Este capítulo tem por objetivo apresentar métodos para resolver numericamente uma integral.

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1 Nots de ul de Métodos Numéricos. c Deprtmeto de Computção/ICEB/UFOP. Itegrção Numéric Mrcoe Jmilso Freits Souz, Deprtmeto de Computção, Istituto de Ciêcis Exts e Biológics, Uiversidde Federl de Ouro Preto, Ouro Preto, MG, Brsil. Homepge: E-mil: Este cpítulo tem por objetivo presetr métodos pr resolver umericmete um itegrl. Itrodução Sbemos, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo Diferecil e Itegrl, que: f(x) = F (b) F () (.) ode F (x) é um primitiv de f(x), isto é, F (x) = f(x). Exemplo: Pr clculr 3 l(x)dx, primeirmete determimos primitiv de f(x) = l(x). Isto pode ser feito utilizdo-se técic de itegrção por prtes, ou sej, plicdo-se fórmul udv = uv vdu. No cso cosiderdo, tem-se: u = l(x) = du = x dv = dx = dv = dx v = x Logo, l(x) }{{}}{{} dx u dv = x l(x) }{{} uv x. x dx = x l(x) dx = xl(x) x. }{{} vdu Dest form, 3 l(x)dx = x l(x) x 3 =3 l(3) l() =, 958 }{{}}{{} F (3) F () N determição uméric de um itegrl, váris situções podem ocorrer: (i) A determição d primitiv F pode ser difícil ; (ii) A fução f itegrr pode ão possuir um primitiv F. Por exemplo, o cálculo d itegrl e x dx ão é possível pel plicção do Teorem Fudmetl do Cálculo, um vez que ão existe fução F (x) cuj derivd sej f(x) = e x ; (iii) A fução f pode ser cohecid pes pelos seus potos (x i, f(x i )) e ão pel su expressão lític. Em situções como s presetds teriormete se justific plicção de métodos uméricos.

2 Mrcoe Jmilso Freits Souz Fórmuls de Newto-Côtes A idéi dess fmíli de procedimetos é dividir o itervlo [, b] em subitervlos de mesmo espçmeto h = (b )/ e substituir f pelo poliômio iterpoldor de Gregory- Newto de gru. Assim, f(x)dx P (x)dx (.) sedo P (x) = y 0 + z y 0 + z(z ) y 0! + + z(z )...(z ( )) y 0! e z = x x0 h. Figur : Poliômio iterpoldor P (x) de um fução f Pr clculr o erro cometido itegrção (E i ) bst itegrr o erro d iterpolção (E T ). De fto, como E T (x) = f(x) P (x) etão f(x) = P (x) + E T (x) e, dest form: Logo, o erro cometido itegrção vle: f(x)dx = P (x)dx + E T (x)dx E i = E T (x)dx (.3) ode E T (x) = h + z(z )(z )...(z ) f (+) (ξ) (+)! pr lgum ξ [, b].. Regr dos Trpézios.. Fórmul simples A idéi desse procedimeto é substituir fução f itegrr pelo poliômio iterpoldor de Gregory-Newto de gru =, ou sej, por P (x) = y 0 + z y 0. Tem-se, portto: f(x)dx P (x)dx = (y 0 + z y 0 )dx

3 Itegrção Numéric 3 Tedo em vist relção etre s vriáveis z e x e que = x 0 e b = x, etão expressão terior dmite seguite simplificção: Como z = x x 0 h etão dz = hdx, isto é, dx = hdz. Pr x = x 0 = z = 0 Pr x = x = z = x x0 h = h h = f(x)dx x x 0 (y 0 + z y 0 )dx = 0 (y 0 + z y 0 )hdz = h[y o z + z y 0] 0 = h[y 0 + y 0] = h[y 0 + (y y 0 )] = h [y 0 + y ] Portto, o se substituir f por P (x) obtemos pr itegrl seguite proximção: f(x)dx h [y 0 + y ] (.4) Geometricmete, fórmul terior idic áre d figur compreedid etre s rets x =, x = b, o eixo Ox e o poliômio iterpoldor P (x), isto é, áre de um trpézio. Como sbemos, áre de um trpézio vle metde do produto d ltur h pel som d bse meor (o osso cso, y 0 ) com bse mior (o osso cso, y )... Erro d fórmul simples Fzedo = fórmul do erro dd por.3, temos: E i = E T (x)dx = h z(z ) f (ξ)! dx = 0 h z(z ) f (ξ) hdz = h 3 f (ξ) 0 (z z)dz = h 3 f (ξ) [ z3 3 z ] 0 = h 3 f (ξ) [ 3 ] = h3 f (ξ) Logo, o erro cometido o se substituir f por um poliômio iterpoldor de gru é ddo pel seguite fórmul: E i = h3 f (ξ) (.5) pr lgum ξ [, b] A fórmul.5 tem plicbilidde prátic restrit, um vez que determição de ξ ão é um tref trivil. Em virtude disso, prátic é comum obter-se um limitte pr o erro d itegrção, isto é: sedo M = mx x b f (x). E i = h3 f (ξ) h3 M (.6)..3 Fórmul compost A idéi desse procedimeto é dividir o itervlo [, b] em subitervlos de mesmo espçmeto h = b e plicr cd subitervlo [x i, x i+ ] i = 0,,, fórmul simples d Regr dos Trpézios. f(x)dx h [y 0 + y ] + h [y + y ] + + h [y + y ] A fórmul compost d Regr dos Trpézios é, portto: f(x)dx h [y 0 + y + y + + y + y ] (.7)

