Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

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1 Prov QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA 1 Cofir os cmpos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, coforme o que cost etiquet fixd em su crteir 2 Cofir se o úmero do gbrito deste cdero correspode o costte etiquet fixd em su crteir Se houver divergêci, vise, imeditmete, o fiscl É proibido folher o Cdero de Provs tes do sil, às 9 hors 4 Após o sil, cofir se este cdero cotém 20 questões objetivs e/ou qulquer tipo de defeito Qulquer problem, vise, imeditmete, o fiscl 5 O tempo míimo de permêci sl é de 2 hors e 0 miutos pós o iício d resolução d prov 6 No tempo destido est prov (4 hors), está icluso o de preechimeto d Folh de Resposts 7 Trscrev s resposts deste cdero pr Folh de Resposts A respost corret será som dos úmeros ssocidos às ltertivs correts Pr cd questão, preech sempre dois lvéolos: um colu ds dezes e um colu ds uiddes, coforme o exemplo o ldo: questão 1, respost 09 (som ds ltertivs 01 e 08) 8 Se desejr, trscrev s resposts deste cdero o Rscuho pr Aotção ds Resposts, costte bixo, e destque-o, pr retirá-lo hoje, est sl, o horário ds 1h15mi às 1h0mi, medite presetção do documeto origil de idetificção do cdidto Após esse período, ão hverá devolução 9 Ao térmio d prov, levte o brço e gurde tedimeto Etregue o fiscl este cdero, Folh de Resposts e o Rscuho pr Aotção ds Resposts Corte lih potilhd RASCUNHO PARA ANOTAÇÃO DAS RESPOSTAS PROVA INVERNO I 201 N ọ DE ORDEM: NOME: UEM Comissão Cetrl do Vestibulr Uificdo

2 MATEMÁTICA Rscuho Questão 01 Cosiderdo um cubo cuj rest mede 2 cm e que está iscrito em um esfer (isto é, os vértices do cubo pertecem à esfer), ssile o que for correto 01) O volume do cubo é 8 cm 02) O rio d esfer é cm 04) A áre totl do cubo é 12 cm 2 08) São doze os potos comus o cubo e à esfer 16) O cubo ocup mis d metde do volume d esfer Questão 02 Cosidere,,,,, um progressão 1 2 geométric ifiit de úmeros reis qul 1 = 1e rzão é 1 Assile o que for correto 2 01) Existem termos egtivos sequêci 02) Os três primeiros termos d sequêci formm um progressão ritmétic 04) > ) Todos os termos d sequêci são úmeros rciois 16) 1 = 4 Questão 0 Acerc d iequção x 2 + 4x+ c 0 e de sus soluções reis, ssile o que for correto 01) Pr qulquer úmero iteiro c, o poliômio o primeiro membro d iequção pode ser decomposto o produto de dois poliômios de gru 1 e de coeficietes reis 02) Existem dois vlores distitos reis de c pr os quis iequção possui um úic solução 04) Pr c = 4, o cojuto-solução d iequção possui um úico elemeto 08) Cosidere t e t úmeros reis, com t < t 2, que stisfzem iequção qudo c = 0 Se t 1 t t 2, etão t tmbém stisfz iequção qudo c = 0 16) Se t é um úmero rel que stisfz iequção pr c = 1, etão 4 t tmbém stisfz iequção Vestibulr de Ivero 201 Prov 2

3 Questão 04 Rscuho Cosiderdo A o lugr geométrico dos potos do plo crtesio que stisfzem equção 2x 4y = 0, B o lugr geométrico dos potos do plo crtesio que stisfzem equção x2 + y2 = 1 e C o lugr geométrico dos potos do plo crtesio que stisfzem equção x y 2 = 0, ssile o que for correto 01) B correspode um circuferêci, e C correspode um prábol 02) A e B ão possuem potos em comum 04) B e C ão possuem potos em comum 08) Os potos de A tmbém stisfzem equção x 2y = 1 16) A e C possuem dois potos em comum Questão 05 Pedro e Tigo bricm de cr ou coro usdo um moed ão vicid Se sírem qutro crs (ão ecessrimete cosecutivs) tes de sírem qutro coros, Pedro vece; cso cotrário, vece Tigo Cosiderdo que os lçmetos são evetos idepedetes, ssile o que for correto 01) São ecessários, o máximo, sete lçmetos pr se determir o vecedor 02) A probbilidde de o jogo cbr pós os qutro primeiros lçmetos é de 1/8 04) Se, os dois primeiros lçmetos, siu cr, probbilidde de Pedro ser o vecedor é de 1/4 08) Se, os três primeiros lçmetos, siu cr, probbilidde de sir cr o qurto lçmeto é meor do que de sir coro 16) A probbilidde de o jogo termir tes do sétimo lçmeto é superior 1/2 Vestibulr de Ivero 201 Prov

