3 Integral Indefinida
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- Vítor Gabriel Caires
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1 3 Itegrl Idefiid 3. Método d Sustituição (ou Mudç de Vriável) pr Itegrção As fórmuls de primitivção ão mostrm omo lulr s itegris Idefiids do tipo 5x + 7 Ms lgums vezes, é possível determir itegrl de um dd fução, plido um ds formuls ásis depois de ser feit um mudç de vriável. Este proesso é álogo regr d dei pr derivção e pode ser justifido omo segue: Sejm s fuções f e g tis que imgem de g estej otid o domíio de f derivável. Supohmos que F = f. Podemos osiderr fução ompost F g. Assim pel regr d dei, temos df = df dg dg = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x) isto é, F(g(x)) é um primitiv de f(g(x)) g (x). Deste modo temos, f(g(x)) g (x) = F(g(x)) + = (F g)(x) + Pr simplifir será útil fzer u = g(x) logo su derivd é du = g (x) form difereil temos du = g (x) e sustituido itegrl temos f(g(x)) g (x) = f(u) du = F(u) + = F(g(x)) + Nem sempre é fáil deidir sustituição u = g(x) e em lgus sos, ehum esolh de u = g(x) fuiorá. Pr fzer esolh de u = g(x) será útil seguir o roteiro ixo: ) Fç um esolh fvorável de u = g(x) de tl form que itegrl otid sej mis simples. ) Clule du = g (x). 3) Fç sustituição de u = g(x) e du = g (x) itegrl, produzido um itegrl que express pes em termos de u e du. Cso id permeer lgum outr vriável que ão sej u um ov esolh de u = g(x) deve ser feit. 4) Clule itegrl. 5) Sustitu u por g(x) pr expressr respost fil pess por um úi vriável. s ) Clule s itegris. 6x ) 5x + 7 ) (3x 5) 8 Exeríio ) Mostre que x = x l + 3. Método De Itegrção Por Prtes Até este poto ão temos odições de lulr itegris omo l x ou x e x Ms existe um método de Itegrção que possiilit lulr ti-derivds do produto de dus fuções. Se f e g são fuções difereiáveis o itervlo I. Sej h(x) = f(x) g(x) etão pel regr d difereição do produto h (x) = f(x) g (x) + g(x) f (x) ou sej, f(x) g (x) = h (x) g(x) f (x) Itegrdo mos os ldos dess equção, otemos ou id, f(x) g (x) = h (x) g(x) f (x)
2 f(x) g (x) = f(x) g(x) g(x) f (x) est é hmd formul de Itegrção por prtes. Oservmos que est expressão deixmos de esrever ostte de itegrção, já que o deorrer do desevolvimeto preerão outrs. Tods els podem ser represetds por um úi ostte, que itroduziremos o fil do proesso. N prti, ostummos fzer u = f(x) e du = f (x) v = g(x) e dv = g (x) deste modo otemos equção u dv = u v v du É importte um esolh dequd pr u e dv. Supoh, gor que se teh que lulr α(x) β(x) Se voê pereer que multiplido derivd de um ds fuções do itegrdo por um primitiv d outr, heg-se um fução que possui primitiv imedit etão plique regr de itegrção por prtes. s ) Resolver ixo itegris ) l x ) x e x ) Resolv s seguites itegris usdo téi de itegrção por prtes. ) x l x ) xe x A áre do írulo Desde os tempos mis tigos os mtemátios se preoupm om o prolem de determir áre de um figur pl. O proedimeto mis usdo foi o método d exustão, que foi otido por Arquimedes. Este proedimeto osiste em proximr figur dd por meio de outrs, ujs áres são oheids. Como exemplo, podemos itr o irulo. Pr defiir su áre, osidermos um polígoo regulr isrito de ldos, que deotmos por P. Sej A áre do polígoo P. Etão, A = A T, ode A T e áre do trigulo de se l e ltur h. Como A T = l h e o perímetro do polígoo P e ddo por p = l, vem A = l h = p h Fzedo reser d vez mis, isto e, +, o polígoo P tom-se um proximção do írulo. O perímetro p proxim-se do omprimeto do irulo πr e ltur h proxim-se do rio r. Temos, lim A = πrr = πr que e áre do irulo.
