Um estudo sobre o volume do cone e da esfera sem o uso

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE Programa de Pós-Graduação em Matemática Mestrado Profissioal - PROFMAT/CCT/UFCG Um estudo sobre o volume do coe e da esfera sem o uso do Pricípio de Cavalieri Clebso Hua de Freitas Trabalho de Coclusão de Curso Orietador: Prof. Dr. Jefferso Abrates dos Satos Campia Grade - PB Maio/018

2 F866e Freitas, Clebso Hua de. Um estudo sobre o volume do coe e da esfera sem o uso do Pricípio de Cavalieri / Clebso Hua de Freitas. - Campia Grade, f. : il. color. Dissertação (Mestrado em Matemática) Uiversidade Federal de Campia Grade, Cetro de Ciêcias e Tecologia, 018. "Orietação: Prof. Dr. Jefferso Abrates dos Satos". Referêcias. 1. Supremo de um Cojuto.. Volume da Pirâmide. 3. Volume da Esfera. 4. Método da Exaustão. 5. Pricípio de Cavalieri. I. Satos, Jefferso Abrates dos. II. Título. CDU (043) FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELO BIBLIOTECÁRIO GUSTAVO DINIZ DO NASCIMENTO CRB - 15/515

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE Programa de Pós-Graduação em Matemática Mestrado Profissioal - PROFMAT/CCT/UFCG Um estudo sobre o volume do coe e da esfera sem o uso do Pricípio de Cavalieri por Clebso Hua de Freitas Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Corpo Docete do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, a modalidade Mestrado Profissioal, como requisito parcial para obteção do título de Mestre. Bolsista CAPES

4 Um estudo sobre o volume do coe e da esfera sem o uso do Pricípio de Cavalieri por Clebso Hua de Freitas Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Corpo Docete do Programa de Pós- Graduação em Matemática - CCT - UFCG, modalidade Mestrado Profissioal, como requisito parcial para obteção do título de Mestre. Aprovado por: Uiversidade Federal de Campia Grade Cetro de Ciêcias e Tecologia Uidade Acadêmica de Matemática Curso de Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal Maio/018 iv

5 Dedicatória À meu filho, João Pedro. v

6 Agradecimetos À Deus, por sempre está ao meu lado me dado forças para seguir e chegar ao fim de mais uma coquista e a realização de mais um soho. A miha família, em especial a miha esposa, Maria Gabriella, por sempre está ao meu lado os mometos difíceis e cuidar do osso filho equato eu me dedicava a escrita deste trabalho. Ao corpo docete do PROFMAT/UFCG. Em especial ao professor Jefferso Abrates dos Satos pela orietação deste trabalho e ao Coordeador do PROFMAT/UFCG, Luiz Atôio da Silva Medeiros, pela compreesão com quem mora distate do local de estudo. Aos professores, Daiel Cordeiro de Morais Filho e Giovay de Jesus Malcher Figueiredo por aceitarem participar da Baca. Aos meus colegas de curso por sempre estarem próximos quado precisava. Aos meus amigos e a todas as pessoas que cotribuíram de forma direta ou idireta para a coquista desta vitória. Por fim, agradeço à Sociedade Brasileira da Matemática - SBM pelo oferecimeto deste Curso em Rede Nacioal e à CAPES pela cocessão da bolsa. vi

7 Resumo Neste trabalho, utilizaremos o coceito de supremo de um cojuto para apresetar um método para a obteção do volume de um sólido qualquer. A partir disso, deduziremos a fórmula para calcular o volume do coe e da esfera sem fazer uso do Pricípio de Cavalieri. Também determiaremos a fórmula do volume da pirâmide utilizado, porém, o Método da Exaustão. Uma importate ferrameta que iremos utilizar este trabalho será o coceito e os resultados de polígoos equidecompoíveis. Palavras Chaves: Supremo de um cojuto. Volume da pirâmide. Volume da esfera. Método da Exaustão. Pricípio de Cavalieri. vii

8 Abstract I this work, we will use the supremum cocept of a set to preset a method to obtai the volume of ay solid. From the o, we will deduce the formula for calculatig the volume of a coe ad a sphere without makig use of Cavalieri s Priciple. We will also determie the formula for the volume of a pyramid, but usig the Method of Exhaustio. A importat tool we will use i this work is the cocept ad results of equidecomposable polygos. Keywords: Supremum of a set. Volume of the pyramid. Volume of the sphere. Method of Exhaustio. Cavalieri s Priciple. viii

9 Sumário 1 Itrodução 1.1 Objetivos Orgaização Caráter da pesquisa Público-alvo Volume do paralelepípedo 5.1 Supremo de um cojuto Volume de um sólido qualquer Volume do paralelepípedo Volume da pirâmide e do coe Volume do prisma Volume da pirâmide Volume do coe Volume da esfera Prelimiares Volume da esfera Coclusões 43 Referêcias Bibliográficas 44 1

10 Capítulo 1 Itrodução Geometria Espacial é um dos assutos abordados o Esio Médio de forma muito superficial e, às vezes, em chega a ser estudada em sala de aula. Um dos tópicos deste ramo da Matemática é o coceito e o estudo de volume de algus sólidos geométricos. Eteder o coceito de volume é muito importate, pois este está presete o osso cotidiao como, por exemplo, para sabermos quatos litros de água cabem em uma cistera ou caixa d água. Do poto de vista ituitivo, o volume de um sólido pode ser etedido como a quatidade de espaço que esse sólido ocupa. Como calcular quato esse sólido ocupa é algo trabalhoso depededo de seu formato. Apesar de este trabalho forecermos um procedimeto para o cálculo do volume de um sólido qualquer, vamos os limitar, com esse processo, em determiar as fórmulas para o cálculo do volume do coe e da esfera. O modo pelo qual a maioria dos autores dos livros didáticos abordam o método para a obteção das fórmulas citadas o parágrafo aterior é fazedo uso do Pricípio de Cavalieri. A proposta deste trabalho é fazer algo diferete, dado cotiuidade aos trabalhos dos colegas ALVES (vide [1]) e SILVA (vide [15]). Um de ossos propósitos é que este trabalho possa ser um projeto a ser desevolvido com uma turma do Esio Médio durate certo período. Para alcaçarmos o objetivo deste trabalho, vamos precisar do coceito e dos resultados de polígoos equidecompoíveis, que seria, de um modo prático, particioar um polígoo em polígoos meores e, desses pedaços, podermos costruir outros polígoos como se fosse um tipo de quebra-cabeça. Isso será sempre possível se os polígoos tiverem a mesma área. Esse resultado da Geometria Plaa é o Teorema de Bolyai-Gerwie (veja mais detalhes como, por exemplo, a demostração de casos particulares e depois a demostração do caso geral em [14]). Uma perguta atural que surge daí é se poderíamos fazer isso com sólidos de mesmo volume. Ou seja, se sólidos têm mesmo volume, será que seria sempre possível quebrálos em sólidos meores e obter o outro de mesmo volume? Esse caso, se sempre fosse possível, seria uma versão do Teorema de Bolyai-Gerwie para poliedros. Essa perguta foi proposta pela primeira vez em 1844 por Bolyai e Gauss e depois, em 1900, o Cogresso Iteracioal de Matemáticos, em Paris, por Hilbert, que ficou cohecido como o terceiro problema de Hilbert (vide [14]). Um dos aluos de Hilbert, Max Deh, estudou o problema e, em 190, deu a resposta egativa. Ele mostrou que um cubo e um tetraedro regular de mesmo volume ão são equidecompoíveis, ou seja, ão é possível quebrar o cubo em sólidos meores e obter o tetraedro regular ou vice-versa. O leitor iteressado poderá ecotrar mais detalhes em [14].

