GRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shine, Colégio Etapa

Transcrição

1 GRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shie, Colégio Etapa Nível Itermediário.. GRAFOS. O que são e para que servem grafos? Defie-se grafo como o par (V, A) ode V = {v, v,...,v } é um cojuto de vértices e A {{v i, v j }t.q. v i, v j V, i j} é um cojuto de arestas (a verdade, uma aresta é um par ão-orietado de vértices). A represetação mais comum de grafos é associar os vértices a potos e as arestas a lihas que ligam os pares de vértices que as formam. Mas o mais importate é que os grafos podem represetar iúmeras situações. Por exemplo, quado você brica de ligar os potos, o fudo você está traçado arestas em um grafo ode os vértices são dados (em vez de ligue os potos, poderíamos escrever areste o grafo...). Embora pareçam simples, os grafos têm muito mais utilidades, como veremos. Na verdade, a Teoria dos Grafos é uma das partes mais importates da Matemática, e é muito utilizada pricipalmete em computação. Exemplo. Podemos costruir um grafo que represete pessoas apertado mãos. Os vértices seriam as pessoas. Ligamos dois vértices (formado assim uma aresta) se duas pessoas se cumprimetaram.

2 Gustavo Edmilso Carlos Eduardo Oofre Emauel Paulo Exemplo. É possível que os cavalos do tabuleiro (I) fiquem a posição do tabuleiro (II)? (I) (II) Observação: um cavalo, o xadrez, se movimeta da seguite forma: ele se move duas casas a vertical ou horizotal e depois se move uma casa a direção perpedicular à direção em que havia se movimetado ates.

3 Resolução Vamos umerar as casas do tabuleiro da seguite forma: Vamos costruir um grafo ode os vértices são as casas do tabuleiro. Ligaremos dois vértices i e j se é possível um cavalo ir da casa i à casa j. Temos etão o seguite grafo (verifique!) Coloquemos agora os cavalos as situações iicial e fial, respectivamete: Iicial Fial

4 Observe que ão podemos ter dois cavalos a mesma casa, assim os cavalos devem sempre estar a mesma ordem o ciclo. Logo ão é possível chegar a posição fial. Exercícios 0. (IMO) Cosidere um iteiro positivo r e um retâgulo de dimesões AB = 0, BC =. O retâgulo é dividido em uma grade de 0 quadrados uitarios. Uma moeda pode ser movida de um quadrado a outro se, e somete se, a distâcia etre os cetros dos quadrados é r. A tarefa é ecotrar uma seqüêcia de movimetos que levem uma moeda do quadrado que tem A como vértice ao quadrado que tem B como vértice. a) Mostre que a tarefa ão pode ser feita se r é divisível por ou. b) Prove que a tarefa pode ser feita se r = 7. c) Pode a tarefa ser feita quado r = 97? Dicas: Para o item a), use o fato de que um quadrado perfeiro pode deixar somete os restos 0 ou quado divididos por ou. Para os ites b) e c), costrua dois grafos: um que cosidera a posição da moeda a horizotal e outro a vertical... Grau de vértice Defiimos grau de vértice v i como o úmero de arestas que cotêm v i e deotamos d(v i ). No último exemplo, o grau de um vértice seria o úmero de apertos de mão que a pessoa correspodete deu. Exemplo.. Na cidade de Micrópolis, há 7 telefoes. Um cadidato a prefeito prometeu que ampliaria a rede de telefoia de modo que cada um dos 7 telefoes esteja coectado diretamete a exatamete 5 outros telefoes. É possível que ele cumpra sua promessa? Resolução Se imagiarmos um grafo ode os vértices são os telefoes e as arestas, as coexões, teríamos que o grau de cada vértice seria 5. Vamos cotar o úmero de coexões etre dois telefoes (ou seja, o úmero de arestas do grafo). Como de cada telefoe sairiam 5 coexões, teríamos a pricípio 5.7 = 5 coexões; mas cotamos cada coexão duas vezes, uma vez em cada um dos dois telefoes a que ele está coectado. Assim, deveríamos ter a verdade 5/

