GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA 2009 (MATEMÁTICA)

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1 MATEMÁTICA - //8 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Notções N {,,,...} i : uidde imgiári: i - R: cojuto dos úmeros reis z :Módulo do úmero z C C: cojuto dos úmeros compleos Rez :prte rel do úmero z C [, b] { R; b} Imz : prte imgiári do úmero z C ( + ) ] + [ { R; < < + } M m (R) : cojuto ds mtrizes reis m A\B { A; B} A t : trsport d mtriz A A C : complemetr do cojuto A det : determite d mtriz A P(A): cojuto de todos os subcojutos do cojuto A (A): úmero de elemetos do cojuto fiito A AB :segmeto de ret uido os potos A e B tra: som dos elemetos d digol pricipl d mtriz udrd A Observção: Os sistems de coordeds cosiderdos são crtesios retgulres.. Sejm A e B subcojutos do cojuto uiverso U {, b, c, e, f, g, g}. Sbedo ue (B C A) C {f, g, h}, B C A {, b} e A C \ B {d, e}, etão, (P(A B)) é igul ) b) c) d) e) 8. Sej f:r R\{} um fução stisfzedo às codições: f( + y) f() f(y), pr todo, y R e f(), pr todo R\{} Ds firmções: I. f pode ser ímpr. II. f(). III. f é ijetiv. IV. f ão é sobrejetor, pois f() > pr todo R. é (são) fls(s) pes ) I e III b) II e III c) I e IV d) IV e) I A B {c} (P(A B)) Altertiv C. Um empres possui crros, sedo um prte com motor gsoli e o restte com motor fle (ue fucio com álcool e com gsoli). Num determid époc, este cojuto de crros, 6% dos crros com motor gsoli e 6% dos crros com motor fle sofrem coversão pr tmbém fucior com gás GNV. Sbedo-se ue, pós est coversão, 6 dos crros dest empres são bicombustíveis, pode-se firmr ue o úmero de crros tricombustíveis é igul ) 6 b) c) 6 d) 68 e) 8 Sejm o úmero de crros de gsoli e ( ) o úmero de crros fle. Dos crros gsoli,6 virm bicombustíveis. Dos ( ) crros fle,6 ( ) virm tricombustíveis. Portto dos ( ) crros fle,6 são bicombustíveis. Deste modo temos seguite eução,6( ) +,6 6 6,6 +,6 6 -,8 6 6,8 8 X Portto fábric possui crros gsoli e 7 crros fle.,6(7) crros tricombustíveis. Altertiv B I. f: R R\ {} f (+y) f (). f (y) (i) f pode ser ímpr (flso) f () f() f() f() (f() ) f() f() f(-) se f fosse ímpr f(-) -f() ; - f² () f²() - bsurdo; f() R. II. f (). (verddeiro) vide item (i) III. f é ijetiv (verddeiro) Supoh ue f() f(b) f() f ( b) f(b) b pois f() b logo f é ijetiv IV. f () > R (verddeiro) f() f + f > Altertiv E. Se cos e b se, etão, o úmero compleo cos + i se é igul : ) + bi b) + bi c) ( b ) + b( + b )i d) bi e) b + b( b )i cos b se

2 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) i i cos + i se e e cos + i se cos + + i se + cos + i se Temos ue cos + i se cos + i se Dividido eução, por. Obtemos ue Δ ± ± ± i + + i + i + b Altertiv E - 6. Cosidere s fuções f() + -- e g() -+. A multiplicidde ds rízes ão reis d fução compost f o g é igul ) b) c) d) e) Portto, cos + i se Altertiv B + bi. O poliômio de gru ( b + c) + ( + b + c) ( b) + ( b + c) + ( + c) +. Com, b, c R, é um fução pr. Etão, som dos módulos de sus rízes é igul ) + b) +. c) +. d) +. e) +. Poliômio de gru. ( + b + c) + ( + b + c) ( b) + ( b + c) + ( + c) Com, b c R é um fução pr. Res: temos ue os coeficietes dos moômios de gru ímpr são iguis zero, pois o poliômio é um fução pr. Portto + b + c b + c Dí + c c e b Deste modo, o poliômio pode ser escrito d seguite meir. Obs.:, pois se, o poliômio será ideticmete ulo, cotrdizedo o fto de o poliômio ter gru. f() + e g() + Podemos escrever s fuções f() + e g() + d seguite meir: f() ( ) + ( ) f() ( )( + ) + ( ) f() ( )( + + ) ( )( + ) ( )( + ) f() ( )( + ) g() ( + ) ( ) fog() f(g () ) f[( ) ] [( ) ][( ) + ] fog() ( + )( + + ) fog() ( )( + ) Portto multiplicidde ds rízes ão reis d eução fog() é igul três. Altertiv C 7. Supoh ue os coeficietes reis e b d eução + +b ++ são tis ue eução dmite solução ão rel r com r. Ds seguites firmções: I. A uestão dmite utro rízes distits, sedo tods ão reis. II. As rízes podem ser dupls. III. Ds utro rízes, dus podem ser reis. é(são) verddeir(s) ) Apes I b) Apes II. c) Apes III. d) Apes II e III. e) Nehum., b R + + b + + São tis ue eução dmite solução ão rel r com r. Res: A eução + + b + + é recíproc de º espécie, com coeficietes reis. Temos ue + + b + + pode ser escrito d seguite meir + + b + + ( r)( r) r r Portto úic firmção ue é verddeir é I. Altertiv A