11 Também faremos uso do método de Eudoxo, cohecido como Método da Exaustão, para determiar a fórmula para o cálculo do volume da pirâmide que foi feito por Euclides, em sua célebre obra Os Elemetos. Já para o cálculo do volume do coe e da esfera, utilizaremos a ideia de supremo de um cojuto. A defiição de supremo é vista a disciplia de Aálise Real do curso de graduação em Matemática. Neste trabalho, observamos uma aplicação em Geometria da ideia de supremo de um cojuto que é uma cotiuidade aos trabalhos dos colegas ALVES (vide [1]) e SILVA (vide [15]). 1.1 Objetivos O objetivo geral deste trabalho é dar cotiuidade aos estudos dos colegas ALVES (vide[1]) e SILVA (vide [15]) e apresetarmos uma demostração para a obteção da fórmula para o cálculo do volume do coe e da esfera sem utilizar o Pricípio de Cavalieri e fazedo uso do coceito de supremo de um cojuto. Nossos objetivos específicos são: Defiir supremo de um cojuto; Apresetar um método de como calcular o volume de um sólido qualquer; Defiir e apresetar algus resultados de polígoos equidecompoíveis; Calcular o volume de um paralelepípedo qualquer; Calcular o volume de um prisma de base triagular; Calcular o volume da pirâmide, do coe e da esfera. 1. Orgaização Este trabalho está orgaizado em cico capítulos da seguite forma: No capítulo 1, apresetamos uma itrodução sobre o trabalho e efatizamos que este é uma cotiuidade dos estudos de ALVES (vide [1]) e SILVA (vide [15]). No capítulo, fazemos uma sítese do que foi feito pelos colegas ALVES e SILVA, apresetado os axiomas de volume, algus resultados de polígoos equidecompoíveis e a fórmula para o cálculo do volume de um paralelepípedo qualquer; No capítulo 3, deduzimos as fórmulas para o cálculo do volume do prisma, da pirâmide, do coe e do troco de coe sem o uso do Pricípio de Cavalieri. No capítulo 4, usamos o Pricípio de Idução para demostrarmos ás fórmulas da soma dos primeiros úmeros aturais e a soma dos quadrados dos primeiros úmeros aturais. Euciaremos e mostraremos a desigualdade das médias e, por último, deduziremos a fórmula para o cálculo do volume de uma esfera. No capítulo 5, fializamos com ossas cosiderações fiais. 3

12 1.3 Caráter da pesquisa A pesquisa é de caráter bibliográfico. Ela pode ser defiida como aquela que se realiza a partir do registro dispoível, decorrete de pesquisas ateriores, em documetos impressos, realizado-se o levatameto de iformações, através de cosultas a livros, moografias, dissertações, artigos publicados a iteret e em sites de periódicos. 1.4 Público-alvo Este trabalho destia-se a professores do Esio Médio e a aluos de graduação em Matemática que teham iteresse em aprofudar seus cohecimetos sobre o coceito de volume de sólidos geométricos. No caso de professores, pode-se utilizar este trabalho como ideia para um projeto a ser desevolvido em sala de aula com uma turma de Esio Médio. 4

13 Capítulo Volume do paralelepípedo Neste capítulo, um dos coceitos importates que iremos abordar é o de supremo de um cojuto. Além disso, defiiremos e provaremos algus resultados de polígoos equidecompoíveis que serão fudametais para demostrarmos a fórmula para o cálculo do volume de um paralelepípedo qualquer, reto ou oblíquo. Nesta parte de osso estudo, utilizamos as referêcias [6], [7], [8], [13] e [15]..1 Supremo de um cojuto A defiição de supremo será muito importate e os coduzirá a uma oção mais geral do que seja calcular o volume de um sólido qualquer. Além disso, os forecerá uma ferrameta eficiete para calcularmos, mais adiate, o volume do coe e da esfera. Agora, defiamos cojutos limitados superiormete. Defiição.1 Um cojuto X R diz-se limitado superiormete quado existe algum b R tal que x b para todo x X. Nesse caso, diz-se que b é uma cota superior para o cojuto X. Exemplo.1 Se X = {1/; N}, etão X é limitado superiormete por 1 e, assim, 1 é uma cota superior do cojuto X. Defiição. Seja X R limitado superiormete e ão vazio. Um úmero b R chamase supremo do cojuto X quado é a meor das cotas superiores de X. Ou aida, b é o supremo de X quado cumpre as duas codições a seguir: S1. Para todo x X, tem-se x b; S. Se c R é tal que x c para todo x X, etão b c. A codição S pode ser reformulada da seguite maeira: S. Se c < b, etão existe x X com c < x. Assim, S diz que ehum úmero real meor do que b pode ser cota superior de X. Às vezes, é coveiete exprimir S da seguite forma: S. Para todo ε > 0 existe x X tal que b ε < x. Escrevemos b = supx para idicar que b é o supremo do cojuto X. Exemplo. Seja X = {1/; N}. Etão sup X = 1. 5

14 De fato, temos que 1/ 1 para todo N. Agora, tedo em vista que 1 X, todo c < 1 ão é cota superior de X. Logo, supx = 1. Pela defiição de supremo de um cojuto, é ituitivo observar que se um cojuto é limitado superiormete, esse possui supremo. Devido a isso, temos o Axioma.1 a seguir. Axioma.1 Todo cojuto X R, ão-vazio e limitado superiormete, possui supremo.. Volume de um sólido qualquer Nesta seção, apresetaremos um modo de calcular o volume de um sólido qualquer. Utilizaremos essa técica, mais adiate, para calcular o volume do coe e da esfera. Ates disso, vejamos o que diz o Pricípio de Cavalieri, que é empregado com bastate frequêcia os livros didáticos para obteção das fórmulas para o cálculo do volume dos pricipais sólidos geométricos (objetos tridimesioais defiidos o espaço). Pricípio de Cavalieri. Sejam dois sólidos geométricos A e B de mesma altura e áreas das bases (cotidas em um mesmo plao α). Os sólidos A e B têm o mesmo volume se qualquer plao β, paralelo a α, determiar duas secções trasversais com áreas iguais. Veja a Figura.1. Figura.1: Sólidos A e B de mesma altura e áreas das bases. Fote: Próprio autor o software Geogebra. O Pricípio de Cavalieri é bem egehoso e é um modo utilizado para se obter as fórmulas para o cálculo do volume dos pricipais sólidos geométricos. Feito isso, como ão utilizaremos esse Pricípio este trabalho, ão mais o mecioaremos doravate. Agora, cosideremos P o cojuto de todos os sólidos ode é possível obtê-los após esticar e/ou repuxar, sem cortar ou furar uma esfera. 6