4 Questão 06 Rscuho Em um triâgulo ABC, o ldo AB mede 6 cm, e o ldo BC mede 8 cm Sbedo id que circuferêci λ 1 com cetro A e rio AB itercept o segmeto AC em D C, e circuferêci λ 2 de cetro C e rio BC itercept o segmeto AC em E A, ssile o que for correto 01) A áre desse triâgulo ão pode ser superior 24 cm 2 02) O ldo AC é o mior dos ldos em qulquer triâgulo com s proprieddes descrits 04) Em qulquer triâgulo, tl como descrito, o segmeto DE mede 4 cm 08) Se o ldo AC mede 10 cm, circuferêci λ 1 é tgete o segmeto BC 16) O perímetro de ABC deve ser iferior 28 cm Questão 07 Em um cti, os clietes pgm sus comprs em diheiro, e cti tem um lucro igul 20% do vlor ds veds A fim de umetr s veds, cti decide cotrtr um serviço bcário que permite seus clietes fzerem o pgmeto com crtões bcários o mesmo preço que pgrim em diheiro Por esse serviço, cti deve pgr o bco R$ 50,00 por mês pelo luguel d máqui de crtões e mis 2% do vlor ds veds pgs com crtão Sobre o exposto, ssile o que for correto 01) Se cti veder somete R$ 250,00 o mês com pgmeto o crtão, etão el terá prejuízo 02) Pr um ved o vlor de R$ 12,00 pg em diheiro, cti lucr pes R$ 2,00 04) Se x represet o vlor ds veds d cti que form pgs em diheiro, etão o lucro L referete d esss veds é ddo pel fução L ( x) = 0,2 x d 08) O lucro mesl obtido pel cti o veder R$ 10000,00 com pgmeto o crtão é meor do que o lucro obtido o veder R$ 8000,00 com pgmeto em diheiro 16) Se y represet o vlor mesl ds veds d cti que form pgs com crtão, etão o lucro mesl L referete esss veds é ddo pel fução c L ( y) = 0,22y 50 c Vestibulr de Ivero 201 Prov 4

5 Questão 08 Rscuho Um pdri produz bolos de três tipos Pr fzer 1 kg de cd um dos bolos, são ecessários çúcr, frih e ovos s qutiddes presetds Tbel A bixo N Tbel B, é presetdo o preço desses igredietes Açúcr Frih Ovos Bolo 1 0,2 kg 0,5 kg 2 Bolo 2 0,1 kg 0,7 kg 1 Bolo 0,4 kg 0, kg 4 Tbel A: Qutidde de igredietes pr fzer 1kg de bolo Preço Açúcr R$,00 por quilo Frih R$ 2,00 por quilo Ovos R$ 0,50 por uidde Tbel B: Preço dos igredietes Sej A mtriz de tmho x cujs etrds são s qutiddes presetds Tbel A, e B mtriz de tmho x1 cujs etrds são os vlores presetdos Tbel B Com relção esss iformções, ssile o que for correto 01) O gsto com çúcr, frih e ovos pr fzer o bolo do tipo 1 é mior do que os demis 02) O produto AB é um mtriz cujs etrds represetm o custo de cd igrediete pr produção de 1 kg de cd tipo de bolo 04) Se mtriz X = [ x y z] represet qutidde de quilos de cd tipo de bolo produzido, etão o produto X A é um mtriz que represet qutidde de cd igrediete que foi utilizdo 08) É impossível fzer os três tipos de bolos com extmete três quilos de çúcr, dois quilos de frih e um dúzi de ovos 16) O determite d mtriz A é ão ulo Questão 09 Cosidere um retâgulo ABCD de ldos AB = 6 cm e BC = cm Sobre o ldo AB, mrque o poto E, tl que AE = 4cm, e, sobre o ldo BC, mrque o poto F, tl que BF = 1cm Deote por G o poto de iterseção dos segmetos AF e CE Sobre figur descrit cim, é correto firmr que 01) os potos B, G e D são colieres 02) os triâgulos AGE e CFG têm mesm áre 04) os triâgulos GCD e GEB são semelhtes 08) áre do qudrilátero AGCD é o triplo d áre do qudrilátero FGEB 16) os triâgulos AGE e CFG são semelhtes Vestibulr de Ivero 201 Prov 5