3 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) 8. Se s soluções d eução lgébric - +b+, com coeficietes,b R, b, formm, um determid ordem, um progressão geométric, etão b é igul ) - b) c) + b +, b R e b d) e) Sejm,, rízes d eução, formdo um P.G. de rzão. Usdo s relções de Girrd, temos ue b 7; R Ds euções b b Temos e Dividido s euções + + b b + + R,. Logo, b Altertiv B b. Ddos A M (R)é melhor proimção udrátic do t sistem AX b udo ( b) ( AX b) ssume meor AX vlor possível. Etão, ddo o sistem, y A su melhor proimção udrátic é ) b) c) d) A,, b y - AX b y - - (AX b) t (AX b) ( + ) + (y ) + ( ) (y ) (y ) e) t Assim, ( AX b) (AX b) é míimo udo e y, ou sej, X Altertiv E. O sistem + by c,,,b,b,c,c R, + by c Com (c,c ) (,), c + c b c + b c, é ) determido b) determido somete udo c e c c) determido somete udo c e c ou c c. d) impossível. e) idetermido. c + b c y c c + b c y c ( c + c ) + (b c + b c )y c + c + y c + c c c bsurdo sistem é impolssível Altertiv D. Sej A M (R) um mtriz simétric e ão ul, cujos elemetos são tis ue, e formm,est ordem, um progressão geométric de rzão tra. Sbedo-se ue o sistem AX X dmite solução ão ul X M (R), pode-se firmr ue + é igul ). A b). ms + ± ( A I) X AX X ± ± ( - )( -) - ²-+-² ² + ² + Altertiv A c) d). e).. Um mostr de estrgeiros, em ue 8% são proficietes em iglês, relizou um eme pr clssificr su proficiêci est lígu. Dos estrgeiros ue são proficietes em iglês, 7% form clssificdos como proficietes. Etre os ão proficietes em iglês, 7% form clssificdos como proficietes. Um estrgeiro dest mostr, escolhido o cso, foi clssificdo como proficiete em iglês. A probbilidde deste estrgeiro ser efetivmete proficiete est lígu é de proimdmete. ) 7% b) 7% c) 68% d) 6% e) 6%

4 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Solução Clss, S { P R d ( P,t ) + d ( P,A ) } Sejm P(, y ) R ; t : (ret) e A (,). d (P,t) X ( ) X d (P,A) (X -) +(y -) D eução d (P,t) +d (P,A),, P(prof/cllss), 7, +,,8 Sem ltertiv (Um má proimção é 7% Altertiv B). Cosidere o triâgulo ABC de ldos BC,b AC, e c AB e âgulositeros CÂB, β ABˆ C e γ BĈA. Sbedo-se ue eução b cos +b - dmite c como riz dupl, pode-se firmr ue. ) º b) β 6º c) γ º d) O triâgulo é retâgulo pes se º. e) O triâgulo é retâgulo e b é hipoteus. γ β γ Temos (X -) +(X -) +(y o -) X X + + X 6X + + Y + ( YO ) ( Y ) X 8X + O X X + + ( ) ( YO ) X X + + ( X ) ( y ) + ( ) Portto o cojuto S represet em Elipse com eios de comprimeto e. Altertiv D. Do triâgulo de vértices A, B e C, iscrito em um circuferêci de rio R cm, sbe-se ue o ldo AB mede cm e o âgulo itero A B ) C mede. Etão, o rio d circuferêci iscrit este triâgulo tem o comprimeto, em cm, igul ) - b) c) d) e) Cosidere o poliômio p() ² - b cos + b² ² Como c é um riz dupl de p(), etão c é riz d derivd P() b cos ou sej, c c b cos cos b Como OBC é um triâgulo eüilátero, segue se ue ABC é isósceles, 6º Â º B Logo, ² b² + c² - bc cos b² + c² - bc. b c b² - c² Assim, b² ² + c² e ABC é retâgulo e b é hipoteus º Altertiv E. No plo, cosidere S o lugr geométrico dos potos cuj som dos udrdos de sus distâcis à ret t : e o poto A (,) é igul. Etão, S é ) um circuferêci de rio e cetro (,). b) um circuferêci de rio e cetro (,). c) um hipérbole. d) um elipse de eios de comprimeto e. e) um elipse de eios de comprimetos e. O A C

