Métodos Numéricos Interpolação Métodos de Newton. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina
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- Yago de Santarém
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1 Métodos Numéricos Métodos de Newto Professor Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei
2 Poliomil Revisão No eemplo só se cohece fução pr 5 vlores de - ós de iterpolção Desej-se cohecer o vlor d fução em potos itermediários
3 Poliomil Revisão poliomil cosiste em se oter um poliômio p ( que psse por todos os + potos { i,f( i } ddos, isto é: p ( =f( p ( =f( (Equção p ( =f( ( + potos 3
4 p ( é deomido de poliômio iterpoldor f p f p f p... f p 4 Poliomil Revisão
5 Poliomil Forms Revisão Há um vriedde de forms mtemátics em que o poliômio pode ser epresso. Estudremos somete dus forms:. o poliômio de Lgrge (Ruggiero, seção 5.3. (já estuddo. o poliômio de Newto (Ruggiero, seção
6 Form de Newto 6
7 Form de Newto Form Gerl Sej um cojuto de + potos { i,f( i }. Ecotrr um poliômio iterpoldor p ( que stisfç Equção (, isto é, psse por todos os potos. A form gerl pr + potos é p ( Tmém deomido de Difereçs Dividids 7
8 Form de Newto Form gerl de ª ordem Form lier ( =. Cohecedo potos: (, f( e (, f(. p( p( ( ode f( f( f( y (,f( y=p ( (,f( 8
9 Form de Newto Form gerl de ª ordem Form qudrátic (=. Cohecedo 3 potos: (, f(, (, f(, (, f(. p( p( ( (( ode y (,f( (,f( f( f( f( f( f( f( f( (,f( y=p ( 9
10 ( ( ( f( f( f( f( ( ( ( f( f( f( f( f( ( ( ( ( f( (f( ( ( f( (f( ( ( f( f( ( f( f( ( ( ( ( f( (f( ( f( (f( f( (f( ( ( f( (f( ( ( ( ( f( (f( ( ( f( f( f( (f( Form de Newto Form gerl de ª ordem dedução de ( ( ( f(
11 Form de Newto Otedo form gerl de ª ordem ( ( ( p p ( ode f f[ f[ f(,, ], f f ] f[,] f[, ] f( f( f( f( Difereçs Dividids (Difereçs Dividids Fiits rescrevedo p ( f[ ] f[, ]( f[,, ]( (
12 Form de Newto Otedo form gerl Ddos + potos. p ( (... ( (...( ode f[ f[ f[ f[ ] f(,,, ], ],..., f[] f[ f[ ],] f[ f[ ],, ],...,] f[,,..., ] Ordem zero Ordem Ordem Ordem
13 Form de Newto Método prático pr oter form de 3ª ordem Ddos 4 potos. p3( f[] f[,]( f[,,](( f[,,,3]((( f( f[,] f( f[,,] f[,] 3 f[3,,,] f( f[3,,] 3 f( 3 f[3,] Difereçs Dividids 3
14 Ddos 4 potos. Form de Newto Eemplo 3ª ordem Profudidde z (m ( Tempertur T ( o C (y -9 9,9-8,7-7 7,6-6 8, T(z (zz (zz(zz 3(zz(zz(zz z 9, 9,9,8 z 8,,7,5 3 5,9,5667 z 7, 7,6,65,6 Difereçs Dividids z 3 6, 8, 9,9,8,5 3,5667 cotiu... 4
15 Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução T(z (zz (zz(zz 3(zz(zz(zz 9,9 T(z,8,5,5667 (zz (zz(zz 3(zz(zz(zz 9,9,8(z 9,5(z 9(z 8,5667(z 9(z 8(z 7, 9 z 6 z 65,9 6,58z 35,55z,5667z, 9 z 6 T 3 Pr z 7,5, T 7,5 9,9,8 7,5 9,5 7,5 9 7,5 8 o,5667 7,5 9 7,5 8 7,5 7 4,75 C... Cotiução INCLUIR GRAU DO PLINOMIO O erro otido etre os resultdos dos poliômios de º e 3º grus é 4,75 4,38 3,9898% 4,75 cotiu... 5
16 Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução Tel de erros pr z = -7,5 m Gru do Poliômio 3 T(-7,5 4,65 4,38 4,75 Erro Asoluto Reltivo Aproimdo ,65 % 3,9898 % 6
17 Form de Newto Eemplo 3ª ordem Ddos 4 potos. Tempertur Cocetrção T ( o C ( Cp(T (y Cp(T (T T (T T (T T 3(T T (T T (T T T 4, 479 T 5, 486,7,43333 T 8, 499,86 Difereçs Dividids 3 6, T 3, , ,7 3 6, ,849 4 cotiu... 7