15 Defiição.3 Dizemos que dois sólidos P 0, P 1 P são cogruetes quado um deles pode ser obtido do outro através de traslações, rotações, simetrias ou composições desses movimetos. Um dos sólidos que pertecem a P é o paralelepípedo que é um sólido delimitado por seis paralelogramos, cada um represetado uma face desse sólido, com as faces opostas cogruetes. Quado as faces do paralelepípedo são retâgulos, ele é chamado de paralelepípedo retâgulo ou bloco retagular. Agora, vejamos a seguir os axiomas de volume que utilizaremos o desevolvimeto deste trabalho. (I) Existe uma fução V : P R + que associa a todo S P um úmero V (S) R +, chamado de volume do sólido S. (II) Se dois sólidos S 1, S são cogruetes, etão V (S 1 ) = V (S ). (III) Se um sólido S é formado pela reuião de um úmero fiito de sólidos {S i } i=1, dois a dois disjutos ou possuem em comum potos de suas cascas, etão o volume de S é a soma dos volumes dos sólidos S 1,S,...,S, isto é, V (S) = V ( ) S i = i=1 i=1 V (S i ). (IV) Se S 1 S, com S 1 S, V (S 1 ) < V (S ). (V) Se x,y,z costituem as medidas de comprimeto, largura e altura de um paralelepípedo retâgulo, etão seu volume será deotado por V (x,y,z) e, assumimos que, V (1,1,1) = 1. A defiição a seguir os auxiliará o método de como calcular o volume de um sólido qualquer. Claro que, a prática, fazer por este modo seria um trabalho árduo, mas esse procedimeto os fará determiar fórmulas com as quais será mais prático o cálculo do volume de algus sólidos. Defiição.4 Chama-se poliedro retagular o sólido formado pela uião de um úmero fiito de blocos retagulares sobrepostos. A Figura. ilustra um poliedro retagular. Assim, o volume de um poliedro retagular, pelo Axioma III, é a soma dos volumes de cada bloco retagular que o costitui. Agora, se S é um sólido qualquer, etão podemos aproximar o volume de S por poliedros retagulares da seguite maeira: itroduzirmos a S um paralelepípedo qualquer B, com B S, e, portato, V (B) V (S) (vide Axioma IV). Depois, adicioamos a B outros blocos retagulares, formado assim um poliedro retagular R, de modo que o volume desse Poliedro uca ultrapasse o volume de S. Dessa forma, é possível os aproximarmos cada vez mais de V (S) por volumes de poliedros retagulares. Isso sigifica que: 7

16 Figura.: Poliedro retagular. Fote: Próprio autor o software Geogebra. (i) Pelo Axioma IV qualquer que seja o poliedro retagular R, com R S, tem-se V (R) V (S); (ii) Qualquer que seja o úmero real positivo a, com a < V (S), sempre é possível ecotrar um poliedro retagular R S, com a < V (R) V (S). Com isto, e de posse da ideia de supremo, podemos defiir o volume de um sólido qualquer do seguite modo: seja X o cojuto formado por úmeros reais positivos dados por V (R), de modo que R S. Neste caso, X é um cojuto limitado, pois 0 < V (R) V (S) e, dessa forma, V (S) é uma cota superior do cojuto X. Mais aida, dos ites (i) e (ii), V (S) é a meor das cotas superiores, ou seja, V (S) = supx = sup{v (R);R S e R é um poliedro retagular}. Assim, a fução V de que trata o Axioma I pode ser etedida como a fução V : P R + tal que V (S) = supx = sup{v (R);R S e R é um poliedro retagular}. 8

17 Os demais axiomas também são satisfeitos por V. Caso o leitor teha iteresse, pode ecotrar essa verificação em [15]. Observe que, esse caso, R é um poliedro retagular. Mais adiate, capítulos 3 e 4, cosideraremos, também para o cojuto X, outros sólidos como, por exemplo, pirâmides para o caso de calcular o volume do coe e trocos de coe para o caso do cálculo do volume da esfera. Faremos esse uso, posteriormete, sem maiores cometários..3 Volume do paralelepípedo O teorema a seguir os forece um resultado base que utilizaremos mais adiate para alcaçarmos o propósito deste trabalho. Sua prova será omitida, porém poderá ser ecotrada em [7] e [8]. Teorema.1 Se a,b e c são as dimesões de um paralelepípedo retâgulo, etão V (a,b,c) = a b c. É perceptível, pelo Teorema.1, que o cálculo para determiar o volume de um paralelepípedo retâgulo pode ser visto como sedo o produto da área da base pela altura, uma vez que a base desse sólido é um retâgulo. Será que essa mesma fórmula será válida para paralelepípedo oblíquo? Respoder essa perguta será o objetivo desta seção. Teorema. Se um paralelepípedo for cortado ao meio por um plao que passa por duas de suas arestas opostas (veja a Figura.3), etão os prismas que ficam determiados por esse corte possuem o mesmo volume. Demostração. Sejam ABCDEFGH um paralelepípedo e BCHE o plao que passa por duas de suas arestas opostas. Devemos mostrar que ABCDHE EFGHCB. Com efeito, perceba que a diagoal EB divide o paralelogramo ABFE em dois triâgulos cogruetes: ABE e FBE. De fato, como ABFE é um paralelogramo temos que EF AB e AE BF e como EB é comum a cada um desses triâgulos, segue, pelo caso LLL, que ABE FEB. De modo aálogo, tem-se CDH HGC. Além disso, como as faces opostas em um paralelepípedo são cogruetes, segue que os paralelogramos ABCD e EFGH são cogruetes, o mesmo ocorredo com os paralelogramos ADHE e BCGF. Por fim, os prismas em questão têm a face BCHE em comum. Assim, os prismas ABCDHE e EFGHCB têm faces duas a duas cogruetes. Logo, esses sólidos são cogruetes e, pelo Axioma II, temos como queríamos mostrar. V (ABCDHE) = V (EFGHCB), Teorema.3 Se dois paralelepípedos possuem mesma base, mesma altura e, além disso, as extremidades de suas arestas laterais são potos colieares, etão eles possuem o mesmo volume. 9

18 Figura.3: Plao passado por duas arestas opostas do paralelepípedo ABCDHEFG. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Demostração. Para demostrar esse resultado, vamos dividir a prova em três casos. 1 caso: As faces superiores possuem um segmeto em comum. Veja a Figura.4. No paralelepípedo ABCDEFGH, podemos utilizar o resultado aterior e verificar que V (BCEFGH) = V (ABCDEF). Aida pelo mesmo resultado, o paralelepípedo ABCDEFIJ, temos V (ABCDEF) = V (IJEFAD). Daí, V (BCEFGH) = V (IJEFAD). Desses fatos, V (ABCDEFGH) = V (ABCDEFIJ). caso: Os paralelogramos que costituem a face superior possuem como itersecção um paralelogramo, veja a Figura.5. Note que o sólido ABCDFELK é comum a ambos os paralelepípedos. Etão, basta mostrarmos que os sólidos EFIJAD e GHLKBC têm o mesmo volume. Para tato, mostraremos que EFIJAD GHLKBC. Com efeito, como as extremidades das arestas laterais desses paralelepípedos são potos colieares, temos que Daí, JK AB EG e FH CD IL. JE = JK EK = EG EK = KG e IF = IL FL = FH FL = LH. Além disso, como ABCDFEGH e ABCDIJKL são paralelepípedos, segue que os paralelogramos EFIJ e KLHG são cogruetes. Pelo mesmo fato, são cogruetes os triâgulos: AJE e BGK; DIF e CLH e os paralelogramos: BCHG e ADFE; ADIJ e BCLK. Como 10

