UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS CENTRO DAS ENGENHARIAS Disciplina: Vetores e Álgebra linear. Lista 01
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- Malu Custódio Miranda
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS CENTRO DAS ENGENHARIAS Disciplia: Vetores e Álgebra liear Lista Prof: Germá Suazo Desehe os seguites vetores com o poto iicial a origem de coordeadas (posição padrão) em R : a a = ; b b = ; c c = ; d d = Desehe os seguites vetores com o poto iicial a origem de coordeadas (posição padrão) em R : a a = ; b b = ; c c = ; d d = Se os vetores do exercício aterior são trasladados de maeira que seu poto fial é o poto (,,), ecotre os potos que correspodem ao poto iicial de cada 4 Para cada um dos seguites pares de potos, desehe o vetor AB Depois calcule e desehe o vetor AB como um vetor com o poto iicial a origem a A = (, ), B = (4,) ; b A = (, ), B = (, ) ;,, = = B, A =,, B =, c A ( ) ( ); d ( ) ( ) Os exercícios 5 e 6 referem-se aos vetores do exercício Calcule os vetores idicados e mostre como os resultados podem ser obtidos geometricamete: 5 a + b 6 d c 7 Cosiderado os vetores do exercício, calcule o vetor a + c 8 Ecotre os compoetes dos 9 Na figura abaixo, A, B, C, D, vetores u, v, u + v e u v, E e F são os vértices de um ode u e v são os vetores mostrados a figura abaixo hexágoo regular com cetro a origem Sedo a = OA e b = OB, expresse cada um dos vetores a seguir em termos de a e b : a AB ; b BC ; c AD ; d CF ; e AC ; f BC + DE + FA 6
2 Simplificar a expressão ( a b) + (b + a) e idicar quais propriedades estão sedo usadas Ecotre o vetor x em termos dos vetores a e b, sedo que x a = ( x a) ( b x) Desehe os eixos de coordeadas relativos a u = e v = e localize o vetor w = u + v No mesmo diagrama dos eixos padroizados desehe os eixos relativos a u = e v = Use estes últimos eixos para ecotrar w = como 6 uma combiação liear de u e v Nos exercícios 4 e 5, u e v são vetores biários Calcule u + v e u v em cada caso 4 u =, v = ; 5 u =, v = Nos exercícios de 6 a 8, calcule u v, u, d ( u, v) e um vetor uitário w a mesma direção e setido que u : 4 6 u =, v = ; 7 u =, v = ; 8 u =, v = 5 9 Se u, v e w são vetores em R,, e c é um escalar, explique por que cada uma das seguites expressões ão fazem setido: a u v ; b u v + w ; c u ( v w) ; d c ( u + w) Nos exercícios de a, determie se o âgulo etre u e v é agudo, obtuso ou reto A seguir, calcule o âgulo etre u e v u =, v = ; u =, v = ; u =, v = Sejam A = (,), B = (, ) e C = (4,6) Verifique que o triâgulo ABC é um triâgulo retâgulo 4 Sejam A = (,, ), B = (,, ) e C = (,, 4) Verifique que o triâgulo ABC é um triâgulo retâgulo 5 O retâgulo ABCD tem vértices em A = (,, ), B = (,6, ) e C = (,5, 4) Calcule as coordeadas do vértice D 6 Um barco se desloca para o orte sobre um rio com uma rapidez de 8 km/h Se a correteza está ido para o leste com uma rapidez de 6 km/h, ecotre, ecotre a velocidade resultate do barco