3 Pr defiir áre de um figur pl qulquer, proedemos de form álog. Aproximmos figur por polígoos ujs áres possm ser lulds pelos métodos d geometri elemetr. Outro exemplo d utilizção do método de exustão de Arquimedes é o lulo d áre etre urv y = x e o eixo x por dus rets x = 0 e x = Pr omeçr vmos sudividir o itervlo [0, ] em siitervlo [0, ] iguis om omprimeto de ssim temos os suitervlos [0, ], [, ], [, 3 ],..., [, ], [, ] Costruímos um retâgulo uj ltur sej o vlor d fução f(x) = x o extremos direitos, ou sej ltur de d retâgulo será ( ), ( ), ( 3 ),..., ( ), A áre totl A de d um dos retâgulos será: A = [( ) + ( ) + ( 3 ) + + ( ) + ] ( ) Por exemplo, se = 4 áre totl dos retâgulos será: A 4 = [( 4 ) + ( 4 ) + ( 3 4 ) + ] ( 4 ) = 5 3 = 0,46875 Se = 0 áre totl dos retâgulos será: A 0 = [( 0 ) + ( 0 ) + ( 3 0 ) + ( 4 0 ) + ( 5 0 ) + + ( 9 0 ) + ] ( 0 ) = 0,385 Se = 00 áre totl dos retâgulos será: A 00 = [( 00 ) + ( 00 ) + ( 3 00 ) + + ( ) + ] ( 00 ) = 0,33835 Se = 000 áre totl dos retâgulos será: A 000 = [( 000 ) + ( 000 ) + + ( ) + ] ( 000 ) = 0,33383 Se = 0000 áre totl dos retâgulos será: A 0000 = [( 0000 ) + ( 0000 ) + + ( ) + ] ( 0000 ) = 0,33338 Se ostruímos um retâgulo uj ltur sej o vlor d fução f(x) = x o extremos esquerdo, ou sej ltur de d retâgulo será (0), ( ), ( ), ( 3 ),..., ( ), A áre totl A de d um dos retâgulos será: A = [0 + ( ) + ( ) + ( 3 ) + + ( ) ] ( ) Por exemplo, se = 4 áre totl dos retâgulos será: A 4 = [( 4 ) + ( 4 ) + ( 3 ] 4 ) ( 4 ) = 7 3 = 0,875 Se = 0 áre totl dos retâgulos será: A 0 = [( 0 ) + ( 0 ) + ( 3 0 ) + ( 4 0 ) + + ( 9 0 ) ] ( 0 ) = 0,85 Se = 00 áre totl dos retâgulos será: A 00 = [( 00 ) + ( 00 ) + ( 3 00 ) + + ( ) + ] ( 00 ) = 0,3835 Se = 000 áre totl dos retâgulos será: A 000 = [( 000 ) + ( 000 ) + + ( ) + ] ( 000 ) = 0,3383 Se = 0000 áre totl dos retâgulos será:
4 A 0000 = [( 0000 ) + ( 0000 ) + + ( ) + ] ( 0000 ) = 0,3338 Costruímos um retâgulo uj ltur sej o vlor d fução f(x) = x o o poto médio de d suitervlo, ou sej ltur de d retâgulo será [(0 + ) ], [( + ) ], [( + 3 ) ], [( ) ], [( ) ],..., [( + ) ], [( + ) ] A áre totl A de d um dos retâgulos será: A = [( ) + ( 3 ) + ( 5 ) + + ( 3 ) + ( ) ] ( ) Por exemplo, se = 4 áre totl dos retâgulos será: A 4 = [( 8 ) + ( 3 8 ) + ( 5 8 ) + ( 7 8 ) ] ( 4 ) = = 0,35 Se = 0 áre totl dos retâgulos será: A 0 = [( 0 ) + ( 0 ) + ( 3 0 ) + ( 4 0 ) + ( 5 0 ) + + ( 9 0 ) + ] ( 0 ) = 0,335 Se = 00 áre totl dos retâgulos será: A 00 = [( 00 ) + ( 00 ) + ( 3 00 ) Se = 000 áre totl dos retâgulos será: + + ( ) + ] ( 00 ) = 0,3333 A 000 = [( 000 ) + ( 000 ) + + ( ) + ] ( 000 ) = 0,33333 Assim áre ext está próxim de, mostrdo que 3 lim A = 3 Cosideremos gor o prolem de defiir áre de um região pl S,delimitd pelo gráfio de um fução otiu ão egtiv f, pelo eixo dos x e por dus rets x = e x = Pr isso, fzemos um prtição do itervlo [, ]. = x 0 < x < x < < x < x = Sej x i = x i x i o omprimeto do itervlo [x i, x i ]. Em d um destes itervlos [x i, x i ], esolhemos um poto qulquer i. Pr d i, i =,, ostruímos um retâgulo de se x i e ltur f( i ). A som ds áres dos retâgulos, que represetmos por A, é dd por: A = f( i ) x i i = Est som é hmd som de Riem d fução f(x). Defiição. Sej y = f(x) um fução otiu, ão egtiv em [, ]. A áre so urv y = f(x) de té, é defiid por A = lim f( i ) x i i = Oservção: A defiição im só é válid pr um fução ão egtiv, ou sej, se f(x) > 0, pr todo x [, ]. Cso exist um x [, ] tl que f(x) < 0, som de Riem é iterpretd omo difereç etre som ds áres dos retâgulos que estão im do eixo x e som ds áres dos retâgulos que estão ixo do eixo x. Oservmos tmém que omo é o úmero de suitervlos é o omprimeto dos suitervlos, etão quto mior é o úmero de suitervlos meor é o seu omprimeto se etão x i 0. Assim