19 Figura.4: Segmeto EF comum aos paralelepípedos ABCDEFGH e ABCDEFIJ. Fote: Próprio autor o software Geogebra. os sólidos EFIJAD e GHLKBC têm as faces duas a duas cogruetes, temos EFIJAD GHLKBC. Daí, segue pelo Axioma II (vide capítulo ), V (EFIJAD) = V (GHLKBC), como queríamos mostrar. 3 caso: Os paralelogramos que costituem a face superior possuem itersecção vazia como mostra a Figura.6. Cosideremos o caso em que KF JK. Iicialmete, cosidere dois potos, M e N, pertecetes aos segmetos JK e FG, respectivamete, de modo que MN AB. De maeira aáloga, fixe os potos P e O pertecetes aos segmetos IL e EH, respectivamete, de sorte que PO DC, PD MA e CO BN. Assim, por costrução, obtemos o paralelepípedo ABCDPMNO (veja Figura.7) que, pelos casos ateriores já provados, possui o mesmo volume que os paralelepípedos ABCDIJKL e ABCDEFGH. Logo, V (ABCDEFHG) = V (ABCDIJKL). O caso em que KF > JK, basta escolhermos um certo úmero de paralelepípedos de modo que podemos recair os 1 e/ou casos. Teorema.4 Se paralelepípedos tiverem mesma base e mesma altura, etão eles têm o mesmo volume. Demostração: Sejam ABCDIJKL e ABCDPMNO dois paralelepípedos dados como a Figura.8. Daí, podemos costruir um paralelepípedo ABCDEFGH (veja a Figura.8) de modo que suas arestas superiores são colieares com as arestas superiores dos outros dois paralelepípedos. Logo, pelo Teorema.3, os paralelepípedos ABCDIJKL, ABCDPMNO e ABCDEFGH têm o mesmo volume. E, portato, V (ABCDIJKL) = V (ABCDPMNO). 11

20 Figura.5: Paralelogramo EFLK comum aos paralelepípedos ABCDFEGH e ABCDIJKL. Fote: Próprio autor o software Geogebra. A defiição a seguir e os resultados associados à mesma serão fudametais para demostrarmos que o volume de um paralelepípedo qualquer é igual ao produto da área da base pela sua respectiva altura. Defiição.5 Dois polígoos, P e P, são ditos equidecompoíveis quado existem decomposições P = P 1 P P e P = P 1 P P de tal modo que cada polígoo P i é cogruete ao polígoo P i, com i = 1,,3,...,. Além disso, exige-se que os polígoos P i s teham seus iteriores, dois a dois disjutos, o mesmo ocorredo com os P i. Lema.1 Se um polígoo P é equidecompoível a um polígoo P, e o polígoo P é equidecompoível a um polígoo P, etão os polígoos P e P também são equidecompoíveis. Demostração. Como P é equidecompoível a P, segue que existem as decomposições P = P 1 P P e P = P 1 P P, tais que P i P i para i = 1,, 3,...,. Isso sigifica que podemos reorgaizar os polígoos P 1,P,,P para resultarem em P ou podemos reorgaizar os polígoos P 1,P,,P para resultarem em P. Por outro lado, P é equidecompoível a P, assim existe uma decomposição em polígoos de P que, reorgaizados, resultam em P. Mas P 1 P P resulta em P, etão a uião P 1 P P pode ser decomposta em polígoos meores aida, ou ão, de modo que essa ova decomposição forma P. Logo, P e P são equidecompoíveis. O Lema., a seguir, é um resultado da Geometria plaa que estabelece codições suficietes para que dois paralelogramos sejam equidecompoíveis. A otação A(ABC) será utilizada para idicar a área do polígoo ABC. 1

21 Figura.6: Faces superiores dos paralelepípedos ABCDEFGH e ABCDIJKL com itersecção vazia. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Lema. Se dois paralelogramos possuem mesma base e áreas iguais, etão eles são equidecompoíveis. Demostração: Sejam ABCD e ABEF dois paralelogramos que têm AB como base comum e A(ABCD) = A(ABEF). Assim, suas alturas possuem mesma medida, o que implica dizer que os segmetos CD e EF estão sobre uma mesma reta. Se esses dois segmetos coicidirem, teremos, etão, dois paralelogramos cogruetes e assim possuem mesma área, provado o resultado. Agora, se CD EF tracemos a reta AB, cosecutivamete, uma série de segmetos cogruetes ao segmeto AB. Em seguida, em cada vértice desses segmetos, tracemos retas paralelas aos segmetos AD e AF formado assim polígoos, coforme mostra a Figura.9. Dessa forma, os polígoos 1,, 3 e 4 compõem ambos os paralelogramos ABCD e ABEF. Logo, esses polígoos são equidecompoíveis. O lema a seguir é válido para quaisquer polígoos de mesma área. Esse resultado da Geometria plaa é cohecido como Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwie (vide [14]). Porém, este trabalho, vamos os restrigir apeas a paralelogramos. Lema.3 Se dois paralelogramos possuem mesma área, etão eles são equidecompoíveis. Demostração: Sejam ABCD e EFGH dois paralelogramos de mesma área, como ilustra a Figura.10. Sem perda de geeralidade, detre AB, BC, EF e FG, cosidere AB como o de maior medida. Coforme mostra a Figura.11, cosidere o poto P pertecete à reta GH em que P está situado à esquerda de H, de modo que PE AB, e seja γ a circuferêcia de raio AB e de cetro E. Como AB > EH, etão teremos dois potos de itersecção da circuferêcia com a reta GH. Daí, temos que o paralelogramo EFQP tem um lado comum e mesma área que o retâgulo EFGH, que também é um paralelogramo. Pelo Lema., segue que EFGH e 13

22 Figura.7: Costrução do paralelepípedo ABCDPMNO. Fote: Próprio autor o software Geogebra. EFQP são equidecompoíveis. Aalogamete, EFQP e ABCD são equidecompoíveis. E segue do Lema.1, que ABCD e EFGH são equidecompoíveis. Retomado para a Geometria espacial, verificaremos agora que se dois paralelepípedos possuírem mesmas alturas e mesmas bases será suficiete para que estes possuam mesmo volume. Teorema.5 Se dois paralelepípedos possuem mesma altura e bases com a mesma área, etão eles têm o mesmo volume. Demostração: Sejam P e P dois paralelepípedos com a mesma altura e bases B e B, respectivamete, com mesma área, coforme ilustra a Figura.1. Como B e B têm a mesma área, segue do Lema.3 que B e B são equidecompoíveis, ou seja, é possível escrever B = B 1 B B como uião de partes disjutas, de modo que B = B 1 B B. Assim, podemos decompor os paralelepípedos P e P em outros paralelepípedos P 1,P,,P, com a base de P i sedo B i para i = 1,...,, e tais que P = P 1 P P e P = P 1 P P ode para, i j, os paralelepípedos P i,p j têm uma face em comum ou itersecção vazia. Daí, segue do Axioma III que P e P têm o mesmo volume. Teorema.6 O volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base pela sua respectiva altura. Demostração: Cosidere um paralelepípedo ABCDEFGH de base ABCD e altura h, coforme ilustra a Figura.13. Cosidere r, s e t, retas cotidas o plao ABCD, de sorte que, r é perpedicular ao segmeto AB e passa por A, s é perpedicular ao segmeto AB e passa por B, t é paralela a AB passado por D e C e itersecta as retas r e s os potos A e B, coforme mostra a Figura.14. Agora, tracemos dois plaos perpediculares à base ABCD: α que passa por AA e β que passa por BB. Assim, fixado A 1,C 1,B 1 e D 1 como as itersecções etre as retas 14