4 4 Mrcoe Jmilso Freits Souz..4 Erro d fórmul compost O erro E T rp d fórmul compost d Regr dos Trpézios é som dos erros E i cometidos em cd um dos subitervlos [x i, x i+ ], isto é: E Trp = E + E + + E ode E i = h3 f (ξ i ) ξ i [x i, x i ], com i =,,,. Um limitte do erro pode, etão, ser determido: E Trp E + E + + E sedo E i h3 M i e M i = mx x [x i,x i] f (x). Sej M = mx f (x). Etão E i h3 M i x b h3 M. Assim, E Trp h3 M. Como h = b, vem: E Trp (b )3 3 M. Filmete, tem-se fórmul pr o erro máximo cometido pel plicção d fórmul compost d Regr dos Trpézios: sedo M = mx x b f (x). Exemplo: Clcule 3 l(x)dx: E Trp (b )3 M (.8) () Pel fórmul compost d Regr dos Trpézios com = 0; (b) Avlie o erro máximo cometido o item terior; (c) Determie o úmero míimo de subitervlos ecessários pr que se obteh o vlor d itegrl com erro iferior 0,00. Solução: () Cálculo d Itegrl h = b = 3 0 = 0, i x i y i = l(x i ) c i 0,0 0,0000, 0,83,4 0,3365 3,6 0,4700 4,8 0,5878 5,0 0,693 6, 0,7885 7,4 0,8755 8,6 0,9555 9,8, ,0,0986

5 Itegrção Numéric 5 h c i y i = 0, 0 c i y i = 0,, 936 =, 936 i=0 (b) Avlição do erro i=0 Sbemos que E (b )3 M ode M = mx x b f (x) f(x) = l(x) = f (x) = x = f (x) = x. M = mx f (x) = mx x 3 x 3 x = pr x =. E 3 00 = 0, 0067 (c) Determição do úmero de subitervlos E (b )3 M ε (b ) 3 M ε ε (b 3 )M (b )3 M ε Sedo o segudo membro dest últim desiguldde ão-egtivo, etão: (b ) 3 M ε Tedo em vist que =, b = 3, ε = 0, 00 e M =, tem-se: () 3 0,00 = 5, 8 3 Logo, o úmero míimo de subitervlos ecessários pr que se obteh o vlor de l(x)dx com erro ε < 0, 00 é = 6.. Regr de Simpso.. Fórmul Simples A idéi desse procedimeto é substituir fução f itegrr pelo poliômio iterpoldor de Gregory-Newto de gru =, isto é, por P (x) = y 0 + z y 0 + z(z ) y 0! f(x)dx P (x)dx = (y 0 + z y 0 + z(z ) y 0! )dx Tedo em vist relção etre s vriáveis z e x e que = x 0 e b = x, etão expressão terior dmite seguite simplificção: Como z = x x 0 h etão dz = hdx, isto é, dx = hdz. Pr x = x 0 = z = 0 Pr x = x = z = x x 0 h = h h = f(x)dx x x 0 (y 0 + z y 0 )dx = 0 (y 0 + z y 0 + (z z) y 0 )hdz = h[y o z + z y 0 + ( z3 3 z ) y 0 ] 0 = h[y 0 + y 0 + ( 8 3 ) y 0 ] = h[y 0 + y y 0 ] = h[y 0 + (y y 0 ) + 3 (y y + y 0 )] = h 3 [y 0 + 4y + y ] Portto, o se substituir f por P (x) obtemos pr itegrl seguite expressão: f(x)dx h 3 [y 0 + 4y + y ] (.9)

6 6 Mrcoe Jmilso Freits Souz.. Erro d fórmul simples Pode ser mostrdo que: pr lgum ξ [, b]...3 Fórmul Compost E S = h5 f (4) (ξ) 90 (.0) Pr obter fórmul compost d Regr de Simpso, deve-se dividir o itervlo [, b] em subitervlos de espçmeto h = b e plicr cd pr de subitervlos [x i, x i ], [x i, x i+ ] i =,,,, fórmul simples d Regr de Simpso. Dest form, obtém-se: f(x)dx h 3 [y 0 + 4y + y ] + h 3 [y + 4y 3 + y 4 ] + + h 3 [y + 4y + y ] Portto: f(x)dx h 3 [y 0 + 4y + y + 4y 3 + y y + 4y + y ] (.) sedo um úmero pr...4 Erro d fórmul compost O erro d fórmul compost é som dos erros cometidos em cd um dos / pres de subitervlos, um pr cd cojuto de 3 potos, isto é: E S = E + E + + E / sedo E i = h5 f (4) (ξ i) 90 pr ξ i [x (i ), x i ]. Pr determirmos um limitte pr o erro, sej M 4 = mx x b f (4) (x). Etão: E i h5 M 4 90 = E S E i = E S h 5 90 M 4 Como h = b etão E ( S b ) 5 80 M4 = (b )5 80 M 4 4 O limitte pr o erro d fórmul compost d Regr de Simpso é, portto: E S (b )5 M (.) sedo M 4 = mx f (4) (x). x b Exemplo: Clculr, pel Primeir Regr de Simpso, 3 l(x)dx com erro ε < 0, 00. Solução: () Cálculo de Por., E S (b )5 M Impodo-se E 4 S < ε tem-se: (b ) 5 M < ε