5 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Sej r o rio d circuferêci iscrit. Usdo epressão pr áre, temos. ( + ) S seº r ( + ) ( ) r ( ) r ( ) Altertiv: D 6. A distâci etre o vértice e o foco d prábol de eução y + é igul ) b) c) d) e) A eução d prábol y + y + y y + ( ) + - y Assim [ cos + cotg ] se + + cotg se se cos cos + se se cos se + cos se se [ cos se ] cot g Portto, se + + cot g tg + tg Altertiv A [ cos se ] cos se [ cos se ] cot g 8. Sejm C um circuferêci de rio R > e cetro (,) e AB um cord de C. Sbedo ue (,) é poto médio de AB, etão um eução d ret ue cotém AB é ) y + 6 b) y + c) y + 7 d) y + e) y + ( ) ( ) + y y + y y' ' P p p, portto Distâci etre o foco e o vértice é igul Altertiv E 7. A epressão se + + cot g tg + tg é euivlete ) [cos se ] cotg b) [se + cos ] tg c) [cos se ]cotg d) [ cotg ]se e) [ + cotg ][se + cos ] se se cot g se cot g tg cos + tg cos se + Por outro ldo + se + cos cot g se cos se + + cot g se Os segmetos OM e AB são perpediculres. m m OM AB Logo, eução d ret ue pss por M e tem iclição é: y ( ) y - + y + Altertiv B. Um esfer é colocd o iterior de um coe circulr reto de 8 cm de ltur e de 6 de âgulo de vértice. Os potos de cotto d esfer com superfície lterl do coe defiem um circuferêci e distm cm do vértice do coe. O volume do coe ão ocupdo pel esfer, em cm, é igul 6 ) 8 b) c) d) e)

6 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA). Sej S o cojuto solução d ieução ( ) log + ( 6) cm Determie o cojuto S C. ( ) log + ( 6) Or, como log + ( 6), sempre ue 6 > e + >, ieução é euivlete, Assim, temos: r tgº r + > ( 6 )( + 6 ) > > R tgº 8 8 R 8 V Vcoe Vesfer V (8 8) ( 8 6 6) Estudo do sil de ( 6 )( + 6 ) 6 6 Altertiv A 6 6. Os potos A (,) e B (,) são vértices de um cubo, em ue AB é um ds rests. A áre lterl do octedro cujos vértices são os potos médios d fce do cubo é igul ) 8 b) c) d) e) 8 A rest do cubo é dd por: AB B A + ( ) Como s fces lteris do octedro iscrito são triâgulos eüiláteros, bst ecotrr medid de su rest 6 6 S C ] -, - ] {-} [, 6 ] ], + [. Sejm, y R e w ( + i) + y ( i) ( + 6i) + y (-6 + i) C. Idetifiue e esboce o cojuto Ω {(, y) R ; Re w - e Im w } Determie o cojuto S C. 6 - Seprdo prte rel e prte imgiári: W + y - - 6y + ( - y y)i - Completdo os udrdos: y - 6y ( - + (y - ) ( ) ( y ) + Portto, áre lterl é: 8 A lterl Altertiv C 6 + (y -y + ) + ( +) (y - y + ) ( ) ( y ) 6