18 Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução Cp(T (T T (T T (T T 3(T T (T T (T T 479,7 3 6, ,849 4 Cp(T (T T (T T (T T 3(T T (T T (T T Pr T 6, O erro 479,7(T 4 6,6667 3,849 C p 3, (T 4(T 5 T 4T 5T 84 T (6 479,7(6 4 6, (6 4(6 5 J 49, kg otido etre os resultdos dos poliômios de º e 3º grus é 49, 49,,795% 49, C cotiu... 8
19 Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução Tel de erros pr T = 6 Gru do Poliômio 3 C p 6 489, 9 49, 49, Erro Asoluto Reltivo Aproimdo ,363 %,795 % cotiu... 9
20 Form de Newto Eemplo Diferetes Grus/Ordes... cotiução gru gru gru 3 6 o C
21 Ddos 5 potos. Form de Newto Eemplo 3 4ª ordem y = y= (3-/(-= (--/(-=-3/ ( - -3//(3-=7/6 (-4/3 7/6/(4-=-5/8 = y=3 (-3/(-=- (3 - -/(3-= (--/(4-=-4/3 = y= (5-/(3-=3 (--3/(4-=- =3 y=5 (4-5/(4-3=- =4 y=4 Difereçs Dividids cotiu...
22 Form de Newto Eemplo 3 4ª ordem... cotiução y( ( (( 3((( 4(((( y y p p ( ( ( ( (( (( ( cotiu...
23 Form de Newto Eemplo 3 4ª ordem... cotiução y p ( cotiu... 3
24 Form de Newto Eemplo 3 Diferetes Grus/Ordes... cotiução gru 3 gru gru 4 gru 4
25 Erros Poliomil 5
26 Erros Poliomil Sim, proimdo!!!, ms o que é um o proimção? É evidete que um o proimção deve ser tl que o erro etre verddeir fução e fução proimção deve ser muito pequeo. Além disso, fução proimd deve ter s seguites proprieddes:. A fução deve ser fácil de determir. Deve ser fácil de diferecir 3. Deve ser fácil de vlir 4. Deve ser fácil de itegrr 6
27 Erros Poliomil poliomil pode levr grdes erros (especilmete pr poliômios de lto gru..5 poliômio th order iterpoltig iterpoldor polyomil de gru.5 Verddeir true fuctio fução
28 Erros Poliomil Teorem Qudo um poliômio de iterpolção de -ésimo gru é usdo, o erro está relciodo com (--ésim derivd. Teorem Sej f( um fução tl que f ( ( é cotíu em, e f ( ( M. Sej p qulquer poliômio de potos igulmete espçdos em gru, iterpoldor de f (icluido os potos em etremos. Etão : Fzedo h f(-p( Erro Erro Mh 4 M 4( tome M m f, ( ( 8
29 Erros Poliomil Teorem Eemplo Eemplo Supoh que temos potos com igul espçmeto o itervlo [,6875] e que desejmos justr um poliômio de gru 9 estes potos (p 9 (. Y,,8447,7639,885,578,939,97,94,3556,9653,3894,98,45833,99368,5347,99935,6,9999,6875,993 cotiu... 9
30 Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Usdo s difereçs dividids pr determir o poliômio p 9 ( p 9 ( =,8447 +, (- + (-, (-(-, (-, (-(-,7639(-, , (-(-,7639(-,578(-, (-, (-(-,7639(-,578(-,97(-, , (-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-, (-, (-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894(-, , (-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894(-,45833(-, , (-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894(-, (-,5347(-,6 cotiu... 3
31 Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Gráfico de p 9 (, se( e os potos oservdos. f( p 9 ( f( = se( cotiu... 3
32 Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Gráfico de p 9 (, se( e os potos oservdos. f( p 9 ( f( = se( cotiu... 3
33 Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Supohmos que verddeir fução sej f( = se(. f ( pr f(-p 9 ( M 4( M, 9 f 9 -p f p,34 9 M 4( O mior erro etre o vlor clculdo prtir de p 9 ( e se( é, ,6875 4( 9 33
34 Poliomil Sumário O poliômio iterpoldor é úico. Diferetes métodos podem ser usdos pr oter o poliômio iterpoldor. Método de Newto (Newto s divided differece Método de Lgrge Outros O poliômio iterpoldor pode ser sesível os ddos. Sejmos cuiddosos, qudo poliômios de lto gru são usdos. 34
35 Poliomil Sites Iteresstes
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