23 Figura.8: Paralelepípedos com mesma base e mesma altura. Fote: Próprio autor o software Geogebra. FG e EH com os plaos α e β, obtemos um paralelepípedo retâgulo ABCDB 1 A 1 C 1 D 1 que possui base ABB A com mesma área que o quadrilátero ABCD (base do paralelepípedo ABCDEFGH) e mesma altura h do paralelepípedo ABCDEFGH (veja a Figura.14). Logo, pelo Teorema.5, os paralelepípedos ABCDB 1 A 1 C 1 D 1 e ABCDEFGH possuem o mesmo volume. Segue do Teorema.1 que V (ABCDEFGH) = V (ABCDB 1 A 1 C 1 D 1 ) = A(ABB A ) h = A(ABCD) h, isto é, como queríamos mostrar. V (ABCDEFGH) = A(ABCD) h, 15

24 Figura.9: Paralelogramos ABCD e ABEF com mesma base e áreas iguais. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Figura.10: Paralelogramos ABCD e EFGH com mesma área. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Figura.11: Circuferêcia de raio AB e de cetro E. Fote: Próprio autor o software Geogebra. 16

25 Figura.1: Bases B e B com mesma área. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Figura.13: Paralelepípedo ABCDEFGH de base ABCD e altura h. Fote: Próprio autor o software Geogebra. 17

26 Figura.14: Costrução do paralelepípedo ABCDB 1 A 1 C 1 D 1. Fote: Próprio autor o software Geogebra. 18

27 Capítulo 3 Volume da pirâmide e do coe Neste capítulo, usaremos o método da exaustão para calcular o volume da pirâmide. Para o volume do coe, faremos uso do coceito de supremo de um cojuto. Ao fial, demostraremos a fórmula para o cálculo do volume de um troco de coe que será fudametal para calcular o volume da esfera o capítulo seguite. Aqui, utilizamos as referêcia [1], [], [3], [4], [5] e [13]. 3.1 Volume do prisma Apesar de ão abordarmos este trabalho a fórmula para o cálculo do volume do cilidro (para este caso vide [1]), iiciamos este capítulo com a defiição do mesmo com o objetivo de defiir prisma como um caso particular de cilidro. Defiição 3.1 Sejam F uma figura plaa cotida em um plao π e g um segmeto de reta ão paralelo a este plao. A reuião de todos os segmetos de retas com origem em F, paralelos e cogruetes a g é chamada de cilidro C, de base F e geratriz g. Defiição 3. Quado a base do cilidro é um polígoo, deomiamos esse sólido de prisma. A Figura 3.1 ilustra exemplos de cilidro e de prisma. Teorema 3.1 O volume de um prisma de base triagular é igual ao produto da área da base pela respectiva altura. Demostração: Seja ABCA 1 B 1 C 1 um prima de base ABC e altura h. Traçado as paralelas coveietes, completamos o prisma, coforme mostra a Figura 3., e formamos o paralelepípedo ABDCA 1 B 1 D 1 C 1. Como em paralelogramos os lados opostos são cogruetes, segue que o prisma BCDB 1 C 1 D 1 agregado é cogruete ao prisma iicial ABCA 1 B 1 C 1 e, pelo Axioma II (vide capítulo ), esses prismas têm o mesmo volume. Note que a diagoal BC do quadrilátero ABDC o divide em dois triâgulos cogruetes: ABC e DBC. Daí, A(ABDC) = A(ABC). Pelo Teorema.6, o volume do paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 é dado por V (ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ) = A(ABCD) h = A(ABC) h. (3.1) 19

28 Figura 3.1: Cilidro de base F e prisma de base F 1. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Por outro lado, De (3.1) e (3.), temos dode como queríamos demostrar. 3. Volume da pirâmide V (ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ) = V (ABCA 1 B 1 C 1 ). (3.) V (ABCA 1 B 1 C 1 ) = A(ABC) h, V (ABCA 1 B 1 C 1 ) = A(ABC) h, Ates de defiir coe e, cosequetemete, pirâmide, vejamos a defiição de polígoo covexo. Defiição 3.3 Sejam N, com 3, e A 1,A,,A potos distitos do plao. Dizemos que A 1 A...A é um polígoo (covexo) se, para 1 i, a reta A i A i+1 ão cotém ehum outro poto A j, mas deixa todos eles em um mesmo semiplao, detre os que ela determia (aqui cosideramos A 1 = A +1 ). A Figura 3.3 ilustra exemplo de polígoo, ão-polígoo e polígoo covexo. Os potos A 1,A,...,A são os vértices do polígoo; os segmetos A 1 A, A A 3,..., A 1 A, A A 1 (ou, por vezes, seus comprimetos) são os lados do polígoo. Defiição 3.4 Um coe K, tedo como base uma figura plaa F, e como vértice o poto V situado fora do plao de F, é a reuião dos segmetos de reta que ligam o poto V a todos os potos de F. 0

29 Figura 3.: Prisma ABCA 1 B 1 C 1 e paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Fote: Próprio autor o software Geogebra. O plao F, que cotém a base do coe K, será cosiderado horizotal. A distâcia do vértice V a este plao chama-se altura do coe. Defiição 3.5 Um coe cuja base é um polígoo covexo chama-se pirâmide. A Figura 3.4 ilustra exemplo de coe e uma pirâmide de base petagoal. Neste trabalho, iremos abordar apeas pirâmides cuja base é um polígoo covexo. As faces laterais de uma pirâmide qualquer são triâgulos. Uma pirâmide cuja base também é um triâgulo chama-se tetraedro ou pirâmide de base triagular ou simplesmete pirâmide triagular. As demostrações do Teorema 3. e do Lema 3.1 a seguir serão omitidas, mas caso o leitor teha iteresse poderá ecotrá-las em [1]. Esses resultados serão importates para demostrarmos o Teorema 3.3. Teorema 3. (Teorema da base média) Seja ABC um triâgulo qualquer. Se MN é a base média de ABC relativa a BC, etão a reta MN é paralela a reta BC. Reciprocamete, se pelo poto médio M do lado AB traçarmos a paralela ao lado BC, etão tal reta itersecta o lado AC em seu poto médio N. Ademais, em qualquer um dos casos acima, temos MN = 1 BC. Lema 3.1 Dois plaos distitos α e β são paralelos se, e somete se, existirem retas r,s α, cocorretes e paralelas a β. Na demostração do resultado a seguir, que será fudametal para demostrarmos o Teorema 3.3, utilizaremos o Método da Exaustão. Essa prova que faremos, em liguagem modera, foi dada por Euclides em um de seus livros (livro XII) de sua célere obra Os Elemetos (vide [5]). Teorema 3.3 Pirâmides triagulares de mesma altura e cujas bases têm mesma área têm, ecessariamete, o mesmo volume. 1