5 coexões, o que seria um absurdo. Assim, o cadidato a prefeito ão pode cumprir sua promessa (ão votem ele!!). Este exemplo mostra.. Um teorema importate Teorema. Em um grafo, a soma dos graus de todos os vértices é igual ao dobro do úmero de arestas. Em símbolos: o grafo (V, A), d( v ) = A vi V ( X deota o úmero de elemetos do cojuto X.) i Demostração De cada vértice v saem d(v) arestas. Assim, se somarmos os graus de todos os vértices, obtemos o úmero de arestas multiplicado por dois, pois cotamos cada aresta duas vezes (lembre-se de que cada aresta está associada a dois vértices).. Cotagem Dupla O que acabamos de fazer foi cotar algo de duas maeiras diferetes, o caso o úmero de arestas (a verdade, o seu dobro). Esta idéia de cotar duas vezes é às vezes muito útil para demostrar algumas relações. Exemplo.. (Combiações) De quatos modos podemos escolher k elemetos detre dispoíveis? Importate: Tal úmero é represetado por lê-se escolhe k ou combiação k de k a k. Resolução Vamos cotar de duas maeiras o úmero de filas com os k elemetos escolhidos. Podemos (i) primeiro escolher os k elemetos e colocá-los em filas ou (ii) escolher diretamete os elemetos e irmos colocado a fila.

6 Fazedo como em (i), temos maeiras de escolhermos os elemetos; podemos k escolher o primeiro da fila de k maeiras, o segudo de k maeiras, e assim por diate. Assim temos k ( k )... k! k = k maeiras de formar a fila. (lembrete: k ( k )... = k! lê-se k fatorial). Por outro lado, fazedo como em (ii), temos maeiras de escolher o primeiro da fila, maeiras de escolher o segudo e assim por diate, até o último, que pode ser escolhido de k + maeiras. Assim, temos ( )... ( k+ ) maeiras de formar a fila. Logo, de (i) e (ii), cocluímos que k! úmero de filas ( )... ( k ) k = = + ( )... ( k+ ) ( k)!! = = k k! ( k)! k! ( k)! Exemplo.. (Lema de Sperer) Dividimos um triâgulo grade em triâgulos meores de modo que quaisquer dois detre os triâgulos meores ou ão têm poto em comum, ou têm um vértice em comum ou tem um lado (completo) em comum. Os vértices dos triâgulos são umerados:, ou. A umeração é arbitrária, exceto que os vértices sobre os vértices do triâgulo maior oposto ao vértice i ão podem receber o úmero i. Mostre que etre os triâgulos meores existe um com os vértices,,. Resolução Cotaremos o úmero de segmetos (com algumas repetições). Eles aparecem os triâgulos

7 Digamos que há x triâgulos, y triâgulos e z triâgulos. Observe que os segmetos iteros ao triâgulo grade são cotados duas vezes (eles são comus a dois triâgulos) e os segmetos do lado do triâgulo grade, somete uma vez. Notemos também que os segmetos aparecem duas vezes os triâgulos e e uma vez os triâgulos. Assim, segmetos iteriores + segmetos os lados = úmero de segmetos = x+ y+ z Mostraremos um fato mais forte que o lema: provaremos que x é ímpar e portato ão pode ser zero. Observado a equação acima, vemos que basta provarmos que o úmero de segmetos sobre os lados do triâgulo grade é ímpar. Como ão podemos ter potos o lado em potos o lado, todos os segmetos estão sobre o lado do triâgulo grade. Provemos que o úmero de segmetos sobre o lado é ímpar. Para isso, vamos colocar vértices ou o lado. Assim, o começo, temos somete o lado : Na hora de colocar vértices, cosidere o meor segmeto em cujo iterior colocaremos o vértice. Poderemos estar em uma das seguites situações: Este segmeto é do tipo : ou Se colocarmos, o úmero de segmetos ão muda; se colocarmos, aumeta de. De qualquer forma, a paridade do úmero de segmetos ão muda. Este segmeto é do tipo : ou