6 Questão 10 Rscuho Assile o que for correto 01) 15 = ) > 04) ( 2 ) 7 1 = ) log 9 + log 18 = log ) 1 1 < Questão 11 Sej P ext um polígoo circuscrito um circuferêci λ e P it o polígoo iscrito em λ cujos vértices são os potos ode P ext tgeci λ Sobre ess situção, ssile o que for correto 01) Se P ext é um triâgulo isósceles, etão P it tmbém é um triâgulo isósceles 02) Se P ext é um triâgulo retâgulo, etão P it tmbém é um triâgulo retâgulo 04) Se P ext é um qudrdo, etão P it tmbém é um qudrdo 08) Se P ext é um prlelogrmo, etão P it é um retâgulo 16) Se P ext é um qudrilátero, etão s digois de P it são diâmetros de λ Questão 12 Sej P( x) = x4 + x + bx2 + cx+ d um poliômio de gru 4 com s seguites proprieddes: i os coeficietes, b, c e d são úmeros iteiros; ii s rízes de Px ( ) são úmeros iteiros que, qudo colocds em ordem crescete, formm um progressão ritmétic de rzão r > 0 Nesss codições, ssile o que for correto 01) Se som ds rízes é igul zero, etão o coeficiete é igul zero 02) Se meor riz de Px ( ) é igul à rzão r, etão o coeficiete d é múltiplo de 24 04) Se meor riz de Px ( ) é igul à rzão r, etão o coeficiete c é múltiplo de 50 08) O poliômio P( x) = x4 x x2 + x goz ds proprieddes i e ii 16) O coeficiete b tem mesm pridde d rzão r, isto é, mbos são pres ou mbos são ímpres Vestibulr de Ivero 201 Prov 6

7 Questão 1 Rscuho Cosiderdo s fuções reis f, g e h, dds por f ( x) = cos x, g( x) = lx e hx ( ) = x2 + 1, é correto firmr que 01) ( h f)( x) = 2 se2 x 02) fução h g está defiid pr todo x rel 04) fução f g ssume um máximo em x = 1 08) fução g h ssume um míimo em x = 0 16) ( g f)( x) 0 pr todo x o seu domíio Questão 14 Cosidere s fuções f e g, tedo como domíio e cotrdomíio o cojuto dos úmeros reis, pr s quis se tem f () = 1, f (4) = 7, g () = 8, g (4) = 7 e g (5) = Assile o que for correto 01) ( f + g)() = f(4) 02) ( f g)(4) = 7 04) ( f g )(5) = 08) Se g possui ivers, etão g 1 ( f(4)) = 4 16) Se f é um fução fim, su expressão deve ser f( x) = 6x 17 Vestibulr de Ivero 201 Prov 7

8 Questão 15 Rscuho Um prtícul se move o plo crtesio e, em cd istte t (em segudos), su posição é dd pels coordeds P = 2 ( se(2 πt), se ( π t) ) Com respeito o t movimeto dess prtícul, ssile o que for correto 01) A prtícul se move pes o primeiro qudrte 02) A prtícul se move o iterior de um círculo de rio 2 04) A prtícul pss pelo poto (0,0) dus vezes em meos de um segudo 08) A prtícul cruz ret de equção 2y = x mis de um vez cd segudo 16) A prtícul descreve um trjetóri elíptic de equção x ( ) + ( y 1 1 ) = ( ) Questão 16 Cosiderdo b 2 um úmero turl, podem-se represetr frções d uidde o sistem umérico de bse b somdo múltiplos de potêcis de b com expoetes egtivos Por exemplo, [0, ] = b 1+ b 2 + b, 1 2 b 1 2 em que cd i é um úmero iteiro com 0 b 1 i As represetções com ifiitos dígitos correspodem soms ifiits Por exemplo, [0, ] = b 1+ b 2 + b b 1 2 Com relção o exposto, ssile o que for correto 01) [0,12] = 25 02) [0,222] = ) Se c for um úmero turl mior do que b, etão [0, ] < [0, ] 1 2 b 1 2 c 08) N bse 6, frção 1 fiit 16) N bse 2, frção 1 fiit possui um represetção possui um represetção Vestibulr de Ivero 201 Prov 8