30 Figura 3.3: Exemplos de polígoos e ão-polígoos. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Demostração. Sejam ABCD e A B C D duas pirâmides de mesma altura h, cujas bases BCD e B C D têm a mesma área. Sejam E,F,G,H,J,K os potos médios das arestas de ABCD. Podemos decompor a pirâmide ABCD em quatro partes: as pirâmides meores P 1 = AEFG e P = FBKH e dois prismas triagulares T 1 = EFGJHC e T = DJHKFG, coforme mostra a Figura 3.5. Afirmação 1: As pirâmides P 1 e P são cogruetes. Como F é o poto médio de AB, segue que BF FA. Uma vez que F e G são os potos médios das arestas AB e AD tem-se, pelo Teorema da base média, que FG 1 BD e FG é paralelo a BD. Daí, e como K é o poto médio de BD, temos que FG = BK e F ˆBK A ˆFG. Assim, pelo caso LAL os triâgulos AFG e FBK são cogruetes, isto é, AFG FBK. Com um raciocíio aálogo ao que fizemos acima, mostra-se também que: AEF FHB, AEG FHK e EFG HBK. Como as pirâmides P 1 e P têm suas faces duas a duas cogruetes, segue que P 1 P, mostrado, assim, a Afirmação 1. E pelo Axioma II (vide capítulo ) V (P 1 ) = V (P ). (3.3) Com uma argumetação aáloga a da prova da Afirmação 1, mostra-se que: JDK CJH KHJ. Assim, a área do paralelogramo DJHK é o dobro da área do triâgulo CHJ, isto é, A(JHKD) = A(CHJ). (3.4) Se ao prisma T jutarmos outro prisma T cogruete a T (veja a Figura 3.6) obtemos um paralelepípedo P, ode V (P ) = V (T ). Por outro lado, P tem a mesma altura que o prisma T 1 com base CHJ. Daí, observado que a base de P é dada por JAKD, segue de (3.4) que V (P ) = V (T 1 ). Logo, V (T ) = V (T 1 ). (3.5)

31 Figura 3.4: Coe de base F e vértice V e pirâmide de base F e vértice V. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Ademais, como P 1 e T 1 têm a mesma base EFG e a mesma altura, segue que V (P 1 ) < V (T 1 ), (3.6) pois T 1 é um prisma, equato que P 1 é uma pirâmide. Combiado as igualdades (3.3) e (3.5), temos dode, V (ABCD) = V (P 1 ) +V (P ) +V (T 1 ) +V (T ) = V (P 1 ) + V (T 1 ) V (P 1 ) +V (T 1 ) = V (ABCD). Deste fato, segue de (3.5) e (3.6) que V (T 1 T ) = V (T ) +V (T 1 ) > V (ABCD), (3.7) isto é, o volume da uião T 1 T é maior do que a metade do volume da pirâmide ABCD. Aalogamete ao que foi feito com a pirâmide ABCD, podemos dividir A B C D em duas pirâmides P 1 e P cogruetes, isto é, e dois prismas T 1 e T, de modo que P 1 P (3.8) V (T 1 T ) > V (A B C D ) Afirmação : T 1 e T 1 têm a mesma altura. e V (T ) = V (T 1). (3.9) 3

32 Figura 3.5: Pirâmides ABCD, AEFG e FBKH e prismas T 1 e T. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Figura 3.6: Prismas T 1,T e T e paralelepípedo P. Fote: Próprio autor o software Geogebra. O plao que cotém EFG é paralelo ao plao que cotém CBD, pois EF CB e EG CD e os segmetos EF e EG cocorrem o poto E (vide Lema 3.1). Como as alturas de P 1 e P são iguais, pois são cogruetes, e as alturas de P e T 1 também são iguais, segue que as alturas de P 1 e T 1 são iguais. Isso os garate que a distâcia etre os plaos EFG e BCD é a metade da altura h de ABCD. Agora, uma vez que as alturas das pirâmides ABCD e A B C D são iguais a h, temos também que a distâcia etre EFG e B C D é igual à metade de h (veja a Figura 3.7). De modo aálogo ao que foi feito com a pirâmide ABCD, o plao E F G é paralelo ao plao B C D e dista de B C D a metade de h. Isso completa a prova da Afirmação. Agora, usado (3.4) e o fato de que CHJ HBK temos De modo aálogo, A(BCD) = 4 A(CHJ). (3.10) A(B C D ) = 4 A(C H J ). (3.11) 4

33 Figura 3.7: Pirâmides ABCD e A B C D de alturas h e h, respectivamete. Fote: Próprio autor o software Geogebra. De (3.10) e (3.11), e pelo fato de que as pirâmides ABCD e A B C D possuem bases com mesma área, tem-se A(CHJ) = A(C H J ). (3.1) Desse fato, da Afirmação 1 e da cogruêcia (3.8) segue que as bases das pirâmides meores P 1,P,P 1 e P possuem mesma área. Aida pela igualdade (3.1), cocluímos que os prismas T 1 e T 1 possuem mesma área da base e, pela Afirmação, T 1 e T 1 possuem o mesmo volume. Daí, usado (3.5) e (3.9), segue que os prismas T 1,T,T 1 e T possuem o mesmo volume. Assim, é possível repetirmos esse processo de modo idutivo, dividido as pirâmides meores (P 1,P,P 1 e P ) da mesma forma (já que todas essas pirâmides têm sempre a mesma área da base e alturas em comum), de modo que mais da metade de seus volumes sejam cobertos pela uião de dois prismas. Ademais, os prismas obtidos essas decomposições sempre têm o mesmo volume. Etão, a possível difereça dos volumes das pirâmides correspodetes estaria as pirâmides meores a cada decomposição, desde que repetida o mesmo úmero de vezes em cada pirâmide origial. Sejam V = V (ABCD) e V = V (A B C D ). Se V > V, etão V V > 0, ou seja, a difereça V V é um úmero positivo. Uma vez que os prismas resultates a cada decomposição possuem volume maior do que a metade do volume da pirâmide iicial (vide (3.7) e (3.9)), percebemos que as pirâmides meores, parte residual que resultam de cada processo de decomposição, têm cada vez volumes meores que a metade do volume da pirâmides iiciais. Assim, podemos realizar o procedimeto descrito acima e coseguir uma parte residual em cada pirâmide origial que seja meor do que o úmero c = V V, ou seja, existiriam úmeros a = parte residual de V, b = parte residual de V tais que a < c e b < c, que é um absurdo uma vez que c = a b ou c = b a. De modo aálogo, cosiderado o caso em que V > V, também chegamos a uma cotradição. Portato, V = V. 5

34 Teorema 3.4 Uma pirâmide triagular tem volume igual a um terço do volume de um prisma triagular de mesma base e mesma altura. Demostração. Seja P = DEFB uma pirâmide triagular e seja T o prisma triagular ABCDEF, com mesma base e mesma altura que P. Desse modo, podemos dividir o prisma T em três pirâmides: P, P 1 = ABCF e P = ABDF (veja a Figura 3.8). Figura 3.8: Prisma T e pirâmides P, P 1 = ABCF e P = ABDF. Fote: Próprio autor o software Geogebra. As pirâmides P e P 1 têm mesma altura e, pela defiição de prisma, os triâgulos ABC e DEF são cogruetes e, assim, possuem a mesma área. Logo, pelo Teorema 3.3, temos V (P) = V (P 1 ). (3.13) Por outro lado, uma vez que o paralelogramo ABED é a uião dos triâgulos BDE e ABD, que são as bases das pirâmides P e P, respectivamete, a distâcia do poto F (vértice das pirâmides P e P ) ao plao que cotém o paralelogramo ABED pode ser cosiderada como altura comum das pirâmides P e P. Além disso, como ABED é um paralelogramo e BD é uma de suas diagoais, seque, pelo caso LLL, que ABD EDB. Assim, os triâgulos ABD e BDE possuem a mesma área. Por estes fatos, cocluímos, do Teorema 3.3, que V (P) = V (P ). (3.14) Como V (T ) = V (P) +V (P 1 ) +V (P ), segue, de (3.13) e (3.14), que V (P) = 1 V (T ). 3 Ou aida, como o prisma T e a pirâmide P têm mesma altura e mesma área da base, sedo b a área da base de P e h a sua altura, segue, do Teorema 3.1, que V (P) = 1 3 b h. 6