5 A = lim f( i ) x i = lim f( i) x i x i 0 i = ) Determie som de Riem ds s fuções ixo, qudo i é extremo direito, extremo esquerdo e poto médio de d suitervlo. ) f(x) = 9 x [0, 4] = 4 ) f(x) = x i = [, 4] = 3 4 Itegrl Defiid Defiição: Sej f um fução defiid o itervlo fehdo [, ]. Pr qulquer prtição P = {, x, x, x 3,..., x, } de [, ]. A itegrl defiid de f de té, deotd por f(x) = lim f( i) x i mx x i 0 i = N otção f(x), os úmeros e são hmdos limites de itegrção, ode é o limite iferior e é o limite superior. Oservção: Se o limite d defiição im existir, etão f é itegrável em [, ] e dizemos que itegrl defiid f(x) existe. Teorem 4.: Se f é um fução otíu o itervlo [, ], etão f é itegrável em [, ]. Teorem 4.: Se f e g são fuções itegráveis em [, ]e k é um ostte, etão kf e f + g são itegráveis em [, ] e i) kf(x) = k f(x) ii) [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) Defiição: Se f é itegrável em [, ], etão defiimos i) f(x) = 0 ii) f(x) = f(x) Teorem 4.3: Se f é itegrável em [, ] e [, ] e em [, ], etão f(x) = f(x) + f(x) Teorem Fudmetl do Cálulo: (Prte ): Sej f um fução otíu um itervlo fehdo [, ]. Etão fução G: [, ] R defiid por x G(x) = f(t) dt pr todos os potos x [, ] etão G é um ti-derivd de f em [, ] ou sej, G (x) = f(x) Teorem Fudmetl do Cálulo: (Prte ): Se f é otíu sore [, ] e se F é um primitiv de f em [, ], etão f(t) dt = F() F() Oservção; A difereç F() F() usulmete é deotd por F(t). Tmém esrevemos, s ) Clulr s itegris defiids: f(t) dt = F(t) = F() F()
6 3 ) x = ) (x ) = ) e x = 0 3 Oservção: Itegrl ão pode ser luld, pois fução f(x) = x x ão é otíu o itervlo [, 3]. ) = x ) Clule s itegris defiids: ) (6x ) = ) x(x + ) = ) (x )(x ) = d) (3x + ) = e) x( + x 3 ) = f) x 6 = 4. Cálulo de Áres Até gor defiição de áre de um região pl, só osiderv vlores fuiois ão-egtivos o itervlo de [, ]. Supohmos gor um fução f otiu que dmit vlores tto positivos quto egtivos em [, ]. Deste modo estedemos o oeito de áre de um região pl. Ms devemos ter o uiddo de distiguir etre áre liquid om sil e áre totl. Defiição: Sej f um fução otiu em [, ] etão áre liquid om sil etre urv y = f(x) e o itervlo [, ] é defiid por A l = lim f( i ) x i ou sej A l = f(x) i = ) Eotre áre liquid om sil d região R, limitd pel urv f(x) = se x e pelo eixo dos x de 0 té π. Defiição: Sej f um fução otiu em [, ] etão áre totl ou simplesmete áre urv y = f(x) e o itervlo [, ] é defiid por A = f(x) Vejmos s situções que omumete oorrem. Cso I: Cálulo d áre d região pl limitd pelo gráfio de y = f(x) e rets x =, x = e o eixo dos x, ode f é otíu e f(x) > 0 pr todo x (, ). Neste so, áre é dd por A = f(x) = f(x) ) Clule áre d região limitd pel urv f(x) = x e pels rets x = 0, x = e y = 0. Cso II. Cálulo d áre d região pl limitd pelo gráfio de y = f(x), pels rets x =, x = e o eixo dos x, ode f é otíu e f(x) < 0 pr todo x (, ) é dd por A = f(x) = f(x) 3) Eotre áre limitd pel urv y = 4 + x e o eixo dos x.
7 Sugestão: preismos ser ode urv iterept o eixo dos x Cso III. Cálulo d áre d região pl limitd pel urv de y = f(x), pels rets x =, x = e o eixo dos x, ode f é otíu em [, ] e d, f(x) > 0 pr todo x (, ), f(x) < 0 pr todo x (, d) e f(x) > 0 pr todo x (d, ) Neste so, áre é dd por A = f(x) = f(x) 4) Eotre áre d região R, limitd pel urv f(x) = se x e pelo eixo dos x de 0 té π. Sugestão: preismos ser ode urv iterept o eixo dos x e dividir região R em dus su-regiões R e R. d f(x) 5) Determie áre d região, limitd pel urv f(x) = x 3 x x e pelo eixo dos x. ) Determie áre liquid om sil e áre totl limitd pel urv dds. ) f(x) = 4x x, eixo x, x =, x = 3 ) f(x) = 6 x x, eixo x, ) f(x) = x x, eixo x, x =, x = 3 + f(x) d
1 Integral Indefinida
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