R) R R R R c R R b Assim, C : (, ) e R R ALTERNATIVA: A c b GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA 7 7

8 GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA 0. Um tç em form de coe circulr reto cotém um certo volume de um liquido cuj superfície dist do vértice do coe. Adiciodose um volume idêtico de líquido tç, superfície do liquido, em relção à origil, subirá de ) b) c) d) e) Por semelç de triâgulos: ALTERNATIVA C. Cosidere s fuções f,f, f:rr, sedo f(), f () e f() igul o mior vlor etre f () e f (), pr cd R. Determie: ) Todos os R tis que f ()f (). b) O meor vlor ssumido pel fução f. c) Tods s soluções d equção f() ) o p / 0 p / (for do itervlo de 0) }, { s p / b) como o temos que o vlor míimo de f é. E como 0 o vlor míimo de f é o logo o míimo de f é. c) : f ou 7 0 ou 0 : f,se f,se f,se f f() 7, s Logo e são s úics soluções 7 Logo, r r V V r r

9 . Cosidere o poliômio p ddo por p(z)³β²7β, em que β é um úmero rel. ) Determie todos os vlores de β sbedose que p tem um riz de módulo igul e prte imgiári ão ul. b)pr cd um dos vlores de β obtidos em ), determie tods s rízes do poliômio p. ) p(z) z z 7, R pelo teorem fudmetl d álgebr, eistem rízes comples. Como β e R, deotse s rízes por,, ode R e é o compleo cojugdo de ms Assim, como. ou sej, é riz!! Substituído equção, temse: l o Ms o ão pertece que muito, pelo cotrrio o z 0 p(z) z 7z 7 ão cotem! z b) z z 7z 0 z z 0z 7z 0 z z 0zz z 0 Assim: z z 0 0 z z z 7z i z 0 z 0 i z z z 7z 0 z z 0zz z 0 i i (z 0z ) z 0 z 0 i z i 0 z 0 i z i. Sbese que, B,C,D e E são cico úmeros reis que stisfzem às proprieddes: (i) B,C,D,E são dois distitos; (ii) os úmeros,b,c e os úmeros,c,e, estão est ordem, em progressão ritmétic; (iii) os úmeros B,C,D,E, estão, est ordem, em progressão geométric. Determie B,C,D,E.,B,C em PA, B X, C,C,E em PA, C Y, E y Dí y e E B,C,D,E em PG, X,,D, ().D()² e D²().() ( ) D ( )( ) ( ) ()³()²() ²³³² X0 é solução fls, dí ²² ²0 B BEC.D.().DD. Sej C E ddo por ² z : zc e z, com. Determie o mior elemeto de M em fução de. M Z Z : Z e Z, IR Como Z Z cos ise e Z cos ise Assim: Z Z cos ise cos ise cos cos ise se cos cos se se cos cos cos cos cos cos cos cos coscos se se se se GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

10 . Sej S o cojuto de todos os poliômios de gru que têm três dos seus coeficietes iguis e os outros dois iguis. ) Determie o úmero de elétros de S. b) Determie o subcojuto de S formdo pelos poliômios que têm como um de sus rízes 7. Sej um iteiro positivo tl que se ) Determie b) Determie se 0 p() coeficietes coeficietes ) se Se escolermos um cojuto de coeficietes, os outros estrão determidos. Temos coeficietes, vmos escoler pr ser.! 0!! ) S tem 0 elemetos. b) p() cos Dí se se cos Obrigtorimete e, são, cso cotrário uc zerri. 0 0 Rest escoler em vlor de em possibiliddes. Etão, os csos são: 0 e 0 e e 0 Logo, b) Sedo se cos Como se e cos Etão, sedo S o subcojuto de S, temos ; S' ;. Três pessos qui desigds por A, B e C, relizm o seguite eperimeto: A recebe um crtão recebe um crtão em brco e ele ssil o sil ou o sil, pssdo em seguid B, que mtém ou troc o sil mrcdopor A e repss o crtão C. Este, por su vez, tmbém opt por mter ou trocr o sil do crtão. Sedo de / probbilidde de A escrever o sil e de / s respectivs probbiliddes de B e C trocrem o sil recebido, determie probbilidde de A ver escrito o sil sbedose ter sido esse o sil o térmio do eperimeto. P(A) se. Sejm α e úmeros reis ão ulos. Determie os vlores de b,c,d, bem como relção etre α e pr que mbos os sistems lieres S e T seguir sejm comptíveis idetermidos. by S c y by S c y Pr que S sej idetermido, temos que: c b 0 bc 0 c c c 0 b c y T dy Pr que T sej idetermido, temos: c c 0 cd d c 0 0 d d c y T dy GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA 0 0

11 Pr que T e S sejm comptíveis: c c c c De (): b De (): d d 0. N costrução de um tetredro, dobrse um fol retgulr de ppel, com ldos de cm e cm, o logo de um de sus digol, de modo que esss prtes d fol formem um âgulo reto e costitum dus fces do tetredro. Num segud etp, de meir dequd, completse com outro ppel s fces resttes pr formr o tetredro. Obte s medids ds rests do tetredro. De (): Retâgulo Dobrdo : Tetredro Etão, pr c b d e, pr c b d. Sbese que equção ² y y² y 0 represet reuião de dus rets cocorretes, r e s, formdo um âgulo gudo. Determie tgete de. A B D C y y y 0 é uião de rets. Pesdo f y y y fução de com prâmetro y, temos Dí, f y y y y 0y y y y y 0y y 7 y y 7y 7y 7y 0 ms y 7y forece Que são s equções ds dus rets. As rests do tetredro são,,,,, Ode X AC. Trçdo s lturs AH e CI, temos: A D H I Note que A, H. I, C são vértices de um prlelepípedo retoretâgulo de rests AH, HI, IC e X é su digol. B C r : y 7y y 0 s : y 7y y 0 A Os vetores ormis são,, r s I cos cos se B C tg 7 C GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA

12 Isso se dá pel ipótese de plo AHI ser perpediculr o plo HICC AH ltur de ADB A B H D DH DH Alogmete BI, logo HI 7 HI, IC AH Logo X 7 X 7 GGE RESPONDE ITA 0 MATEMÁTICA