35 Teorema 3.5 O volume de uma pirâmide qualquer é um terço do produto da área da sua base pela respectiva altura. Demostração. Sejam P uma pirâmide de altura h e P o polígoo de lados que compõe sua base. Cosidere O um poto qualquer iterior a P e b a área da base de P. Sedo A 1,A,...,A os vértices de P, etão podemos decompor P em triâgulos dois a dois disjutos, são eles: OA 1 A,OA A 3,...,OA A 1. Se b i é a área do i-ésimo triâgulo, etão b = i=1 Sedo T i o i-ésimo triâgulo, podemos ver P como a uião disjuta de pirâmides, P i,i = 1,,...,, ode cada uma têm T i como base. Daí, e do Axioma III (vide capítulo ), temos V (P) = b i. i=1 V ( P i ). Como as pirâmides P i têm a mesma altura h, pelo Teorema 3.4, temos que V (P) = 1 3 b 1h b h b h. Como 1 h é comum a todas as parcelas acima, podemos reescrever a última igualdade da 3 seguite forma V (P) = 1 3 h(b 1 + b + + b ) = 1 3 bh, como queríamos mostrar. 3.3 Volume do coe Para deduzirmos a fórmula do volume do coe, precisamos de dois resultados auxiliares. As demostrações dos mesmos podem ser ecotradas em [] (Lema 3.) e [11] (Lema 3.3). Lema 3. Seja P um polígoo de lados iscrito em uma circuferêcia de cetro O e raio r. A área de P é dada por A(P ) = 1 ( ) π r se. Lema 3.3 Para x > 0, bem próximo de zero, temos sex bem próximo de 1, e meor que 1, x isto é, sex sex 1 e < 1, x x para x 0 e x > 0. 7

36 O Lema 3.3 os diz que quado x assume valores próximos de zero, o quociete sex x se aproxima de 1 e uca assume o valor 1. Sedo C um coe e P uma pirâmide cuja base é um polígoo regular de lados, iscrito a base de C, a fim de calcular o volume de C, percebemos que coforme o úmero de lados do polígoo da base de P aumeta, o volume de P se aproxima cada vez mais do volume de C. Essa ideia é a que iremos utilizar para provar o Teorema 3.6, a seguir, que os diz como calcular o volume de um coe de base circular. Essa demostração segue as mesmas lihas que aparecem o trabalho de ALVES (vide [1]) e SILVA (vide [15]). Dessa forma, a prova do resultado que segue terá as mesmas lihas do que foi feito por ALVES e SILVA a demostração do volume do cilidro circular reto e icliado. Teorema 3.6 O volume do coe C de altura h e base circular com cetro O e raio r, é dado por um terço do produto da área da base pela altura, ou seja, V (C) = 1 3 πr h. Demostração. Seja P uma pirâmide cuja base é um polígoo regular de lados, iscrito a base de C. Figura 3.9: Caso particular de uma pirâmide de base hexagoal iscrita o coe C. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Cosidere X o cojuto de todos os poliedros retagulares R cotidos em C. Vimos o capítulo que V (C) = supv (R). R X Note que para cada R X existe 0 suficietemete grade, tal que R P 0 C. Daí, e do Axioma IV (vide capítulo ), segue que V (R) V (P 0 ) V (C). (3.15) 8

37 Mostraremos agora que supv (R) supv (P ). Com efeito, supoha, por absurdo, que R X N Assim, existe R 0 X tal que sup R X V (R) > supv (P ). N V (P ) supv (P ) < V (R 0 ), N, N que é uma cotradição, de acordo com (3.15). Logo, Por outro lado, temos que sup R X sup R X V (R) supv (P ). (3.16) N V (R) supv (P ). N De fato, desde que P X, o supremo do cojuto {V (R);R X} é uma cota superior para o cojuto {V (P ); N}. Logo, pela defiição de supremo, temos De (3.16) e (3.17) sup R X V (R) supv (P ). (3.17) N sup N V (P ) = supv (R), (3.18) R X deste feito, V (C) = supv (P ). N Agora, iremos utilizar a igualdade aterior para provar, fialmete, que V (C) = 1 3 πr h. Com efeito, do Teorema 3.5 e do Lema 3. temos que o volume de P é dado por V (P ) = 1 ( ) 1 π 3 hr se. Como π > 0 e π 0, para suficietemete grade, segue, do Lema 3.3, que ( ) V (P ) = 1 se( π ) 3 πhr 1 π 3 πr h e V (P ) < 1 3 πr h, (3.19) para suficietemete grade. Afirmamos que 1 3 πr h é a meor das cotas superiores para o cojuto {V (P ); N}. De fato, dado ε > 0, existe, por (3.19), 0 N tal que 0 < 1 3 πr h V (P 0 ) < ε, 9

38 isto é, Logo, o que implica de (3.18) que 1 3 πr h ε < V (P 0 ). supv (P ) = 1 N 3 πr h, V (C) = 1 3 πr h, como queríamos mostrar. Para atigir osso objetivo do próximo capítulo, ecessitaremos da fórmula para o cálculo do volume do troco de coe cuja base é um círculo. Por isso, os restrigiremos apeas a coe de base circular a defiição a seguir. Defiição 3.6 Sejam K um coe de base circular C, α um plao paralelo ao plao da base de K ão cotedo C, C a itersecção de α com K e T a parte de K etre C e C. Deomiase troco de coe a figura espacial formada por T, C e C. Figura 3.10: Troco de coe formado por T, C e C obtido a partir do coe K. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Observado a Figura 3.10, otamos que o plao α dá origem a um outro coe K de base C. Além disso, todo troco de coe é obtido através de um coe. Na defiição aterior, o troco possui bases meor e maior: C e C, respectivamete. A distâcia etre C e C é deomiada a altura do troco de coe. Observamos que, como C e C são círculos, cada base do troco terá um respectivo raio. Teorema 3.7 O volume do troco de coe (V TC ) de altura h, raio da base meor r e raio da base maior R é dado por V TC = πh 3 (R + R r + r ). 30

39 Figura 3.11: Coes K e K de bases C e C, respectivamete. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Demostração. Sejam C e C as bases maior e meor do troco, respectivamete, e V o vértice do coe K de base C que completa o troco e forma um coe K de vértice V e base C. Sejam O e O o cetro de C e C, respectivamete, e h a altura do coe K. Assim, a altura do coe K é dada por h h. Cosidere, agora, t a reta que passa por O itersectado C em I e t a reta que passa por O paralelamete a r e itersecta C em I (veja a Figura 3.11). Note que o triâgulo VO I é semelhate, pelo caso AA, ao triâgulo VOI, isto é, VO I VOI. Daí, temos cosequetemete e, portato, VO VO = O I OI h h h = r R, R(h h) = rh Rh rh = Rh h = Rh R r. (3.0) Além disso, V TC =V(K) V (K ). Por esses fatos, segue do Teorema 3.6 e da igualdade (3.0) que assim, V TC = πh R π(h h)r 3 3 = π [ ( ] Rh Rh 3 R r R )r R r h πh [ = R 3 (R (R r))r ], 3(R r) V TC = πh [ R 3 r 3]. (3.1) 3(R r) 31

40 Como R 3 r 3 = (R r)(r + R h + r ), segue de (3.1), que V TC = πh 3(R r) (R r)(r + R h + r ), dode como queríamos mostrar. V TC = πh 3 (R + R h + r ), 3