3 7 Basílio pode adar a 4 km/h em água parada A correteza de um rio está fluido a km/h Se Basílio quer atravessar o rio a ado até um poto diretamete oposto a outra beira, qual o âgulo em que ele deve começar a adar em relação a beira em que ele está? Nos exercícios de 8 a, calcule a projeção de v sobre u, e faça um deseho o caso do exercício u =, v = 4 ; 9,,4 u =, v = ; u = 5,, v = 4,5,5,66 A figura a seguir mostra duas maeiras em que os vetores podem ser utilizados para calcular a área de um triâgulo A área do triâgulo a parte (a) está dada por por se θ ) u v proju v, e a parte (b), u v seθ (podemos usar a igualdade seθ = cos θ para ecotrar Nos exercícios e, calcule a área do triâgulo com os vértices dados utilizado ambas metodologias A = (, ), B = (,) e C = (4,) A = (,,4), B = ( 4,,6) e C = (5,,) Ecotre todos os valores do escalar k para os quais os vetores u = k e v = k são ortogoais x a 4 Descreva todos os vetores v = que são ortogoais a u = y b 5 Verifique que são satisfeitas as seguites igualdades para quaisquer vetores u e v em R : a ( u + v) ( u + v) = u + u v + v = u + v ;
4 b c ( u v) = u u v + v = u v ; ( u + v) = u v ; d u v + u v = ( u + v ) + ; e u + v u v = 4u v 6 Para quaisquer vetores u e v em R, mostre que u + v = u v se, e somete se, u e v são ortogoais 7 Para quaisquer vetores u e v em R, mostre que u + v e u v são ortogoais se, e somete se, u = v 8 Se u = 5, v = e u v =, calcule u + v e u v 9 Se u + v = 6, u v = 8 e u = 5, determie v e o âgulo que formam os vetores u e v 4 (DESAFIO!) Sejam u, v e w vetores em v = 4 e w = 6 Ecotre o valor de u v + v w 5 u + + =, u =, R tais que v w
5 RESPOSTAS: a, b c d a (,, ) = (,, ) b (,, ) = (,,) c (, ( ), ) = (,4,) d ( ( ), ( ), ( )) = (,,5) 4 a b c d
6 5 a + b = [5,] 6 d c = [ 5, 5] 7 a + c = [,,] ( ) (+ ) 8 u =, v =, u + v =, u v = ( ) (+ ) 9 a AB = b a; b BC = a ; c AD = a ; d CF = a b; e AC = b a ; f BC + DE + FA = 5 a x = a b w = u + 4 v 4 u + v = e u v = 5 u + v = e u v = 5 6 u v =, u = 5, d ( u, v) = 7 e w = u v =, u = 4, d ( u, v) = 6 e w = u v =, u = 6, d ( u, v) = 45 e w = 9 a u v é um úmero, ão um vetor
7 b a soma ão é possível pois u v é um úmero e w é um vetor c o produto ão é possível pois v w é um úmero e u é um vetor d o produto ão é possível pois c é um escalar e u + w é um vetor u v = < âgulo obtuso cos u v θ = = θ = arccos 98, u v 5 5 = u v = > âgulo agudo cos u v θ = = = θ = arccos 6 u v 6 6 = u v = âgulo reto, θ = 9 Observe que BA = (, ) = ( 4,) e BC = ( 4,6 ) = (,6) Agora, o produto itero BA BC =, implicado que o âgulo ABC é reto 4 Observe que AC = (,, 4 + ) = (,, ) e AB = (,, + ) = ( 4,, ) Agora, o produto itero AC AB =, implicado que o âgulo BAC é reto 5 D = (,, ) 6 km/h com âgulo de 5 em relação ao leste 7 6, v u 5 8 proju v = u = u 4 9 proj u v = proj 5 u v =,,5 4 4 A = u v projuv = = 4 ; A = u v seθ = = A = u v projuv = 6 = 5 ; 5 A = u v seθ = 6 = 5 6 k =, k = b 4 v é da forma k, ode k é um escalar a 5 a Temos que e ( u + v) ( u + v) = u + v ; ( u + v) ( u + v) = u u + u v + v u + v v b Temos que ( u v) = u v ; e ( u v) = u u u v v u + v v c Temos que ( u + v) = u u u v + v u v v d Some as igualdades em a e b e Subtraia as igualdades em a e b 6 Use a parte e do exercício 5: primeiro, supodo que u + v = u v e depois, supodo que u v =
8 7 Use a parte c do exercício 5: primeiro supodo que ( u + v) = e depois, que u = v 8 u + v = u + u v + v = = 49, dode u + v = 7 ; u v = u u v + v = 5 + = 4, dode u v = 4 9 Cosidere a igualdade u + v u v = 4u v, que resulta em 6 64 = 4u v, dode u v = 7 Também, v = 5 Daí, u v 7 cosθ = = (âgulo obtuso) u v 5 u + v = u + u v + v, dode
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