8 Se colocarmos, o úmero de segmetos aumeta de ; se colocarmos, ão muda. De qualquer forma a paridade do úmero de segmetos ão muda. Este segmeto é do tipo : ou Se colocarmos ou, o úmero de segmetos ão muda e é claro que a paridade desse úmero ão muda também. Logo a paridade do úmero de segmetos uca muda (ou seja, é ivariate). Como o começo temos um segmeto (o próprio lado ), temos que o úmero de segmetos o lado do triâgulo grade é sempre ímpar, o que completa ossa demostração. Cotar algo de duas maeiras também os ajuda a demostrar desigualdades. Exemplo.. Na terra de Oz há castelos e várias estradas, sedo que cada uma liga dois castelos e ão há mais do que uma estrada ligado diretamete dois castelos. Diz a leda que se houver quatro castelos ligados em ciclo (ou seja, se existirem quatro castelos A, B, C e D tais que A e B, B e C, C e D e D e A estão ligados), um dragão aparecerá do cetro dos castelos e destruirá a Terra de Oz. Mostre que para esta desgraça ão acotecer o úmero de estradas deve ser meor ou igual a + / ( ). Resolução Cosidere um castelo ligado a outros dois.

9 d(v) Para cada castelo v do cojuto V dos castelos temos pares de estradas. Para a desgraça ão ocorrer, observemos que devemos Ter o máximo um par de estradas asociado a um mesmo par de castelos. Assim, a quatidade de pares de estradas é meor ou igual à quatidade de pares de castelos. Logo d( v) = pares de estradas pares de castelos = v V d v d v v V v V ( ( )) ( )) ( ( v) ) d( v) d (*) v V Sabemos que a soma v V d ( v) é igual ao dobro do úmero de estradas A. Além disso, pode-se mostrar (usado a desigualdade etre as médias quadrática e aritmética, ou mesmo Cauchy-Schwarz) que Assim v V ( d( v)) A (*) A A Resolvedo (**) em A, obtemos ( d( v) ) v V A = A ( ) 0 (**) ( + ) + A A. Exercícios 0. Dizemos que dois poliedros P e Q são equidecompoíveis se é possível cortar o poliedro P em vários poliedros meores e motar, sem deixar espaços vazios e sem sobrar poliedros, o poliedro Q. Sejam α, α,..., α m os âgulos diédricos (âgulos etre faces adjacetes) de P e β, β,..., β m os âgulos diédricos de Q. Mostre que se P e Q são equidecompoíveis etão existem úmeros iteiros positivos a, a,..., am, b, b,..., b e um úmero iteiro k tais que a α + aα am α m ( bβ + bβ bβ m) = kπ

10 A partir desta relação podemos mostrar (isto é um pouco mais difícil!!) que um cubo e um tetraedro de mesmo volume ão são equidecompoíveis. 0. Dado iteiro, seja d() o úmero de divisores de. Seja d() o úmero médio de divisores dos úmeros etre e, ou seja, Mostre que d( ) = j= d( ) i d( j) i= i= Esta desigualdade os mostra que d( ) l, e que a difereça d( ) l é o máximo. 0. (IMO) Num cocurso, há m cadidatos e juízes, ode é ímpar. Cada cadidato é avaliado por cada juiz, podedo ser aprovado ou reprovado. Sabe-se que os julgametos de cada par de juízes coicidem em o máximo k cadidatos. Prove que k m i Referêcias Bibliográficas A parte de grafos foi baseada em um dos capítulos do livro Mathematical Circles A Russia Experiece, que aborda o treiameto russo para as olimpíadas. Muitos dos exercícios de cotagem dupla foram extraídos do livro Proofs From The Book, que cotém as demostrações cosideradas pelos autores (e também por muitos leitores!) as mais elegates.