41 Capítulo 4 Volume da esfera Neste capítulo, faremos uso de duas fórmulas de somas, dos primeiros termos e dos quadrados dos primeiros úmeros aturais, e utilizaremos o Pricípio de Idução Fiita para demostrar essas fórmulas. A desigualdade das médias aritmética e geométrica (Lema 4.1) também será crucial para chegarmos o Teorema 4.1 (Volume da esfera). A demostração da fórmula para o cálculo do volume de uma esfera, da forma como fizemos, ão é ecotrada a Literatura. Nossa ideia foi utilizar a desigualdade das médias juto ao coceito de supremo de um cojuto para chegarmos em tal resultado. Porém, essa demostração que fizemos foi baseada as referêcias [1] e [9]. No presete capítulo, utilizamos as referêcias [1], [8], [9] e [10]. 4.1 Prelimiares O lema a seguir é um resultado clássico cohecido a Literatura como a desigualdade das médias geométrica e aritmética. O caso de que tratamos, que é o de osso iteresse, é o em que são cosiderados apeas dois termos, uma vez que o resultado também pode ser demostrado para o caso em que há termos. Lema 4.1 Sejam x,y úmeros reais ão-egativos. igualdade ocorre se, e somete se, x = y. Etão, xy x + y. Além disso, a Demostração. Sabemos que para quaisquer que sejam x,y R + têm-se ( x y) 0. Daí, ( x y) = x x y + y 0 x y x + y, dode x + y xy. Agora, se xy = x + y, etão ( ( ) x + y xy) = xy = x + xy + y 4 x + xy + y = 4xy x xy + y = 0, 33

42 dode Reciprocamete, se x = y, temos que (x y) = 0 x = y. xy x + y Como x,y são reais ão-egativos, segue que xy x + y = x x. = x x = 0, cosequetemete, x + y xy =, como queríamos mostrar. Como cosequêcia do Lema 4.1, temos o Lema 4. a seguir cuja prova será omitida por fazer uso do coceito de limite que foge do escopo deste trabalho. No etato, é um resultado ituitivo, uma vez que temos o Lema 4.1 (desigualdade das médias aritmética e geométrica), pois, se xy = x + y somete quado x = y, é atural se pesar que quado x é próximo de y teremos xy próximo de x + y. Lema 4. Se x é suficietemete próximo de y, etão xy é suficietemete próximo de x + y, isto é, x y xy x + y. O Lema 4.1 os diz que a média aritmética de quaisquer dois úmeros reais ãoegativos é sempre maior ou igual que a média geométrica desses úmeros, equato que o Lema 4. os iforma que se dois úmeros reais quaisquer são suficietemete próximos, etão a média aritmética será suficietemete próxima da média geométrica. Para a prova dos lemas a seguir, que também serão importates para demostrarmos a fórmula para o cálculo do volume da esfera, faremos uso do Pricípio de Idução Fiita. Seja P() uma propriedade relativa ao úmero atural. Supohamos que: (i) P(1) é válida; (ii) Para todo N, a validade de P() implica a validez de P( + 1). Etão, P() é válida para todo N. A verificação de que P(1) é válida costuma ser chamada de caso base de uma demostração por idução, equato a demostração de que a validez de P() implica a validade de P( + 1) é chamada de passo de idução. Na codição (ii), a validez de P() é chamada de hipótese de idução. 34

43 Lema 4.3 A soma dos primeiros úmeros aturais é dada pela expressão k = k=1 ( + 1). ( + 1), isto é, Demostração. Note que, P(1) é válida, pois 1 = 1 Agora, supoha que P() seja válida, ou seja, que = 1 (1 + 1) =. ( + 1), (4.1) para algum N. Provaremos, agora, que P( + 1) também é válida. Com efeito, usado a hipótese de idução (4.1), temos Por outro lado, ( + 1) Usado (4.) e (4.3), obtemos ( + 1) = ( + 1) ( ) + ( + 1) = ( + 1) + 1 = ( + 1) = + ( + 1). (4.) ( + 1)( + ). (4.3) ( + 1)( + ) e, portato, P( + 1) também é válida. Logo, pelo Pricípio de Idução Fiita como queríamos demostrar. k = k=1 ( + 1), N, Lema 4.4 A soma dos quadrados dos primeiros úmeros aturais é dada pela expressão ( + 1)( + 1), ou seja, 6 k = k=1 ( + 1)( + 1). 6 Demostração. Observe que P(1) é válida. De fato, uma vez que 1 = 1 = = 1 (1 + 1)( 1 + 1), 6 35

44 P(1) é válida. Agora, supoha a propriedade válida para, isto é, = ( + 1)( + 1). (4.4) 6 Provaremos que P( + 1) também é válida. Com efeito, usado a hipótese de idução (4.4), temos que Por outro lado, logo, De (4.5) e (4.6), ( + 1) = ( + 1)( + 1) 6 ( + 1)( + 1) 6 ( + 1)( + 1) 6 [ ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) 6 + ( + 1) = ( + 1) = + ( + 1). (4.5) ] + ( + 1) [ ] = ( + 1) 6 [ ] = ( + 1) 6 [ ( + ) + 3( + ) = ( + 1) 6 ], ( + 1)( + 3)( + ). (4.6) 6 ( + 1)[( + 1) + 1]( + ) 6 e, portato, P( + 1) também é válida. Logo, pelo Pricípio de Idução Fiita, temos que k ( + 1)( + 1) = k=1 6 para todo N, como queríamos demostrar. 4. Volume da esfera O objetivo desta seção é demostrarmos a fórmula para o cálculo do volume da esfera. Para esse feito, utilizaremos os resultados da seção 4.1 como também o embasameto teórico feito os capítulos e 3. Agora, defiamos esfera. Defiição 4.1 Sejam C 0 um poto do espaço e r um úmero real positivo. Chama-se esfera de raio r e cetro C 0 o cojuto de potos do espaço que equidistam de C 0 a uma distâcia r. 36

45 Se α é um plao qualquer que passa pelo cetro da esfera, etão α divide a mesma em duas partes cogruetes e, portato, de mesmo volume, sedo cada parte dessa divisão deomiada semi-esfera. Para demostrarmos a fórmula para o cálculo do volume da esfera, Teorema 4.1 a seguir, de raio R e cetro C 0, iremos aproximar a semi-esfera por uma uião de trocos de coe {T i } s da seguite forma: dividimos o raio R em partes cogruetes obtedo os potos C 1,C,...,C. (4.7) Etão o i ésimo troco T i possui cetro as bases maior e meor como sedo, C i e C i 1, para i = 1,,3,...,, respectivamete. As bases dos trocos serão paralelas ao plao que cotém o círculo da base da semi-esfera e perpediculares ao raio R, ortogoal a este plao (veja a Figura 4.1). Figura 4.1: Esfera de cetro C 0 e raio R fatiado em = 5 partes cogruetes. Fote: Próprio autor o software Geogebra. Quato maior for a partição (o valor de ) mais a soma dos volumes dos trocos se aproximará do volume da esfera. Faremos o procedimeto do parágrafo aterior com a semi-esfera o ituito de calcular seu volume e depois multiplicarmos por dois e, assim, obter o volume da esfera. A demostração do Teorema 4.1, a seguir, ão é ecotrada a Literatura, mas é uma ideia baseada as referêcias [1] e [9]. Teorema 4.1 O volume de uma esfera de raio R é dado por 4πR3 3. Demostração: Seja S uma semi-esfera de cetro C 0 e raio R > 0 e seja X o cojuto de todos os poliedros retagulares R cotidos em S. Vimos o capítulo que V (S) = supv (R). R X 37