7 Itegrção Numéric 7 (b )5 M ε = 4 (b ) 5 M 4 80ε Clculemos M 4. Sedo f(x) = l(x) = f (x) = x = f (x) = x = f (x) = x = 3 f (4) (x) = 6 x. Assim, M 4 4 = mx f (4) (x) = mx 6 x [,b] x [,3] x = 6 4 Tedo em vist que =, b = 3, ε = 0, 00 e M 4 = 6, tem-se: 4 (3 ) ,00 = ,80 = 5, 7 Como o úmero de subitervlos ess regr deve ser pr, result que o úmero míimo de subitervlos ecessários pr que o cálculo d itegrl dd coteh erro ε < 0, 00 é = 6. (b) Cálculo d itegrl h = b = 3 6 = 3 i x i y i = l(x i ) c i 0 0,0000 4/3 0, /3 0, , /3 0, /3 0, ,0986 h 3 c i y i = 3 i=0 6 i=0 c i y i = h/3 3, 66 =, 957 Este vlor obtido vem comprovr que, de fto, o erro cometido é iferior à 0, 00, um vez que pelo Cálculo Diferecil e Itegrl o vlor d itegrl 3 l(x)dx =, Regr de Simpso.3. Fórmul Simples A idéi desse procedimeto é substituir fução f itegrr pelo poliômio iterpoldor de Gregory-Newto de gru = 3, isto é, por P 3 (x) = y 0 + z y 0 + z(z ) y 0 + z(z )(z ) 3 y 0 3!.3. Erro d fórmul simples f(x)dx 3h 8 [y 0 + 3y + 3y + y 3 ] (.3) pr lgum ξ [, b]. E S = 3h5 f (4) (ξ) 80 (.4)

8 8 Mrcoe Jmilso Freits Souz.3.3 Fórmul Compost Pr obter fórmul compost d Regr de Simpso, deve-se dividir o itervlo [, b] em subitervlos de espçmeto h = b e plicr cd cojuto de 4 potos, isto é, cd três subitervlos [x i, x i ], [x i, x i+ ], [x i+, x i+ ] i =,,,, fórmul simples d Regr de Simpso. Dest form, obtém-se: f(x)dx 3h 8 [y 0 + 3y + 3y + y 3 ] + 3h 8 [y 3 + 3y 4 + 3y 5 + y 6 ] + + 3h 8 [y 3 + 3y + 3y + y ] f(x)dx 3h 8 [y 0+3y +3y +y 3 +3y 4 +3y 5 +y 6 + +y 3 +3y +3y +y ] sedo um múltiplo de Erro d fórmul compost (.5) De form similr o plicdo determição do erro d fórmul compost d Regr de Simpso, obtém-se: E S (b )5 M (.6) sedo M 4 = mx f (4) (x). x b Exemplo: Determir o úmero míimo de subitervlos ecessários pr clculr, pel Segud Regr de Simpso, o vlor d itegrl 3 l(x)dx com erro ε < 0, 00. Solução: Por.6, E S (b )5 M Impodo-se E 4 S < ε tem-se: (b ) 5 M (b )5 M ε = 4 (b ) 5 M 4 80ε Do exercício terior sbemos que M 4 = mx f (4) (x) = mx 6 x [,b] x [,3] x = 6. Assim, 4 tedo em vist que =, b = 3, ε = 0, 00 e M 4 = 6, tem-se: < ε 4 (3 ) ,00 = ,080 = 7 Como o úmero de subitervlos ess regr deve ser múltiplo de 3, result que o úmero míimo de subitervlos ecessários pr que o cálculo d itegrl dd coteh erro ε < 0, 00 é = 9..4 Observções fiis Alisdo-se s expressões dos erros ds fórmuls composts d Regr dos Trpézios, Primeir e Segud Regrs de Simpso, dds pels fórmuls.8,. e.6, respectivmete, é possível estbelecer seguite prioridde de uso:

9 Itegrção Numéric 9 (i) Regr de Simpso, qul exige que sej pr; (ii) Regr de Simpso, qul exige que sej múltiplo de 3; (iii) Regr dos Trpézios, qul pode ser qulquer;

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