7 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) dels é, respectivmete, verddeir ou fls, justificdo su respost: I. Se β, etão. II. Se, etão β III. Se β, etão Sej f: R\{-} R defiid por f(). + ) Mostre ue f é ijetor b) Determie D { f(); R\{-}} e f - : D R\{-} f R \ } } R + f () + ) f é ijetiv. com efeito, se f () f(b), etão + b + + b + ( + )(b + ) (b + )( + ) b + + b + b + b + + b Portto, está provdo ue f é ijetiv D {f(); R \ { }}; b) imge de f é D R \ {} + obtemos R \ { } tl ue y y y ; y + + logo + y y e est é ivers : f De fto, se y R \ { } + R \ { } R \ { } f(). Supoh ue eução lgébric + + Teh coeficietes reis,,..., tis ue s sus oze rízes sejm tods simples e d form β + iγ, em ue β, γ R e os γ,,,...,, formm um progressão ritmétic de rzão rel γ. Cosidere s três firmções bio e respod se cd um Rizes Z β + i γ β, γ R,..., ( γ ),..., é P.A de rzão γ R Como eução tem coeficietes reis, um riz é rel e s outrs são compleos cojugdos. ( pres) Logo, som dos termos d P.A é e portto seu termo cetrl γ 6 (-8, -8, -8, -8, -8,, 8, 8, 8, 8, 8) I. verddeir Pois se β etão Z 6 sedo um riz d eução, etão. II. verddeir De fto, A som ds rízes é β - pel formul de Girrd. Logo, Se, etão β III. Flso Um ds hipóteses er ue s rízes fossem simples β se Z 6 seri riz dupl.. Um determido cocurso é relizdo em dus etps. Ao logo dos últimos os, % dos cdidtos do cocurso têm coseguido primeir etp ot superior ou igul à ot míim ecessári pr poder prticipr d segud etp. Se tomrmos 6 cdidtos detre os muitos iscrito, ul é probbilidde de o míimo deles coseguirem ot pr prticipr d segud etp? Tl eperimeto letório pode ser visto como 6 evetos idepedetes do tipo Beroulli (SUCESSO-FRACASSO) como probbilidde de sucesso é costte p, podemos usr o teorem de distribuição biomil de probbiliddes e clculr k k P( k) P ( P) k probbilidde de hver k sucessos. Noss probbilidde é P( ) P( ) + P( ) + P( 6) (,) (,8) (,) (,8) (,) (,8) (,6) (,6) + 6 (,) (,8) + (,6),6 +,6 +,6,66 6. Sejm A, B M (R). Mostre s proprieddes bio: ) Se AX é mtriz colu ul, pr todo X M (R), etão A é mtriz ul. b) Se A e B são ão uls e tis ue AB é mtriz ul, etão det A det B. A,B M ( R ) X M (R) ) AX X M (R) logo A A. e A 7

8 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Ddo vlor A A b) A,B A B det( A) det(b) supoh, por bsurdo ue det (A) logo, A é iversível e portto A (AB) A (A A) B B cotrdiz hipótese 7. Sbedo ue tg +,pr lgum 6,, determie se. θ + θ 6 6 tg² θ + sec ² θ sec ² θ sec ² θ cosθ se θ sec θ se² θ + cos² secθ cos se seθcos se.cos θ 6 6 se θ pois, 8. Dds circuferêci C : ( ) + (y ) e ret r : y +, cosidere ret t ue tgeci C, form um âgulo de com r e cuj distâci à origem é um eução d ret t. Y 6 6. Determie Δ (-b - ) (b -b -) 6b + 6b + b + b + -b +6b + b 6b b -b b 7 ou b - Como distci origem d ret t: + y b é b d,t b Logo um eução de t é + y +. Cosidere s rets R i : y m i +, i,,..., ;, em ue os coeficietes m i, em ordem crescete de i, formm um progressão ritmétic de rzão >. Se m e ret r tgeci circuferêci de eução + y, determie o vlor de. r i : y m i + ; I,,...,,N. N. (m,m,m,m,...)p.a de rzão >. m (,,,,,...) m m m r tgeci circuferêci X +y r m X+ Por outro ldo r : y m + ; y r : y +: r : y + r : y+ r : y + Como r tgeci circuferêci. X + y, temos ue: +(+). Isto é: X (6 +) +8+7 Δ, pois r tgeci circuferêci. t º Δ(8) -.7(6 +) Δ6-8 - Δ6. X Como >, temos t : y + b tg (θ + ) ; tgθ tg θ + tg tgθ tg. A rzão etre áre lterl e áre d bse octogol de um pirâmide regulr é igul. Eprim o volume dest pirâmide em termos d medid do pótem d bse. t: y - + b Substituido eução d circuferêci: ( - ) + (- + b - ) Tl eução deve possuir riz dupl, i.e.,δ (b - ) + (b -) - + (-b - )X + b -b - 8

9 GGE RESPONDE VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) b h 8 Alterl h h A b bse H h H Bse: b r r ( )r b Por outro ldo, r ( - )r r ( - )r r ( - ) r ( - ) A bse 8 r r ( ) 8( - ). Logo, V Ab. H V 8( - ) 6 ( -)