9 Questão 17 Rscuho Um úmero complexo + ib pode ser idetificdo o plo crtesio trvés do poto com coordeds ( b, ) Fixe um úmero turl e, pr cd úmero turl k, defi o úmero complexo z = cos 2π k 2 ( ) + ise π k ( ) k Acerc desses úmeros complexos e de su represetção o plo, ssile o que for correto 01) Pr todo úmero turl k 1, o úmero complexo z é k vezes o úmero complexo z k 1, isto é, z = k z k 1 02) Pr todo úmero turl k, o úmero complexo z é k riz d equção z 1= 0 04) O úmero complexo z é represetdo o plo pelo poto com coordeds (1,0) 08) Pr todo úmero turl k, o úmero complexo z k pertece um circuferêci de rio 1 16) A áre do polígoo com vértices z 1, z 2, z,, z é se 2π ( ) 2 Questão 18 Acerc ds fuções com domíio e cotrdomíio reis, f e g, dds por f( x ) = 2 x e gx ( ) = x 1 x2 + 2x +, ssile o que for correto 01) Pr todo rel egtivo, f ( ) < g( ) 02) A fução g está defiid pr todo x rel 04) A fução f é sobrejetor 08) A fução f é crescete em todo seu domíio 16) A imgem de g está cotid o itervlo ],1[ d ret rel Vestibulr de Ivero 201 Prov 9

10 Questão 19 Rscuho Cosidere ABC um triâgulo retâgulo em B e o qul o âgulo BCA mede 60º Cosidere id D sobre o segmeto AB de modo que CD é bissetriz de BCA A respeito do exposto, ssile o que for correto 01) O segmeto AB mede o triplo do comprimeto do segmeto BD 02) O âgulo CDB mede 45º 04) O segmeto AC mede o dobro do comprimeto do segmeto BC 08) O triâgulo ADC é escleo 16) A medid, em rdios, do âgulo CDAé 2 π Questão 20 Um mpulhet é formd por dois coes, C 1 e C 2, retos, cogruetes, dispostos sob um mesmo eixo e uidos pelo vértice A mpulhet é poid sob um mes com o coe C 1 posição iferior e com su bse prlel o chão Supoh que C 1 está completmete cheio de águ e que, o virr mpulhet, águ escorre pr o coe C 2 com velocidde costte O tempo ecessário pr que tod águ escorr é 2 miutos Com respeito ess situção, ssile o que for correto 01) Depois de 1 miuto, o ível de águ em cd um dos coes será metde d ltur do coe 02) Etre 0 e 2 miutos, velocidde com que o ível de águ o coe C 2 umet é crescete 04) O tempo ecessário pr que o ível de águ o coe C 2 sej mior do que o ível de águ o coe C 1 é superior 1 miuto e 0 segudos 08) A áre d superfície lterl d mpulhet que está em cotto com águ é costte 16) O ível de águ o coe C 1 é iversmete proporciol o ível de águ o coe C 2 Vestibulr de Ivero 201 Prov 10

11 MATEMÁTICA Formulário Trigoometri (se x) 2 + (cos x) 2 = 1 B c ˆB A Â b Ĉ C Lei dos cosseos: 2 = b 2 + c 2 2bc cos(â) Geometri Pl e Espcil Comprimeto d circuferêci: C= 2π R Áre do triâgulo: bh A = 2 Áre do retâgulo: A = bh Áre lterl do coe: A = πrg Volume do prism: V = B h Volume do coe: V= 1 πr2h Volume d esfer: V = 4 πr Progressões Progressão Geométric (P G): = q 1 S = 1-1 q -1 q-1 Relções de Girrd: sedo b 1, b 2,, b s rízes do x + x + + x+, 0 poliômio Álgebr Números complexos: [ρ(cosθ+i seθ)] =ρ [cos(θ)+i se(θ)] -2-1 =-(b +b ++b ), 1 2 =b b +b b ++b b +b b ++b b ++b b , 1 =(-1) -1 (b 1 b 2 b -1 +b 1 b 2 b -2 b ++b 2 b b ) 0 =(-1) b 1 b 2 b -1 b ), Vestibulr de Ivero 201 Prov 11